素养拓展04 平面中轨迹方程的求法全归纳（5知识点+5大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

素养拓展04 平面中轨迹方程的求法全归纳 知识点01：曲线方程 1、曲线方程的定义 一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系： ①曲线上的点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤 （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围． 上述五个步骤可简记为：建(建系)设(设点)现(限制条件)代(代点)化(化简)． 知识点02：直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就可得到轨迹方程，且要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等） 知识点03：定义法 1、椭圆定义 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (0＜＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当0＜＜1时，该动点的轨迹为椭圆。 2、双曲线定义 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (＞1) ，则该动点的轨迹为双曲线，该常数为双曲线离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当＞1时，该动点的轨迹为双曲线。 3、抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线． 注意： (1)定直线l不经过定点F. (2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值. 知识点04：相关点法 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程． 知识点05：交轨法 求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程. 【题型01：圆的轨迹方程】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点到两个定点的距离之比为2，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合两点间距离公式列出方程，再化简可得答案. 【详解】由得， 整理得. 故选：C. 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【答案】B 【分析】设，利用两点间的距离公式整理化简得的轨迹方程，再去掉三点共线时的点坐标即可. 【详解】设，根据题意可知且三点不共线， 可得， 因此， 若三点共线，易知斜率存在，所以； 即，可得； 联立，解得或； 又因为三点不共线，所以且， 因此端点的轨迹方程为（且）. 故选：B 二、填空题 3．（23-24高二上·湖南长沙·月考）已知圆：，过动点作圆的切线（为切点），使得，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】由勾股定理得后列式求解 【详解】设，由得，则，即. 故答案为： 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点，当不重合时，根据圆的几何性质，利用垂直建立方程求解即可得解，当重合时，代入检验即可. 【详解】由直线过点，圆可知，圆心为， 设点， 由题意可知，当点与点不重合时，，则，整理得，即， 此时点的轨迹为圆但不包括点. 当点与点重合时，其坐标满足方程. 综上，点的轨迹方程为. 故答案为： 三、解答题 5．（24-25高二上·河北邢台·月考）已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点距离公式可得，即可求解， （2）根据向量的坐标运算，利用相关点法即可求解轨迹方程. 【详解】（1）设圆心为，由题意可得， 则，解得，所以，圆的半径为， 故圆的方程为． （2）设点，共中，则，设点， 因为，则， 可得，可得， 因为点在圆上，则，即． 故点的轨迹方程为． 6．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）已知圆，点. (1)若为过点的弦且所在直线与直线垂直.求的长； (2)若是圆外的一个动点，连接与圆交于点，且满足点为线段的三等分点（靠近点），求动点的轨迹方程，并说明它是什么图形. 【答案】(1) (2)轨迹方程为，图形为圆心为，半径为6的圆. 【分析】（1）根据直线垂直斜率的关系得到方程，再利用几何法求出弦长即可； （2）设，根据向量关系得到方程，解出后代入圆的方程化简即可. 【详解】（1）由题意设直线的方程为， 代入，则，解得，即. 圆心到直线的距离为 ， . （2）设，则， 即，即，解得， 因为点在圆上，则，则， 化简得. 【题型02：直接法】 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合已知写出直线，的斜率，由列式求解动点的轨迹方程． 【详解】设，，， ，， 由，得． 即． 动点的轨迹方程为． 故选：B． 2．（24-25高二上·河南南阳·月考）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解. 【详解】设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是集合. 由此得，将上式两边平方并化简，得， 即. 所以动点的轨迹方程为. 故选：B. 3．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据，整理即可得解. 【详解】设，则，整理得， 所以动点的轨迹方程是. 故选：A. 4．（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，再利用数量积的坐标表示求出方程. 【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D 5．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求点，根据点在直线上可得，根据点在直线上可得，最后根据轴得，化简即可. 【详解】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 二、填空题 6．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，根据斜率得到，化简即可. 【详解】设，由题意可知，， 整理可得动点的轨迹方程为. 故答案为：. 7．