精品解析：河南省许昌市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

XCS2024-2025学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学 注意事项：本试卷满分120分，考试时间为100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B. C. D. 2. 下列长度三条线段，能构成直角三角形的是（ ） A. 1.5，2，3 B. ，2， C. 4，5，6 D. 6，8，10 3. 三个旅游团游客年龄的方差分别是：，，，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择（ ） A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 哪一个都可以 4. 函数的图象不经过（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A B. C. D. 7. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 8. 如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（ ） A 2 B. C. D. 9. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接．若＝，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在至的气温，水资源及光照充分的条件下，对温度（单位：）对光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响进行研究，并将得到的相关数据绘制成如图所示的图象．请根据图象，判断下列说法中不正确的是（　　） A. 草莓的光合作用产氧速率先增大后减小 B. 当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大 C. 草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大 D. 草莓中有机物积累最快时的温度约为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 12. 为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是___________分． 13. 如图，中，，以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作，若，则的值为__________． 14. 一次函数与的图象如图，则不等式的解集是___________ 15. 如图1，在矩形中，是边上的一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为与之间的函数关系如图2所示，则__________，__________． 三、解答题（本大题共7个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点． （1）在平面直角坐标系中描出点； （2）填空：__________，__________； （3）判断的形状，并说明理由． 18. 2025年4月24日是第十个“中国航天日”，为弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛活动，学校随机抽取了七、八年级各15名学生的成绩（百分制），并对成绩进行了整理、分析．过程如下： 【收集数据】 七年级15名学生成绩：85，78，69，86，92，96，79，86，91，95，75，88，74，86，89． 八年级15名学生成绩：73，74，75，77，80，82，84，85，85，88，91，92，94，97，98． 【整理数据】 七、八年级学生成绩频数分布表 年级 七年级 1 4 4 八年级 0 4 6 5 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 八年级 85 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）综合上表中的统计量，判断哪个年级的成绩比较好，并说明理由； （3）七年级共有学生900人，八年级共有学生750人，按规定，90分及以上的学生可以获奖，估计这两个年级可以获奖的总人数是多少？ 19. 如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两个顶点坐标为． （1）求对角线所在直线对应的函数解析式； （2）若点在轴上，且，求点的坐标． 21. 项目化学习 项目主题：玉米种子购买方案的选择 项目背景：种子是植物世界的起源，是农业生产的基础，是保障粮食安全最重要的因素之一．优质种子的生产、繁殖和利用，能够提高粮食生产的质量和效益．某校综合实践活动小组以探究“玉米种子的购买方案”为主题开展项目学习． 驱动任务：探究玉米种子的付款金额与购买量之间的函数关系； 研究步骤： （1）收集区域内甲、乙两个种子商店销售同一玉米种子的信息； （2）对收集的信息进行整理描述； （3）信息分析，形成结论． 数据信息：信息1：甲商店这种玉米种子的售价为4元，无论购买多少均不打折； 信息2：乙商店这种玉米种子的售价如下表： 购买量 以内（含3） 超过 售价 元 超过的部分打折销售 信息3：乙商店销售这种玉米种子的部分小票统计如下表： 购买量 付款金额元 问题解决： （1）请分别写出在甲、乙两个商店购买玉米种子的付款金额（元）与购买量（）之间的函数关系式； （2）现需购买一批这种玉米种子，请通过计算说明选择哪个商店更合算． 22. 综合与实践 “综合与实践”课上，李老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开得到两个全等的三角形纸片，表示为和（其中）．将两个三角形纸片按下列方式摆放，解决以下问题： （1）如图2，摆放和，使点重合，点共线．连接．则四边形形状为___________；面积___________． （2）固定的位置，使点重合（标记为），转动的位置进行摆放． ①如图3，转动、摆放的过程中，若，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； ②“乐学组”同学在转动、摆放的过程中，发现边有多种情况能与的一边平行，连接，请直接写出的值（写出2种答案即可）． 挑战题（每题10分，共20分） 23. 观摩、学习是我们生活的一部分，而在观摩中与展览品保持一定的距离是一种文明的表现．某学校数学学习小组在平面直角坐标系有关研讨中，将到线段所在的直线距离为的直线，称为直线的“观察线”，并称观察线上到、两点距离和最小的点为线段的“最佳观察点”． （1）如果，那么在点中，处在直线的“观察线”上的是点___________； （2）求直线的“观察线”的表达式． 24. 已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当t何值时，四边形是平行四边形； （2）在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标：若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点M，且，当P运动_______秒时，四边形的周长最小，并在图3中画图标出点M的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ XCS2024-2025学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学 注意事项：本试卷满分120分，考试时间为100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D. ，是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（ ） A. 1.5，2，3 B. ，2， C. 4，5，6 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，若三条线段满足两较短边的平方和等于最长边的平方，则可构成直角三角形．