素养拓展02 直线中的对称问题（4知识点+5大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

素养拓展02 直线中的对称问题 知识点01：点关于点对称 1、思路：该点是两对称点连线段的中点． 2、方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称． 知识点02：直线关于点对称 1、思路：两直线平行 2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）． 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）． 知识点03：点关于直线对称 1、思路：轴（直线）是对称点连线段的中垂线． 2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 知识点04：直线关于直线对称 1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． 2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 【题型01：点关于点对称】 一、单选题 1．（23-24高二·全国·课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 2．（23-24高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 二、填空题 3．（23-24高二上·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab＝ . 【题型02：直线关于点对称】 一、单选题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 3．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（    ） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 4．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【题型03：点关于直线对称】 一、单选题 1．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆渝中·月考）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 3．（24-25高二下·上海·月考）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知点关于直线对称的点在圆上，则（   ） A．1 B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高二上·贵州六盘水·月考）若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为 . 6．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点关于直线的对称点在圆上，则 . 7．（23-24高二上·山西大同·月考）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则 ． 【题型04：直线关于直线对称】 一、单选题 1．（24-25高二上·天津红桥·月考）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二上·福建福州·期中）若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·四川凉山·期末）设点，若直线关于轴对称的直线与圆相切，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 6．（24-25高二上·浙江温州·期中）过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型05：入射、反射光线背景下的对称问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·期中）我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·月考）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东佛山·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（   ） A．4 B．5 C． D． 5．（23-24高二上·吉林·月考）已知圆，从点出发的光线经过轴反射后的反射光线要想不被圆挡住从而到达点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河北·期中）已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南洛阳·月考）已知直线与关于原点对称，则恒过点（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·河南·月考）已知点关于直线的对称点Q落在圆上，则（    ） A．1 B． C． D．0 7．（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·安徽·期中）已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y轴交于点，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 10．（24-25高二上·四川成都·期中）已知圆关于直线对称的圆经过点上，则（     ） A．1 B． C．1或 D． 二、填空题 11．（24-25高二上·全国·课后作业）一束光线从点射入，经轴上点反射后经过点，则反射光线的倾斜角为 ． 12．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 13．（23-24高二上·全国·课后作业）已知光线从点入射，经过直线反射，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 . 14．（23-24高二上·广东东莞·期末）一条光线从点射出，经直线反射后与圆C：相切，则反射光线所在直线的方程可以为 ．（写出满足条件的一条直线方程即可） 15．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为 .    11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 素养拓展02 直线中的对称问题 知识点01：点关于点对称 1、思路：该点是两对称点连线段的中点． 2、方法：利用中点坐标公式 平面内点关于对称点坐标为， 平面内点，关于点对称． 知识点02：直线关于点对称 1、思路：两直线平行 2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）． 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）． 知识点03：点关于直线对称 1、思路：轴（直线）是对称点连线段的中垂线． 2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 知识点04：直线关于直线对称 1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． 2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 【题型01：点关于点对称】 一、单选题 1．（23-24高二·全国·课堂例题）已知不同的两点与关于点对称，则（    ） A． B．14 C． D．