（24-25高二上·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】先设点的坐标，再根据已知等式化简得出轨迹方程. 【详解】设，则， 又因为可得. 则点的轨迹方程为. 故答案为：. 8．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 【答案】 【分析】设，求得以线段为直径的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件可得所求轨迹方程． 【详解】设，可得以线段为直径的圆的圆心为， 半径为， 由以线段为直径的圆与轴相切， 可得，整理得． 故答案为：． 【题型03：定义法】 一、单选题 1．（24-25高二上·四川成都·期中）设向量，（x，），满足．则点的轨迹的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意，由椭圆的定义即可求得答案； 【详解】由题意可得，即表示点到的距离和为4， 且，则点的轨迹为以为焦点的椭圆， 则， 可得点的轨迹的方程为， 故选：C. 2．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 故选：D 3．（24-25高二上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可. 【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接， 因为，且，所以，且为中点， 所以，且， 因此，， 所以点在以，为焦点的双曲线上， 设的方程为，可知，所以， 又，则，所以的方程为，即， 又点是圆外一点， 所以，即，故所求轨迹方程为. 故选：B 二、填空题 4．（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程． 【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 5．（2025高二·全国·专题练习）已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】． 【分析】通过动圆与已知圆的相切情况得出点满足的距离关系，再依据双曲线的定义确定点的轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以 所以点M在以，为焦点的双曲线上，可设双曲线方程为， 则，，所以，所以曲线C的方程是． 故答案为：. 6．（2024高二·全国·专题练习）已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】作图后，结合图象和抛物线的定义即可得解. 【详解】如图，由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等， 所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为． 故答案为: .    【题型04：相关点法】 一、单选题 1．（23-24高二上·河南·期中）已知动点P在曲线上，则点与点P连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的中点为，根据中点坐标公式可得，进而将点的坐标代入曲线方程即可求解. 【详解】设的中点为， 因为，则， 因为点P在曲线上， 所以将代入曲线， 则，即， 所以的中点的轨迹方程是. 故选：C. 2．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】设点，由题意，根据中点坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则，， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：C. 3．（24-25高二上·上海·期末）已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线定义得到圆心轨迹，设，再结合向量的坐标表示得到，即可求解； 【详解】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为， 设，则由动点满足， 故选：A 4．（24-25高二上·四川内江·期末）设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，设，，，根据向量的坐标运算进行求解即可． 【详解】解：因为点分别在x轴、y轴上滑动， 设，，，因为， 所以，整理得， 因为，， 所以，因为， 所以，解得， 又，所以， 整理得，则点的轨迹方程为 故选：A. 5．（24-25高二上·海南·月考）已知圆：，点，点.点P是圆O上异于，的动点.过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，则，根据可得，代入即可求解. 【详解】设，，则， 所以，， 因为，所以，所以， 因为在圆上，所以， 所以，即， 因为点是圆上异于，的动点，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：. 【题型05：交轨法】 一、单选题 1．两动直线与的交点轨迹是（    ）. A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分 D．圆的一部分 【答案】A 【分析】令，，则 ,由于过定点，过定点，令与的交点为，利用轨迹法可求得点的轨迹方程，进而得出结果. 【详解】令，则，， 所以， 过定点，过定点，令与的交点为， 则，，所以 整理得，因为、存在，所以， 所以点的轨迹为椭圆的一部分. 故选：A. 2．（23-24高二上·浙江·期中）已知点是直线与的交点，则到直线距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】求出必过点，发现两直线垂直，可得的轨迹为圆，则处理圆上一点到直线的最大距离问即可. 【详解】因为与， 所以与， 可得必过点分别为， 由可知垂直，垂足为，    则,可得在以为直径的圆上， 由可知圆心,半径 则圆心到的距离， 所以到直线距离的最大值为， 故选:B. 3．（2024高二上·全国·专题练习）设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设出和根据三点共线得到两组等式，左右两边相乘后利用点在椭圆上，代入消元即得点的轨迹方程. 【详解】 如图，设直线与的交点为，则 ∵共线，故①，又∵共线，故②. 由①，② 两式相乘得（*）, 因在椭圆上，则，可得：将其代入（*）式，即得：， 化简得：，即P的轨迹方程为. 故选：C. 二、解答题 4．