专题3 分式的化简与求值-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

40 专题三　分式的化简与求值 分式的化简与求值是紧密相连的,求值之前必须先化简,这样求值时计算量较少且不易出 错,因此先化简再求值是解答这类问题的基本策略.解答时既要瞄准目标,又要抓住条件;既要根 据目标将条件进行转化,又要依据条件来调整目标.需要注意的是原代数式中的隐含条件对字母 取值的限制. 类型一 直接代入求值 1. 先化简,再求值:x 2 x-1-x-1 ,其中x=2+2. 2. 先化简,再求值:m m-n- m m+n- n2 m2-n2 ,其 中m=3n. 类型二 先求字母的值，再代入求值 3. 先化简,再求值:1 x-1- x2-4x+4 x2-1 ÷ x2-2x x+1 , 其中|x-2|=1. 4. 先化简,再求值: 1 x-y+ 2 x2-xy ÷x+22x , 其中y= 2-x+ x-2+1. 类型三 利用整体思想求值 5. 已知1 x+ 1 y=5 ,求2x-3xy+2y x+2xy+y 的值. 6. 整体思想 (牡丹江中考)先化简,再求值: x2-3 x-1-2 ÷ 1x-1,其中x 满足x2-2x- 3=0. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 拍 照 批 改 41 类型四 挖掘隐含条件求值 7. 先化简,再求值:1+11-5aa-3 ÷ a-2a2-6a+9, 其中a 与2、3是三角形的三边长,且a 为 整数. 答案讲解 8. 先化简,再求值: 3 x-1-x-1 ÷ x2-4x+4 x-1 ,其中x是不等式2x- 1<5的非负整数解. 类型五 自选字母的值求值 9. (黄石中考)先化简,再求值:1+ 2a+1 ÷ a2+6a+9 a+1 ,从-3、-1、2中选择合适的a 的值代入求值. 10. (烟台中考)先化简,再求值:2x+5 x2-1- 3 x-1 ÷ 2-x x2-2x+1 ,从-2<x≤2中选出合适的x 的整数值代入求值. 类型六 降次法求值 答案讲解 11. 已知5x2-3x-5=0,求5x2- 2x- 15x2-2x-5 的值. 12. 已知x2+x-1=0,求3-x 2-x3 x-3 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 42 类型七 参数法求值 13. 已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,求 2x2+3y2+6z2 x2+5y2+7z2 的值. 14. ★已知x 3= y 4= z 5 ,求代数式x 2-3xy+2z2 3x2+2xy-z2 的值. 类型八 倒数法求值 15. 已知x、y、z 满足 2 x= 3 y-z= 5 z+x ,求 5x-y y+2z 的值. 16. 已知x+1x=4 ,求 x 2 x4+x2+1 的值. 17. 已知 x x2-3x+1=1 ,求 x 2 x4-9x2+1 的值. 18. 已知 ab a+b= 1 3 ,bc b+c= 1 4 ,ca c+a= 1 5 ,求 abc ab+bc+ca 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 15 ∴ ∠C=∠CBA=90°,BC=AD,AB=CD,AB∥CD. ∴ ∠C = ∠BOE,∠CEB = ∠ABE.∵ AD =AG, ∴ BC=AG.∵ AE =AB,∴ ∠OEB = ∠ABE = ∠CEB.在 △CBE 和 △OBE 中, ∠C=∠BOE, ∠CEB=∠OEB, BE=BE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CBE≌△OBE.∴ CE=OE,BC=BO=AG.在 △BOM 和△GAM 中, ∠BMO=∠GMA, ∠MOB=∠MAG, BO=GA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BOM≌ △GAM.∴ BM=GM.∵ N 为BE 的中点,∴ MN= 1 2EG.∵ EG=AF,∴ AF=2MN. 第11题 12. (1) ∠B+∠ADC=180°. 解析:如图①,∵ AB= AD,∴ 把△ABE 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到 △ADG,可 使 AB 与 AD 重 合.∴ ∠B = ∠ADG, ∠BAE=∠DAG,AE=AG,BE=DG.∵ ∠BAD=90°, ∠EAF=45°,∴ ∠BAE+∠DAF=45°.∴ ∠DAG+ ∠DAF=45°,即∠GAF=45°.∴ ∠EAF=∠GAF. ∵ ∠B+∠ADC=180°,∴ ∠ADG+∠ADC=180°,即 ∠FDG=180°.∴ 点F、D、G 在同一条直线上.在△AFE 和△AFG 中, AE=AG, ∠EAF=∠GAF, AF=AF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AFE≌△AFG. ∴ EF=GF.∵ GF=DG+DF=BE+DF,∴ EF= BE+DF. (2) 如图②,∵ AB=AC,∴ 把△ABD 绕点A 按逆时针 方向旋转90°得到△ACG,可使AB 与AC重合.∴ ∠B= ∠ACG,∠BAD=∠CAG,BD=CG,AD=AG.∵ 在 △ABC 中,∠BAC =90°,∴ ∠ACB + ∠B =90°. ∴ ∠ACB+∠ACG=90°,即∠ECG=90°.∴ EC2+ CG2=GE2.∵ ∠GAE=∠EAC+∠CAG=∠EAC+ ∠BAD=90°-∠DAE=45°,∴ ∠DAE=∠GAE.又 ∵ AD=AG,AE=AE,∴ △AED≌△AEG.∴ DE= GE.∴ EC2 +BD2 =DE2.∵ BD =1,EC =2, ∴ DE=5. 