暑假作业13 分式方程中的求参与应用问题汇编（要点梳理+10大题型+巩固强化）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（苏科版）

限时练习：120min 完成时间： 月 日 天气： 作业13 分式方程中的求参与应用问题汇编 要点一、根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（1）有增根 含有参数的分式方程有增根求参数的一般方法： （1）解含有参数的分式方程(用含有参数的代数式表示未知数的值)； （2）确定增根(最简公分母为0)； （3）将增根的值代入整式方程的解，求出参数； 要点二、根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（2）无解与有解 含有参数的分式方程无解求参数的一般方法： （1）将分式方程转化为整式方程，并整理成一般形式(ax=b)； （2）讨论整式方程无解的情况：当a=0时，方程满足无解；当a≠0时，整式方程有解，则讨论该解为增根的情况。 当分式方程无解时，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 分式方程有解，特别要注意考虑排除增根的情况。 要点三、根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（3）解为正或负数等 用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。 （1）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围； （2）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围。 要点四、根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（4）整数解问题 先解分式方程，得到方程的解为某分式值，再根据分式值为整数的条件和试值法逐一检验即可。 【注意】所有分式方程含参问题特别注意要排除增根的情况。 要点五、分式方程的实际应用常见题型 （1）工程问题：常设工程总量为单位“1”，然后利用公式：工作效率×工作时间=工作总量来列写等量方程。 （2）行程问题：行程问题需要注意是相遇问题还是追及问题 相遇问题：（甲速度+乙速度）×时间=总路程 追及问题：（快－慢）×时间=距离 （3）销售问题：销售问题需要抓住的等量关系式为：利润=售价－进价 （4）方案问题：方案问题首先按照一般应用题的思路进行求解。分别求解出几种方案各自的情况，然后比较选出最优方案。 （5）和差倍分问题：应用分式方程解决和差倍分问题，主要有倍数关系和多少关系这两个题型.倍数关系通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现；多少关系通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（1）有增根 1．已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 3．已知关于x的方程有增根，则m的值为 ． 4．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为 ． 题型二、根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（2）无解与有解 5．若关于x的方程有解，则a的值不能为（    ） A．3 B．2 C． D． 6．若关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．3 B． C．5 D． 7．若关于的分式方程无解，则 ． 8．已知关于x的分式方程无解，且一次函数的图象不经过第二象限，则符合条件的所有m的值之和为（　　） A． B． C． D． 题型三、根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（3）解为正或负数等 9．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 10．若关于x的分式方程的解为负数，则m的值可能是（    ） A． B． C． D． 11．若关于x的不等式组恰有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是（　　） A．6 B．10 C．8 D．2 12．如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型四、根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（4）整数解问题 13．若关于x的一元一次不等式组的解为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．0 B． C． D． 14．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ） A．28 B． C．7 D．56 15．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 16．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 题型五、工程问题 17．新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一，甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务，甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同，设乙队单独完成此项任务需要x天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 18．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 19．因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用辆车．已知每辆大型冷链车的运货量比每辆小型冷链车增加，则每辆小型冷链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？ 20．为迎接2024年龙年端午节的到来，某工厂计划安排甲车间生产16000个龙年布艺红包袋．根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产360个布艺红包袋，甲车间单独先工作4天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产680个布艺红包袋． (1)从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要多少天？ (2)由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间．改进后甲、乙两车间每天生产的布艺红包袋数量之比为，且改进工艺后两个车间完成剩下生产任务的天数之和为10天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺红包袋？ 题型六、行程问题 21．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程30千米的普通道路，路线包含快速通道，全程25千米．走路线比路线的平均速度提高，时间节省20分钟，问走路线和路线的平均速度分别是多少？设走路线的平均速度为千米/小时．根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 22．一列火车从甲站开出，到相距450千米的乙站，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，然后把速度提高到原来的1.2倍，结果准时到达目的地．求这列火车原来的速度． 23．班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90千米，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达基地，请问大巴车原计划的行驶速度是多少？ 24．情境: 问题：该次列车提速后的速度是多少? 题型七、销售问题 25．初二1班同学们计划购进A，B两种水果送给社区养老院，其中A种水果的售价比B种水果的售价低4元，用240元购进种水果的数量是用160元购进种水果数量的2倍，求A种水果的售价？