素养拓展05 圆锥曲线中弦长、三角形、四边形面积问题（4知识点+5大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

素养拓展05 圆锥曲线中弦长、三角形、四边形面积问题 知识点01：弦长公式 （最常用公式） 知识点02：三角形面积问题 直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法： 1、一般方法：（其中为弦长，为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截式. 进一步，= 2、特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长. 3、坐标法：设，则 4、面积比的转化： 三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型： （1）两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比 （2）两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比） （3）利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比 （4）面积的割补和转化 知识点03：平行四边形的面积 直线为，直线为 注：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 【注意】四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解. 知识点04：范围问题 首选均值不等式，其实用二次函数 均值不等式 变式： 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）（注意分三种情况讨论） （2） 当且仅当时，等号成立 （3） 当且仅当时等号成立. （4） 当且仅当时，等号成立 (5) 当且仅当时等号成立. 【题型01：求弦长及最值（范围）问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推火这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2.当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上.    (1)建立适当的坐标系，求此椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点且斜率为的直线，交椭圆于两点，求弦的长. 2．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，且，求． 3．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知，是抛物线：上的两点． (1)求抛物线的方程； (2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值． 4．（2024·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 5 ．（24-25高二上·广东清远·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点作一条垂直于l的直线交于两点，求的取值范围． 【题型02：已知弦长求其他量】 一、解答题 1．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知，是椭圆上两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l交椭圆C交于P，Q两点，且，求直线l的方程． 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点. (1)求的离心率； (2)若直线与交于两点，且，求. 3．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，，，为平面内一点，在三角形中，，记的轨迹为轨迹． (1)求轨迹的方程． (2)若直线的斜率大于0，且截轨迹的弦长为，且为钝角，若交轴于点，求的值． 4．（24-25高二上·北京密云·期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点、，当时，求直线的方程． 【题型03：三角形面积及最值（范围）问题】 一、解答题 1．（24-25高三上·江西南昌·月考）已知双曲线的右顶点，点到双曲线一条渐近线的距离为.若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限 (1)求双曲线的方程； (2)若，求的面积. 2．（24-25高二上·安徽·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其纵坐标为，且． (1)求的值； (2)直线与抛物线相交于两点，若，求面积的最大值． 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. (1)求的周长； (2)设点在上，求的面积的最大值. 4．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知椭圆经过点，且右焦点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线过椭圆的上顶点，过椭圆的右顶点作，垂足为，作交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程. 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆：离心率为，经过的左焦点斜率为1的直线与轴正半轴相交于点，且． (1)求的方程； (2)设是上异于的两点，且， ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值． 6．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的焦距为4，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线的左支于点，求的面积的最小值. 【题型04：四边形面积及最值（范围）问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·山西晋城·月考）已知抛物线：的焦点为，准线交轴于点，点在上. (1)求抛物线的方程； (2)若是抛物线上第一象限内的一点，过线段AF的中点向轴引垂线，垂足为点，且，求四边形的面积. 2．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线：的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)若上两点，关于点对称，求直线的方程； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 3．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 4．（24-25高二上·河北保定·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围. 5．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的焦距为，离心率为，，为的左，右焦点，，是椭圆上的两点． (1)求的方程； (2)若，两点都在轴上方，且， ①若，求； ②求四个点，，，所构成的四边形面积的最大值． 