逐一验证各选项即可． 【详解】解∶A．∵，不符合构成直角三角形的条件， ∴选项A不符合题意； B．∵，不符合构成直角三角形的条件， ∴选项B不符合题意； C．∵，不符合构成直角三角形的条件， ∴选项C不符合题意； D．∵，符合构成直角三角形的条件， ∴选项D符合题意； 故选∶D． 3. 三个旅游团游客年龄的方差分别是：，，，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择（ ） A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 哪一个都可以 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解∶∵：，， ∴， 导游小方应该选择甲团， 故选：A 4. 函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据k＞0确定一次函数经过第一、三象限，根据b＜0确定函数图象与y轴负半轴相交，即经过第四象限，从而判断得解． 【详解】解：一次函数y=x﹣2， ∵k=1＞0， ∴函数图象经过第一、三象限， ∵b=﹣2＜0， ∴函数图象与y轴负半轴相交，即经过第四象限， ∴函数图象不经过第二象限． 故选B． 5. 已知平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质解答即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形中，， ∴，， ∴， 故选：． 6. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 7. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角． 利用矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，不符合题意； B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，符合题意； C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，不符合题意； D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，不符合题意． 故选：B． 8. 如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 先求出大、小正方形的边长，进而求出两个阴影图形面积之和即可． 【详解】解：由图可得，正方形和的边长分别为， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接．若＝，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，以及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键在于熟练掌握相关性质．根据菱形的性质得到，再结合直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半推出，即可求出菱形的周长． 【详解】解：菱形的对角线相交于点O， ，即， E是的中点，， ， 菱形的周长为， 故选：B． 10. 光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在至的气温，水资源及光照充分的条件下，对温度（单位：）对光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响进行研究，并将得到的相关数据绘制成如图所示的图象．请根据图象，判断下列说法中不正确的是（　　） A. 草莓的光合作用产氧速率先增大后减小 B. 当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大 C. 草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大 D. 草莓中有机物积累最快时的温度约为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是能够从函数图象中获得相应的信息．根据统计图获得相应的信息，进行判断即可得． 【详解】解：由图象，可知草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小，故选项A正确； 由图象，当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率曲线达到最高点，草莓的呼吸作用耗氧速率最大，故选项B正确； 由图象，可知光合作用产氧速率不总是大于呼吸作用耗氧速率，故选项C不正确； 由图象，当温度约为时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差最大，结合题意可知此时草莓生长最快，故选项D正确； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，据此解答 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为 12. 为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是___________分． 【答案】93 【解析】 【分析】利用加权平均数的计算方法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：（分）； ∴该参赛队的最终成绩是93分， 故答案为：93 【点睛】本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法，是解题的关键． 13. 如图，中，，以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作，若，则的值为__________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理定理可知：，结合，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵以的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别记作， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案：25 14. 一次函数与的图象如图，则不等式的解集是___________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，直接根据图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知：不等式的解集是； 故答案为：． 15. 如图1，在矩形中，是边上的一个动点，将沿折叠得到，记和矩形重叠部分的面积为，的长度为与之间的函数关系如图2所示，则__________，__________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．