素养拓展08 圆锥曲线中的二级结论秒杀应用（6知识点+6大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

素养拓展08 圆锥曲线中的二级结论秒杀应用 知识点01：通径 一、通径的定义 1、焦点弦 过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦. 2、通径 与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径. 二、通径的性质 【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为. 【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为. 性质1、性质2的证明： ①如图1，不妨设过右焦点，且在第一象限，把，代入椭圆方程，得到，，，进一步可得通径长.若过左焦点，同理可得通径的端点坐标为. ②对于双曲线，证明过程同椭圆. ③对于抛物线，如图2，把，带入抛物线方程得到，，通径. 知识点02：椭圆、双曲线焦点三角形面积公式 椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 证明：设 ． 双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 知识点03：中点弦问题（点差法）秒杀公式 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似． 直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有． 两式相减得，所以． 中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得 ． 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则 知识点04：双曲线焦点到渐近线的距离为b 知识点05：离心率秒杀公式 1、设圆锥曲线的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交曲线两点，若，则． 2、已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点. 情形1.如图1.若,则 图1 图2 如图2.若，则 知识点06：抛物线中焦半径、焦点弦性质 1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式 已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 ①. ②. ③,. 2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式 ①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：. ②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 . ③若恒过定点. 3、抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 【题型01：椭圆、双曲线、抛物线的通径】 一、单选题 1．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·月考）椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25高二上·福建宁德·月考）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（22-23高二下·安徽·期末）已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则 ． 5．（23-24高二上·安徽·月考）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过C上一点M向y轴作垂线交另一支于N点，若，且，则C的离心率为 ． 【题型02：椭圆、双曲线焦点三角形面积公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 3．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 二、填空题 4．（24-25高二上·云南大理·月考）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 5．（23-24高二下·四川遂宁·月考）设双曲线C：的左右焦点分别为，它的实轴长为4，P是C上的一点且满足，的面积是4，则C的方程是 . 【题型03：中点弦问题秒杀公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知直线与抛物线相交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．6 2．（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 5．（23-24高二下·上海·期中）已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是 . 6．（24-25高二上·青海西宁·期末）已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦的中点，则双曲线C的离心率为 ． 7．（24-25高二上·吉林·期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的方程为 . 【题型04：双曲线焦点到渐近线的距离为b】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京怀柔·期末）双曲线：的右焦点到其渐近线的距离为（    ） A．4 B．3 C． D． 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为4a，则C的离心率为（   ） A． B． C．5 D．2 3．（2025·天津和平·二模）双曲线：（，）的一条渐近线为直线l：，若的一个焦点到直线l的距离为，且与抛物线：（）的准线相交于点H，点H的纵坐标为3，则p的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 二、填空题 4．（23-24高二上·广西·月考）已知双曲线：的离心率为，焦点到渐近线的距离是，则的渐近线方程为 . 5．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 . 