6．（25-26高三上·贵州·月考）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线交于A，B两点（其中点A在点B的上方），当直线l平行于y轴时，． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l的斜率存在，直线AO与直线相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为3?若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由. 【题型05：已知面积求其他量】 一、解答题 1．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的. (1)求双曲线C的离心率； (2)直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求. 2．已知抛物线C：，焦点为F，准线为l，点Q在准线l上.倾斜角为的直线经过点F与抛物线C交于A，B两点，且点A在第一象限. (1)若Q在x轴上，证明：直线的斜率等于； (2)已知，线段的垂直平分线经过点Q，并与x轴交于点M，四边形的面积为，求p. 3．（24-25高三上·广东·月考）已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为 (1)求的方程. (2)证明：的斜率为定值. (3)设为坐标原点，若与线段（不含端点）相交，且四边形的面积为，求的方程. 4．（2025·浙江·二模）已知双曲线（）的左，右焦点分别为，且，圆与的渐近线相切． (1)求双曲线的标准方程； (2)若上两点满足（），且四边形的面积为，求的值． 一、解答题 1．（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. (1)求的方程，并说明是什么曲线： (2)若直线和曲线相交于两点，求. 2．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知抛物线：的焦点为，斜率为1的直线与在第一、四象限的交点分别为、，与轴的交点为． (1)当时，求点的坐标； (2)设，若，求的值． 3．（24-25高二上·广东·期末）已知抛物线，过点的直线与交于两点，其中点在第一象限． (1)证明：； (2)若四边形为梯形，求其面积． 4．（23-24高二上·江苏南通·月考）双曲线C经过两点.过点的直线与双曲线C交于P，Q，过点的直线与直线相交于点S且 (1)求双曲线C的方程； (2)若，求直线的斜率. 5．（23-24高二上·江苏苏州·月考）已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于A，B两个不同的点． (1)求曲线E的方程； (2)求实数k的取值范围； (3)若，求直线AB的方程． 6．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知椭圆过点且． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为的直线与交于，两点，求面积的最大值． 7．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知椭圆的上､下顶点分别是，左､右顶点分别是，左焦点为，过点的动直线与椭圆分别交于，且直线的斜率之积为. (1)求椭圆的离心率； (2)若四边形面积的最大值是，求椭圆的方程. 8．（24-25高三上·云南昆明·月考）已知双曲线的离心率为2，的顶点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线过原点，与交于两点，与交于两点，若直线过点，且四边形的面积为，求直线的方程. 9．（2025·河南鹤壁·模拟预测）已知椭圆：上一点处的切线为，两焦点，在上的射影分别为，我们常常把过切点且与切线垂直的直线叫做法线，它平分，因此从一个焦点射出的光线经过切点反射后会经过另一个焦点如图记，，当点不在轴上时，记的面积为若.    (1)求证：； (2)试探究 是否为定值，如果为定值，求此定值；如果不为定值，请说明理由； (3)若椭圆的离心率为，且当时，四边形的面积，求椭圆的方程. 10．（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值． 11．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知是椭圆的一个顶点，点是上一点． (1)求椭圆的方程． (2)若过点的直线与椭圆交于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ⅱ）求的最小值． 12．（24-25高二上·湖南衡阳·月考）已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M. (1)设直线，的斜率分别为，，证明：； (2)设线段AB的中点为N，求的取值范围. 13．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆的两个焦点坐标分别为、，且椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知圆，过圆上任意一点作圆的切线，若与椭圆交于、两点，求的面积的最大值． 14．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．过点的直线与及圆依次相交于点，如图． (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：为定值； (3)过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值． 15．（2025·安徽·模拟预测）已知和交于四点. (1)求的取值范围； (2)求四边形面积的最大值. 16．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点分别为，下上顶点分别为． (1)若为直角三角形，的面积为，求椭圆方程． (2)过右焦点的直线交椭圆C于P，Q两点 （P，Q分别在第一、四象限），连接并延长交椭圆C于点N； ①若，求椭圆的离心率e． ②在（1）条件下，求四边形面积的取值范围． 17．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等轴双曲线的左、右焦点分别，，且焦距为，分别是在第二象限和第一象限上的一点，且. (1)求的方程； (2)若直线的斜率为，求直线的斜率； (3)若四边形的面积为，求直线的方程. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养拓展05 圆锥曲线中弦长、三角形、四边形面积问题 知识点01：弦长公式 （最常用公式） 知识点02：三角形面积问题 直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法： 1、一般方法：（其中为弦长，为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截式. 进一步，= 2、特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长. 3、坐标法：设，则 4、面积比的转化： 三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型： （1）两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比 （2）两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比） （3）利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比 （4）面积的割补和转化 知识点03：平行四边形的面积 直线为，直线为 注：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 【注意】四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解. 