专题1 与等腰三角形相关的旋转问题-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

33 专题一　与等腰三角形相关的旋转问题 与等腰三角形相关的旋转问题题型丰富,常见的有:求角的度数、求线段的长、求图形的面 积、证明三角形全等、探究线段之间的关系等,解答时要充分运用“旋转前后的图形全等”这一性 质.另外,旋转前后的图形中任意两对对应点及旋转中心(不共线时)可构成新的全等三角形,在 等边三角形的旋转或等腰直角三角形的旋转中较为多见. 类型一 求角度 1. 如图,在△ABC 中,AC=BC,∠C=40°.将 △ABC 绕着点B 按逆时针方向旋转得到 △DBE,其中 AC∥BD,BF、BG 分别为 △ABC 与△DBE 的中线,则∠FBG 的度 数为 ( ) 第1题 A. 90° B. 80° C. 75° D. 70° 2. (绍兴中考)如图,在等腰直角三角形ABC 中,∠ABC=90°,BA=BC,将BC 绕点B 按顺时针方向旋转θ(0°<θ<90°),得到 BP,连接CP,过点A 作AH⊥CP,交CP 的延长线于点H,连接AP,则∠PAH 的 度数 ( ) 第2题 A. 随着θ的增大而增大 B. 随着θ的增大而减小 C. 不变 D. 随着θ的增大先增大后减小 类型二 求线段长 3. 如图,在△ABC 中,AB=AC=4,将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转得到△DBE,若E 恰好为AC 的中点,则BC 的长为 ( ) 第3题 A. 22 B. 3 C. 4 D. 42 4. 如图,△CAB 与△CDE 均是等腰直角三角 形,且∠ACB=∠DCE=90°.连接 BE、 AD,AD 的延长线与BC、BE 的交点分别是 G、F,且AF⊥BE.将△CDE 绕点C 旋转直 至CD∥BE 时,若DA=92 ,DG=2,则BF 的长是 . 第4题 类型三 探究线段之间的数量关系 5. 如图①,在△ABC 中,AB=CB,将△ABC 绕点B 按顺时针方向旋转至△A1BC1 的位 置,A1B 交AC 于点E,A1C1 分别交AC、 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 34 BC 于点D、F. (1) 观察并猜想线段EA1 与FC 有怎样的 数量关系,并证明你的结论; (2) 如图②,若将△ABC 绕点B 按顺时针方 向旋转至△A1BC1 的位置,DC1=BC1,求 证:AC∥BC1. 第5题 答案讲解 6. 如图,△ABC 为等边三角形,将线 段AC 绕点A 按逆时针方向旋转 90°,得到AD,连接BD,∠BAC 的 平分线交BD 于点E,连接CE. (1) 求∠AED 的度数; (2) 试探究线段AE、CE、BD 之间的数量关 系,并证明. 第6题 类型四 求面积 第7题 7. 如图,在△ABC 中,AB= AC,∠BAC=120°,O 为BC 的中点,将△ABC 绕点O 按 顺 时 针 方 向 旋 转 得 到 △DEF,点D、E 分别在边 AC 和CA 的延长线上,连接CF.若AD= 3,则△OFC 的面积是 ( ) A. 9 43 B. 3 23 C. 3 43 D. 27 43 8. 如图,在△ADE中,∠DAE=90°,AD=AE= 3,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC= 2,将 △ABC 绕 点 A 旋 转,使 点 B 在 △ADE 内部,且∠ABE=135°.连接CD、 BD,求△CBD 的面积. 第8题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 35 类型五 探究型问题 答案讲解 9. 