5 【答案】C 【分析】根据中点公式，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】因为两点与关于点对称， 可得，即，解得， 所以. 故选：C. 2．（23-24高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据关于原点对称点的性质确定参数，即得答案. 【详解】由与关于坐标原点对称，则， 所以. 故选：B 二、填空题 3．（23-24高二上·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab＝ . 【答案】 【分析】由点对称，应用中点公式列方程组求出参数，即可得结果. 【详解】由题意知，即，解得，故. 故答案为： 【题型02：直线关于点对称】 一、单选题 1．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线关于点的对称直线平行，设出所求直线，利用点到直线距离求解. 【详解】因为不在直线l：上， 所以可设直线l：关于点对称的直线方程为， 则，解得或（舍去）， 故所求直线方程为：. 故选：A 2．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【答案】C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 3．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为（    ） A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．3x－2y－6＝0 D．2x＋3y＋6＝0 【答案】B 【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】由ax＋y＋3a－1＝0得， 由，得，∴M（－3，1）． 设直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为， ∴，解得:C＝12或C＝－6（舍去）， ∴直线2x＋3y－6＝0关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0． 故选：B． 4．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 【题型03：点关于直线对称】 一、单选题 1．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，直线为线段的垂直平分线，求出线段的垂直平分线方程，即为所求. 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 2．（24-25高二上·重庆渝中·月考）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据两点关于直线对称，利用斜率关系求直线斜率，再由中点在直线上得解. 【详解】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得. 故选：D. 3．（24-25高二下·上海·月考）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 4．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知点关于直线对称的点在圆上，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】求出关于直线对称的点的坐标代入圆求解即可. 【详解】解：设对称的点，则，解得， 所以，所以，所以. 经检验符合题意. 故选：C. 二、填空题 5．（23-24高二上·贵州六盘水·月考）若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意，得出直线是两圆圆心的对称轴，依次求得的中点坐标和斜率,即可由点斜式方程写出直线的方程. 【详解】依题意，直线是两圆圆心的对称轴. 由可得，由可得， 则的中点为，因，故直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故答案为：. 6．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点关于直线的对称点在圆上，则 . 【答案】/ 【分析】分析出点在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而联立与，求出，根据的中点在上得到方程，求出答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 显然在上， 由对称性可知，，故点在以原点为圆心，2为半径的圆上， 即， 联立与得， 故点，显然的中点在上， 即，解得. 故答案为：. 7．（23-24高二上·山西大同·月考）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则 ． 【答案】1 【分析】根据直线对称的性质，结合直线斜率公式、中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之间的关系进行求解即可. 【详解】设点为点，点为点，所以线段的中点为. 设点为点，设点为点，所以线段的中点为， 由题意可知， 于是有： ， 故答案为：1 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据直线对称，得到斜率之间的关系. 【题型04：直线关于直线对称】 一、单选题 1．（24-25高二上·天津红桥·月考）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 2．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 4．（24-25高二上·福建福州·期中）若直线与直线关于直线对称，则直线一定过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线过定点求出定点关于直线对称点的坐标即可得出结果. 【详解】易知直线恒过点，所以可得直线一定过关于直线的对称点； 设对称点坐标为，可得，解得， 即直线一定过定点. 故选：C 5．（24-25高二上·四川凉山·期末）设点，若直线关于轴对称的直线与圆相切，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】根据对称求解直线的方程，即可根据相切关系，结合点到直线的距离公式求解. 【详解】由可得，故直线关于轴对称的直线斜率为，且经过点，故直线方程为， 圆的圆心和半径分别为， 由相切可得，解得， 故选：A 6．（24-25高二上·浙江温州·期中）过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线关于直线对称，则直线与直线垂直，再联立直线与直线即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为, 因为直线关于直线对称， 则直线与直线垂直， 所以直线的方程为，即， 由解得，， 所以点的坐标为. 故选：D. 【题型05：入射、反射光线背景下的对称问题】 一、单选题 1．（24-25高二上·重庆·期中）我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得点关于轴的对称点的坐标与圆的圆心坐标，由两点式可求反射光线所在直线方程. 【详解】由，可得圆心， 由反射定律可知，点关于轴的对称点在反射光线上， 又反射光线恰好平分圆：的圆周，所以反射光线过， 由直线的两点式方程可得反射光线所在直线方程为，即. 故选：A. 2．（24-25高二上·浙江杭州·月考）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即. 故选：B. 3．