【题型05：离心率秒杀公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·四川成都·月考）已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交于两点，若，且直线的斜率，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖北·期末）已知直线l经过双曲线C：的右焦点F，且与其中的一条渐近线垂直，设与两条渐近线的交点分别为A与B，且，则C的离心率为（    ） A． B． C．或 D． 二、填空题 5．（22-23高二上·江西·开学考试）已知点F为双曲线C：（，）的左焦点，过点F且斜率为1的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【题型06：抛物线中与焦半径有关的秒杀公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北·期末）已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二上·重庆·月考）已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 6．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．若，则直线经过定点 D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为 7．（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线经过抛物线的焦点F，且l与C相交于A，B两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．以为直径的圆和抛物线C的准线相切 一、单选题 1．（24-25高二上·宁夏吴忠·期末）双曲线的离心率为，则其右焦点到渐近线的距离为（ ） A． B． C． D．2 2．（2024·山东聊城·三模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过的直线与交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25高二上·河南·月考）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（   ） A． B．6 C． D．3 4．（24-25高二上·江苏·期中）设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·山西运城·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交于两点，若的最大值为8，则的离心率为（    ）. A． B． C． D． 6．（24-25高二上·天津和平·月考）已知抛物线 过抛物线的焦点 作直线与抛物线交于两点，且抛物线的准线与轴的交点为，则以下结论错误的是 （  ） A． B． C． D． 7．（2025·四川巴中·二模）双曲线与抛物线有一个公共焦点，双曲线上过点且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 9．已知椭圆，其左焦点F且斜率为的直线与椭圆C相交于两点A，B，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．过双曲线的右焦点且斜率为的直线与双曲线的左右支各有一个交点，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高二上·福建南平·期末）已知直线经过拋物线：的焦点，且与交于，两点.记点为坐标原点，直线为的准线，则以下结论正确的是（   ） A． B．以为直径的圆与相切 C． D．的面积为 12．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的任意两点，则正确的是（    ） A．若，，则， B．若直线的方程为,则 C．若，则直线恒过定点 D．若直线过点，过，两点分别作抛物线的切线，且两切线交于点，则点在直线上 三、填空题 13．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的两个焦点，M为椭圆C上一点，若，则的面积为 ． 14．（23-24高二上·陕西咸阳·月考）已知双曲线，，分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线上且，则的面积是 . 15．（24-25高二上·甘肃张掖·月考）已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为 ． 16．（23-24高二上·宁夏·期中）已知为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为 . 17．（24-25高二上·山东·月考）已知椭圆，且，直线与椭圆相交于两点.若点是线段的中点，则椭圆的半焦距 . 18．（23-24高二上·北京顺义·月考）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则 ． 19．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，上的一点满足，且的面积为，则的值为 ，的取值范围为 . 20．（23-24高二上·江西·期末）已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 21．已知双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线的渐近线交于两点，且与其中一条渐近线垂直，若，则此双曲线的离心率为 . 22．（24-25高二上·广东深圳·月考）已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为 . 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养拓展08 圆锥曲线中的二级结论秒杀应用 知识点01：通径 一、通径的定义 1、焦点弦 过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦. 2、通径 与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径. 二、通径的性质 【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为. 