将两个斜边长相等的等腰直角三角 形按如图①所示的方式摆放,斜边 AB 分别交CD、CE 于点M、N. (1) 如果把图①中的△BCN 绕点C 按逆时 针方向旋转90°得到△ACF,连接FM,如图 ②,求证:△CMF≌△CMN. (2) ① 将图②中的△CED 绕点C 旋转.当 点M、N 在线段AB 上(不与点A、B 重合) 时,线段AM、MN、NB 之间有一个不变的 关系式,请你写出这个关系式,并说明理由. ② 当点M 在AB 上,点N 在AB 的延长线 上(如图③)时,①中的关系式是否仍然成 立? 请说明理由. 第9题 10. ★已知△ABC 和△DEC 都是等腰直角三 角形,C 为它们的公共直角顶点,点D、E 分别在边BC、AC 上,连接AD、BE. (1) 如图①,F 是线段AD 上的一点,连接 CF,且AF=CF. ① 求证:F 是AD 的中点; ② 判断BE 与CF 的数量关系和位置关 系,并说明理由. (2) 如图②,把△DEC 绕点C 按顺时针方 向旋转α(0°<α<90°),F 是AD 的中点,其 他条件不变,BE 与CF 的关系是否发生变 化? 若不变,请说明理由;若改变,请给出 正确的结论. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 10 9 2. 在y=x+ 9 2 中,当x=0时,y= 9 2 ,∴ 点P 的坐标 为 0,92 . 第21题 22. (1) 设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x.根据 题意,得150(1+x)2=216,解得x1=0.2=20%,x2= -2.2(不合题意,舍去).∴ 该品牌头盔销售量的月平均 增长率为20%.(2) 设该品牌头盔的实际售价为每个 y元.根据题意,得(y-30)[600-10(y-40)]=10000. 整理,得y2-130y+4000=0.解得y1=80,y2=50. ∵ 尽可能让顾客得到实惠,∴ y=50.∴ 该品牌头盔的实 际售价应定为每个50元. 23. (1) ① 设BE 与AG 交于点N,与DG 交于点M. ∵ 四边形ABCD 与四边形AEFG 为正方形,∴ AD= AB,AG=AE,∠DAB=∠EAG=90°.∴ ∠DAB+ ∠BAG = ∠EAG + ∠BAG,即 ∠DAG = ∠BAE. ∴ △DAG≌△BAE.∴ DG=BE,∠AGD=∠AEB.由 题意,得∠AEB+∠ANE=90°,∠ANE=∠MNG, ∴ ∠AGD+∠MNG=90°.∴ ∠GMN=90°.∴ DG⊥ BE.② ∵ S四边形BGED=S△GAE+S△AED+S△ABD+S△ABG, 在旋转过程中,△ABD 与△AGE 的面积始终保持不变, ∴ 当AB⊥AG,AD⊥AE 时,△ABG 与△ADE 的面积 最大,此时四边形BGED 的面积也最大.∵ AB=AD= 2,AG=AE=22,∴ 四边形BGED 面积的最大值为 1 2×22×22+ 1 2×22×2+ 1 2×2×2+ 1 2×2× 22=6+42. (2) 正方形;3+22. 解析:如图,连接DG、BE.∵ M、 N、P、Q 分别是BG、GE、ED、DB 的中点,∴ MN∥BE, MN=12BE ,NP∥GD,NP=12GD ,QP∥BE,QP= 1 2BE ,MQ∥GD,MQ=12GD. 由(1),知 DG=BE, ∴ MN=NP=PQ=QM.∴ 四边形MNPQ 为菱形.由 (1),知DG⊥BE,∴ ∠1=90°.∵ MQ∥GD,∴ ∠2+ ∠1=180°.∴ ∠2=90°.∵ MN∥BE,∴ ∠2+∠QMN= 180°.∴ ∠QMN=90°.∴ 四边形 MNPQ 为正方形.当 G、A、D 三点在同一条直线上时,B、A、E 三点也在同一 条直线上,此时BE 最长,则MN 最长,正方形MNPQ 的 面积最大.∴ 此时MN=12BE= 1 2× (22+2)= 2+ 1.∴ 四边形 MNPQ 面积的最大值为(2+1)2=3+ 22. 