知识点04：范围问题 首选均值不等式，其实用二次函数 均值不等式 变式： 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举： （1）（注意分三种情况讨论） （2） 当且仅当时，等号成立 （3） 当且仅当时等号成立. （4） 当且仅当时，等号成立 (5) 当且仅当时等号成立. 【题型01：求弦长及最值（范围）问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推火这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2.当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上.    (1)建立适当的坐标系，求此椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点且斜率为的直线，交椭圆于两点，求弦的长. 【答案】(1). (2). 【分析】由题可知，伞面的直径与长轴围成底角为的等腰三角形，根据余弦定理可求出椭圆的长轴，可得椭圆的标准方程. 求出直线方程并与椭圆方程联立，利用弦长公式；即可求解. 【详解】（1）根据题意，以椭圆的长轴所在直线为轴，以椭圆的短轴所在直线为轴建系.    伞面是以半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为. 伞面与地面所成夹角为；且伞面直径为. 又光线与地面所成夹角也为. 伞面与地面长轴围成底角为的等腰三角形； 由余弦定理可得：；解得：. .. 椭圆的标准方程为：. （2）由知：,得.所以右焦点坐标为. 设直线的方程为：；设. 联立，可得. ，. . 2．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，根据焦半径公式求得，将点的坐标代入抛物线方程即可求解. （2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，结合坐标关系利用韦达定理求出，再结合焦半径公式求解焦点弦弦长即可. 【详解】（1）设点，则，所以． 将代入得，解得， 所以抛物线C的标准方程为； （2）抛物线的焦点，设直线的方程为， 因为，所以，所以． 联立，得，， 所以，即， 又，所以，解得． 所以． 3．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知，是抛物线：上的两点． (1)求抛物线的方程； (2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）由点在曲线上，建立方程组解出对应参数值，得到抛物线方程； （2）由（1）写出直线方程，联立方程组，用韦达定理建立关系式，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）∵，是抛物线C：上的两点， ∴，则，整理得，解得，    当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，故抛物线C方程为； （2）由（1）知C的焦点为，故直线l的方程为， 联立，得，必有， 设，，则， ∴， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为．    4．（2024·安徽·一模）已知双曲线C：的离心率为2.且经过点. (1)求C的方程； (2)若直线l与C交于A，B两点，且（点O为坐标原点），求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率以及经过的点即可联立求解曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， 【详解】（1）由题意可得，解得， 故双曲线方程为. （2）当直线斜率不存在时，可设， 则， 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线斜率存在时，设其方程为，设， 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 5．（24-25高二上·广东清远·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点作一条垂直于l的直线交于两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合焦距及椭圆的定义由条件列的方程，解方程求，代入椭圆方程可得结论； （2）在的斜率为时，求结论，再在的斜率不为时，利用设而不求法，结合弦长公式求，由此可得的解析式，利用换元法，二次函数性质求其范围即可. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 由，得， 又的周长为， 即 所以， ， 椭圆的标准方程为． （2）设， 直线的斜率为时，得， 此时的方程为， 代入方程可得，， 所以； 当直线的斜率不为时， 设直线，直线， 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得 ， ． 由根与系数的关系得， 所以 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得， 由根与系数的关系得， ， 所以． 令，则， 不妨设 ， ， ， ， 综上可得，的取值范围为． 【题型02：已知弦长求其他量】 一、解答题 1．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知，是椭圆上两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l交椭圆C交于P，Q两点，且，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）讨论斜率是否存在，再设直线方程，用韦达定理和弦长公式来求解即可. 【详解】（1）已知，是椭圆上两点, 可得，解得：， 所以椭圆C的标准方程为； （2）设过点的直线l的斜率不存在时，直线方程为， 与椭圆相交的交点坐标分别为， 此时交点弦长，不符合题意， 所以设过点的直线l方程为，与椭圆联立， 消得：， 设交点，则， 则 ， 整理得：，即， 所以直线l的方程为或. 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点. (1)求的离心率； (2)若直线与交于两点，且，求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设双曲线方程，由已知点坐标代入待定系数，再由方程确定求出离心率； （2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理代入弦长公式得关于的方程求解即可. 【详解】（1）由题意，设， 由双曲线经过两点，得， 得，即，则， 所以的离心率为. （2）设，由，得， 依题意可得，且，即. 由韦达定理得， 所以 ， 整理得，解得或. 3．