若设A种水果的售价为x元，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 26．2025年3月14日是第六个“国际数学日”，鹿鸣“博・约”数学兴趣小组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花450元购买的自动铅笔比花600元购买的钢笔多15支．求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少元? 27．夏天的夜市里，龙虾可是人气“顶流”！某店购进青虾和红虾两种龙虾，店主不记得进价，但是记得青虾和红虾分别花了7200元和3200元，店员李阿姨和王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得青虾的进价比红虾的进价每斤高； 王师傅：青虾比红虾多进了200斤； 请你求出青虾和红虾的进价分别是每斤多少元． 28．扬州大运河博物馆发售了4款冰箱贴，某旅行社购买“个园”和“大明寺”两款冰箱贴，若“个园”冰箱贴的单价比“大明寺”冰箱贴的单价多10元，且用500元购买“大明寺”冰箱贴的数量与用700元购买“个园”冰箱贴的数量相等，求“大明寺”和“个园”两种冰箱贴的单价分别是多少元？ 题型八、方案问题 29．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，哪吒卡片风靡小学校园，小洋打算购进一些卡片在小学门口摆摊．小洋调查发现：每盒款哪吒卡片的进货单价比款哪吒卡片少5元，花500元购进款哪吒卡片的数量与花750元购进款哪吒卡片的数量相同． (1)，两款的进货单价分别是每盒多少元？ (2)小洋计划一共购买100盒哪吒卡片，款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元，请通过计算说明共有几种购买方案？ 30．某商店决定购进两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同． (1)求购进两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，且A种纪念品的件数不少于B种纪念品件数的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 31．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． (1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过320元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 32．为落实《健康中国行动（2019—2030） 》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 如何确定排球和足球购买方案? 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400 元购买的排球数量与500 元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共50个，且购买足球的数量不少干排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供折优惠，足球提供8折优惠． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格． 任务2 确定购买方案 运用数学知识， 确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少? 题型九、和差倍分问题 33．甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工，甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成，求甲、乙两人每小时加工零件各多少个？ 34．甲、乙两所学校在某次捐款活动中各捐款4500元．已知甲学校比乙学校人数多，乙学校比甲学校人均多捐1元．求甲、乙两学校各有多少人？ 35．学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下表： 甲种足球 购买费用：2000元 单价：x元/个 数量：______个 乙种足球 购买费用：1400元 单价：每个比甲贵20元 数量：______个 (1)用含x的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量； (2)若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价． 36．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． (1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； (2)该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 题型十、其他问题 37．“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用元购进型玩具的数量比用元购进型玩具的数量多个，且型玩具单价是型玩具单价的倍． (1)求两种型号玩具的单价各是多少元？ (2)该经营者准备用元以原单价再次购进这两种型号的玩具共个，则最多可购进型玩具多少个？ 38．某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同． (1)求两种品牌套装每套进价分别为多少元？ (2)若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？ 39．创建文明城市，共建美好家园，某县为了美化环境，计划种植树木2400棵，由于志愿者的加入，实际每天种植树木的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务，求原计划每天种植多少棵树？ 40．伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车补充电量主要有两种方式，一种是用充电桩充电，一种是换电站换电池．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多1.5分钟，且花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 1．若分式方程有增根，则它的增根是（　　） A．0 B．1 C． D．1和 2．关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 3．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C． D． 4．若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（    ） A．6 B．9 C．13 D．16 5．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 6．若关于的一元一次不等式组有且最多有3个偶数解，关于的分式方程有整数解，则所有符合条件的整数的和是 ． 7．已知关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 8．学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球若干个，甲种足球购买总费用2000元，乙种足球购买总费用1400元，乙种足球的单价比甲种足球贵20元/个． (1)若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价； (2)为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了，乙种足球的销售单价比上次购买时降低了．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这所学校最多可以购买乙种足球的数量． 9．为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵，开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前4天完成任务，问原计划每天种植梨树多少棵？ 10．某校为落实立德树人的根本任务，积极探索“五育并举，融合育人”的育人途径，计划组织八年级师生租用客车到成都大熊猫基地开展跨学科主题研学活动．