素养拓展06 圆锥曲线中的中点弦问题（3知识点+7大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

素养拓展06 圆锥曲线中的中点弦问题 知识点01：椭圆与双曲线的中点弦与点差法 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系， 具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 焦点在y轴：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 3、双曲线的用点差法同理，可得 知识点02：抛物线的中点弦与点差法 设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为 代入抛物线方程，，， 将两式相减，可得， 整理可得： 知识点03：点差法在圆锥曲线中的结论 1、椭圆： 2、双曲线： 3、抛物线： 【题型01：求中点弦所在直线方程(斜率)】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏·期中）已知椭圆，直线与椭圆在第二象限交于两点，与两坐标轴分别交于两点，且，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·月考）已知双曲线，若双曲线的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为 ． 6．（23-24高二上·云南·月考）已知双曲线，，是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则直线的斜率为 ． 【题型02：求弦中点的坐标】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南南阳·期中）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高二上·山东泰安·月考）直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是 . 4．定长为的线段的端点、在抛物线上移动，则的中点到轴的距离的最小值为 ，此时中点的坐标为 . 5．已知为抛物线的焦点，过点的直线交该抛物线于，两点，若点在第一象限，且，则线段的中点坐标为 . 【题型03：弦中点的轨迹问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是 ． 3．已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为 ． 三、解答题 4．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； 5．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 【题型04：利用中点弦求曲线方程】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东梅州·月考）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 【题型05：利用中点弦求离心率】 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 3．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·黑龙江·月考）已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的右焦点为F，过点F作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，弦的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率为 ． 6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是离心率为2的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 【题型06：求直线与曲线相交中点弦长】 一、单选题 1．（24-25高二下·山西·期中）已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，若弦的中点的横坐标为4，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 2．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 二、多选题 5．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 【题型07：其他有关中点弦问题】 一、单选题 1．（24-25高二下·山西·开学考试）已知椭圆的焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（23-24高二上·重庆·期末）已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）已知斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为.则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知直线与椭圆相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是，，线段AB的中点为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北沧州·月考）已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，若直线垂直平分线段，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江西宜春·三模）已知抛物线C：的焦点为F，动直线l与抛物线C交于异于原点O的A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点（），则当取最大值时，（    ） A．