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，，，为平面内一点，在三角形中，，记的轨迹为轨迹． (1)求轨迹的方程． (2)若直线的斜率大于0，且截轨迹的弦长为，且为钝角，若交轴于点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析点P满足的条件，用坐标表示P点满足的条件，可得P点轨迹方程； （2）设直线PK的方程，与抛物线方程联立，利用弦长求出直线PK的方程，再利用；两角差的正切公式求值. 【详解】（1）过作垂直于轴于M． 则，则，即． 而等价于点到直线的距离，所以点到直线的距离等于 法一：，则，同时不与坐标原点重合，解得． 法二：在以为焦点，直线为准线的抛物线上，则设，， 同时不与坐标原点重合，解得． （2）如图：    设，联立，得，，得． 设PK与轨迹E的交点，，则，. ，解得． 所以，，所以，， 连接，由题可知，，所以 所以. 4．（24-25高二上·北京密云·期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点、，当时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】(1利用椭圆的定义求解椭圆的方程即可， （2）设直线方程，利用结合韦达定理求解出直线的斜率从而求解出直线的方程得到答案. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以则．     又因为离心率，，所以．     故椭圆的方程为． （2）根据题意，直线的斜率存在，且不为0． 设直线，     令消去得． 令，解得或．    ① 设，， 则，，     又因为直线，     令，则．     同理．     因为，且，所以． 所以 ．     故，解得，满足①式． 所以直线的方程为或． 【题型03：三角形面积及最值（范围）问题】 一、解答题 1．（24-25高三上·江西南昌·月考）已知双曲线的右顶点，点到双曲线一条渐近线的距离为.若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，且分别在第一象限和第四象限 (1)求双曲线的方程； (2)若，求的面积. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式求解即得. （2）设直线方程为，与双曲线的渐近线方程结合求出点的坐标并代入双曲线方程，再求出的纵坐标差的绝对值即可求出面积. 【详解】（1）依题意，，双曲线的渐近线为，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设直线方程为，则直线交轴于点， 由（1）知，双曲线的渐近线为，设， 由消去得， 则，， 有，由，得为线段中点，点， 而点在双曲线：上，于是，整理得， 又， 所以的面积. 2．（24-25高二上·安徽·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其纵坐标为，且． (1)求的值； (2)直线与抛物线相交于两点，若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据抛物线方程求点的横坐标，再代入焦半径公式，即可求解； （2）首先直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理表示弦长，再代入面积公式，根据的取值范围，求面积的最大值. 【详解】（1）分析可得，点在抛物线上且纵坐标为， 代入抛物线方程，得点的横坐标为， 因为，根据抛物线的定义可得， ，计算可得； （2）由（1）可得抛物线方程：，设，， 联立可得， 韦达定理可得，，， 所以弦长 ， 直线的方程的一般式为， 所以点到直线的距离为， 所以的面积为， 因为，所以当时，取得最大值．    3．（24-25高二上·江苏南通·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. (1)求的周长； (2)设点在上，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干的条件求出，进而得到.利用椭圆的对称性以及两点之间的距离公式即可求得结果； （2）由（1）知，设出与直线平行的直线，与椭圆联立使得判别式等于0，即可求得直线，再利用平行线的距离公式与面积公式即可求得结果. 【详解】（1） 已知椭圆的右焦点为，因为， 所以,因为轴，把代入椭圆方程中，得到， 不妨设，因为关于原点对称，则， 所以， 由椭圆的对称性可知：,所以， 所以的周长为； （2） 由（1）得， 由，可得直线的方程为：， 当的面积的最大值时，就是椭圆上的点到直线的距离最大时， 即与直线平行且与椭圆相切时，如上图，设， 联立，整理得：， 因为直线与椭圆相切，所以判别式，解得：，不妨取，所以直线， 则两平行线的距离， 故的面积的最大值. 4．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知椭圆经过点，且右焦点为. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线过椭圆的上顶点，过椭圆的右顶点作，垂足为，作交椭圆于点，当面积最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法1：将点代入椭圆方程，结合的关系求解； 法2：利用椭圆定义求解的值，再结合的关系求解； （2）设，，由可到直线的距离，直线与椭圆方程联列方程组，得点的坐标，从而可得的长，由直角三角形面积公式得面积，再求最值. 【详解】（1）法1：设椭圆的半焦距为， 因为椭圆经过点，所以， 因为右焦点为，所以， 联列方程组，解得， 所以椭圆的标准方程为. 法2：设椭圆的半焦距为， 因为右焦点为，所以，左焦点为， 因为椭圆经过点， 所以， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. （2）椭圆的右顶点， 显然直线的斜率存在，设斜率为，则，， 点到直线的距离， 所以， 联列方程组，消去整理得， 所以，所以， 所以， 所以， 若，则斜率取时，显然更大， 故最大时， 令，则， 由基本不等式得最大时，，， 所以当最大时，直线的方程为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆：离心率为，经过的左焦点斜率为1的直线与轴正半轴相交于点，且． (1)求的方程； (2)设是上异于的两点，且， ①证明：直线过定点； ②求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据椭圆离心率和直线斜率即可求出，则得到值，即得到椭圆方程； （2）设直线：，联立椭圆方程得，得到韦达定理式，再利用得到直线过定点，从而得到，通过换元和导数即可求出面积最值. 【详解】（1）由题知，可得， 可得，因为斜率为1，所以， 因为，所以，则， 则，于是的方程为. （2） 由（1）知，因为，所以不垂直于轴， 设直线：，联立得， 当时， 设，则， 因为，所以，， 故，根据， 故可得， 得， 因，整理可得，则， 故直线经过定点. 由①可知， 因为， 因，故， 所以的面积， 设，则，则，， 设，则， 当时，，则， 所以当，即时，面积取最大值. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线：，联立椭圆方程得到韦达定理式，再利用，即，得到，再将韦达定理式整体代入化简得，从而得到直线过定点，再求出面积表达式，利用换元和导数即可求出面积最值. 6．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的焦距为4，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线的左支于点，求的面积的最小值. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）利用待定系数法及双曲线的定义，结合双曲线中三者的关系即可求解； （2）设直线方程为，，，直线方程与双曲线方程联立，利用应用韦达定理得由 求得的范围，由坐标求得三角形面积并代入韦达定理的结论化为关于的函数，换元并利用函数的单调性得面积最小值． 