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点斜式求得直线，再利用点关于直线对称求得点关于直线的对称点，进而利用两点式求得反射光线的方程，再逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】倾斜角为的且过的直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点，则， 即，解得，即， 于是反射后的光线所在的直线方程为，即， 对于A：时，； 对于B：时，； 对于C：时，； 对于D：时，. 故选：D 4．（24-25高二上·广东佛山·期中）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点M，则光线从P到M经过的路程为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】求出关于直线的对称点，然后计算点引出的切线长即可. 【详解】设关于直线的对称点为，则光线反射后经过的路径所在的直线即为直线. 根据的定义，有到直线的距离相等，且其连线与其垂直， 故，. 从而，，故，即或. 但不重合，故，所以，从而，即. 而，，故. 根据对称性，光线经过的路程即为. 故选：C. 5．（23-24高二上·吉林·月考）已知圆，从点出发的光线经过轴反射后的反射光线要想不被圆挡住从而到达点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出反射光线所在直线与圆相切的直线方程，再求出该直线与直线的交点坐标即可得解. 【详解】令从点出发的光线射到轴上的入射点为，反射光线的反向延长线必过点， 设直线的方程为，当直线与圆相交时， 反射光线被圆挡住不能到达点，则不被挡住时，，解得， 直线与直线的交点，因此， 所以实数的取值范围为. 故选：B    一、单选题 1．点关于点的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，设的坐标为，分析可得为的中点，由中点坐标公式可得，解可得、的值，即可得答案. 【详解】根据题意，设的坐标为， 点与关于点的对称， 为的中点， 根据中点坐标公式可得：， 解可得， 即的坐标为 故选：A. 【点睛】本题考查中点坐标公式的应用，注意分析点为中点，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：C 3．（23-24高二上·河北·期中）已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点的坐标，求其中点坐标以及斜率，根据对称轴与两对称点连接线段的关系，可得答案. 【详解】由题意得，，则的中点的坐标为， 直线的斜率. 由圆与圆关于对称，得的斜率. 因为的中点在上，所以，即. 故选：C. 4．（24-25高二上·河南洛阳·月考）已知直线与关于原点对称，则恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线恒过点，然后利用关于原点对称的性质求出其对称点，即可得解. 【详解】因为直线恒过点，点关于原点对称的点的坐标为， 所以直线恒过点. 故选：A 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性的性质，用代，以代进行求解即可. 【详解】因为直线l：与直线关于直线对称， 所以在方程中，用代，以代，得， 化简，得， 故选：A 6．（23-24高二下·河南·月考）已知点关于直线的对称点Q落在圆上，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据点关于直线对称确定Q在圆上．联立，求出Q点坐标，根据对称知识，即可求得答案. 【详解】由题可知，直线l经过坐标原点O，所以， 则Q在圆上． 联立方程组，两式相减得， 代入得，则， 即，则， 而关于直线对称， 则， 故选：A 7．（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【详解】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 8．（24-25高二上·安徽·期中）已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y轴交于点，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设得反射光线所在直线的斜率为，再应用点斜式写出直线方程. 【详解】由题意，所求反射光线所在直线的斜率为，且与y轴交于点， 所求直线的方程为，即. 故选：A 9．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知直线关于对称的直线与圆相离，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由条件求出直线，然后根据直线与圆的位置关系及表示圆的条件列出不等式求解. 【详解】设直线上任一点为，则其关于的对称点在直线上， ∴，且， ∴，即， ∴直线， ∵圆，即， ∴圆心，半径，且， ∴圆心到直线的距离， ∵直线与圆相离， ∴，即，又，解得. 故选：C. 10．（24-25高二上·四川成都·期中）已知圆关于直线对称的圆经过点上，则（     ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【分析】先求得圆C关于直线对称的圆的方程，再将点代入求解. 【详解】圆的标准方程为：， 所以其圆心为，半径为 设圆心为关于直线的对称点为， 则，解得，则， 所以对称圆的方程为：， 因为对称圆过点， 所以， 解得或， 故选：C 二、填空题 11．（24-25高二上·全国·课后作业）一束光线从点射入，经轴上点反射后经过点，则反射光线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】设，根据反射定律得到，利用两点的坐标求斜率，建立等式求解出斜率，再求出倾斜角即可． 【详解】设，由反射定律可知， 解得，则反射光线的斜率， 所以反射光线的倾斜角为， 故答案为：． 12．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程. 【详解】点与点连线斜率，折痕所在直线斜率， 又点与点的中点为， 折痕所在直线方程为：，即. 故答案为：. 13．（23-24高二上·全国·课后作业）已知光线从点入射，经过直线反射，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，先求得点关于的对称点，从而得到，再由点斜式即可得到结果. 【详解】直线的斜率为1，根据点关于斜率为的直线直接求对称点的结论：知求，知求可得， 当时代入得； 当时代入得，即得关于的对称点； 入射光线所在直线方程为：； 化简得：. 故答案为：. 14．（23-24高二上·广东东莞·期末）一条光线从点射出，经直线反射后与圆C：相切，则反射光线所在直线的方程可以为 ．（写出满足条件的一条直线方程即可） 【答案】或（一个方程即给满分） 【分析】设关于直线对称的点为，由光学性质可得，反射光线过，当反射光线斜率存在时，设其方程，由圆心到反射光线的距离等于半径可求出斜率，再讨论反射光线斜率不存在的情况即可. 【详解】设关于直线对称的点为， 所以，解得， 当反射光线斜率存在时，设其所在直线的方程为即 因为反射光线与圆C：相切， 所以圆心到反射光线的距离，即，解得，所以反射光线所在直线的方程为； 当反射光线斜率不存在时，设其所在直线的方程为，满足反射光线与圆相切， 故反射光线所在直线的方程为或. 故答案为：或（一个方程即给满分） 15．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为 .    【答案】 【分析】作出点关于轴的对称点以及关于的对称点，将问题转化为求解，由此求解出结果. 【详解】点关于轴的对称点，关于的对称点，如图所示，      又因为，，所以直线方程为：，即， 所以，解得，即. 所以光线经过的路程为. 故答案为： 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$