已知每辆60座客车的租费是45座客车租费的倍，花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆． (1)问每辆45座客车租费和每辆60座客车租费分别是多少元？ (2)该校八年级师生共有400人，若只租用同一种客车，应该租用哪种客车合算？ 1．两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰． (1)求第二组的攀登速度； (2)第二组下山时为了缩短时间，准备加快速度，现有两种方案： ①前一半路程速度为，后一半路程速度为； ②返回速度始终保持为． 其中，且p，q均为正数，两种方案哪种平均速度更快? 2．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 3．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在黑龙江省哈尔滨市开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”均以东北虎为原型创作而成，两款毛绒玩具销售火爆．阅读下列素材解决问题． “滨滨”和“妮妮” 素材1 “滨宾”的单价比“妮妮”的单价少40元； 素材2 购买“滨滨”和“妮妮”的费用分别为8000元和5600元； 素材3 “滨滨”的数量是“妮妮”的数量的2倍． 问题解决 求吉祥物“滨滨”的单价． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：120min 完成时间： 月 日 天气： 作业13 分式方程中的求参与应用问题汇编 要点一、根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（1）有增根 含有参数的分式方程有增根求参数的一般方法： （1）解含有参数的分式方程(用含有参数的代数式表示未知数的值)； （2）确定增根(最简公分母为0)； （3）将增根的值代入整式方程的解，求出参数； 要点二、根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（2）无解与有解 含有参数的分式方程无解求参数的一般方法： （1）将分式方程转化为整式方程，并整理成一般形式(ax=b)； （2）讨论整式方程无解的情况：当a=0时，方程满足无解；当a≠0时，整式方程有解，则讨论该解为增根的情况。 当分式方程无解时，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 分式方程有解，特别要注意考虑排除增根的情况。 要点三、根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（3）解为正或负数等 用含有参数的代数式将方程的解表示出来，进而根据原方程解的范围，建立与参数有关的关系式子。 （1）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围； （2）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，再考虑排除增根的情况，求解出字母取值范围。 要点四、根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（4）整数解问题 先解分式方程，得到方程的解为某分式值，再根据分式值为整数的条件和试值法逐一检验即可。 【注意】所有分式方程含参问题特别注意要排除增根的情况。 要点五、分式方程的实际应用常见题型 （1）工程问题：常设工程总量为单位“1”，然后利用公式：工作效率×工作时间=工作总量来列写等量方程。 （2）行程问题：行程问题需要注意是相遇问题还是追及问题 相遇问题：（甲速度+乙速度）×时间=总路程 追及问题：（快－慢）×时间=距离 （3）销售问题：销售问题需要抓住的等量关系式为：利润=售价－进价 （4）方案问题：方案问题首先按照一般应用题的思路进行求解。分别求解出几种方案各自的情况，然后比较选出最优方案。 （5）和差倍分问题：应用分式方程解决和差倍分问题，主要有倍数关系和多少关系这两个题型.倍数关系通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现；多少关系通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（1）有增根 1．已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键．先求解方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将方程的增根代入整式方程计算可求解． 【详解】解：关于的分式方程有增根， ， 解得：， 故选：D． 2．若关于的方程有增根，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，理解增根是解题的关键． 先把分式方程转化为整式方程，再确定增根，并把增根代入整式方程求解即可． 【详解】解：，两边都乘以得：， 关于的方程有增根， ， 解得：， ∴， ． 故选：A． 3．已知关于x的方程有增根，则m的值为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握化分式方程为整式方程并能正确确定增根是解决此题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴， 解得， 把代入整式方程得． 故答案为：． 4．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】解： 方程两边都乘，得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得：， 当时，， 解得：． 故答案为：． 题型二、根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（2）无解与有解 5．若关于x的方程有解，则a的值不能为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程有解问题，根据无解即不是增根求出值即可得到有解的取值范围； 【详解】解：两边同时乘以得， ， 解得：， ∵方程有解， ∴当时不等于0， 即：，， 解得：， 故选：D． 6．若关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根，先去分母化为整式方程，再根据增根的定义求出的值，然后代入整式方程求解即可．掌握分式方程增根的定义是解题的关键． 【详解】解：， 两边都乘以，得， ∵关于的方程有增根， ∴， ∴． ∴， ∴， 故选：A． 7．若关于的分式方程无解，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程解的情况求参数，解分式方程可得，再根据分式方程无解可得，即，求解即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程无解， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．已知关于x的分式方程无解，且一次函数的图象不经过第二象限，则符合条件的所有m的值之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查解分式方程及一次函数的性质，根据题意得出或或，确定或或，再由一次函数的性质得出，即可求解，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 【详解】解：分式方程两边同时乘，得， 整理，得． ∵此分式方程无解， ∴或或， ∴或或． ∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，且， ∴， ∴或， ∴满足条件的m的值之和是． 故选C． 题型三、根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（3）解为正或负数等 9．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解及其解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，理解分式有意义的条件是正确解答的前提． 先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解为正数以及分式有意义的条件确定m的取值范围． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得，， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以，即， 又∵，， 解得：， ∴ ∴ ∴m的取值范围为且， 故选：D． 10．若关于x的分式方程的解为负数，则m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程的解求参数，利用解分式方程的步骤和方法表示出，根据分式方程的解为负数，建立不等式求解，再根据分式方程有解，即无增根，得到，综合考虑，即可得到m的可能取值． 【详解】解：， ， ， ， 关于x的分式方程的解为负数， ， 解得， ，解得， 即， 解得， 综上所述，m的值可能是， 故选：C． 11．若关于x的不等式组恰有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是（　　） A．6 B．10 C．8 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了不等式组的取值范围，分式方程的解，分式方程的非负整数与a的整数解容易混淆，仔细辩解是解决本题的关键． 分别解不等式组的两个不等式，根据“该不等式组有且仅有3个整数解”，得到关于a的不等式组，解之，解分式方程，结合“该分式方程解是非负数”，得到a的值，即可得到答案． 【详解】解：解不等式得： ， 解不等式得： ， ∵该不等式组有且仅有3个整数解， ∴该不等式组的整数解为：2，3，4， 则 ， 解得：， 解分式方程得： 且， ∵该分式方程有非负数解，且， 则，1，2，3， 符合条件的所有整数a的和是． 故选：A． 12．如果关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，解分式方程，先根据不等式组的解集确定m的范围，再解分式方程可得m的另一个范围，进而得出m的取值范围，确定整数解，即可得出答案． 【详解】， 解得， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得． ， 解得，且， ∴， 解得， ∴，且， ∴m的值为，0，2，3， 则． 故选：C． 题型四、根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围（4）整数解问题 13．若关于x的一元一次不等式组的解为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，先解不等式组，然后利用不等式组的解集求出a的范围，最后根据分式方程的解为正整数确定a的值即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵方程的解是正整数， ∴且， ∴且， ∴且， ∴能使y有正整数解的a为：0， ∴所有满足条件的整数a的值之和为：0． 故选：A． 14．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ） A．28 B． C．7 D．56 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确掌握解分式方程和一元一次不等式组是解题关键，分式方程有解必须满足公分母不为零，这是本题的易错点．先解一元一次不等式组得出a的取值范围，再解分式方程得a的范围，最后综合求出满足条件的a的值，即可求得答案． 【详解】解：∵， 解不等式 ， 去分母得： ， 移项合并同类项得：， 的解集为， 由“同小取小”得：； 解分式方程：， 分式方程去分母，得：， 移项合并同类项得： ， 系数化为1得：， ∵分式方程有正整数解， ， ∴， ， ∴满足条件的整数可以取7，1， 其积为． 故选C． 15．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解可求出a的范围，接着解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出a的值，进而可得答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于x的不等式组无解， ∴， ∴； 解方程， 去分母得， 解得， ∵关于y的分式方程的解为整数， ∴为整数，且， ∵， ∴或或， ∴或或， ∴符合题意的a的值可以为2，3，7， ∴ 故答案为：12． 16．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，根据一元一次不等式组和分式方程解的情况求参数，解题的关键在于找出所有符合条件的数．先解一元一次不等式组得到的取值范围，再解分式方程，结合分式方程的解找出符合条件的值，最后求和，即可解题． 【详解】解： ， ， 又关于x的一元一次不等式组的解集为， ， 解得； ， 关于y的分式方程的解为非负整数，且，即， 符合条件的所有整数a为，， 符合条件的所有整数a的和为； 故答案为：． 题型五、工程问题 17．新建、改造社区养老工程是2025年山西省政府确定的民生实事之一，甲、乙两个工程队投标某社区养老工程改造建设任务，甲队单独施工比乙队单独施工完成此项任务多用10天，且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同，设乙队单独完成此项任务需要x天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意， 设乙队完成此项任务需要x天，则甲队完成此项任务天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同，列出方程即可． 【详解】解：设乙队完成此项任务需要x天，则甲队完成此项任务天， 根据题意，得． 故选：B． 18．人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料，由题意型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解： 设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料， 根据题意得：， 解得：， 经检验，为原方程的解，且符合题意， 则， ∴种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料． 19．因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用辆车．已知每辆大型冷链车的运货量比每辆小型冷链车增加，则每辆小型冷链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？ 【答案】每辆小型冷链车的运货量为，每辆大型冷链车的运货量为 【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键．设每辆小型冷链车的运货量为，则每辆大型冷链车的运货量为．再根据大型冷链车比小型冷链车少辆，再列方程解方程即可． 【详解】解：设每辆小型冷链车的运货量为，则每辆大型冷链车的运货量为． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则． 答：每辆小型冷链车的运货量为10t，每辆大型冷链车的运货量为15t． 20．为迎接2024年龙年端午节的到来，某工厂计划安排甲车间生产16000个龙年布艺红包袋．根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产360个布艺红包袋，甲车间单独先工作4天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产680个布艺红包袋． (1)从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要多少天？ (2)由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间．改进后甲、乙两车间每天生产的布艺红包袋数量之比为，且改进工艺后两个车间完成剩下生产任务的天数之和为10天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺红包袋？ 【答案】(1)从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要18天 (2)改进工艺后，甲车间每天生产1120个布艺红包袋 【分析】本题考查了一元一次方程和分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据“甲、乙的工作量之和为16000”列方程求解； （2）根据“改进工艺后两个车间完成剩下生产任务的天数之和为10天”列方程求解． 