【详解】（1）法一：设双曲线的标准方程为 由题知：，故其左右焦点分别为，. 由，解得. 从而， 双曲线的标准方程为. 法二：设双曲线方程为， 由题知：得到. 又，得到. 得到，解得（舍）或， 双曲线的标准方程为. （2）由题意，设作出图形如图所示，    显然直线与轴不垂直，设，， 联立 故，. 由于，均在双曲线右支上， 故，即，解得. 由双曲线的对称性知的中点为， 故 ， 代入韦达定理得 令，则 易知随的增大而减小， 当时，. 【题型04：四边形面积及最值（范围）问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·山西晋城·月考）已知抛物线：的焦点为，准线交轴于点，点在上. (1)求抛物线的方程； (2)若是抛物线上第一象限内的一点，过线段AF的中点向轴引垂线，垂足为点，且，求四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线过点代入求参得出抛物线方程即可； （2）先设点的坐标，再结合两点间距离公式计算得出，再根据四边形图形特征计算面积即可. 【详解】（1）因为抛物线：过点， 所以，，则抛物线方程为. （2）由题可得，设，则，，， 所以，. 因为，所以，解得或（舍）， 故，，，. 又点，，所以，又， 所以四边形是平行四边形， 设为坐标原点，所以四边形的面积为. 2．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线：的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)若上两点，关于点对称，求直线的方程； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据双曲线的离心率和所经过的点求得双曲线的方程. （2）利用点差法求得正确答案. （3）设直线，其中，根据题中条件确定，再将的方程与联立，利用根与系数的关系，用表示，的长，再利用 【详解】（1）依题意，双曲线：的离心率为，且经过点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，上两点，关于点对称， 由，两式相减并化简得， 所以直线的方程为. 由消去得，， 因此直线必与双曲线有两个交点，所以直线的方程为. （3）根据题意，直线的斜率都存在且不为，双曲线的右焦点为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以,.    【点睛】方法点睛： 离心率与焦点求双曲线方程：利用离心率的定义结合经过特定点的条件，可以唯一确定双曲线的方程.这种方法是求解双曲线方程的基础技巧. 点差法求直线方程：在涉及到对称点问题时，点差法是一种简单而有效的求解直线方程的方法，尤其适用于对称性明显的几何问题. 利用根与系数关系求解交点：在小问3中，通过联立直线与双曲线方程，利用根与系数关系，可以简化交点的求解过程，是一种有效的代数方法. 3．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 【答案】(1)8 (2)32 【分析】（1）根据抛物线的定义求出p的值，求出直线l的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解； （2）设直线l的方程为：，，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求出和的值，再利用基本不等式求出四边形的面积的最小值． 【详解】（1）由题意可得，所以， 得抛物线C的方程为：，焦点为， 直线l的方程为：， 联立方程，消去y得， 设，则， 得弦长． （2）设直线l的方程为：，， 联立方程，消去x得， 设，则， 所以， 同理可得， 所以四边形的面积为： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为： 4．（24-25高二上·河北保定·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）利用弦长公式表示面积，再利用换元，转化为函数问题求最值. 【详解】（1）由，即，又，即，， ，故椭圆C的方程为. （2）设四边形EPFQ面积为S，当直线PQ与直线EF有一条斜率为0时，另一条斜率不存在， 不妨设直线PQ斜率不存在，此时直线EF与x轴重合， ，且PQ方程为，将与联立， 求得两交点为，，，故. 当直线PQ与直线EF有一条斜率为可设直线PQ的方程为， ，，联立方程， 得且恒成立， ，， 同理可得， 令，则，， 令，则， 在上单调递增，在上单调递减，，故. 5．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知椭圆的焦距为，离心率为，，为的左，右焦点，，是椭圆上的两点． (1)求的方程； (2)若，两点都在轴上方，且， ①若，求； ②求四个点，，，所构成的四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；②3 【分析】（1）根据已知条件求出即可求解； （2）①设关于原点的对称点为，直线，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解即可；②根据，将四边形的面积转化为的面积，再利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由已知得，解得，， 所以， 所以椭圆的方程为； （2） ①设关于原点的对称点为，则四边形为平行四边形，所以， 因为两点都在轴上方，且，， 所以， ，设直线， 由，消去得， ， 设，，则，， 因为，即，所以， 由，得， 代入，得，解得， ， 所以， ， 所以； ②由①知，且，所以， 所以， 令，， 则， 因为函数在上单调递增， 所以当时，，所以，此时， 所以四个点，，，所构成的四边形面积的最大值为3. 6．（25-26高三上·贵州·月考）在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线交于A，B两点（其中点A在点B的上方），当直线l平行于y轴时，． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l的斜率存在，直线AO与直线相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为3?若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，2条 【分析】（1）根据已知有点在抛物线上，代入抛物线求参数，即可得方程； （2）（i）设，，，联立直线与抛物线并应用韦达定理得，，导数的几何意义求点处切线方程，且，进而得到、，易得，即可证； （ii）连接，由（i）得，则有四边形为平行四边形，再由且，结合已知及导数研究根的个数，即可得. 【详解】（1）当直线轴时， 则点在抛物线上，故， 所以抛物线方程为. （2）（i）证明：由题设，直线的斜率存在且不为0， 设，则斜率. 若，，联立，得， 所以，. 由，则，故B点处切线斜率为， 所以对应切线方程为. 令，故， 由，令，则，故， 所以， 所以，即，所以. （ⅱ）解：如图，连接，由（i）得，， 则又，所以轴，即四边形为平行四边形，    所以 ， 若四边形的面积为3，则， 整理得. 令且， 则. 令，则，故在上单调递增. 又，所以使， 在上，在上单调递减， 在上，在上单调递增， 而，，存在使得， 所以在上有两个零点，为和， 即在上有2个根， 所以，四边形的面积为3的直线有2条. 【题型05：已知面积求其他量】 一、解答题 1．