【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为. 性质1、性质2的证明： ①如图1，不妨设过右焦点，且在第一象限，把，代入椭圆方程，得到，，，进一步可得通径长.若过左焦点，同理可得通径的端点坐标为. ②对于双曲线，证明过程同椭圆. ③对于抛物线，如图2，把，带入抛物线方程得到，，通径. 知识点02：椭圆、双曲线焦点三角形面积公式 椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 证明：设 ． 双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） 知识点03：中点弦问题（点差法）秒杀公式 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似． 直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有． 两式相减得，所以． 中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得 ． 2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， 3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则 知识点04：双曲线焦点到渐近线的距离为b 知识点05：离心率秒杀公式 1、设圆锥曲线的焦点在轴上，过点且斜率为的直线交曲线两点，若，则． 2、已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点. 情形1.如图1.若,则 图1 图2 如图2.若，则 知识点06：抛物线中焦半径、焦点弦性质 1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式 已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则 ①. ②. ③,. 2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式 ①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：. ②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么 . ③若恒过定点. 3、抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①以弦AB为直径的圆与准线相切． ②以AF或BF为直径的圆与y轴相切. 【题型01：椭圆、双曲线、抛物线的通径】 一、单选题 1．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）过双曲线的右焦点作与轴垂直的直线，交双曲线于、两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出交点坐标，即可求得的值. 【详解】在双曲线中，，，则， 所以，双曲线的右焦点坐标为， 由题意可知，直线的方程为，联立，解得， 可取、，故. 故选：B. 2．（24-25高二上·重庆·月考）椭圆的左、右焦点分别记为，过左焦点的直线交椭圆于A、B两点.若弦长|AB|的最小值为3，且的周长为8，则椭圆的焦距等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】过焦点的弦长最小时，弦所在直线与轴（长轴）垂直，此时弦长为，焦点（弦边另一个焦点）的周长为，由此求得，得结论． 【详解】由题意可知，焦距等于2 故选：B． 3．（24-25高二上·福建宁德·月考）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设，令椭圆为且，结合已知有、求椭圆参数，即可得方程. 【详解】由题设，令椭圆为且，其中， 令，则，可得， 由，即，故， 所以，可得（负值舍），则， 故椭圆方程为. 故选：B 二、填空题 4．（22-23高二下·安徽·期末）已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则 ． 【答案】2 【分析】根据抛物线定义表示焦点弦，结合通径公式，即可求解. 【详解】设交点坐标为，过的直线为， 与抛物线联立可得，，故． ， 故当时，动直线有且仅有一条，即，故． 故答案为：2. 5．（23-24高二上·安徽·月考）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过C上一点M向y轴作垂线交另一支于N点，若，且，则C的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可知：为正方形，结合通径列式求解即可. 【详解】由题意可知：，且，结合对称性可知为矩形， 且，则为正方形，可得， 整理得，解得或（舍去）. 故答案为: . 【题型02：椭圆、双曲线焦点三角形面积公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）设点P为椭圆1上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：利用椭圆焦点三角形的二级结论直接计算即可. 解法二：设，根据椭圆定义结合余弦定理可得，进而可得面积. 【详解】解法一：根据椭圆焦点三角形的面积公式. 解法二：由椭圆方程可知：， 设， 则， 在中，由余弦定理可得， 即，可得， 所以的面积为. 故选：C. 2．（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解． 【详解】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 3．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式、完全平方公式、关系式及双曲线定义即可求解. 【详解】因为，所以， 即， 由双曲线定义可得， 所以，即， 又，所以， 所以，解得.    故选：. 二、填空题 4．（24-25高二上·云南大理·月考）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 【答案】 【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可. 【详解】， ，① 又， ② ①②得：， 的面积为16， ， . 故答案为：4. 5．（23-24高二下·四川遂宁·月考）设双曲线C：的左右焦点分别为，它的实轴长为4，P是C上的一点且满足，的面积是4，则C的方程是 . 