【详解】（1）解：设从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要天，则 ， 解得：， 答：从开始加工到完成这批布艺红包袋．一共需要18天． （2）解：设甲车间每天生产个，乙车间每天生产个布艺红包袋． 4天后还剩：（个， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意． 改进后甲每天产量：（个． 答：改进工艺后，甲车间每天生产1120个布艺红包袋． 题型六、行程问题 21．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程30千米的普通道路，路线包含快速通道，全程25千米．走路线比路线的平均速度提高，时间节省20分钟，问走路线和路线的平均速度分别是多少？设走路线的平均速度为千米/小时．根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列方式方程是解题的关键；根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线b的平均速度为千米/小时，利用时间=路程速度，结合走路线b比路线a时间节省20分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设走路线a的平均速度为x千米/小时，则走路线b的平均速度为千米/小时， 由题意得，， 故选：． 22．一列火车从甲站开出，到相距450千米的乙站，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，然后把速度提高到原来的1.2倍，结果准时到达目的地．求这列火车原来的速度． 【答案】这列火车原来的速度为75千米／时 【分析】此题主要考查了列分式方程解应用题，关键是弄清题意，找出等量关系，列出方程． 设这列火车原来的速度为每小时x千米，那么提速后的速度为每小时千米，根据等量关系：3小时后，按原速度行驶所用时间－提速后时间，列出方程，求解即可． 【详解】解：设这列火车原来的速度为x千米／时， 根据题意，得． 解得． 经检验知是原方程的解． 所以，这列火车原来的速度为75千米／时． 23．班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90千米，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达基地，请问大巴车原计划的行驶速度是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划的行驶速度为，则提速后的速度为，根据比原计划提前到达基地列分式方程求解即可． 【详解】解：设原计划的行驶速度为，则提速后的速度为， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：大巴车原计划的行驶速度是． 24．情境: 问题：该次列车提速后的速度是多少? 【答案】300千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该次列车提速后的速度是千米/小时，则原来的速度是千米/小时，根据题意列出分式方程，解方程即可作答． 【详解】设该次列车提速后的速度是千米/小时，则原来的速度是千米/小时． 根据题意，得． 解这个方程，得， 经检验，是所列方程的解． 答：该次列车提速后的速度是300千米/小时． 题型七、销售问题 25．初二1班同学们计划购进A，B两种水果送给社区养老院，其中A种水果的售价比B种水果的售价低4元，用240元购进种水果的数量是用160元购进种水果数量的2倍，求A种水果的售价？若设A种水果的售价为x元，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答时根据条件建立方程是关键． 根据用240元购进A种水果的数量是用160元购进B种水果数量的2倍，列方程即可． 【详解】解：设A种水果的进价为x元，则B种水果的进价为元， 由题意得，． 故选：D． 26．2025年3月14日是第六个“国际数学日”，鹿鸣“博・约”数学兴趣小组在今年“国际数学日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花450元购买的自动铅笔比花600元购买的钢笔多15支．求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少元? 【答案】钢笔的单价为8元，自动铅笔的单价为5元 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键．设自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元，根据“花450元购买的自动铅笔比花600元购买的钢笔多15支”列方程求解即可． 【详解】解：设自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合实际， ∴（元）， 答：钢笔的单价为8元，自动铅笔的单价为5元． 27．夏天的夜市里，龙虾可是人气“顶流”！某店购进青虾和红虾两种龙虾，店主不记得进价，但是记得青虾和红虾分别花了7200元和3200元，店员李阿姨和王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得青虾的进价比红虾的进价每斤高； 王师傅：青虾比红虾多进了200斤； 请你求出青虾和红虾的进价分别是每斤多少元． 【答案】红虾的进价每斤8元，青虾的进价为每斤12元． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设红虾的进价每斤为元，则青虾的进价为 元，根据青虾比红虾多进了200斤，再建立方程求解即可． 【详解】解：设红虾的进价每斤为元，则青虾的进价为 元，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 所以青虾的进价为每斤12元． 答：红虾的进价每斤8元，青虾的进价为每斤12元． 28．扬州大运河博物馆发售了4款冰箱贴，某旅行社购买“个园”和“大明寺”两款冰箱贴，若“个园”冰箱贴的单价比“大明寺”冰箱贴的单价多10元，且用500元购买“大明寺”冰箱贴的数量与用700元购买“个园”冰箱贴的数量相等，求“大明寺”和“个园”两种冰箱贴的单价分别是多少元？ 【答案】大明寺单价为25元，个园单价为35元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设“大明寺”冰箱贴单价为元，根据“个园”冰箱贴的单价比“大明寺”冰箱贴的单价多10元，且用500元购买“大明寺”冰箱贴的数量与用700元购买“个园”冰箱贴的数量相等，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设“大明寺”冰箱贴单价为元，“个园”冰箱贴单价为元 根据题意可列方程：， 解得：， 经检验是原方程的解； （元）； 答：大明寺”单价为25元，“个园”单价为35元． 题型八、方案问题 29．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，哪吒卡片风靡小学校园，小洋打算购进一些卡片在小学门口摆摊．小洋调查发现：每盒款哪吒卡片的进货单价比款哪吒卡片少5元，花500元购进款哪吒卡片的数量与花750元购进款哪吒卡片的数量相同． (1)，两款的进货单价分别是每盒多少元？ (2)小洋计划一共购买100盒哪吒卡片，款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元，请通过计算说明共有几种购买方案？ 【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； (2)共有3种购买方案． 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款盒，则购进A款盒，根据题意求得求解即可． 【详解】（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； （2）解：设购进B款盒，则购进A款盒， ∵款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数， ， 解得：， 根据题意得：， 解得：， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 共有3种购买方案，即购进A款50盒，则购进B款50盒；购进A款49盒，则购进B款51盒；购进A款48盒，则购进B款52盒． 30．某商店决定购进两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同． (1)求购进两种纪念品每件各需多少元？ (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，且A种纪念品的件数不少于B种纪念品件数的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 【答案】(1)种纪念品的进价为元，种纪念品的进价为元 (2)当购进A纪念品件，B纪念品件时，总费用最少为625元 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式组的应用， （1）设每件纪念品的进价为x元，则每件B纪念品的进价为元．再根据“用800元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购进A纪念品m件，购进A、B两种纪念品的总费用为W元．则购进B纪念品件，然后再列出W与m的关系式，再根据“A种纪念品的件数不少于B种纪念品的件数的”列不等式求解即可； 【详解】（1）解：设每件A纪念品的进价为x元，则每件B纪念品的进价为元． 根据题意，得．解得， 经检验是原方程的解 ∴答：每件A纪念品的进价为10元，每件B纪念品的进价为5元． （2）解：设购进A纪念品m件，购进A、B两种纪念品的总费用为W元．则购进B纪念品件，根据题意，得． ∵A种纪念品的件数不少于B种纪念品的件数的， ∴ ∴． ∴W随m的增大而增大． ∴当时，W最小． 此时． （元） 答：当购进A纪念品25件，B纪念品75件时，总费用最少为625元． 31．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． (1)求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ (2)若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过320元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【答案】(1)每个甲种商品进价为8元，则每个乙种商品进价为10元 (2)共5种方案，即方案1：甲种商品购进 58 个，乙种商品购进21个；方案2：甲种商品购进 61 个，乙种商品购进22个；方案3：甲种商品购进64  个，乙种商品购进23个；方案4：甲种商品购进67  个，乙种商品购进24个；方案5：甲种商品购进  70个，乙种商品购进25个 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式组的应用； （1）设每个乙种商品进价为元，则每个甲种商品进价为元，根据题意列出分式方程，解方程并检验即可求解； （2）设购买乙种商品个，则购买甲种商品个，根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设每个乙种商品进价为元，则每个甲种商品进价为元． 根据题意得，解得：； 经检验得是原方程的解且符合题意，（元）    答：每个甲种商品进价为8元，则每个乙种商品进价为10元． （2）解：设购买乙种商品个，则购买甲种商品个． 根据题意得，解得 ， 解得， 为整数， 共5种方案 即方案1：甲种商品购进 58 个，乙种商品购进21个； 方案2：甲种商品购进 61 个，乙种商品购进22个； 方案3：甲种商品购进64  个，乙种商品购进23个； 方案4：甲种商品购进67  个，乙种商品购进24个； 方案5：甲种商品购进  70个，乙种商品购进25个． 32．为落实《健康中国行动（2019—2030） 》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 如何确定排球和足球购买方案? 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400 元购买的排球数量与500 元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共50个，且购买足球的数量不少干排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供折优惠，足球提供8折优惠． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格． 任务2 确定购买方案 运用数学知识， 确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少? 【答案】任务1：80元；100元；任务2：购买25个排球，25个足球，费用最小，最小为3500元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，熟练掌握解分式方程，不等式是解题的关键． （1）设排球的单价为x元，则足球的单价是元，根据用400 元购买的排球数量与500 元购买的足球数量相等，列方程解答即可． （2）设排球购买m个，则足球购买了个，根据，设总费用为w元，根据题意，根据一次函数的性质，解答即可． 【详解】任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是元， 根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 答：每个排球80元，每个足球100元． 任务2：设排球购买m个，则足球购买了个，根据题意，得， 解得， 设总费用为w元，根据题意， 故y随x的增大而减小， ∴时，w最小，最小为3500元， 故方案为购买25个排球，25个足球，费用最小，最小为3500元． 题型九、和差倍分问题 33．甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工，甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成，求甲、乙两人每小时加工零件各多少个？ 【答案】甲每小时加工48个零件，乙每小时加工40个零件 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意可以得到相等关系：乙用的时间-甲用的时间，据此列出方程，解方程，求出方程的解并检验即可得到答案． 【详解】解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工个零件，根据题意得 ， 解得，， 经检验，是原方程的根， ∴， 答：甲每小时加工48个零件，乙每小时加工40个零件． 34．甲、乙两所学校在某次捐款活动中各捐款4500元．已知甲学校比乙学校人数多，乙学校比甲学校人均多捐1元．求甲、乙两学校各有多少人？ 【答案】甲校有900人，乙校有750人 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙校由x人，则甲校由人，根据“乙学校比甲学校人均多捐1元”列分式方程求解即可． 【详解】解：设乙校有x人，则甲校有人， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：甲校有900人，乙校有750人． 35．学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球，相关信息如下表： 甲种足球 购买费用：2000元 单价：x元/个 数量：______个 乙种足球 购买费用：1400元 单价：每个比甲贵20元 数量：______个 (1)用含x的代数式分别表示购买甲、乙两种足球的数量； (2)若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价． 【答案】(1) (2)甲种足球在此商场的销售单价为50元个，乙种足球在此商场的销售单价为70元个 【分析】本题考查了分式方程的应用、列代数式，理解题意是解答的关键． （1）利用数量总价单价，即可用含的代数式表示出购买甲、乙两种足球的数量； （2）根据本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲种足球在此商场的销售单价，再将其代入中，即可求出乙种足球在此商场的销售单价． 【详解】（1）解：根据题意得：乙种足球单价为元， 故购买甲种足球的数量为个， 购买乙种足球的数量为个， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：甲种足球在此商场的销售单价为50元个，乙种足球在此商场的销售单价为70元个． 36．