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知，是双曲线的左右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的. (1)求双曲线C的离心率； (2)直线与双曲线交于A，B两点，若四边形的面积为，求. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据条件可求的值，进而求双曲线的离心率. （2）根据双曲线的对称性可得三角形的面积为，进而可得点的纵坐标，进而求. 【详解】（1），，，. ，. 双曲线的离心率. （2）直线与双曲线交于A，B两点， 如图： 两点关于原点为O对称，设，. 又，三角形的面积为. ，. 又点在双曲线上，则. 所以， 所以. 2．已知抛物线C：，焦点为F，准线为l，点Q在准线l上.倾斜角为的直线经过点F与抛物线C交于A，B两点，且点A在第一象限. (1)若Q在x轴上，证明：直线的斜率等于； (2)已知，线段的垂直平分线经过点Q，并与x轴交于点M，四边形的面积为，求p. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）应用抛物线的定义及三角函数的定义，构建直角三角形即可； （2）设直线的方程为，与抛物线联立得，即可求得线段的中点为，进而求出直线的方程，进而得点坐标，结合两点距离公式，可得，由，即可求面积，即可求解. 【详解】（1）证明：过点A作轴，垂足为H，过点A作，垂足为E，则四边形为矩形. 而，而， 由抛物线的定义，，而，故，从而. （2）由题得，直线的方程为，设，， 联立，消去y，可得， 易知，故，从而，. 于是线段的中点为. 又，所以直线的斜率为，故可得直线的方程为，即. 令，得，故， 令，得，故. 于是. 因为，故四边形的面积为， 解得. 3．（24-25高三上·广东·月考）已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为 (1)求的方程. (2)证明：的斜率为定值. (3)设为坐标原点，若与线段（不含端点）相交，且四边形的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程，并与离心率联立求出，，； （2）设直线的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理，再根据条件即可证明. （3）利用（2）中直曲联立的结果，结合弦长公式求出，再利用点到直线距离求出四边形面积，得到方程，求解方程即可. 【详解】（1）由题可知，解得，， 故的方程为. （2）设的方程为，，. 联立方程组 整理得， 即，则，， ， 整理得，则或， 若，则，则过点，不符合题意， 故，即的斜率为定值. （3）由（2）可得直线，，， 因为与线段（不含端点）相交，所以， ， 点到的距离， 点到的距离， 四边形的面积， 解得或（舍去）， 故的方程为：. 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)， 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件， 建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面， 不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形， 强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力， 重视根与系数之间的关系，解决弦长、斜率、三角形的面积等问题． 4．（2025·浙江·二模）已知双曲线（）的左，右焦点分别为，且，圆与的渐近线相切． (1)求双曲线的标准方程； (2)若上两点满足（），且四边形的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到，由圆到直线距离公式得到方程，求出，，得到双曲线方程； （2）设直线，它与E的另一个交点记为C，由对称性可知，四边形面积等于三角形面积，设，联立直线与双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据三角形面积得到方程，求出或，经检验不合要求，时，求出交点纵坐标，得到的值. 【详解】（1）由题意得，解得， ∵双曲线的渐近线为， ∴，解得，所以，故双曲线方程为：； （2）由同向可知，直线、与E均有两个交点. 设直线，它与E的另一个交点记为C. 由双曲线的对称性可知，，故三角形面积等于三角形面积， 所以四边形面积等于三角形面积. 设， 联立方程：，得， ， 三角形面积， 整理得，解得或， 经检验时，，故均在轴上方或下方， 不妨令，此时， 解得或， 画出图象如下： 此时反向，故舍去； 同理可得也不满足要求， 当时，可验证得同向，符合题意， 若，由，解得或， 由于，所以，， 故， 若，同理可得， 综上，. 一、解答题 1．（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线. (1)求的方程，并说明是什么曲线： (2)若直线和曲线相交于两点，求. 【答案】(1)，曲线是双曲线，除去左右顶点 (2) 【分析】（1）设，根据计算即可求出其轨迹方程，进而可得出其是何曲线； （2）利用圆锥曲线的弦长公式计算即可. 【详解】（1）设， 则， 化简得， 所以的方程为，曲线是双曲线，除去左右顶点； （2）设， 联立，消得， ， 则， 所以.    2．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知抛物线：的焦点为，斜率为1的直线与在第一、四象限的交点分别为、，与轴的交点为． (1)当时，求点的坐标； (2)设，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设：联立后得，由可得，进而可得点的坐标为. （2）由弦长公式和得，进而可得，即. 【详解】（1）   设，则：， 联立得， 则，即， 设，，则，， 因为， 所以，得， 故点的坐标为. （2）   由（1）可知，， 所以， 所以，得，所以：， 联立，解得或，则，，， 所以，， 所以，故. 3．（24-25高二上·广东·期末）已知抛物线，过点的直线与交于两点，其中点在第一象限． (1)证明：； (2)若四边形为梯形，求其面积． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，设出直线的方程，利用韦达定理及斜率坐标公式计算推理得证. （2）分析梯形的几何特征确定点的位置，求出坐标，进而求出梯形面积. 【详解】（1）直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，则， 直线的斜率分别为，则 ， 所以． （2）若四边形为梯形，由对称性，不妨设上底为，由（1）知， 由梯形上下底平行得，，则，即点在线段的中垂线上， 于是的横坐标为1，点，， 梯形的面积为. 4．（23-24高二上·江苏南通·月考）双曲线C经过两点.过点的直线与双曲线C交于P，Q，过点的直线与直线相交于点S且 (1)求双曲线C的方程； (2)若，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)或. 【分析】 （1）设双曲线方程为，代入运算求解即可； （2）根据题意可知直线的斜率存在，设直线，，，联立方程，利用弦长公式结合韦达定理运算求解. 【详解】（1） 设双曲线方程为， 代入可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2） 若直线的斜率不存在时，则，，不符合， 所以直线的斜率存在，设直线，，， 联立方程，消去y得， 则且， 可得， 则， 又因为，可知，则， 由题意可知：，即， 整理得，解得或， 且或均符合且， 所以直线的斜率或. 5．