第23题 2 整合提优 专题一　与等腰三角形相关的旋转问题 1. D 解析:∵ AC=BC,∠C=40°,∴ ∠CAB= ∠CBA=12× (180°-40°)=70°.由旋转,得△ABC≌ △DBE,∴ ∠C = ∠E =40°,∠CAB = ∠CBA = ∠EBD=∠D=70°,BC=BE,AC=DE.∵ BF、BG 分 别为△ABC 与△DBE 的中线,∴ CF=12AC ,EG= 1 2DE.∴ CF=EG.在△BCF 和△BEG 中, BC=BE, ∠C=∠E, CF=EG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BCF≌△BEG.∴ ∠CBF=∠EBG.∵ AC∥BD, ∠CAB=∠EBD=70°,∴ 点B、A、E 在同一条直线 上.∴ ∠FBG=∠ABF+∠EBG=∠ABF+∠CBF= ∠CBA=70°. 2. C 3. A 解析:如图,过点 B 作BF⊥AC 于点F,则 ∠AFB=∠CFB=90°.∵ E 为AC 的中点,AC=4, ∴ AE=CE=12AC=2. 由旋转,得BE=BC,又∵ BF⊥ AC,∴ CF=EF=12CE=1.∴ AF=AE+EF=3.在 Rt△ABF 中,由勾股定理,得 BF2=AB2-AF2,即 BF2=42-32=7.在Rt△BFC 中,由勾股定理,得BC2= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 BF2+CF2=7+1=8,∴ BC=22. 第3题 4. 3 2 解析:∵ AF⊥BE,∴ ∠BFA=∠DFE=90°. ∵ CD∥BE,∴ ∠CDG=∠BFA=90°.∴ ∠ADC= 180°-90°=90°.设CD=x.在Rt△CDG 中,GC2=4+ x2.在Rt△ADC 中,AC2=814+x 2.在 Rt△ACG 中, AG2=GC2+AC2.∵ AG=92+2= 13 2 ,∴ 169 4 =4+ x2+814 +x 2,解 得 x=3(负 值 舍 去).∴ CD=3. ∵ ∠DFE=∠FDC=∠DCE=90°,∴ 四边形CDFE 是 矩形.∴ EF=CD=3.∵ △CAB 和△CDE 均是等腰直 角三角形,∴ AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE= 90°.∴ ∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD,即∠ACD= ∠BCE.∴ △ACD≌△BCE.∴ AD=BE=92.∴ BF= BE-EF=92-3= 3 2. 5. (1) EA1=FC.∵ AB=CB,∴ ∠A=∠C.由旋转,得 ∠ABE=∠C1BF,AB=A1B,CB=C1B,∠A=∠A1, ∠C=∠C1.∴ AB=A1B=CB=C1B,∠A=∠A1= ∠C=∠C1.在△ABE 和△C1BF 中, ∠A=∠C1, AB=C1B, ∠ABE=∠C1BF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌ △C1BF.∴ BE=BF.∵ A1B=BC, ∴ A1B-BE=BC-BF,即EA1=FC.(2) 连接BD.在 △A1DE 和△CDF 中, ∠A1DE=∠CDF, ∠A1=∠C, EA1=FC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △A1DE≌ △CDF.∴ DE=DF.∵ △ABE≌△C1BF,∴ AE= C1F.∴ DE+AE=DF+C1F,即AD=C1D.在△ADB 和 △C1DB 中, AD=C1D, DB=DB, AB=C1B, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADB ≌ △C1DB. ∴ ∠ADB=∠C1DB.∵ DC1=BC1,∴ ∠C1DB= ∠C1BD=∠ADB.∴ AC∥BC1. 