【答案】 【分析】由实轴长为4可得，利用双曲线定义以及的面积和勾股定理可求得，可求出C的方程. 【详解】根据题意可知不妨取在双曲线左支上，如下图所示：    根据实轴长为4可得，即可得； 又可得， 由的面积是4可得，即； 由， 解得，所以， 可得C方程是. 故答案为： 【题型03：中点弦问题秒杀公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知直线与抛物线相交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】根据点在抛物线上，利用点差法可求直线斜率. 【详解】设，则，两式相减得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二上·浙江·期中）已知双曲线：，过点的直线与双曲线交于，两点.若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用点差法，设，代入双曲线方程，作差变形，由是线段AB的中点，求得直线的斜率，再用点斜式可得直线方程. 【详解】设，代入双曲线方程， 可得，作差， 因为点为线段的中点，所以 所以，即， 所以直线的方程是，即， 经检验，直线满足题意. 故选：A. 3．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆过点的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法可求出直线的斜率. 【详解】设点、，由题意可得， 若的斜率不存在时，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 由题意可得，两式相减得， 即 0，所以 所以，即直线的斜率为. 故选：A. 4．（23-24高二上·湖南·期末）过抛物线的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两点，若线段中点的坐标为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线的斜率，可建立关于的方程，求解可得. 【详解】设，，则， 两式作差得，， 当时，则中点坐标为焦点，不满足题意； 当时，得． 设线段中点，因为坐标，且过焦点， 所以， 则的斜率， 解得． 故选：A. 二、填空题 5．（23-24高二下·上海·期中）已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先设处对称的两点，利用点差法求中点坐标，利用中点和抛物线的关系，即可列式求解. 【详解】设抛物线上关于直线对称的两点为，， 则，两式相减得， 由条件可知，，即， 所以中点的纵坐标为，横坐标为，即中点坐标为， 由题意可知，中点应在抛物线内，即，得. 故答案为： 6．（24-25高二上·青海西宁·期末）已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦的中点，则双曲线C的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，利用点差法结合中点坐标公式和离心率的定义求解即可. 【详解】设，可得，两式相减可得，点是弦的中点，且直线， 可得，即有， 即， 故双曲线C的离心率为． 故答案为：. 7．（24-25高二上·吉林·期末）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的方程为 . 【答案】 【分析】由抛物线方程确定椭圆的焦点坐标，再由点差法确定与的关系，列出关于，，的方程组，解方程组即可求解椭圆的方程． 【详解】抛物线的焦点坐标为， 所以椭圆C的右焦点坐标为， 设椭圆的半焦距为，则 设，，因为点，在椭圆上， 所以，两式相减得， 即， 因为点是的中点，且直线的斜率为， 所以，，， 所以，则，解得， 所以椭圆的方程为 故答案为： 【题型04：双曲线焦点到渐近线的距离为b】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京怀柔·期末）双曲线：的右焦点到其渐近线的距离为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】首先求出右焦点坐标与渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算可得. 【详解】双曲线：的右焦点, 渐近线方程为，即， 所以右焦点到其渐近线的距离. 故选：B 2．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为4a，则C的离心率为（   ） A． B． C．5 D．2 【答案】A 【分析】根据焦点到其渐近线的距离为，利用点到直线距离公式计算，得到 【详解】双曲线焦点到渐近线的距离等于4a，即点到直线的距离等于4a，即，即， 可得，即. 故选：A. 3．（2025·天津和平·二模）双曲线：（，）的一条渐近线为直线l：，若的一个焦点到直线l的距离为，且与抛物线：（）的准线相交于点H，点H的纵坐标为3，则p的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】由双曲线的渐近线得，又得，又的一个焦点到直线l的距离为，即可求解，设，由在上即可求出，进而得即可求解. 【详解】由双曲线的一条渐近线为直线l：有， 又，的一个焦点为到直线的距离为， 所以，所以双曲线， 设，由在上，所以， 由， 故选：B.    二、填空题 4．（23-24高二上·广西·月考）已知双曲线：的离心率为，焦点到渐近线的距离是，则的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】由题意可求得，再根据离心率为，求得，即可得答案. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为，即， 焦点到渐近线的距离是5，则， 因为的离心率为, 则，解得：， 所以的渐近线方程为. 故答案为： 5．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离可求出的值，将直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线无公共点可得出关于的不等式，即可解得的取值范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 双曲线的焦点到渐近线的距离为， 联立可得， 由题意可知，关于的方程无实数解，则， 又因为，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【题型05：离心率秒杀公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·四川成都·月考）已知椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线的倾斜角为，根据可得，利用同角三角函数的基本关系可求出直线的斜率. 