当时，如图示中的位置，根据，可求出的值，当最大时，与重合，即如图示位置，此时，，即，证明，得到，设，则，根据勾股定理求出，得到，再求出，即可求解， 【详解】解：如图： 当时，如图示中的位置， 由题意和矩形及折叠的性质可得，四边形是正方形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）； ∴， 当最大时，与重合，即如图示位置， 此时，， ∴， 由折叠可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2；． 三、解答题（本大题共7个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，最后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，在的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知点． （1）在平面直角坐标系中描出点； （2）填空：__________，__________； （3）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2）； （3）是等腰直角三角形，详见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标系中描点，勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理，是解题的关键： （1）根据点的坐标，描点即可； （2）勾股定理进行求解即可； （3）利用勾股定理和逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 解：由题意，描点如下： 【小问2详解】 解：由勾股定理，得：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵，由（2）知：，且 ∴，， ∴是等腰直角三角形． 18. 2025年4月24日是第十个“中国航天日”，为弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞赛活动，学校随机抽取了七、八年级各15名学生的成绩（百分制），并对成绩进行了整理、分析．过程如下： 【收集数据】 七年级15名学生成绩：85，78，69，86，92，96，79，86，91，95，75，88，74，86，89． 八年级15名学生成绩：73，74，75，77，80，82，84，85，85，88，91，92，94，97，98． 【整理数据】 七、八年级学生成绩频数分布表 年级 七年级 1 4 4 八年级 0 4 6 5 【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 八年级 85 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：__________，__________，__________； （2）综合上表中的统计量，判断哪个年级的成绩比较好，并说明理由； （3）七年级共有学生900人，八年级共有学生750人，按规定，90分及以上的学生可以获奖，估计这两个年级可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）；； （2）八年级成绩比较好，八年级的平均分比七年级的高；详见解析 （3）估计这两个年级可以获奖的总人数是490人． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，中位数，众数，平均数，用样本估计整体等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）用15减去七年级其他组别的频数即可求出a的值，再根据中位数和众数的定义即可求出b、c的值； （2）根据八年级的平均数比七年级的大即可得到答案； （3）分别用对应年级的人数乘以对应样本中90分及90分以上的学生人数占比，所得结果求和即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，； ∵七年级成绩中，86出现的次数最多， ∴七年级的众数为86，即； ∵八年级一共调查了15名学生， ∴八年级的中位数是第8名的成绩（按照从低到高的顺序排列），即八年级的中位数为85， ∴； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解；我认为八年级的成绩较好，理由如下： ∵八年级的平均分85分大于七年级的平均分分， ∴八年级成绩较好； 【小问3详解】 解：， 答：估计这两个年级可以获奖的总人数是490人． 19. 如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定． （1）利用尺规作图作出线段的垂直平分线l即可； （2）由D，E分别为，的中点，根据中位线的性质，得到，，结合，得到，即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：直线l如图所示， ； 【小问2详解】 证明：补全图形，如图， 由（1）作图知，E为的中点， ∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∵，即：， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两个顶点坐标为． （1）求对角线所在直线对应的函数解析式； （2）若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一元一次方程． （1）求出点C的坐标，设直线解析式为，将和代入计算即可； （2）设点的坐标为，求出，根据三角形面积公式列方程计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 设直线解析式为， 因为的图象过点和， 所以， 解得． ∴对角线所在直线对应的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设点的坐标为 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即或 ∴或， ∴或． 21. 项目化学习 项目主题：玉米种子购买方案的选择 项目背景：种子是植物世界的起源，是农业生产的基础，是保障粮食安全最重要的因素之一．优质种子的生产、繁殖和利用，能够提高粮食生产的质量和效益．某校综合实践活动小组以探究“玉米种子的购买方案”为主题开展项目学习． 驱动任务：探究玉米种子的付款金额与购买量之间的函数关系； 研究步骤： （1）收集区域内甲、乙两个种子商店销售同一玉米种子的信息； （2）对收集的信息进行整理描述； （3）信息分析，形成结论． 数据信息：信息1：甲商店这种玉米种子的售价为4元，无论购买多少均不打折； 信息2：乙商店这种玉米种子的售价如下表： 购买量 以内（含3） 超过 售价 元 超过的部分打折销售 信息3：乙商店销售这种玉米种子的部分小票统计如下表： 购买量 付款金额元 问题解决： （1）请分别写出在甲、乙两个商店购买玉米种子的付款金额（元）与购买量（）之间的函数关系式； （2）现需购买一批这种玉米种子，请通过计算说明选择哪个商店更合算． 【答案】（1）甲商店：，乙商店：；（2）当时，选择甲商店更合算；当时，选择两个商店一样；当时，选择乙商店更合算． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据题意，分别列出函数关系式，即可求解； （2）分，两种情况，结合（1）中的解析式，即可求解． 【详解】解：（1）依题意，甲商店：． 