（2024·四川宜宾·三模）已知椭圆E：的左右焦点分别为，，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于C，D两点，且． (1)求直线与的交点N的轨迹M的方程； 【答案】(1)（且） 【分析】（1）设：，：，直线与的交点是N，且，消去即可得解； 【详解】（1）由已知，，则：，：， ∴点满足，即，∴①②， ∴点P的轨迹方程是（）， 又依题意可知， 综上可知：直线与的交点N的轨迹M的方程为：（且） 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出中点的坐标，利用中点坐标公式表示出点的坐标，代入圆的方程，化简即可. 【详解】设线段的中点，则，故， 化简得，即线段的中点的轨迹方程为. 故选：A. 2．（2025·北京西城·模拟预测）已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出点M的坐标，利用已知条件列出方程化简即得. 【详解】设，依题意得， 动点到的距离比点到轴的距离的大2， 则，即， 所以的轨迹方程是或， 故选：C 3．（23-24高二下·湖北黄冈·月考）已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的周长和定点，得到点到两个定点的距离之和等于定值，得到点的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点． 【详解】因为、，所以， 又因为的周长为，得， 由椭圆的定义可知：顶点的轨迹是一个以为焦点的椭圆的一部分， 且椭圆中， ，，即， 椭圆方程为， 因为时，三点共线，不能构成三角形． 顶点的轨迹方程为， 故选：C． 4．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，结合椭圆的定义可求出结果. 【详解】解：：的圆心C为，半径， 点，，又的垂直平分线交于点M， ， 的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆， ，， ，，， 点M的轨迹方程是 故选： 5．（24-25高二下·福建龙岩·月考）已知是圆上的两个相异的动点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出点的坐标，根据向量关系得到、坐标与坐标的关系，然后结合已知条件以及、在圆上的条件，进而求出动点的轨迹方程. 【详解】设，因为，，，所以. 根据向量相等的性质，可得，进一步整理得到. 将展开可得. 因为，在圆上，所以，， 又已知，即. 将上述值代入可得：. 由可得. 又因为，所以，可得. 动点的轨迹方程为， 故选：C. 6．（2024·辽宁·模拟预测）已知是椭圆的长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点与点关于轴对称，则直线与直线的交点所形成的轨迹为（    ） A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．两条互相垂直的直线 【答案】A 【分析】由题意设出点，坐标，然后求出直线与直线的方程，根据直线方程的特点，两方程相乘，从而得到点的轨迹方程，进而得解. 【详解】   由于是椭圆的长轴上的两个顶点，所以， 设，则， 所以直线的方程为①，直线的方程为②， ①②得， 又因为在椭圆上，所以，即， 所以，即， 即直线与直线的交点在双曲线上. 故选：A. 7．（24-25高二上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆相切的条件，结合双曲线的定义求轨迹方程. 【详解】由已知圆半径为， 如图，当两圆外切时，设的中点为，即为圆心， ，即， 取，连接，O是中点，则， 因此， 当两圆内切时，记动点为，的中点为D， 则，所以， 因为点、分别是、的中点，所以， 所以， 所以动点P满足，而， 所以点P轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， ，则，又，因此， 双曲线方程为， 故选：A. 二、填空题 8．（23-24高二上·陕西西安·月考）已知点，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形面积是 ． 【答案】/ 【分析】根据条件求出点P的轨迹方程，可知点P的轨迹为圆，再根据圆的面积公式求解即可. 【详解】设点P的坐标为. 因为，所以， 整理得，即. 所以点P的轨迹方程为，其轨迹为以为圆心，且半径的圆. 所以轨迹形成的图形面积. 故答案为： 9．（24-25高二·上海·随堂练习）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】结合双曲线的定义求得的轨迹方程. 【详解】设，，由题意知动点M满足， 故动点M的轨迹是射线． 故答案为： 10．（23-24高二上·河南周口·期末）动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】利用直接法建立等式，化简即可. 【详解】解：动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数， 所以，即， 展开整理得． 故答案为：． 11．（23-24高二上·江苏南京·月考）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】将直线方程向左平移1个单位，可知动点到点的距离与它到直线的距离相等，结合抛物线定义即可求得抛物线的标准方程. 【详解】将化为， 动点到点的距离比它到直线的距离大1， 则动点到点的距离与它到直线的距离相等， 由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线， 该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右， 设， 所以，解得， 所以抛物线方程为， 故答案为：. 12．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知三角形的两个顶点、的坐标分别为、，且、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设点，根据可求出顶点的轨迹方程. 【详解】设点，则，，其中， 由题意可得，化简可得. 故顶点的轨迹方程为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·江苏南通·月考）如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设点的坐标为，点，可得，根据点在圆上即可求出． 【详解】解：设点的坐标为，点，由题意可知， 则由题可得，即， 点在圆上运动， ， 即点的轨迹方程为． 故答案为： 14．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】由题可得，然后根据双曲线的定义即得. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为，由动圆与圆，都外切，得， 则，因此点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 设方程为，则， 所以M的轨迹方程为. 故答案为：. 