第10章 分式-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

5 第10章　分　式 一、 1. B 2. D 3. A 4. A 5. A 6. D 7. D 8. A 9. C 10. A 11. C 12. D 13. B 因对“无解”理解不全面而导致错误 分式方程无解包括两种情形:(1) 将分式方程转化 为整式方程后,如果整式方程无解,那么分式方程无 解;(2) 将分式方程转化为整式方程后,如果整式方程 有解,但整式方程的解是分式方程的增根,那么分式方 程无解.遇到分式方程无解的题目,常因没有考虑第一 种情形而出错. 14. B 求分式方程中字母系数的取值范围 已知分式方程的解的情况,求字母系数的取值范 围,其一般解法如下:先将分式方程转化为整式方程, 求出整式方程的解,再利用分式方程的解的情况及 分式方程的增根求出字母系数的取值范围.解答此 类问题时,常因忽视分式方程的增根对字母系数的 限制而出错. 15. B 二、 16. x≠1 17. x(x+1) 18. 4x-6y 6x+3y 19. 15 利用整体思想求分式的值 求分式的值,先对分式进行化简,再观察条件与化 简后的结果中是否有相同部分(有时需对含有字母部 分提公因式),若有,则可以利用等式的性质将条件与 化简后的结果中相同的部分进行转化,进而利用整体 思想代入化简后的结果中即可求值. 20. 5 21. 1 22. ①③ 23. -4 24. -1 25. 119 三、 26. x=4 27. (1) 2a-1 a-1. (2) -x+1x-1. 28. 原式=x.由题意,易得x≠0且x≠2.∴ x的取值不 唯一,如取x=1,原式=1. 因忽视分式中的隐含条件而导致错误 解答分式的化简求值问题,要注意挖掘化简前式 子中的隐含条件:一是所有分式的分母不能为0,二是 除式的分子不能为0.其中“除式的分子不能为0”极易 被忽视,导致出错. 29. 设 平 常 的 速 度 是 x km/h.根 据 题 意,得 1-12 ·4x x-20 +2=5 ,解得x=60.经检验,x=60是分式 方程的解且符合题意.∴ 小强家到他奶奶家的距离是4× 60=240(km). 找准相等关系列分式方程解应用题 列分式方程解决实际问题时,一般是根据问题找出 相等关系,用含有未知数的代数式分别表示出相等关 系中的各个量,进而列出分式方程,求得方程的解.需 要注意的是要进行两次检验,一是检验求的解是否为 分式方程的解,二是检验求的解是否符合实际意义. 30. 设甲骑自行车的速度为xkm/h,则汽车的速度为 1.5xkm/h.若甲刚好在出发后2.5h回到公司,则6x+ 2+ 61.5x=2.5 ,解得x=20.经检验,x=20是分式方程的 解.∵ x≤15,∴ 甲不能在规定时间内及时返回公司. 31. (1) P-Q≥0.理由:P-Q=x+1- 4xx+1= (x+1)2 x+1 - 4x x+1= (x-1)2 x+1 .∵ x>0,∴ x+1>0,(x- 1)2≥0.∴ P-Q≥0.(2) 由题意,得y= 3 x+1- 2x x+1= 3-2x x+1= -2(x+1)+5 x+1 =-2+ 5 x+1.∵ x、y 是整数, ∴ x+1=±1或±5.当x+1=1,即x=0时,y=-2+ 5=3;当x+1=-1,即x=-2时,y=-2+(-5)= -7;当x+1=5,即x=4时,y=-2+1=-1;当x+ 1=-5,即x=-6时,y=-2+(-1)=-3.∴ y的整数 值为3、-7、-1、-3. 32. 【生活观察】 (1) 2;1.5.(2) 甲两次买菜的均价为 (3+2)÷2=2.5(元/千克),乙两次买菜的均价为(3+ 3)÷(1+1.5)=2.4(元/千克).【数学思考】 x甲 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 ma+mb 2m = a+b 2 ,x乙= 2nn a+ n b =2aba+b.x甲≥x乙. 理由: x甲-x乙 =a+b2 - 2ab a+b= (a-b)2 2(a+b).∵ a>0,b>0, ∴ 2(a+b)>0,(a-b)2≥0.∴ (a-b)2 2(a+b)≥0.∴ x甲- x乙≥0.∴ x甲≥x乙.【知识迁移】 t1<t2.