2 B． C．3 D． 一、单选题 1．（23-24高二上·广东茂名·期末）过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线段的中点横坐标为2，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高二上·湖北襄阳·月考）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（    ） A． B． C．6 D． 5．（23-24高二上·福建莆田·月考）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（    ） A． B． C． D． 6．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为，则双曲线的方程为(    ). A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·安徽·月考）已知抛物线，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，线段中点的坐标为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知抛物线E：的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·重庆·期末）直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·江西鹰潭·一模）已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为（1，-1），则弦长|AB|=（　　） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 二、填空题 16．（23-24高二上·安徽合肥·月考）已知抛物线的弦斜率为1，则弦中点的轨迹方程 . 17．（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 . 19．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知过点的直线与双曲线：交于A、B两点，若点P是线段的中点，则双曲线C的离心率取值范围是 . 20．（2024·广东·模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 21．（23-24高二上·山东济南·期末）已知抛物线的焦点为F，过点F作与x轴不垂直的直线l交C于点A，B，过点A作垂直于x轴的直线交C于点D，若点M是的外心，则的值为 ． 22．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为､，若的斜率之和为，则 . 三、解答题 23．（24-25高二上·北京·期中）已知椭圆及直线． (1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)当时，求直线与椭圆相交所得的弦长； (3)求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程． 24．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养拓展06 圆锥曲线中的中点弦问题 知识点01：椭圆与双曲线的中点弦与点差法 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系， 具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴。 焦点在y轴：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。 3、双曲线的用点差法同理，可得 知识点02：抛物线的中点弦与点差法 设直线与曲线的两个交点、，中点坐标为 代入抛物线方程，，， 将两式相减，可得， 整理可得： 知识点03：点差法在圆锥曲线中的结论 1、椭圆： 2、双曲线： 3、抛物线： 【题型01：求中点弦所在直线方程(斜率)】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程. 【详解】椭圆，由，得点在椭圆内，设， 则，两式相减得， 而，因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故选：A 2．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定P点的轨迹求出其方程，利用点差法求出直线AB的斜率，即可求得答案. 【详解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1， 则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为， 设，则， 则，则, 由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，， 故， 故直线的方程为，即， 故选：D 3．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出. 【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为. 故选：D. 4．（24-25高二上·江苏·期中）已知椭圆，直线与椭圆在第二象限交于两点，与两坐标轴分别交于两点，且，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点差法及中点重合即可求出直线斜率. 【详解】由直线与椭圆在第二象限交于两点知， 直线的斜率存在且，设直线方程为， 则, 设，其中点为，如图， 则有，两式相减可得， 即， 因为，所以也是的中点， 所以， 解得. 故选：A 二、填空题 5．（24-25高二上·上海·月考）已知双曲线，若双曲线的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可. 