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． (1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； (2)该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 【答案】(1)甲：160元/个，乙：200元/个 (2)甲至少需要购买10个 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是： （1）设甲元/个，乙元/个，根据“用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同”列方程求解即可； （2）设需购买甲个，乙个，根据“计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲元/个，乙元/个， ， ， 经检验是原方程的解， ， ， 答：甲：160元/个，乙：200元/个． （2）解：设需购买甲个，乙个， ， ， 答：甲至少需要购买10个． 题型十、其他问题 37．“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了型和型两种玩具，已知用元购进型玩具的数量比用元购进型玩具的数量多个，且型玩具单价是型玩具单价的倍． (1)求两种型号玩具的单价各是多少元？ (2)该经营者准备用元以原单价再次购进这两种型号的玩具共个，则最多可购进型玩具多少个？ 【答案】(1)型玩具单价：元   型玩具单价：元 (2)个 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程以及一元一次不等式是解答本题的关键． （1）设型玩具的单价为元，则型玩具的单价为元，根据“用元购进型玩具的数量比用元购进型玩具的数量多个”列出分式方程，解答即可； （2）设可购进型玩具个，则型玩具个，根据“该经营者准备用元以原单价再次购进这两种型号的玩具”列出一元一次不等式，解之即可． 【详解】（1）解：设型玩具的单价为元，则型玩具的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验为原分式方程的解， ， 答：型玩具的单价为元，型玩具的单价为元； （2）解：设可购进型玩具个，则型玩具个， 根据题意得：， 解得：， 整数的最大值是， 答：最多可购进型玩具个． 38．某文教店老板到批发市场选购两种品牌的绘图工具套装，每套品牌套装进价比品牌每套套装进价多元，已知用元购进种套装的数量和用元购进种套装的数量相同． (1)求两种品牌套装每套进价分别为多少元？ (2)若品牌套装每套售价为元，品牌套装每套售价为元，店老板决定，购进品牌的数量比购进品牌的数量的倍还多套，两种工具套装全部售出后，要使总的获利超过元，则最少购进品牌工具套装多少套？ 【答案】(1)品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元 (2)套 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键。 （1）设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元，列方程求解即可； （2）设购进品牌套装套，则购进品牌套装套，根据题意列不等式求解即可。 【详解】（1）解：设品牌套装每套进价为元，则B品牌套装进价为元 由题意得 解得 经检验，是分式方程的解 答：品牌套装每套进价为元，则品牌套装进价为元 （2）解：设购进品牌套装套，则购进品牌套装套， 由题意得： 解得 为正整数， 答：最少购进品牌工具套装套． 39．创建文明城市，共建美好家园，某县为了美化环境，计划种植树木2400棵，由于志愿者的加入，实际每天种植树木的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务，求原计划每天种植多少棵树？ 【答案】100棵 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原计划每天植树x棵，则实际每天植树棵，根据工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务列出方程即可求解． 【详解】解：设原计划每天种植x棵树，则 ， 解得， 经检验得是原方程的根，且符合题意， 答：原计划每天种植100棵树． 40．伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车补充电量主要有两种方式，一种是用充电桩充电，一种是换电站换电池．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多1.5分钟，且花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 【答案】该车每次换电池服务的时间和完成加油服务的时间分别是4.5分钟和3分钟 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系并列出分式方程是解题的关键． 设每次完成换电池服务的时间为x分钟，根据“每次换电池的时间比加油的时间多1.5分钟”表示次完成加油服务的时间为分钟，根据“花6小时完成换电池服务的次数与花4小时完成加油服务的次数相等”建立方程，求解即可． 【详解】解：设每次完成换电池服务的时间为x分钟，则每次完成加油服务的时间为分钟， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴（分钟）． 答：该车每次换电池服务的时间和完成加油服务的时间分别是4.5分钟和3分钟． 1．若分式方程有增根，则它的增根是（　　） A．0 B．1 C． D．1和 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的增根，解题的关键是理解并掌握增根的实际意义．找出分式方程的最简公分母并确定出x的值，即为增根． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 去分母得：， 整理得， 由分式方程有增根，得到，即或， 把代入得：，解得， 则它的增根可以是1． 把代入得：，无解， 则它的增根不可以是． 故选：B． 2．关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了含参数的分式方程的求解，将分式方程转化为一元一次方程是解题关键．只需在方程两边乘，化为整式方程，求出，再根据解是正数得到且，即可求解． 【详解】解：方程两边乘，得， 解得：， 方程的解是正数， 且， 解得：且， 故选：D． 3．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况． 先根据不等式组有解，得m的取值，利用分式方程有非负整数解，找出符合条件的m值，并相加得出结果． 【详解】解：由，解得：， ， 不等式组有解， ， ， ， 解得：， 关于的分式方程有非负整数解， 且， 且， 且， 所有的值为，的和为， 故选：D． 4．若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（    ） A．6 B．9 C．13 D．16 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．分别表示出分式方程的解以及不等式组的解集，根据题意确定出符合条件整数a的和即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验，分母不为0，即，即 由分式方程的解为非负整数，得到或2或6或8或…， 解得：或5或1或或…， 解不等式组整理得：，即， 由不等式组至少有2个整数解，得到， 综上，，5，7，其和为13． 故选：C． 5．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程和一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤． 先解含有的分式方程，再根据已知条件列出关于的不等式，解不等式，从而求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于的分式方程的解是非负数， ， ∴， ， ， 解得：， 的取值范围是：且， 故选：C． 6．若关于的一元一次不等式组有且最多有3个偶数解，关于的分式方程有整数解，则所有符合条件的整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，分式方程的解，一元一次不等式的整数解，掌握相应的运算法则是关键． 首先分别解一元一次不等式组及分式方程，再根据一元一次不等式组有且最多有个偶数解及分式方程有整数解即可解答． 【详解】解： 由可得：； 由可得：； 即； ∵不等式组有且最多有个偶数解， ， ， 解得：， 故整数解为：，， 关于的分式方程有整数解， 将整理为： 解得：； ， 故 为的倍数， 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，不满足题意； 故所有符合条件的整数的和是； 故答案为： 7．