【详解】 由题意得，， ∴椭圆的离心率为. 设直线的倾斜角为，根据焦比定理得， 由得，∴， ∵，∴， ∴，， ∴，即直线的斜率为. 故选：D. 2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）已知椭圆，过右焦点的直线与椭圆交于两点，若，且直线的斜率，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合共线向量的坐标表示公式、椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】由题意可知，设该椭圆右焦点坐标为， 因为直线的斜率， 所以设直线的方程为， 与椭圆方程联立，得 ， 设，则有， 因为，所以， 所以有，消去，得 ， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用，得到，进而利用一元二次方程根与系数关系进行求解. 3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点作直线与渐近线垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的左焦点为，由双曲线的定义，得，又，，在中，由余弦定理可得，结合可得，求得答案. 【详解】设为坐标原点，则，从而. 设的左焦点为，连接，由双曲线的定义，得. 在中，由余弦定理，得，解得. 由，得，解得， 所以. 故选：B. 4．（23-24高二上·湖北·期末）已知直线l经过双曲线C：的右焦点F，且与其中的一条渐近线垂直，设与两条渐近线的交点分别为A与B，且，则C的离心率为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据垂直关系以及点到直线的距离可得，进而根据二倍角公式以及对称性即可求解. 【详解】由于渐近线方程为， 不妨设l的方程为，渐近线倾斜角为， l与渐近线的交点为B，与的交点为A，如图1， 可知，，所以， 所以，， 又， 由，可得，所以 若如图2，则为的中点，故,所以，故， 所以， 故选：C 二、填空题 5．（22-23高二上·江西·开学考试）已知点F为双曲线C：（，）的左焦点，过点F且斜率为1的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，则， C的右焦点为，可得到，，在和中分别用余弦定理进行整理即可得到答案 【详解】解：设，则，设C的右焦点为， 因为，所以B，A两点分别在C的左、右支上， 则，， 所以在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 分别整理得，， 所以，整理得，所以， 故答案为： 【题型06：抛物线中与焦半径有关的秒杀公式】 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北·期末）已知是过抛物线的焦点的弦，若，则中点的横坐标为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由抛物线的焦点弦长公式，即可求得线段的中点的横坐标，得到答案. 【详解】设，由已知， 由焦半径公式可得 所以，所以. 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理及抛物线焦半径公式可得解. 【详解】 由已知抛物线焦点到准线的距离为， 即， 则抛物线方程为，， 所以直线方程为，即， 设直线与抛物线交点，， 联立直线与抛物线， 得， 则，， 又由抛物线可知，， 所以， 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏扬州·期末）过抛物线的焦点作斜率为1的弦，点在第一象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得两点的纵坐标，由此求得. 【详解】抛物线的焦点为， 直线的方程为， 由，解得， 所以. 故选：D 二、多选题 4．（24-25高二上·重庆·月考）已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（   ） A．抛物线的焦点坐标是 B． C．若，则 D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示：    过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 5．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D． 【答案】CD 【分析】求出抛物线方程，利用抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系计算弦长和三角形面积判断选项的正误即可 【详解】直线过抛物线的焦点， 可得，则，所以A选项错误； 抛物线方程为，准线的方程为， 直线与抛物线交于两点，设， 直线方程代入抛物线方程消去可得， 则，得，所以B选项错误； 的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为， 则以为直径的圆与相切，所以C选项正确； 点到直线的距离，，所以D选项正确． 故选：CD． 6．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为 B． C．若，则直线经过定点 D．若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐标可判断A，根据焦点弦的性质可判断B，根据垂直关系得，由两点坐标求解直线方程即可判断C，根据切线方程求出切点坐标，进而根据两点求解直线方程即可求解D. 【详解】因为拋物线，故的坐标为故A正确； 由于当直线过焦点时，由抛物线定义可得，但直线不一定过焦点，故B错误； 若，故，即或（舍去）， 因为直线，即，得，故直线经过定点，故C正确； 设过点的切线方程为，联立 ， 所以，故 或，所以方程的根为， 故切线方程中分别为和，故， ， 可得直线，即，故D正确. 故选：ACD. 7．（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线经过抛物线的焦点F，且l与C相交于A，B两点，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．