【详解】设该弦为， 设， 则有，两式相减，得， 因为双曲线C的一条弦的中点为， 所以， 因此由， 即这条弦所在直线的斜率为，方程为， 代入双曲线方程中，得， 因为， 所以该弦存在， 故答案为：. 6．（23-24高二上·云南·月考）已知双曲线，，是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】设，，坐标，根据直线的斜率为，求得，将，代入双曲线方程得出，，利用点差法求直线斜率. 【详解】设，，，因为，是上的两点， 是的中点，为坐标原点，且直线的斜率为， 所以①，②，③，，， 所以②-③得，即， 整理得，即， 所以. 故答案为： 【题型02：求弦中点的坐标】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，弦的中点坐标为，利用点差法列方程组，结合条件推得，逐一检验选项，并考虑点在椭圆内即得. 【详解】设，则， 两式相减得：（*）， 设弦的中点坐标为，则， 因直线的斜率为1，即， 分别代入上式（*），整理得：. 将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求. 故选：A. 2．（24-25高二上·河南南阳·期中）椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，由点差法代入计算，即可得到，再将中点坐标代入直线计算，即可得到结果. 【详解】设，则其中点坐标为， 则，两式相减可得， 即， 因为A，B关于直线对称，则， 又，所以， 即，所以， 且点在直线上，则， 解得，所以. 故选：A 二、填空题 3．（23-24高二上·山东泰安·月考）直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是 . 【答案】 【分析】联立方程组，结合韦达定理，求得，进而求得弦的中点坐标. 【详解】设直线与双曲线的交点为， 联立方程组，整理得，则，且， 设弦的中点为，则，代入直线方程可得， 所以截得弦的中点坐标为. 故答案为：. 4．定长为的线段的端点、在抛物线上移动，则的中点到轴的距离的最小值为 ，此时中点的坐标为 . 【答案】 / 【分析】先设出，的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出中点到轴距离，根据抛物线的定义，以及利用两边之和大于第三边且，，三点共线时取等号判断出，进而求得其最小值，设中点坐标为，即可得到，再由点差法求出，即可得解． 【详解】解：设，，抛物线的焦点为，准线为， 所求的距离为， ，当仅当，，三点共线时取等号， 即的中点到轴的距离的最小值为； 设中点坐标为，则， 又，，所以即， 所以，解得，即的中点为. 故答案为：；． 5．已知为抛物线的焦点，过点的直线交该抛物线于，两点，若点在第一象限，且，则线段的中点坐标为 . 【答案】 【分析】根据抛物线方程及几何关系画出图形，由抛物线定义及几何关系可求得直线的方程，联立抛物线方程，结合韦达定理可求得线段中点的横坐标，再代入直线的方程即可求得纵坐标，进而得线段的中点坐标. 【详解】根据题意和抛物线几何关系，画出几何关系如下图所示： 如图所示，过分别作准线的垂线，垂足分别为，过作的垂线，垂足为. 设，则，. 由抛物线的定义知， 故在中，有，所以，即直线的倾斜角为. 所以可设直线的方程为， 代入，有， 设，中点为. 则， 所以， 所以. 故中点坐标为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了抛物线性质及定义的应用，三角形几何关系的应用，直线与抛物线交点弦的中点坐标求法，属于中档题. 【题型03：弦中点的轨迹问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）已知斜率为2的直线与曲线交于两点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法，即可求得，设直线的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理求解取值范围. 【详解】设,则， 两式相减得：， 即， 因为直线的斜率为2，所以，所以， 因为，所以. 设直线的方程为，由, 可得：，，解得：. 在直线上，则，，所以. 所以. 故选：C 二、填空题 2．斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是 ． 【答案】(或). 【分析】设直线为联立双曲线，根据交点情况有求m范围，再应用韦达定理求出弦的中点坐标，进而确定其轨迹方程，注意范围. 【详解】设直线为，与双曲线交点为， 联立双曲线可得：，则，即或， 所以，故，则弦中点为， 所以弦的中点的轨迹方程为(或). 故答案为：(或) 3．已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为 ． 【答案】/ 【分析】设斜率为直线方程为，联立方程组，写出韦达定理，然后求出线段的中点为的参数方程，消参后得到的轨迹方程，然后利用数形结合方法分析即可. 【详解】设斜率为直线方程为：， 代入椭圆中，消元整理得： ， 线段的中点为，设， 则， 所以， ， 所以，消去得：， 所以线段的中点为的轨迹方程为：， 如图所示： 的轨迹即为线段， 由或， 所以， 所以的轨迹长度为： ， 故答案为：. 三、解答题 4．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程； （2）设直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示中点坐标，消参后，即可求轨迹方程. 【详解】（1）由题可得：，解得：， 所以椭圆的标准方程为：； （2）因为直线的斜率为1，所以可设直线的方程为，， 联立 ，化简得， 则， 解得：， 所以，设弦中点， 则， 消去，得，而， 所以点的轨迹方程为. 5．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10． (1)求p的值； (2)过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解； （2）设，，，利用点差法化简计算即可得出结果. 【详解】（1）由抛物线的定义得， 故． （2）由（1）得，，则抛物线C的方程为，焦点， 设，，， ∴，， 当M，F不重合时，相减整理得，， ∴，即， 当M，F重合时，满足上式． ∴点M的轨迹方程为． 