15．（24-25高二上·北京房山·期中）已知定点和点，以为斜边，则直角顶点A的轨迹方程为 . 【答案】（且） 【分析】求出的中点，且，故点A的轨迹是以D为圆心，为半径的圆，除点B，C之外的部分，求出答案. 【详解】设点，点D为点和点的中点， 则，， ∵以为斜边，点A为直角顶点， ∴， ∴点A的轨迹是以D为圆心，为半径的圆，除点B，C之外的部分， ∴点A的轨迹方程为（且）. 故答案为：（且） 16．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，，则，再由，可得，进而可得答案． 【详解】如图， 设，，则， 依题意，四边形为矩形， 则，即， 所以，即， 则， 所以顶点的轨迹方程为， 故答案为:． 17．（2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设动圆的半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是，再利用抛物线的定义求解. 【详解】由题意得，直线l：，且圆N：， 设圆M半径为r，则点M到l＇：与点M到点N的距离相等，都是， 故点M的轨迹是以N为焦点，以l＇为准线的抛物线，故方程为． 故答案为： 18．（24-25高二上·全国·课后作业）在中，，的内切圆切BC于D点，且，则顶点A的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，由，可得点A的轨迹再求方程. 【详解】以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，   E，F分别为AB，AC边上的切点．则，，， 所以， 所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支（除去右顶点）， 且，，所以， 所以顶点A的轨迹方程为． 故答案为：． 19．（24-25高二上·全国·单元测试）已知的方程是的方程是，动点到和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设，点到和所引的切线长为，表示出，，相减化简可得答案. 【详解】设，点到和所引的切线长为， ：的圆心为，半径为 的圆心为，半径为 则，， ，，即． 故答案为： 20．（2024高二·全国·专题练习）已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为 ． 【答案】（）． 【分析】设，直线和的交点为，根据三点共线及三点共线，可得两个式子，两式相乘，再结合在椭圆上即可得出答案. 【详解】设， 因为椭圆的长轴端点为， 设直线和的交点为， 因为三点共线，所以，， 因为三点共线，所以， 两式相乘得，（）, 因为，所以，即， 所以，整理得（）， 所以直线和的交点的轨迹方程（）. 故答案为：（）. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养拓展04 平面中轨迹方程的求法全归纳 知识点01：曲线方程 1、曲线方程的定义 一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系： ①曲线上的点的坐标都是方程的解； ②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线． 2、求曲线方程的一般步骤 （1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）； （2）设曲线上任意一点的坐标为； （3）根据曲线上点所适合的条件写出等式； （4）用坐标表示这个等式，并化简； （5）确定化简后的式子中点的范围． 上述五个步骤可简记为：建(建系)设(设点)现(限制条件)代(代点)化(化简)． 知识点02：直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就可得到轨迹方程，且要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等） 知识点03：定义法 1、椭圆定义 如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (0＜＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③椭圆第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当0＜＜1时，该动点的轨迹为椭圆。 2、双曲线定义 ①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 ②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数 (＞1) ，则该动点的轨迹为双曲线，该常数为双曲线离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。 ③第三定义：A,B为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B两点的斜率之积为常数，当＞1时，该动点的轨迹为双曲线。 3、抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线． 注意： (1)定直线l不经过定点F. (2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值. 知识点04：相关点法 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。 “相关点法”求轨迹方程的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式 (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程． 知识点05：交轨法 求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程. 【题型01：圆的轨迹方程】 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点到两个定点的距离之比为2，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 二、填空题 3．（23-24高二上·湖南长沙·月考）已知圆：，过动点作圆的切线（为切点），使得，则动点的轨迹方程为 . 4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点的直线与圆交于两点，则弦的中点的轨迹方程为 . 三、解答题 5．（24-25高二上·河北邢台·月考）已知圆过原点和点，圆心在轴上． (1)求圆的方程； (2)过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程． 6．