理由:∵ t1= 2s v ,t2= s v+p+ s v-p= 2sv v2-p2 ,∴ t1-t2= 2s v - 2sv v2-p2 = -2sp 2 v(v2-p2) .∵ v>p>0,s>0,∴ t1-t2<0. ∴ t1<t2. 第11章　反比例函数 一、 1. A 2. B 3. C 4. C 5. B 6. C 7. B 解答反比例函数中面积问题的策略 解答与反比例函数有关的面积问题的策略:利用 反比例函数中系数k的几何意义求解,也就是在待求 面积的几何图形中寻找或构造出能用|k|表示面积的 几何图形(三角形或矩形),然后将待求图形的面积用 含|k|的式子表示,进而求解. 8. A 9. C 10. D 11. C 12. B 二、 13. 6 14. a>1 15. 3 4 16. y1<y2<y3 因忽视“在同一象限内”这一前提条件而导致错误 反比例函数y= k x 的增减性:当k>0时,在同一 象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在同一象限 内,y 随x 的增大而增大.但在不同象限内,反比例函 数的增减性却不满足这一性质,因此利用反比例函数 的增减性比较y的大小时,不能忽视前提条件“在同一 象限内”. 17. -14 三、 18. (1) 当0≤x≤8时,设y=k1x+b.将(0,20)、 (8,100)代 入 y=k1x+b,得 20=b, 100=8k1+b, 解 得 k1=10, b=20. ∴ 当0≤x≤8时,y=10x+20.当8<x≤a时, 设y= k2 x. 将(8,100)代入y= k2 x ,得k2=800.∴ 当8< x≤a时,y= 800 x . 综上所述,当0≤x≤8时,y=10x+ 20;当8<x≤a时,y= 800 x . (2) 将y=20代入y= 800 x , 得20=800x ,解得x=40,即a=40.(3) 在y= 800 x 中,当 y=40时,x=20.∴ 要想喝到不低于40℃的水,x 需满 足8≤x≤20,即李老师要在7:38到7:50之间接水. 19. (1) ∵ 反比例函数y= m x 的图像经过点A(-3,2), ∴ m=-6.∴ 反比例函数的表达式为y=- 6 x.∵ 点 B(1,n)在反比例函数的图像上,∴ n=-6.∴ B(1, -6).把A(-3,2)、B(1,-6)代入y=kx+b,得 2=-3k+b, -6=k+b, 解得 k=-2 , b=-4. ∴ 一次函数的表达式为 y=-2x-4.(2) 设直线AB 交y 轴于点C.在y= -2x-4中,令 x=0,得 y=-4,∴ C(0,-4). ∴ S△AOB=S△OCA+S△OCB= 1 2×4×3+ 1 2×4×1=8. (3) 点P 的坐标为(-6,0)或(- 13,0)或( 13,0) 或 -136 ,0 . 第12章　二次根式 一、 1. C 2. C 3. A 4. C 5. B 6. B 7. C 8. B 9. D 10. C 11. D 12. A 13. D 14. D 二、 15. 4 16. 1 2 17. 2 18. 5-2 19. 2 20. 3 75 21. 1 22. 2021 三、 23. ∵ a=7-5,b=7+5,∴ a+b=27,ab= 2.(1) 原 式 =ab(a +b)=4 7.(2) 原 式 = (a+b)2-2ab ab =12. 利用二次根式的和(或差)与积求代数式的值 已知条件中的两个字母的值的乘积如果是有理 数,那么求与这两个字母有关的代数式的值的简便方 法是先计算出这两个字母的和(或差)以及积,再将待 求代数式转化为用和(或差)以及积表示的形式,最后 代入求值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 第10章　分　式 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每小题2分,共30分) 1. (怀化中考)代数式2 5x 、1 π 、 2 x2+4 、x2-23 、 1 x 、x+1 x+2 中,属于分式的有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 若 x 2-4 (x-2)(x-1) 的值为0,则x的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. ±2 D. -2 3. 