第12题 专题三　分式的化简与求值 1. 原式= 1x-1. 当x=2+2时,原式=2-1. 2. 原式=2mn-n 2 m2-n2 . 当m=3n时,原式=3-12. 3. 原式= 2x2-x.∵ |x-2|=1,∴ x-2=±1.∴ x= 3或1.由题意,易得x 不为±1、0、2,∴ x=3.当x=3 时,原式=13. 4. 原式= 2x-y.∵ y= 2-x+ x-2+1,∴ 2-x≥ 0且x-2≥0.∴ x=2.当x=2时,y= 2-2+ 2-2+1=1.当x=2,y=1时,原式=2. 5. ∵ 1 x + 1 y =5 ,∴ x+y=5xy.∴ 原 式 = 2(x+y)-3xy (x+y)+2xy= 2×5xy-3xy 5xy+2xy =1. 6. 原式=x2-2x-1.∵ x2-2x-3=0,∴ x2-2x= 3.∴ 原式=3-1=2. 7. 原式=-4a+12.∵ a 与2、3是三角形的三边长, ∴ 1<a<5.∵ a为整数,∴ a=2或3或4.由题意,易得 a≠2且a≠3.∴ a=4.当a=4时,原式=-4. 8. 原式=-x+2x-2. 解不等式2x-1<5,得x<3,∴ 不等 式的非负整数解为0、1、2.由题意,易得x≠1且x≠2. ∴ x=0.当x=0时,原式=1. 9. 原式= 1a+3. 由题意,易得a≠-1且a≠-3.∴ a= 2.当a=2时,原式=15. 10. 原式=x-1x+1.∵ -2<x≤2,∴ 整数x 为-1、0、1、 2.由题意,易得x≠±1且x≠2.∴ x=0.当x=0时,原 式=-1. 11. ∵ 5x2-3x-5=0,∴ 5x2=3x+5,x2=3x+55 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 16 ∴ 原式=3x+5-2x- 13x+5-2x-5=x+5- 1 x = x2+5x-1 x = 3x+5 5 +5x-1 x = 28 5. 12. ∵ x2+x-1=0,∴ x2=-x+1.∴ 原式= 3-(-x+1)-x(-x+1) x-3 = 3+x-1+x2-x x-3 = 2+(-x+1) x-3 =-1. 13. ∵ 4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,∴ 4x-3y=6z, x+2y=7z, 解得 x=3z, y=2z. ∴ 原式=2×(3z) 2+3×(2z)2+6z2 (3z)2+5×(2z)2+7z2 =1. 14. 设x 3= y 4= z 5=k ,则x=3k,y=4k,z=5k.∴ 原 式= (3k)2-3×3k×4k+2×(5k)2 3(3k)2+2×3k×4k-(5k)2 = 23 26. 已知连等式求分式的值的解题策略 已知几个比相等的式子(习惯上称为“连等式”)求 分式的值,可设出几个比的比值(如设为k),将不同字 母用含同一参数k的代数式表示,这时待求分式可转 化为含k的式子,进而可将分子、分母分别进行计算, 从而求得分式的值.参数法求值有时又称为“设k法”. 15. ∵ 2 x= 3 y-z= 5 z+x ,∴ x 2= y-z 3 = z+x 5 . 设x 2= y-z 3 = z+x 5 =k ,∴ x=2k,y-z=3k,z+x=5k. ∴ y=6k,z=3k.∴ 原式=5×2k-6k6k+2×3k= 1 3. 16. ∵ x+1x=4 ,∴ x4+x2+1 x2 = x4 x2+ x2 x2+ 1 x2=x 2+ 1+1x2= x 2+2+1x2 -2+1= x+1x 2 -1=42-1= 15.∴ 原式=115. 17. ∵ x x2-3x+1=1 ,∴ x2-3x+1 x =1.∴ x-3+1x= 1.∴ x+ 1x =4.∴ x4-9x2+1 x2 =x 2-9+ 1x2 = x+1x 2 -11=42-11=5.∴ 原式=15. 18. ∵ ab a+b= 1 3 ,∴ a+b ab =3.∴ 1 a + 1 b =3. 同理, 1 b+ 1 c =4 ,1 c + 1 a =5.∴ 1 a+ 1 b + 1b+1c + 1 c+ 1 a =3+4+5=12.∴ 1 a + 1 b + 1 c =6. ∴ ab+bc+ca abc = 1 c+ 1 a+ 1 b=6.∴ 原式=16. 专题四　一次函数图像下图形的 面积问题　　 1. 2 2. 11 3 3. 设直线AB 交x 轴于点D.在y=3x+3中,当y= 0时,x=-1;当x=0时,y=3.∴ C(-1,0)、A(0,3).在 y=-x+3中,当y=0时,x=3,∴ D(3,0).∴ CD= 3-(-1)=4.联立 y=-x+3, y= 1 2x+ 1 2 , 解得 x=53 , y= 4 3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 点B 的坐 标 为 5 3 ,4 3 .∴ △ABC 的 面 积 为 S△ACD - S△BCD= 1 2×4×3- 1 2×4× 4 3= 10 3. 4. 如图,过点A 作AD∥y 轴,交BC 于点D.在y= -12x+1 中,当y=0时,x=2;当x=0时,y=1. ∴ A(2,0)、B(0,1).设直线BC对应的函数表达式为y= kx+b.把 (0,1)、(4,2)代 入,得 1=b, 2=4k+b, 解 得 b=1, k=14. ∴ 直线BC 对应的函数表达式为y=14x+ 1.∵ A(2,0),AD∥y 轴,∴ 点D 的横坐标为2.在y= 1 4x+1 中,当x=2时,y= 1 4×2+1= 3 2 ,∴ 点D 的坐 标为 2,32 .∴ AD=32.∴ S△ABC=S△ADB+S△ADC= 1 2× 3 2×2+ 1 2× 3 2× (4-2)=3. 第4题 5. y=-2x-2 6. 在y=- 1 2x+6 中,当x=0时,y=6,∴ C(0,6). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