（23-24高二上·江苏苏州·月考）已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于A，B两个不同的点． (1)求曲线E的方程； (2)求实数k的取值范围； (3)若，求直线AB的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由双曲线的定义得其方程为； （2）由于直线和双曲线相交于左支，且有两个交点，故联立直线的方程和双曲线的方程，消去后得到关于的一元二次方程的判别式大于零， 且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于零，由此列不等式组，求解的取值范围； （3）由，利用弦长公式，结合韦达定理列出关于的方程，解方程即可得结果. 【详解】（1）由双曲线的定义可知，曲线是以，为焦点的双曲线的左支，且， 由，所以，，所以曲线的方程为. 故曲线的方程为：. （2）设，，由题意联立方程组，消去得， 又因为直线与双曲线左支交于两点，有，解得 . 故的取值范围为. （3）因为 ， 整理化简得，解得或， 因为，所以，直线的方程为. 故直线的方程为：. 【点睛】关键点睛：（2）（3）中根据直线与曲线联立后利用韦达定理，再结合弦长公式从而求解. 6．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知椭圆过点且． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为的直线与交于，两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）通过关系，设出椭圆方程，带点坐标到方程中解得的值即可； （2）设直线的方程，联立方程组整理成一元二次方程，由判别式求得的取值范围，由韦达定理得到根与系数的关系，由焦点弦长公式表示出的值，再求出点到直线，从而得到面积，由二次函数求得最大值. 【详解】（1）由于，设所求椭圆方程为， 把点代入，得， 解得，， 所以椭圆方程为：； （2）设直线的方程为，设，， 联立，整理可得：， ，可得，即， 且，， 所以弦长， 到直线的距离，所以， 当，即时取等号，符合判别式大于0， 所以面积的最大值为． 7．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知椭圆的上､下顶点分别是，左､右顶点分别是，左焦点为，过点的动直线与椭圆分别交于，且直线的斜率之积为. (1)求椭圆的离心率； (2)若四边形面积的最大值是，求椭圆的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，利用斜率坐标公式列式求出，进而求出离心率. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出四边形面积的关系，再利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】（1）设，而，，即， 由直线的斜率之积为，得，解得， 所以椭圆的离心率. （2）由（1）知，，椭圆的半焦距，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，， 由消去得，， ， 四边形面积 ，当且仅当，即时取等号， 因此，解得，所以椭圆的方程为 8．（24-25高三上·云南昆明·月考）已知双曲线的离心率为2，的顶点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)已知直线过原点，与交于两点，与交于两点，若直线过点，且四边形的面积为，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)直线的方程为或. 【分析】（1）根据双曲线的离心率得双曲线的渐近线方程，再根据顶点到渐近线的距离求得的值，从而得的值，即可得双曲线的方程； （2）由题可设直线，，则，联立直线与双曲线方程得交点坐标关系，再根据四边形的面积求得的值，即可得直线的方程. 【详解】（1）双曲线的离心率为，则， 所以，故双曲线的渐近线方程为，即， 双曲线的顶点到渐近线的距离为，则， 故， 所以双曲线的方程为； （2）已知直线过原点，与交于两点，与交于两点， 则关于原点对称，关于原点对称， 由题可设直线，，则， 联立， 则且， 得或 ， 所以， 点到直线的距离为， 所以四边形的面积， 则，整理得， 解得或，所以或， 所以直线的方程为或. 9．（2025·河南鹤壁·模拟预测）已知椭圆：上一点处的切线为，两焦点，在上的射影分别为，我们常常把过切点且与切线垂直的直线叫做法线，它平分，因此从一个焦点射出的光线经过切点反射后会经过另一个焦点如图记，，当点不在轴上时，记的面积为若.    (1)求证：； (2)试探究 是否为定值，如果为定值，求此定值；如果不为定值，请说明理由； (3)若椭圆的离心率为，且当时，四边形的面积，求椭圆的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)为定值， (3) 【分析】（1）根据椭圆的定义结合余弦定理，再应用二倍角正弦公式及余弦公式计算证明； （2）应用弦长计算化简结合关系计算求解； （3）根据面积公式计算化简结合离心率计算求解即可求出椭圆方程. 【详解】（1）记，，，则，. 在中， 又，两式相减，得， （2）题意得 故，，则， 由（1）得，，则. 当为椭圆左右顶点时，也满足上式 故，为定值； （3） ， ， ， 则， 由，知，故椭圆的方程为 10．（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)过作两条相互垂直的直线和，与的右支分别交，两点和，两点，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线，依题意可得，解得即可； （2）设直线，，求得，联立方程组，利用弦长公式，求得，，得到，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）设双曲线，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0， 设直线，，其中， 双曲线的渐近线为， 因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以， 将的方程与联立，可得， 设，则，， 所以 ， 用替换，可得， 所以． 令，所以， 则， 当，即时，等号成立， 故四边形面积的最小值为． 【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 11．（24-25高二上·内蒙古·期末）已知是椭圆的一个顶点，点是上一点． (1)求椭圆的方程． (2)若过点的直线与椭圆交于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ⅱ）求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求可得结论； （2）（ⅰ）结合题意确定直线的斜率不为，设直线方程为，联立方程组化简，结合设而不求法证明结论； （ⅱ）结合（ⅰ）表示，再求其最小值即可. 【详解】（1）由题可知 解得，， 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）证明：若直线的斜率为，则直线与椭圆的交点为，矛盾， 故直线的斜率不为，设其方程为，，． 由， 消得:， 方程的判别式， 由已知为方程的解， 所以，， 因为，， 所以 ，为定值． （ⅱ） ， 因为，当且仅当时，取得最小值， 所以的最小值为． 【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形． 12．