有 下 列 式 子:① a+2 a2+3 ;② a-b a2-b2 ; ③ 4a 12(a-b) ;④ a-b b-a. 其中,最简分式有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 如果把分式 3xy 4x-3y 中的x 和y 的值都扩大 为原来的3倍,那么分式的值 ( ) A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的6倍 C. 缩小为原来的1 3 D. 不变 5. 下列从左到右的变形一定正确的是 ( ) A. ab 5ab= 1 5 B. a b= ac bc C. a b= a3 b3 D. a+1 b+1= a b 6. (淄博中考)为扎实推进“五育”并举工作,加 强劳动教育,某校投入2万元购进了一批劳 动工具.开展课后服务后,学生的劳动实践 需求明显增强,需再次采购一批相同的劳动 工具,已知采购数量与第一次相同,但采购 单价比第一次降低10元,总费用降低了 15%.设第二次采购的单价为x 元,则下列 方程正确的是 ( ) A. 20000 x = 20000(1-15%) x-10 B. 20000 x-10= 20000(1-15%) x C. 20000 x = 20000(1-15%) x+10 D. 20000 x+10= 20000(1-15%) x 7. (丽水中考)某校购买了一批篮球和足球.已 知购买足球的数量是篮球的2倍,购买足球 用了5000元,购买篮球用了4000元,篮球 的单价比足球贵30元.根据题意可列方程 5000 2x = 4000 x -30 ,则方程中x表示 ( ) A. 足球的单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量 8. (威海中考)试卷上一个正确式子 1a+b+ 1 a-b ÷★= 2a+b中的“★”处被小颖同学不 小心滴上了墨汁,则“★”处的代数式为( ) A. a a-b B. a-b a C. a a+b D. 4a a2-b2 9. 新趋势 跨物理学科 (杭州中考)照相机成 像运用了一个重要的原理,可用公式1 f= 1 u+ 1 v (v≠f)表示,其中f 表示照相机镜头 的焦距,u表示物体到镜头的距离,v表示胶 片(像)到镜头的距离.已知f、v,则u 可表 示为 ( ) A. fv f-v B. f-v fv C. fv v-f D. v-f fv 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 14 10. (大庆中考)已知b>a>0,则分式ab 与a+1 b+1 的大小关系是 ( ) A. a b< a+1 b+1 B. a b= a+1 b+1 C. a b> a+1 b+1 D. 无法确定 11. 已知 6 2x-1 的值是一个整数,则整数x有 ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 无数个 12. (无锡中考)若分式方程 3 x-2+1= m 4-2x 有 增根,则m 的值是 ( ) A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 答案讲解 13. ★(牡丹江中考)若关于x 的方程 mx-1 x-1=3 无解,则m 的值为 ( ) A. 1 B. 1或3 C. 1或2 D. 2或3 14. ★(通辽中考)若关于x 的分式方程2- 1-2k x-2= 1 2-x 的解为正数,则k 的取值范 围是 ( ) A. k<2 B. k<2且k≠0 C. k>-1 D. k>-1且k≠0 15. (南充中考)已知a>b>0,且a2+b2= 3ab,则 1a+ 1 b 2 ÷ 1a2- 1 b2 的值是 ( ) A. 5 B. -5 C. 5 5 D. - 55 二、 填空题(每小题3分,共30分) 16. (南京中考)若式子1- 1x-1 在实数范围内 有意义,则x的取值范围是 . 17. (永州中考)解分式方程2 x- 1 x+1=0 去分 母时,方 程 两 边 同 乘 的 最 简 公 分 母 是 . 