以为直径的圆和抛物线C的准线相切 【答案】BC 【分析】求出点的坐标即可判断A；联立方程，利用韦达定理求出，进而可判断BC；结合抛物线的定义即可判断D. 【详解】依题意可知，所以，解得，A错； 由消去y可得， 所以， ，B对； ，C对； 以为直径的圆的圆心横坐标为，而半径， 故该圆圆心到y轴的距离恰好等于半径，所以该圆与y轴相切，与准线相离，D错. 故选：BC． 一、单选题 1．（24-25高二上·宁夏吴忠·期末）双曲线的离心率为，则其右焦点到渐近线的距离为（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据方程和离心率可得右焦点为，渐近线为，进而可得结果. 【详解】由双曲线方程可知，且焦点在x轴上， 因为双曲线的离心率，可得， 则右焦点为，渐近线为，即为， 所以右焦点到渐近线的距离为. 故选：C. 2．（2024·山东聊城·三模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过的直线与交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意确定抛物线，分直线平行于轴时和不平行于轴时，分别求，即可得解. 【详解】根据题意，抛物线的焦点到其准线的距离为2， 即，则抛物线，焦点， 当直线平行于轴时，，， 当直线不平行于轴时， 设直线，， 联立方程组，得，， 则， 又，所以的最小值为4. 故选：B 3．（24-25高二上·河南·月考）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】利用余弦定理及双曲线的定义求出，再由面积公式计算可得. 【详解】由余弦定理得 ， ∴， ∴，∴（负值已舍去）. 故选：A． 4．（24-25高二上·江苏·期中）设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法、联立方程组的方法来求得正确答案. 【详解】双曲线对应，， 设，则， 两式相减并化简得， 由于，所以， 而B选项中，点，对应，所以B选项错误. C选项中，点，对应，所以C选项错误. A选项，点，对应，所以， 则直线的方程为， 由消去并化简得，， 所以方程组无解，所以A选项错误. D选项，点，对应，所以， 则直线的方程为， 由消去并化简得， ，所以D选项正确. 故选：D 【点睛】关键点睛： 中点坐标与代数运算结合的应用：利用中点坐标公式结合代数运算进行求解，可以有效判断给定点是否为中点，正确设定中点的坐标并代入验证，是解题的关键. 消去法的运用：在代入方程并进行化简时，消去法是确保推导过程严谨的重要方法，通过逐步消去不相关的变量，最终确定符合条件的解. 5．（23-24高二下·山西运城·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交于两点，若的最大值为8，则的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】椭圆定义有，结合已知确定的最小值，即可求解. 【详解】由椭圆的定义，可知，    所以当最小时，最大， 由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短， 当直线AB垂直于轴时，取得最小值，此时， 由解得，此时的离心率. 故选：A. 6．（24-25高二上·天津和平·月考）已知抛物线 过抛物线的焦点 作直线与抛物线交于两点，且抛物线的准线与轴的交点为，则以下结论错误的是 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线方程为，联立直线和抛物线的方程，由韦达定理得，，故选项AB正确；由，故C正确；由，当时，，即,故D错误. 【详解】设过抛物线的焦点的直线为：， 联立，消去得， 由韦达定理得， 则，故AB正确； 由，故C正确， 因为， 所以， 当时，，即,故D错误. 故选：D. 7．（2025·四川巴中·二模）双曲线与抛物线有一个公共焦点，双曲线上过点且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得、，进而求得，直接法求离心率即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，即双曲线的一个焦点为，. 令，代入双曲线得，则， 过点且垂直于实轴的弦长为， ，即，则， . 故选：C 8．（2024·四川·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出两点坐标，得，焦点到渐近线的距离求出，由求出的值，再由求出的值，可求双曲线的离心率. 【详解】设，则， 过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，不妨设在第一象限，    由解得，所以． 由双曲线可得渐近线为， 由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离， 所以． 因为，所以，解得． 由，则，得，所以离心率为． 故选：． 9．已知椭圆，其左焦点F且斜率为的直线与椭圆C相交于两点A，B，若，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意设，方程为，进而与椭圆联立消元并结合韦达定理得①，②，再结合③，进而联立解得，再根据得，进而求解即可得答案. 【详解】解：根据题意，设，方程为， 所以联立方程得， 所以①，② 因为，， 所以③， 所以由①③得④， 所以将④代入②得， 因为， 所以，即 所以橢圆C的离心率. 故选：A. 10．过双曲线的右焦点且斜率为的直线与双曲线的左右支各有一个交点，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设过右焦点且斜率为的直线的方程为，联立直线方程与双曲线方程并化简，由条件列不等式可得的关系，由此求双曲线的离心率取值范围. 【详解】设过右焦点且斜率为的直线的方程为， 联立方程组，化简可得， 方程的判别式， 设方程的解为， ∵ 直线与双曲线的左右支各有一个交点， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ 双曲线的离心率， 即双曲线的离心率取值范围是. 故选：D. 二、多选题 11．（24-25高二上·福建南平·期末）已知直线经过拋物线：的焦点，且与交于，两点.记点为坐标原点，直线为的准线，则以下结论正确的是（   ） A． B．以为直径的圆与相切 C． D．的面积为 【答案】ABD 【分析】由焦点坐标，得到抛物线方程，联立直线方程，结合焦点弦长公式，逐个判断即可. 【详解】直线过抛物线的焦点， 可得焦点， 所以，则，所以A正确； 抛物线方程为，准线的方程为， 直线与抛物线交于两点，设， 直线方程代入抛物线方程消去可得， 则，得，所以C错误； 的中点的横坐标，中点到抛物线的准线的距离为， 则以为直径的圆与相切，所以B正确； 点到直线的距离，，所以D正确． 