6. (1) ∵ △ABC是等边三角形,∴ AB=AC,∠BAC= 60°.由旋转,知AC=AD,∠CAD=90°,∴ AB=AD, ∠BAD=∠BAC+∠CAD=150°.∴ ∠D=12 (180°- ∠BAD)=15°.∵ AE 是∠BAC 的平分线,∴ ∠CAE= 1 2∠BAC=30°.∴ ∠DAE=∠CAD+∠CAE=120°. ∴ ∠AED=180°-∠D-∠DAE=45°.(2) BD=2CE+ 2AE.∵ AE 是 ∠BAC 的 平 分 线,∴ ∠BAE = ∠CAE.又 ∵ AB =AC,AE =AE,∴ △BAE ≌ △CAE.∴ BE=CE.如图,过点A 作AF⊥AE,交DE 于 点F,则∠EAF=90°.∵ ∠CAD=90°,∴ ∠EAF= ∠CAD.∴ ∠EAF- ∠CAF= ∠CAD - ∠CAF,即 ∠CAE= ∠DAF.由 (1),知 ∠AED =45°,∴ 易 得 ∠AFE=45°.∴ ∠AEF=∠AFE.∴ AE=AF.∴ 在 Rt△EAF 中,EF= AE2+AF2 = AE2+AE2 = 2AE.在 △ACE 和 △ADF 中, AE=AF, ∠CAE=∠DAF, AC=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACE≌△ADF.∴ CE=DF.∴ BD=BE+EF+ DF=CE+2AE+CE=2CE+2AE. 第6题 7. D 解析:如图,连接OA,OD,记BC 与DF 的交点为 H.∵ AB=AC,∠BAC=120°,O 为BC 的中点,∴ 易得 AO⊥BC,∠OAC= 12∠BAC=60° ,∠B=∠ACB= 30°.∴ ∠AOC=90°.∵ 将△ABC 绕点O 按顺时针方向 旋转得到△DEF,∴ OA=OD,OC=OF,OD⊥EF. ∴ △AOD 是等边三角形,∠DOF=90°.∴ AO=OD= AD=3,∠AOD =60°.∴ ∠DOC =30°= ∠ACB. ∴ OD=CD=3,∠COF=90°-30°=60°.∴ △COF 是等 边三角形.∴ ∠OFC=60°,OF=CF.∴ DF 垂直平分 OC.∴ ∠DFO=30°.∴ 易得DH=12OD= 3 2 ,DF= 2OD=6.∴ FH=92. 易得OC= AC2-AO2=33, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 ∴ △OFC 的面积=12OC ·FH=12×3 3× 9 2= 27 43. 第7题 8. 如图,过点A 作AM⊥BC 于点M,则∠AMB=90°. ∵ ∠DAE=90°,∠BAC=90°,∴ ∠DAE=∠BAC. ∴ ∠DAE-∠DAB=∠BAC-∠DAB,即∠BAE= ∠CAD.在 △ACD 和 △ABE 中, AD=AE, ∠CAD=∠BAE, AC=AB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD≌△ABE.∴ ∠ACD=∠ABE=135°,CD= BE.∵ AB=AC,∠BAC=90°,∴ 易 得 ∠ABC= ∠ACB=45°.∴ ∠BCD=∠ACD-∠ACB=135°- 45°=90°,∠CBE=∠ABC+∠ABE=45°+135°= 180°.∴ 点C、B、E 在同一条直线上.在Rt△ABC 中,由 勾股定理,得BC2=AC2+AB2=(2)2+(2)2=4, ∴ BC=2.∵ AC=AB,AM⊥BC,∴ M 为BC 的中 点.∴ AM=BM=CM=12BC= 1 2×2=1. 在Rt△AEM 中,由勾股定理,得 ME2=AE2-AM2=32-12=8, ∴ ME=22.∴ BE=ME-BM=22-1.∴ CD= 22-1.∴ S△BCD= 1 2BC ·CD=12×2× (22-1)= 22-1. 第8题 9. (1) ∵ △BCN 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到 △ACF,∴ CF=CN,∠ACF=∠BCN.