（24-25高二上·湖南衡阳·月考）已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M. (1)设直线，的斜率分别为，，证明：； (2)设线段AB的中点为N，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设切线方程，分别用点的横坐标表示，联立直线l与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果； （2）联立直线方程求点M坐标，由中点坐标公式可得点坐标，从而得到，再由弦长公式可得，由的表达式求取值范围即可. 【详解】（1）由题意知，直线l的斜率存在， 设点，，直线l的方程为， 由得， ，，. 由，得切点，， 则切线的方程为，代入，得， 所以，解得， 同理，得切线的斜率， 所以. （2）由（1）可得， 故，. 由（1）得， 可化为，① 同理得，② 由①②，得，，即， 则. ， 所以. 由，，得，故， 即的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 13．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆的两个焦点坐标分别为、，且椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知圆，过圆上任意一点作圆的切线，若与椭圆交于、两点，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，根据题意可得出关于、的值，解出这两个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论：①切线的斜率不存在，直接求出的面积；②切线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，由直线与圆相切得出，将直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式以及基本不等式可求出的最大值，再结合三角形的面积公式可求得结果.比较大小后可得出结论. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 由题意可得，解得， 因此，椭圆的标准方程为. （2）当切线的斜率不存在时，易知点的坐标为或， 若点的坐标为时，则直线的方程为， 联立可得，不妨取点、， 此时，； 当切线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、， 易知圆的圆心为原点，半径为， 因为直线与圆相切，则，可得， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，，且， 因此，面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 14．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上．过点的直线与及圆依次相交于点，如图． (1)求抛物线的标准方程； (2)证明：为定值； (3)过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求与的面积之积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）把点坐标代入抛物线方程，可求的值，得抛物线标准方程. （2）根据题意，设直线方程：，与抛物线方程联立，消去，可得关于的一元二次方程，根据韦达定理，可得，，再利用焦半径公式，表示出，化简整理即可. （3）先求出过两点的切线方程，再求两切线的交点，结合点到直线的距离公式，表示出与的面积之积，再结合二次函数的值域问题求最小值. 【详解】（1）由题意得，因为点在抛物线上，所以.∴， 所以抛物线的标准方程为. （2）由（1）知：，显然直线/的斜率存在，所以设直线方程为：， 由， 设，则 由抛物线的定义得：， 所以：， 即为定值1． （3）由 设直线，联立得： ∴，直线，即 同理求得直线， ，则， ∴到的距离， ∴与的面积之积， 当时，与的面积之积的最小值1. 【点睛】思路点睛：本题第二问考查抛物线中弦长的计算问题，常用的思路就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解. 15．（2025·安徽·模拟预测）已知和交于四点. (1)求的取值范围； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）联立方程，化简，方法一，分类讨论进行求解，方法二，利用不等式进行求解； （2）若，显然，若，根据对称性可设四个交点分别为（其中），求出，点到直线的距离为，求解最大值. 【详解】（1）联立 把②代入①中，得，即 方法一：根的分布 当时，满足要求 当时，令，则， 要使原方程有四个不等实根，只要有两不等正根即可 设是方程两根， 则， 所以或，综上所述，. 方法二：放缩 当时，满足要求 当时，，即，故. （2）若，显然 若，根据对称性可设四个交点分别为（其中） 由（1），故 则的直线方程为 ， 故点到直线的距离为，，则 （当时，取等号）. 16．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点分别为，下上顶点分别为． (1)若为直角三角形，的面积为，求椭圆方程． (2)过右焦点的直线交椭圆C于P，Q两点 （P，Q分别在第一、四象限），连接并延长交椭圆C于点N； ①若，求椭圆的离心率e． ②在（1）条件下，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）根据题意，列出的方程求解； （2）①设，根据椭圆定义结合可得，又由，运算求得答案；②设直线为与椭圆方程联立，可得，由点P，Q分别在第一、四象限可得，求得，四边形面积为，可得，换元令，利用函数单调性求得答案. 【详解】（1）由于为直角三角形，且的面积为， 则， 所以椭圆方程为. （2）①如图，设，则， 由于，则， 则，所以，               则，又， 得到，解得.   ②设直线为或（舍去）， 设点，将直线与椭圆方程联立， ，可得，则，        记四边形面积为， 又因为点P，Q分别在第一、四象限， 则，即， 解得，           则 ，       令，则， 由于，则当，S单调递减， ∴. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的②解题的关键是将四边形面积表示为，可得，并根据条件求得，利用函数单调性求解. 17．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知等轴双曲线的左、右焦点分别，，且焦距为，分别是在第二象限和第一象限上的一点，且. (1)求的方程； (2)若直线的斜率为，求直线的斜率； (3)若四边形的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）根据题意结合等轴双曲线的定义列式求，即可得方程； （2）设直线，，根据向量平行可得，结合韦达定理可得，代入运算求解即可； （3）根据双曲线方程利用两点间距离公式和倾斜角推得，，结合面积关系可得，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）可知：，    设直线，， 联立方程，消去可得， 则，可得， 因为， 若，则， 即，整理可得， 又因为， 可得，解得， 此时即为，解得或（舍去）， 此时，即， 所以直线的斜率. （3）设， 则，即， 可得， 设直线的倾斜角为，则， 可得，解得， 同理可得， 此时梯形的高为， 可知梯形的面积， 整理可得，解得或（舍去）， 可知或，则直线的斜率， 所以直线的方程，即. 【点睛】关键点点睛：第三问根据双曲线方程和倾斜角推得，，这样方便计算面积. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$