18. 不改变分式的值,把分式 2 3x-y x+0.5y 的分子、 分母中各项的系数都化为整数,结果是 . 19. ★(菏泽中考)若a2-2a-15=0,则代数式 a-4a-4a ·a 2 a-2 的值是 . 20. (台州中考)如图所示的解题过程中,第① 步出现错误,但最后所求的值是正确的,则 图中被污染的x的值是 . 先化简,再求值:3-x x-4+1 ,其中x=★. 解:原式=3-xx-4 ·(x-4)+(x-4)…① =3-x+x-4 =-1 第20题 21. 若化简 2 x2-1÷ 1 x-a 的结果是 2 x+1 ,则a 的值是 . 22. 有下列结论:① 不论a为何值,aa2+1 都有 意义;② 当a=-1时,分式a+1a2-1 的值为 0;③ 若x 2+1 x-1 的值为负,则x 的取值范围 是x<1;④ 若x+1 x+2÷ x+1 x 有意义,则x的 取值范围是x≠-2且x≠0.其中,正确的 是 (填序号). 23. (内 江 中 考)若 1 m + 1 n =2 ,则 分 式 5m+5n-2mn -m-n 的值为 . 24. 已知 5x+1(x-1)(x+2)= A x-1+ B x+2 ,则A- B= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 15 答案讲解 25. 已知x2-3x-1=0,则x4+1x4 的 值为 . 三、 解答题(共40分) 26. (4分)(青海中考)解方程:xx-2-1= 4 x2-4x+4. 27. (6分)计算: (1) a2 a-1-a+1 ; (2) 2x2+2x x2-1 - x2-x x2-2x+1 ÷-xx+1. 28. ★(5分)(广安中考)先化简: 4x-2+x+ 2 ÷ x2-2xx2-4x+4,再从0、1、2、3中选择一个 适合的数代入求值. 29. ★(5分)(常德中考)小强爸爸平常开车从家 中到小强奶奶家,匀速行驶需要4h.某 天,他以平常的速度行驶了1 2 的路程时遇 到了暴雨,小强爸爸立即将车速减少了 20km/h,到达奶奶家时共用了5h.小强家 到他奶奶家的距离是多少千米? 30. (5分)公司员工甲去距离单位6km的医院 体检,去时骑自行车,在医院等候和体检共 花了2h,回来时发现时间可能来不及了,改 乘汽车返回公司.已知甲骑自行车的速度 不超过15km/h,汽车的速度是骑自行车的 速度的1.5倍,并且公司规定从离开之时 算起2.5h内需返回公司,则甲能否在规定 时间内及时返回公司? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 16 31. (6分)已知P=x+1,Q=4xx+1. (1) 当x>0时,判断P-Q 与0的大小关 系,并说明理由; (2) 设y= 3 P- Q 2 ,若x 是整数,求y 的整 数值. 答案讲解 32. (9分)(盐城中考)【生活观察】 甲、乙两人买某种菜,甲习惯买一 定质量的菜,乙习惯买一定金额的 菜,每次的菜价不一定相同,但两人同一次 买菜的价格相同,例如: 菜价3元/千克 质 量 金 额 甲 1千克 3元 乙 1千克 3元 第一次 菜价2元/千克 质 量 金 额 甲 1千克 元 乙 千克 3元 第二次 (1) 完成上表; (2) 计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜 的均价(均价=总金额÷总质量). 【数学思考】 设甲每次买质量为m 千克的菜,乙每次买金 额为n元的菜,两次的菜价分别是a元/千 克、b元/千克,用含有m、n、a、b的式子分 别表示出甲、乙两次买菜的均价x-甲(元/千 克)、x-乙(元/千克),比较x-甲、x-乙 的大小, 并说明理由. 【知识迁移】 某船在相距为skm的甲、乙两码头间往返 航行一次.在静水中航行时,船的速度为 vkm/h,所需时间为t1h;如果水流速度为 pkm/h(p<v)时,船顺水航行的速度为 (v+p)km/h,逆水航行的速度为(v- p)km/h,所需时间为t2h.请借鉴上面的研 究经验,比较t1、t2的大小,并说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A