【题型04：利用中点弦求曲线方程】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】弦中点问题，用点差法求出直线斜率与之间的关系，然后再由即可求出. 【详解】设，则，直线的斜率， 把两点代入椭圆方程得：，， 两式作差得： ，即， 又因为，即，解得：， 所以椭圆的标准方程为. 故选：A 2．（24-25高二上·广东梅州·月考）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用焦点坐标设出标准方程，再由点差法以及直线方程和横坐标联立方程组可得. 【详解】根据焦点坐标可设标准方程为，且； 设，可得， 两式相减可得； 由直线与双曲线交于两点，且中点的横坐标为， 可得斜率，且中点坐标为； 所以，即； 解得，所以双曲线的方程是. 故选：D 3．（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“点差法”以及中点弦即可求解． 【详解】如图所示：    因为椭圆E的右焦点为，所以， 不妨设，由题意等价于是的中点， 所以， 又点在椭圆E上面， 所以， 进一步有，即， 所以直线的斜率可以表示为， 又、在直线上， 所以直线的斜率为， 从而， 所以解得，即E的方程为. 故选：D. 二、填空题 4．已知抛物线的焦点为，第一象限的、两点在抛物线上，且满足，.若线段中点的纵坐标为4，则抛物线的方程为 . 【答案】 【分析】先根据焦半径公式得到的关系，然后根据弦长公式求解出，结合两点间斜率公式以及点在抛物线上求解出的值，则抛物线方程可求. 【详解】设， 因为， 所以，所以， 又因为，所以， 因为都在第一象限，所以， 又因为且， 所以，所以，所以抛物线方程为， 故答案为：. 【题型05：利用中点弦求离心率】 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点差法结合直线斜率可求出，即可得到椭圆的离心率. 【详解】 由题意得，. 设，则， ∵点在椭圆上，∴， 两式相减得，，即， ∴，∴， ∴C的离心率. 故选：B. 2．（24-25高二上·重庆·期中）已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】求出直线方程，代入双曲线方程后应用韦达定理得，利用中点坐标得出的关系式，整理后求得离心率． 【详解】由已知直线的方程为，即， 设， 由得， 则即， 则，， 线段的中点是，则，， 整理得，即， 故选：A. 3．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，的中点为，点差法得到齐次式，可求椭圆的离心率． 【详解】椭圆，左焦点，下顶点， 设，， 的中点为，，． ，． 由，， 两式相减得， 可化为， 得，即，两边平方得， 化为：，解得， 又，解得． 故选：A． 4．（24-25高二下·黑龙江·月考）已知直线与曲线交于A，B两点，若同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“点差法”探索的关系，再根据双曲线离心率的概念求双曲线的离心率. 【详解】设，， 则，① ，② 因为：同时经过原点和线段AB中点的直线斜率为， 由得：中点坐标为，所以， 且. ①②可得， 则， 故选：D 二、填空题 5．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆的右焦点为F，过点F作倾斜角为的直线交椭圆C于A、B两点，弦的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】 【分析】设直线的方程, 代入椭圆方程，由韦达定理, 弦长公式及中点坐标公式，求得中点坐标 坐标，求得垂直平分线方程，当时，即可求得点坐标，代入即可求得，即可求得，即可求得和的关系，即可求得椭圆的离心率. 【详解】因为倾斜角为的直线过点，即直线的斜率为1， 可知直线必与椭圆C相交， 设直线的方程为: ，，线段的中点， 联立方程 ，化为， 则， 可得， 且，，即， 可得的垂直平分线为:， 令 ，解得 ，即， 可知， 由题意可得：，则 ， 所以椭圆的离心率为. 故答案为: . 【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值． 6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是离心率为2的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 【答案】15 【分析】由点差法得到，同理得到，从而得到. 【详解】因为双曲线的离心率为2，所以， 不妨设， 因为点在上，所以，两式相减， 得， 因为点是的中点，所以， 所以，即， 所以，同理， 因为，所以． 故答案为：15 【题型06：求直线与曲线相交中点弦长】 一、单选题 1．（24-25高二下·山西·期中）已知为抛物线的焦点，过的直线交于，两点，若弦的中点的横坐标为4，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由抛物线焦点弦公式结合中点坐标公式即可求解. 【详解】设， 则，所以， 由抛物线的焦点弦公式可得. 故选：C. 2．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可. 【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线： 设，则，所以，解得， 则，. 弦长|MN|. 故选：D. 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】先通过抛物线的定义得到，由，利用点差法得到，通过线段AB的中点，得到AB的斜率，又因为，从而得到及. 【详解】抛物线的焦点为，直线过焦点， 设，，因为在抛物线内部，且直线不包含斜率为0的情况，则直线与抛物线必有两交点， 因为线段AB的中点为，所以 ，作差后可以得到，即 可以得到，则 由抛物线定义，得 故选：C 4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设，，利用点差法即可求出直线的斜率，即可求得直线AB的方程，然后与椭圆方程联立方程组，求得有，，结合两点间距离公式即可得解. 