已知关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最简公分母不能为0． 先解关于x的方程可得，再根据方程的解x为非负数可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 去分母得： 解得 ∵分母 ，即 ，代入解得：， ∴， 又∵关于x的方程解为非负数，即， ∴， ∴. 综上， 的取值范围是 且 。 8．学校在某商场购买甲、乙两种不同类型的足球若干个，甲种足球购买总费用2000元，乙种足球购买总费用1400元，乙种足球的单价比甲种足球贵20元/个． (1)若本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，求甲、乙两种足球在此商场的销售单价； (2)为满足学生需求，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的销售单价进行调整，甲种足球的销售单价比上次购买时提高了，乙种足球的销售单价比上次购买时降低了．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2950元，求这所学校最多可以购买乙种足球的数量． 【答案】(1)50元，70元 (2)25个 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）根据本次购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲种足球在此商场的销售单价，再将其代入中，即可求出乙种足球在此商场的销售单价； （2）设这所学校可以购买m个乙种足球，则购买个甲种足球，利用总价单价数量，结合总价不超过2950元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲、乙两种足球在此商场的销售单价分别为x元，元， 根据题意得， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意 ∴． 答：甲种足球在此商场的销售单价为50元/个，乙种足球在此商场的销售单价为70元/个； （2）解：设这所学校可以购买m个乙种足球，则购买个甲种足球， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最大值为25． 答：这所学校最多可以购买25个乙种足球． 9．为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树6000棵，开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前4天完成任务，问原计划每天种植梨树多少棵？ 【答案】原计划每天种植250棵梨树 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天种植梨树棵，则实际每天种植梨树棵，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前2天完成任务，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设原计划每天种植棵梨树， 根据题意，得， 解得， 经检验，为原方程的解，且符合题意． 答：原计划每天种植250棵梨树． 10．某校为落实立德树人的根本任务，积极探索“五育并举，融合育人”的育人途径，计划组织八年级师生租用客车到成都大熊猫基地开展跨学科主题研学活动．已知每辆60座客车的租费是45座客车租费的倍，花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆． (1)问每辆45座客车租费和每辆60座客车租费分别是多少元？ (2)该校八年级师生共有400人，若只租用同一种客车，应该租用哪种客车合算？ 【答案】(1)每辆45座客车租费是400元，每辆60座客车租费是500元； (2)租用60座客车合算 【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设每辆45座客车租费是x元，则每辆60座客车租费是元，根据花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆．列出分式方程，解方程即可； （2）求出租用45座客车9辆的租费和租用60座客车7辆的租费，再比较即可． 【详解】（1）解：设每辆45座客车租费是x元，则每辆60座客车租费是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每辆45座客车租费是400元，每辆60座客车租费是500元； （2）∵，， ∴租用45座客车9辆，租费为（元）， 租用60座客车7辆，租费为（元）， ∵， ∴租用60座客车合算． 1．两个小组同时开始攀登一座高的山，第一组的攀登速度是第二组的倍，他们比第二组早到达顶峰． (1)求第二组的攀登速度； (2)第二组下山时为了缩短时间，准备加快速度，现有两种方案： ①前一半路程速度为，后一半路程速度为； ②返回速度始终保持为． 其中，且p，q均为正数，两种方案哪种平均速度更快? 【答案】(1)第二组的攀登速度为 (2)方案②的平均速度更快，理由见解析 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式的混合运算，分式的值的大小比较； （1）设第二组的攀登速度为，则第一组的攀登速度为，根据他们比第二组早到达顶峰，再建立方程求解即可； （2）先求解方案①的平均速度为，由，进一步分析即可得到答案. 【详解】（1）解：设第二组的攀登速度为，则第一组的攀登速度为， 由题意，得， 整理，得 解得 检验：当时，，且符合题意. 所以，原分式方程的解为 答：第二组的攀登速度为 （2）解：方案①的平均速度为， ∴， ，且p，q均为正数， ， 方案②的平均速度更快 2．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用： 元 (1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 元． (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 【答案】(1)元 (2)①新能源车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元；②每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 【详解】（1）解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：（元）． 故答案为：； （2）解：①根据题意可得： ． 解得：． 经检验：是原方程的解． ，． 答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元． ②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 根据题意得：， 解得：． 答：每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低． 3．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在黑龙江省哈尔滨市开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”均以东北虎为原型创作而成，两款毛绒玩具销售火爆．阅读下列素材解决问题． “滨滨”和“妮妮” 素材1 “滨宾”的单价比“妮妮”的单价少40元； 素材2 购买“滨滨”和“妮妮”的费用分别为8000元和5600元； 素材3 “滨滨”的数量是“妮妮”的数量的2倍． 问题解决 求吉祥物“滨滨”的单价． 【答案】“滨滨”的单价为100元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设“滨滨”的单价为元，则“妮妮”的单价为 元，根据购买“滨滨”和购买“妮妮”的费用分别为8000元和5600元，且“滨滨”的数量是“妮妮”的数量的2倍，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：“滨滨”的单价为元，则“妮妮”的单价为 元，由题意得： ， 解得：， 经检验，为原分式方程的解，且符合题意， 答：“滨滨”的单价为100元． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$