故选：ABD 12．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的任意两点，则正确的是（    ） A．若，，则， B．若直线的方程为,则 C．若，则直线恒过定点 D．若直线过点，过，两点分别作抛物线的切线，且两切线交于点，则点在直线上 【答案】BCD 【分析】联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理即可求解A，，结合向量数量积运算即可求解C，根据焦点弦公式即可求解B，根据判别式为0求解切线方程，联立直线方程即可求解D. 【详解】设,，,， 由题意可知直线斜率存在，可设直线方程为， 联立，消去得， 设，， ，，故A错误， ， 点,不同于原点，， ，， 直线的方程为，即直线过定点；故C正确， 若直线的方程为,则，所以，则，故，故B正确， 设方程与抛物线方程联立，消去得， ，解得， 的方程， 同理方程， 联立解得交点,， 由于直线过点，故点在直线上，所以，故，故D正确， 故选：BCD 三、填空题 13．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的两个焦点，M为椭圆C上一点，若，则的面积为 ． 【答案】1 【分析】根据椭圆定义以及勾股定理可得即可得出的面积. 【详解】根据题意可知，即可得，即； 由椭圆定义可得， 又可知； 所以可得，即， 解得， 因此的面积为. 故答案为：1 14．（23-24高二上·陕西咸阳·月考）已知双曲线，，分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线上且，则的面积是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义、余弦定理求出，再利用三角形面积公式计算作答. 【详解】如图， 双曲线的实半轴长，半焦距，有， 在中，由余弦定理得， 即有， 因此，解得， 所以的面积为. 故答案为： 15．（24-25高二上·甘肃张掖·月考）已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据焦点到渐近线的距离可求得的关系式，然后将其转化为的关系式，则离心率可知. 【详解】焦点到渐近线的距离为， 所以，所以， 故答案为：. 16．（23-24高二上·宁夏·期中）已知为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为 . 【答案】/0.5 【分析】设出点的坐标并代入抛物线的方程，即可求出直线AB的斜率. 【详解】由题意， 为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，    设，线段AB中点为， ∴，， ∴即 ∴直线AB的斜率为： 故答案为： 17．（24-25高二上·山东·月考）已知椭圆，且，直线与椭圆相交于两点.若点是线段的中点，则椭圆的半焦距 . 【答案】 【分析】利用点差法来求解椭圆方程中的值，然后根据椭圆中的关系求出半焦距. 【详解】设，，因为在椭圆上， 所以. 两式相减得，即. 因为点是线段的中点，所以，. 斜率，得，即,解得. 当时，椭圆方程为，可得，所以. 故答案为：. 18．（23-24高二上·北京顺义·月考）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则 ． 【答案】3 【分析】利用抛物线的性质，结合勾股定理求解. 【详解】   如图，不妨设点在第一象限， 则，， 所以，，， 因为，所以, 所以，即， 解得或（舍）， 故答案为:3. 19．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，上的一点满足，且的面积为，则的值为 ，的取值范围为 . 【答案】 4 . 【分析】在椭圆焦点三角形中，应用余弦定理和三角形面积公式推得（），即可求参数b，进而有，再由，要保证最大角能取到，应用余弦定理和基本不等式求参数a的范围. 【详解】由，（）， 所以， 又，则， 所以，结合， 所以， 由题设，则，故， 由上分析知， 而， 当且仅当时取等号，所以，则， 当且仅当时取等号，则， 综上，. 故答案为：4，. 【点睛】关键点点睛：要注意保证最大角能取到求参数a的范围. 20．（23-24高二上·江西·期末）已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 【答案】3 【分析】由题意首先得，进一步由点差法得，由同理思想即可得解. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以，不妨设， 因为点A，B在上，所以，两式相减，得， 因为点是的中点，所以，， 所以，即， 所以，同理，． 因为，所以．     故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，由此即可顺利得解. 21．已知双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线的渐近线交于两点，且与其中一条渐近线垂直，若，则此双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】双曲线的右焦点，设一条渐近线（为坐标原点）的方程为，则另一条渐近线的方程为，设，由已知构建等式关系表示B点坐标，再由已知垂直关系其直线斜率乘积为-1构建齐次方程，进而求得离心率. 【详解】由题意得右焦点，设一条渐近线（为坐标原点）的方程为，则另一条渐近线的方程为，设， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， 由题意知，则，化简可得，即， 解得，即. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解，意在考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题. 22．（24-25高二上·广东深圳·月考）已知双曲线 的右焦点为，过点作直线与渐近线 垂直，垂足为点，延长交于点.若，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设的左焦点为，由双曲线的定义，得，又，，在中，由余弦定理可得，结合可得，求得答案. 【详解】设为坐标原点，则， 从而.    设的左焦点为，连接， 由双曲线的定义，得. 在中，由余弦定理，得， 解得. 由，得，解得， 所以. 故答案为：. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$