【详解】设，， 因为为AB的中点， 所以，， 又A，B两点在椭圆上， 则，， 两式相减，得， 所以， 所以， 所以， 即有直线AB的方程为， 即为，代入椭圆方程，可得， 可得或4， 即有，， 则 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高二上·河南开封·期末）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（   ） A． B．或 C．弦长的最大值为 D．点一定在直线上 【答案】AD 【分析】先联立椭圆与直线的方程，得一元二次方程，用判别式求的取值范围，进而判断选项A、B；得出韦达定理形式，求弦长的表达式，判断选项C；得到中点的坐标形式，判断选项D. 【详解】设两点的坐标为：， 联立椭圆与直线的方程， 得：， 由判别式，得，即，选项A正确，选项B不正确； 韦达定理：， 弦长， 当时，弦长取最大值，，选项C不正确； 由直线，线段中点的坐标为， 即，所以点的坐标满足直线方程，选项D正确. 故选：AD. 【题型07：其他有关中点弦问题】 一、单选题 1．（24-25高二下·山西·开学考试）已知椭圆的焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用点差法，结合直线的斜率求得，再根据焦距列式求解即可. 【详解】设，则且， 故，故，即， 故，又，所以，所以，所以，即， 因此椭圆的短轴长为. 故选：B 2．（23-24高二上·重庆·期末）已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用点差法求解. 【详解】解：因为双曲线与直线相交于A、B两点， 且弦的中点M的横坐标为1，则纵坐标为3， 设 ，则， 两式相减得 ，则 ， 解得 ，即 ， 所以双曲线C的渐近线方程为， 故选：A 3．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）已知斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，线段的中点为.则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出坐标，利用点差法，结合点的坐标，即可求得参数的取值范围. 【详解】设 ，又点在椭圆上， 则， 两式相减可得: ， 所以， 又， 则 ， 又点在椭圆内，则， 则 , 所以 . 故选：D. 4．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知直线与椭圆相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是，，线段AB的中点为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用点差法求得的值，进而求得的值，结合求解即可. 【详解】如图所示， 由直线可知，直线斜率， 设，，则①，②， 又因为为线段的中点，则，， 由①②可得，即， 又因为，所以解得， 所以椭圆方程为，经检验点C在椭圆内， 所以，解得，则， 所以. 故选：C. 5．（24-25高二上·河北沧州·月考）已知直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，若直线垂直平分线段，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交点的坐标，代入椭圆方程得到方程组，两式作差后整理化简得到，由直线斜率再次化简得，在利用中点坐标公式得到，结合点在直线上得到发现，解出，再代入方程，求得的值. 【详解】设，直线与直线交于点，则， 两式相减得，， 即，∴ 由∵为中点，即， ∴，又， ∴， ∴. 故选：D. 6．（2024·江西宜春·三模）已知抛物线C：的焦点为F，动直线l与抛物线C交于异于原点O的A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点（），则当取最大值时，（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题意，由抛物线的方程可得焦点坐标以及准线方程，然后分别过A、B、M向准线作垂线，取最大值即直线AB过焦点时，再结合点差法代入计算，即可得到结果. 【详解】 由题可知焦点，准线，设线段AB的中点为，即为OP中点， 则，．分别过A、B、M向准线作垂线，垂足分别为，，， 如图所示． 则，当直线AB过焦点时取等号，此时． 设、，直线AB的斜率为k， 由，两式相减，得，所以， 即，得，所以，又，所以． 故选：B． 一、单选题 1．（23-24高二上·广东茂名·期末）过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线段的中点横坐标为2，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由中点坐标公式结合定义法求解抛物线焦点弦即可. 【详解】由题意，所以. 故选：C. 2．（24-25高二上·湖北襄阳·月考）直线被抛物线截得的线段的中点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与抛物线方程，由韦达定理和中点坐标公式即可得解. 【详解】联立，则， 设直线与抛物线交点， 则，故， 所以线段的中点坐标是. 故选：B. 3．（24-25高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【详解】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B 4．已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】设出直线，与联立，根据韦达定理，可求出的值，再根据弦长公式求得弦的长． 【详解】解：双曲线，则，所以右焦点， 根据题意易得过的直线斜率存在，设为， 联立， 化简得， 所以， 因为中点横坐标为4，所以， 解得，所以， 则， 则． 故选D． 【点睛】本题考查直线和双曲线相交，产生的弦的长度问题，属于基础题． 5．