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）已知圆，点. (1)若为过点的弦且所在直线与直线垂直.求的长； (2)若是圆外的一个动点，连接与圆交于点，且满足点为线段的三等分点（靠近点），求动点的轨迹方程，并说明它是什么图形. 【题型02：直接法】 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南南阳·月考）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 7．（24-25高二上·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 8．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为 . 【题型03：定义法】 一、单选题 1．（24-25高二上·四川成都·期中）设向量，（x，），满足．则点的轨迹的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南·期末）已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是 ． 5．（2025高二·全国·专题练习）已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 6．（2024高二·全国·专题练习）已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ． 【题型04：相关点法】 一、单选题 1．（23-24高二上·河南·期中）已知动点P在曲线上，则点与点P连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知曲线：（），从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段中点的轨迹方程为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 3．（24-25高二上·上海·期末）已知点，直线，两个动圆均过点且与相切，其圆心分别为，，若动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川内江·期末）设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·海南·月考）已知圆：，点，点.点P是圆O上异于，的动点.过点P作x轴的垂线，垂足为Q，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【题型05：交轨法】 一、单选题 1．两动直线与的交点轨迹是（    ）. A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分 C．抛物线的一部分 D．圆的一部分 2．（23-24高二上·浙江·期中）已知点是直线与的交点，则到直线距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C． D．6 3．（2024高二上·全国·专题练习）设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（2024·四川宜宾·三模）已知椭圆E：的左右焦点分别为，，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于C，D两点，且． (1)求直线与的交点N的轨迹M的方程； 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京西城·模拟预测）已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（23-24高二下·湖北黄冈·月考）已知三角形的周长为，且，，则顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·福建龙岩·月考）已知是圆上的两个相异的动点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·辽宁·模拟预测）已知是椭圆的长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点与点关于轴对称，则直线与直线的交点所形成的轨迹为（    ） A．双曲线 B．抛物线 C．椭圆 D．两条互相垂直的直线 7．（24-25高二上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（23-24高二上·陕西西安·月考）已知点，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形面积是 ． 9．（24-25高二·上海·随堂练习）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 10．（23-24高二上·河南周口·期末）动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是 ． 11．（23-24高二上·江苏南京·月考）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 12．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知三角形的两个顶点、的坐标分别为、，且、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹方程为 . 13．（24-25高二上·江苏南通·月考）如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 ． 14．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·月考）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 15．（24-25高二上·北京房山·期中）已知定点和点，以为斜边，则直角顶点A的轨迹方程为 . 16．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 17．（2024·湖南长沙·二模）已知圆N：，直线，圆M与圆N外切，且与直线相切，则点M的轨迹方程为 ． 18．（24-25高二上·全国·课后作业）在中，，的内切圆切BC于D点，且，则顶点A的轨迹方程为 ． 19．（24-25高二上·全国·单元测试）已知的方程是的方程是，动点到和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是 ． 20．（2024高二·全国·专题练习）已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为 ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$