乙商店：当时，依题意，， 当时，设关系式为，将，代入，得 解得： ∴乙商店： （2）， 当时，选择甲商店更合算； 由，得． 当时，选择甲商店更合算； 由，得． 当时，选择两个商店的付款金额相同； 由，得． ∴当时，选择乙商店更合算． 综上，当时，选择甲商店更合算；当时，选择两个商店一样；当时，选择乙商店更合算． 22. 综合与实践 “综合与实践”课上，李老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开得到两个全等的三角形纸片，表示为和（其中）．将两个三角形纸片按下列方式摆放，解决以下问题： （1）如图2，摆放和，使点重合，点共线．连接．则四边形形状为___________；面积___________． （2）固定的位置，使点重合（标记为），转动的位置进行摆放． ①如图3，转动、摆放的过程中，若，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； ②“乐学组”同学在转动、摆放的过程中，发现边有多种情况能与的一边平行，连接，请直接写出的值（写出2种答案即可）． 【答案】（1）菱形； （2）①四边形是正方形，详见解析；②72或144或 【解析】 【分析】（1）证明，进而得到是四边形的对角线且互相垂直平分，即可证明四边形形状为菱形，根据30度角的性质结合勾股定理得到，即可求出面积； （2）①先证明四边形是矩形，再证明矩形是正方形； ②分三种情况计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴， ∵点共线， ∴， ∴点共线， ∴是四边形的对角线且互相垂直平分， ∴四边形形状为菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形面积 故答案为：菱形；； 小问2详解】 解：①四边形是正方形，理由如下： ∴四边形是矩形 ∴四边形是正方形； ②i．当时， 由（1）可知，， ∵， ∴ ∵， ∴； ii．当时， 如图，反向延长到F，过点B作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴在一条直线上， ∵， ∴在一条直线上， ∴， ∴； iii． 当时， 如图，过D作交延长线于F，作交延长线于G， 则四边形为矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形矩形， ∴，， ∴ ∴； 综上所述，的值为72或144或（写出2种答案即可）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，30度角的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 挑战题（每题10分，共20分） 23. 观摩、学习是我们生活的一部分，而在观摩中与展览品保持一定的距离是一种文明的表现．某学校数学学习小组在平面直角坐标系有关研讨中，将到线段所在的直线距离为的直线，称为直线的“观察线”，并称观察线上到、两点距离和最小的点为线段的“最佳观察点”． （1）如果，那么在点中，处在直线的“观察线”上的是点___________； （2）求直线的“观察线”的表达式． 【答案】（1）A和B （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得轴，则可推出纵坐标为0或为的点在直线的“观察线”上，据此可得答案； （2）根据题意可得“观察线”与直线平行，设“观察线”的解析式为，当“观察线”在直线上方时，设“观察线”与y轴交于E，与x轴交于G，过点E作直线的垂线，垂足为F，则，可得，则可得到，证明是等腰直角三角形，得到，则，即可得到直线解析式为，同理可得当“观察线”在直线下方时的解析式为． 综上所述，直线的“观察线”的表达式为或． 【小问1详解】 解：∵， ∴轴， ∴到线段所在的直线距离为的直线为或， ∴纵坐标为0或为的点在直线的“观察线”上， ∴在直线的“观察线”上点A和B； 【小问2详解】 解：∵“观察线”到直线的距离为， ∴“观察线”与直线平行， 设“观察线”的解析式为， 当“观察线”在直线上方时，设“观察线”与y轴交于E，与x轴交于G，过点E作直线的垂线，垂足为F， 在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可得当“观察线”在直线下方时的解析式为； 综上所述，直线的“观察线”的表达式为或． 24. 已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒． （1）当t何值时，四边形是平行四边形； （2）在直线上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标：若不存在，请说明理由； （3）在线段上有一点M，且，当P运动_______秒时，四边形的周长最小，并在图3中画图标出点M的位置． 【答案】（1）；（2）存在，t=，Q（18，12）；t=9，Q（5，12）；t=4，Q（-5，12）；（3） 【解析】 【分析】（1）先求出OA，进而求出OD=5，再由运动知BP=10-2t，进而由平行四边形的性质建立方程26-2t=13即可得出结论； （2）分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论； （3）先判断出四边形OAMP周长最小，得出AM+DM最小，即可确定出点M的位置，再用三角形的中位线得出BM，进而求出PC，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形OABC为矩形，A（26，0），C（0，12）， ∴BC=OA=26，AB=OC=12， ∵点D是OA的中点， ∴OD=OA=13， 由运动知，PC=2t， ∴BP=BC-PC=26-2t， ∵四边形PODB是平行四边形， ∴PB=OD=13， ∴26-2t=13， ∴t=； （2）①当Q点在P右边时，如图1， ∵四边形ODQP菱形， ∴OD=OP=PQ=13， ∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=5， ∴2t=5； ∴t=， ∴CQ=CP+PQ=5+13=18， ∴Q（18，12）； ②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图2， 同①的方法得出 t=9，CQ=5， ∴Q（5，12）， ③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图3， 同①的方法得出，t=4，CQ=5， ∴Q（-5，12）， 综上：t=，Q（18，12）；t=9，Q（5，12）；t=4，Q（-5，12）； （3）如图4，由（1）知，OD=13， ∵PM=13， ∴OD=PM， ∵BC∥OA， ∴四边形OPMD是平行四边形， ∴OP=DM， ∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP =26+AM+13+DM=39+AM+DM， ∴AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小， ∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交PB于M， ∴AB=EB， ∵BC∥OA， ∴BM=AD=， ∴PC=BC-BM-PM=26--13=， ∴t=÷2=． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，最值的确定，三角形中位线定理，解（1）的关键是求出OD的值，解（2）的关键时分类讨论的思想，解（3）的关键是找出点M的位置，是一道中等难度的中考常考题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$