∵ △DCE 是等 腰直 角 三 角 形,∴ ∠DCE =45°.∵ ∠ACB =90°, ∴ ∠ACM+∠BCN=45°.∴ ∠ACM+∠ACF=45°,即 ∠MCF=45°.∴ ∠MCF = ∠MCN.在 △CMF 和 △CMN 中, CF=CN, ∠MCF=∠MCN, CM=CM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CMF≌△CMN. (2) ① AM2+BN2=MN2.理由:∵ △CMF≌△CMN, ∴ MF = MN.∵ △CAB 是 等 腰 直 角 三 角 形, ∴ ∠ABC=∠CAB=45°.∵ △BCN 绕点C 按逆时针方 向旋转90°得到△ACF,∴ AF=BN,∠CAF=∠ABC= 45°.∴ ∠FAM =∠CAF+∠BAC=45°+45°=90°. ∴ AM2+AF2=MF2.∴ AM2+BN2=MN2.② 成 立.理由:如图,将△BCN 绕点C 按逆时针方向旋转90°, 得到△ACF,连接FM.∴ ∠CAF=∠CBN,AF=BN, CF =CN,∠BCN = ∠ACF.由 题 意,得 ∠MCF = ∠ACB-∠MCB-∠ACF=90°-(45°-∠BCN)- ∠ACF=45°+∠BCN-∠ACF=45°,∴ ∠MCF= ∠MCN.在△CMF 和△CMN 中, CF=CN, ∠MCF=∠MCN, CM=CM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CMF≌△CMN.∴ MF=MN.∵ ∠ABC=45°, ∴ ∠CAF = ∠CBN =135°.又 ∵ ∠BAC =45°, ∴ ∠FAM= ∠CAF - ∠BAC =135°-45°=90°. ∴ AM2+AF2=MF2.∴ AM2+BN2=MN2. 第9题 10. (1) 如图①.① ∵ AF=CF,∴ ∠1=∠2.∵ 易得 ∠1+∠ADC=90°,∠2+∠3=90°,∴ ∠ADC=∠3. ∴ FD=FC.∴ AF=FD,即F 是AD 的中点.② BE= 2CF,BE⊥CF.理由:∵ △ABC 和△DEC 都是等腰直角 三角形,∴ CA=CB,CD=CE,∠ACD=∠BCE= 90°.在 △ADC 和 △BEC 中, CA=CB, ∠ACD=∠BCE, CD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌ △BEC.∴ AD =BE,∠1= ∠CBE. ∵ FD=AF=CF,∴ AD=2CF.∴ BE=2CF.∵ ∠2+ ∠3=90°,∠1=∠2=∠CBE,∴ ∠CBE+∠3=90°. ∴ ∠4=90°.∴ BE⊥CF.(2) 不变.理由:如图②,延长 CF 到点G,使FG=CF,连接AG、DG.由题意,得AC= BC,CE=CD.∵ F 是AD 的中点,∴ AF=DF.又 ∵ FG=CF,∴ 四边形ACDG 为平行四边形.∴ AG= CD,AG∥CD.∴ CD=CE=AG,∠GAC+∠ACD= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 180°,即∠GAC=180°-∠ACD.∵ △DEC 绕点C 按顺 时针 方 向 旋 转α(0°<α<90°),∴ ∠BCD =α. ∴ ∠ECB=∠DCE+∠BCD=90°+α=90°+90°- ∠ACD=180°-∠ACD.∴ ∠GAC=∠ECB.在△AGC 和△CEB 中, AG=CE, ∠GAC=∠ECB, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AGC≌ △CEB. ∴ CG=BE,∠2=∠1.∵ FG=FC,∴ CG=2CF. ∴ BE=2CF.∵ ∠2+∠BCF=90°,∴ ∠1+∠BCF= 90°.∴ ∠3=90°.∴ BE⊥CF. 