（23-24高二上·福建莆田·月考）已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线与椭圆相交于，两点，且为的中点，则弦长（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分别求出，求解椭圆方程，然后分别设，，利用点差法求出直线，然后再与椭圆方程联立从而求解. 【详解】由题知，，所以， 所以，椭圆的方程为， 由题知直线的斜率不为，设，，则， 代入椭圆方程得，作差得， 即，得， 所以直线的斜率，故直线的方程为，即， 联立，化简得，解得或， 所以，，所以弦长，故C正确. 故选：C. 6．若双曲线的中心为原点，是双曲线的焦点，过的直线与双曲线相交于，两点，且的中点为，则双曲线的方程为(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是圆锥曲线中点弦问题，运用点差法求解双曲线方程. 【详解】根据题意，是双曲线的焦点，则双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为，且，， 由已知条件易得直线的斜率为，则有， 变形可得，因为，两点在双曲线上，所以， 两式相减得，又因为的中点为， 所以，，化简得， 又因为，所以，解得，， 则双曲线的方程为：. 故选：B. 7．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知A，B为双曲线上不同两点，下列点中可为线段的中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法结合选项得出方程，再与双曲线方程联立一一验证是否有两个不同交点即可. 【详解】设的中点， 所以， 易知， 由点差法可得 ， 若，此时， 与双曲线联立， 即与双曲线只有一个交点，故A错误； 若，则此时， 与双曲线联立 ， 即与双曲线有两个交点，故B正确； 若，则此时， 与双曲线联立， 即与双曲线有一个交点，故C错误； 若，则此时， 与双曲线联立，显然无解， 即与双曲线没有交点，故D错误； 故选：B 8．（23-24高二下·安徽·月考）已知抛物线，过C的焦点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB的中点为W，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设，代入抛物线方程两式相减可得，进而求得，由求得值. 【详解】设， 则两式相减，可得， 所以，即， 所以，所以， 代入直线，得， 所以，所以，解得. 故选：B 9．（24-25高二上·陕西西安·月考）已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，线段中点的坐标为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为的中点坐标为，设，代入椭圆方程相减，利用，，求出直线的斜率，得出等量关系，再由关系，即可求解. 【详解】设，，过点的直线交椭圆于，两点， 若的中点坐标为，所以直线的斜率， ，代入椭圆方程得， 两式相减得， 即， 也即， 所以， 又， 所以， 所求的椭圆方程为. 故选：D. 10．如图，已知抛物线E：的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求出的坐标，然后得的方程，令，得的坐标，利用直角梯形的面积求出，可得抛物线方程. 【详解】易知，直线AB的方程为，四边形OCMN为直角梯形，且. 设，，，则， 所以，所以，，∴. 所以MC直线方程为，∴令，∴，∴. 所以四边形OCMN的面积为，∴. 故抛物线E的方程为. 故选：B. 11．（23-24高二上·重庆·期末）直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若为线段中点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，结合点差法计算得，进而求出离心率. 【详解】直线的斜率，如图，    由，得，则直线的斜率， 设，则，两式相减得， 于是，而， 因此，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：C 12．（2024·江西鹰潭·一模）已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出点坐标，再利用点差法求得，进而可得椭圆离心率. 【详解】依题意，椭圆的左焦点为，， 过作轴，垂足为，由， 得，，则， 设，则有，， 由，两式相减得， 则有， 所以. 故选：B. 13．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为（1，-1），则弦长|AB|=（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设两点的坐标，，将两点坐标代入椭圆方程，两式相减，由中点坐标，焦点坐标得，又由，得椭圆的标准方程及直线的方程，联立，由弦长公式，得弦长 【详解】设，，将两点坐标代入椭圆方程，，两式相减，得，由中点坐标，焦点坐标得，即，又由，得，，所以椭圆的标准方程为，直线的方程为，联立方程组，消去，得，所以，，弦长，选择A 【点睛】解决直线与圆锥曲线相交弦中点问题可使用点差法，设两点坐标，分别带入圆锥曲线方程再相见，计算弦长可使用弦长公式 14．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出点坐标，利用点差法求得，可求椭圆离心率. 【详解】椭圆的左焦点为，， 过作轴，垂足为，由， 得，，有， 设，则有，， 由，两式相减得， 则有，所以. 故选：D 【点睛】方法点睛：由直线倾斜角为且，得，利用中点弦问题的点差法得，通过构造齐次方程法求离心率的值. 15．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，由二倍角公式得直线的斜率，代入两直线的斜率关系式，求得，进而得离心率. 【详解】由双曲线，可知. 设, 由均在上，为的中点， 得，则， 由分别在的左，右两支，则，且， ，. 设直线的倾斜角为，则，为锐角， 是以为底边的等腰三角形，则， 直线的倾斜角为，则. ， 由代入得，. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 【点睛】结论点睛：中点弦定理：若直线与椭圆（双曲线）交于不同两点，中点为（不为原点），且斜率存在，则有，其中为坐标原点，为曲线的离心率. 