第10题 “手拉手”模型 顶角相等的两个等腰三角形的顶角顶点互相重 合,将其中一个等腰三角形绕顶角的顶点旋转一定角 度,那么顶角的顶点分别与另两对底角的顶点构成的 两个三角形是全等三角形.如图,在△ABC 和△ADE 中,∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,将△ADE 绕点A 旋转一定的角度,连接BD、CE,则△ABD≌ △ACE. 专题二　特殊四边形中的图形变换 1. A 2. C 3. 26 7 4. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB=CD, ∠B=∠D,∠BAD=∠BCD.∵ ▱ABCD 沿EF 折叠, 点C 与点A 重合,点 D 落在点G 处,∴ AG=CD, ∠EAG=∠BCD,∠D=∠G.∴ AB=AG,∠BAD= ∠EAG,∠B= ∠G.∵ ∠BAD = ∠BAE+ ∠EAF, ∠EAG=∠GAF+ ∠EAF,∴ ∠BAE= ∠GAF.在 △ABE 和△AGF 中, ∠B=∠G, AB=AG, ∠BAE=∠GAF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌ △AGF.(2) 连接CF.∵ △ABE≌△AGF,∴ AE= AF.由翻折,得EC=AE,∴ EC=AF.又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC.∴ 四边形AECF 是 平行四边形.∵ 翻折后点 A、C 重合,∴ AC⊥EF. ∴ ▱AECF 是菱形.∴ AC·EF=2×菱形AECF 的面 积.∵ ▱ABCD 的面积为8,ECBC= 2 3 ,∴ △AEC 的面积 为1 2×8× 2 3= 8 3.∴ 易得菱形AECF 的面积为163. ∴ AC·EF=2×菱形AECF 的面积=323. 5. (1) 2AB-AG=DG.如图①,分别延长AE、DC 交于 点M.∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ AB=CD, AB∥CD.∴ ∠BAE=∠M,∠B=∠MCE.∵ E 是BC 的中点,∴ BE=CE.∴ △ABE≌△MCE.∴ AB= MC.由翻折,得∠BAE=∠GAE,又∵ ∠BAE=∠M, ∴ ∠GAE=∠M.∴ AG=MG.∵ DM=CD+MC= 2AB,DM-MG=DG,∴ 2AB-AG=DG.(2) 如图②, 连接BF、EG、FC,EG、FC 交于点N,延长AE、DC 交于 点M.∵ E 是BC的中点,∴ EB=EC.由翻折,得AB= AF,EB=EF,∠BAE=∠FAE=30°,AE 垂直平分BF, ∴ EF=EB=EC,∠1=90°.∴ ∠EFB=∠EBF, ∠EFC= ∠ECF.∵ ∠EBF + ∠EFB + ∠EFC + ∠ECF=180°,∴ ∠EFB+∠EFC=90°,即∠BFC= 90°.∴ △BFC 是直角三角形.∵ ∠BAF=∠BAE+ ∠FAE=60°,AB=AF,∴ △ABF 是等边 三 角 形. ∴ AB=BF =AF =8.∴ 在 Rt△BFC 中,FC = BC2-BF2= 102-82 =6.由(1),知 AG=MG, △ABE≌△MCE,∴ AB=CM,AE=ME.∴ GE⊥AM, ∠AGE=∠MGE.∵ AF=AB=CM,∴ AG-AF= MG-CM,即FG=CG.∴ EG 垂直平分FC.∴ FN= 1 2FC =3.∵ ∠1=90°,∠BFC =90°,∴ ∠1= ∠BFC.∴ FC∥AM.∴ ∠GFN =∠FAE=30°.在 Rt△FGN 中,设GN=x,则易得FG=2x,∴ x2+32= (2x)2,解得x=3(负值舍去).∴ CG=FG=23.∵ 四 边形ABCD 是平行四边形,∴ DC=AB=8.∴ DG= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