二、填空题 16．（23-24高二上·安徽合肥·月考）已知抛物线的弦斜率为1，则弦中点的轨迹方程 . 【答案】（） 【分析】联立直线于抛物线方程，根据中点坐标公式即可求解. 【详解】设直线的方程为， 联立， 由于，所以， 设,则故 因此， 设， 由于，则， 故的轨迹方程为，（） 故答案为：（） 17．（24-25高二上·江苏淮安·期中）过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为 【答案】/ 【分析】利用点差法，结合是线段的中点，直线的斜率为，即可求出双曲线的离心率. 【详解】设, ，则 ①, ②, ∵是线段的中点, ∴ 故过点作斜率为的直线的方程是， ∴ ①②两式相减可得: ∴. ∴. ∴ ∴ ∴ 故答案为:. 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆上存在关于直线对称的点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意利用点差法可得，进而可求的中点为，结合点在椭圆内，列式求解即可. 【详解】由题意可知：直线的斜率， 设椭圆上关于直线对称的两点分别为，的中点为， 可得，且，， 因为点在上，则，两式相减得， 整理可得，可得，即， 则， 联立方程，解得，即， 因为点在椭圆内，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 19．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知过点的直线与双曲线：交于A、B两点，若点P是线段的中点，则双曲线C的离心率取值范围是 . 【答案】 【分析】利用点差法得到，根据题意和渐近线方程得到，故，从而求出离心率的取值范围. 【详解】设， 则，两式相减得， 若，则的中点在轴上，不合要求， 若，则的中点在轴上，不合要求， 所以， 因为为的中点，所以， 故， 因为的渐近线方程为， 要想直线与双曲线：交于A、B两点，则， 即，解得， 所以离心率. 故答案为： 【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷. 20．（2024·广东·模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 【答案】/0.5 【分析】设直线，则，结合已知用表示出的坐标，消去参数即可得曲线的方程，由点差法即可得解. 【详解】 显然斜率均存在， 设直线，则，联立，得，同理， 设，则，化简可得，曲线. 设，则，两式相减可得，， 则. 故答案为：. 21．（23-24高二上·山东济南·期末）已知抛物线的焦点为F，过点F作与x轴不垂直的直线l交C于点A，B，过点A作垂直于x轴的直线交C于点D，若点M是的外心，则的值为 ． 【答案】2 【分析】设直线，联立方程，利用韦达定理求以及点M的坐标，即可得结果. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点，可知直线l与抛物线必相交， 设直线，，可得， 联立方程，消去x得， 则， 可得， ，且，即线段的中点， 则线段的中垂线方程为， 由题意可知：点M在x轴上， 令，可得，即，则， 所以. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”求解，在使用根与系数的关系时，在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在． 22．（24-25高二上·四川绵阳·期末）已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为､，若的斜率之和为，则 . 【答案】 【分析】设，利用点差法可得，同理有，结合条件即可求得答案. 【详解】设，则， ，，两式相减，得， 即，即， 同理可求得， 而的斜率之和为， 所以 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题运用点差法，这是解决圆锥曲线中弦中点与直线斜率关系问题的常用方法.通过设出弦的端点坐标，代入曲线方程作差，可巧妙地建立起弦的斜率与中点坐标所确定直线斜率的关系. 三、解答题 23．（24-25高二上·北京·期中）已知椭圆及直线． (1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)当时，求直线与椭圆相交所得的弦长； (3)求直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程． 【答案】(1)； (2)； (3)且. 【分析】（1）联立椭圆与直线得一元二次方程，利用求参数范围； （2）根据题设条件求交点坐标，利用两点式求弦长； （3）应用韦达定理求中点坐标，即可得轨迹方程. 【详解】（1）联立直线与椭圆，可得， 整理得， 由直线与椭圆有公共点，故，可得. （2）由题设及（1），联立直线与椭圆得，则或， 而直线为，当有，当有， 所以弦长为. （3）由（1）有，令直线与椭圆交点为， 所以，则，故中点坐标为， 由，则， 所以弦的中点的轨迹方程为，即且. 24．（24-25高二上·重庆九龙坡·期末）已知双曲线：（，）的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点的动直线交双曲线于、两点，设线段的中点为，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)，其中或 【分析】（1）根据实轴长得，利用点到直线的距离结合求解即可； （2）设，，，联立直线l与双曲线的方程，消去y，得，且，得且，由韦达定理，得，从而得，联立消去k，得，再根据的范围得出的范围，即可得解. 【详解】（1）双曲线的实轴长为，由已知，，则， 因为双曲线：（，）的一条渐近线为， 点到双曲线的渐近线的距离为，所以， 所以，所以，所以双曲线的方程是； （2）易知直线的斜率存在设为，设、、， 联立直线l与双曲线E的方程，得，消去y，得． 由且，得且． 由韦达定理，得． 所以，． 由消去k，得． 由且，得或． 所以，点M的轨迹方程为，其中或． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$