第24讲 解三角形-2026年高考数学一轮复习基础梳理

第24讲 解三角形 知识点目录 【知识点1】与平面几何有关的问题 3 【知识点2】解三角形的实际应用 4 【知识点3】 三角形中的面积与周长问题 6 【知识点4】转化为三角函数求最值(范围) 7 基础知识 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． （1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． （2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． （3）南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． （2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 【解题方法总结】 1、方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 3、三角形中的射影定理 在 中，；；． 知识点1 知识点 【知识点1】与平面几何有关的问题 在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想． 典型例题 例1： 【例1】（2025•山东模拟）记△的内角，，的对边分别为，，，已知，，，点在边上，且平分，则的长为　　 A． B． C． D． 【例2】（2025•白银区二模）△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，且，，则边上的中线长为　　 A．7 B．3 C． D． 【例3】（2025春•肥西县期中）如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则　　 A． B． C． D． 【例4】（2025•武汉模拟）在△中，内角，，的对边分别是，，，且，，△面积为，为边上一点，是的角平分线，则　　 A． B．1 C． D． 【例5】（2025春•琼山区期中）在△中，内角，，所对的边分别为，，，且，若是的中点，，，则　　 A．3 B．4 C．5 D．6 知识点2 知识点 【知识点2】解三角形的实际应用 根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解 典型例题 【例6】（2025春•芜湖期中）芜湖中江塔始建于明万历四十六年年），清代康熙八年年）续建落成．古时候，人们把长江的从九江至京口（镇江）一段，称为中江，而芜湖适得其处，故有中江之名，中江塔也由此得名．中江塔每层每面均有一门，门两边各有一窗，专供夜间置灯，导航来往船只，故中江塔通常被当作芜湖的城市名片和地标建筑．如图，某同学为测量中江塔的高度，在中江塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处，，三点共线）测得建筑物顶部和中江塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则中塔的高度约为　　 A． B． C． D． 【例7】（2025春•天水期中）某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位，塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱．上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟．如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基在同一水平面内的两个测量基点与，在点测得重兴塔在北偏东的点处，塔顶的仰角为，在点测得重兴塔在北偏西的处，通过测量两个测量基点与之间的距离约为米，则塔高约为　　米． A．54 B．30 C． D． 【例8】（2025春•渝中区期中）为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组．今欲测量学校附近洵江河岸的一座“使命塔”的高度，如图所示，可以选取与该塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得“使命塔”塔顶的仰角为，则“使命塔”高　　 A． B． C． D． 【例9】（2025春•山东期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则　　 A． B． C． D． 【例10】（2025•甘肃模拟）如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的点测得的仰角为，，，（单位：，（点，，在同一水平地面上），则大跳台最高高度　　 A． B． C． D． 知识点3 知识点 【知识点3】 三角形中的面积与周长问题 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到 典型例题 【例11】（2025春•武汉期末）在△中，，，所对的边分别为，，，已知且，若△面积为4，则　　 A．2 B． C． D． 【例12】（2025春•新城区期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，，，则△周长的最大值为　　 A．1 B．2 C．3 D． 【例13】（2025•宿迁模拟）在△中，三个内角，，所对的边分别为是的三等分点，且．若△的面积时，则的长为　　 A． B． C． D． 【例14】（2025•道里区四模）直线与圆相交于，两点，当△面积最大时，　　 A．0 B． C． D． 【例15】（2025•李沧区模拟）已知△的三个内角，，所对边为，，，若，且，，则△的面积为　　 A． B． C． D．1 知识点4 知识点 【知识点4】转化为三角函数求最值(范围) 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围． 典型例题 例1： 【例16】（2023•浙江模拟）记锐角内角、、的对边分别为、、．已知． （1）求； （2）若，求的取值范围． 【例17】（2024•新县模拟）如图，在中，，为外一点，，记，． （1）求的值； （2）若的面积为，的面积为，求的最大值． 【例18】（2024春•乌鲁木齐期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）若边上的高等于1，求； （2）若为锐角三角形，求的面积的取值范围． 【例19】（2024•衡水模拟）在△中，内角，，所对的边分别是，，，三角形面积为，若为边上一点，满足，，且． （1）求角； （2）求的取值范围． 【例20】（2024春•陕西期末）已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）当时，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24讲 解三角形 知识点目录 【知识点1】与平面几何有关的问题 3 【知识点2】解三角形的实际应用 6 【知识点3】 三角形中的面积与周长问题 11 【知识点4】转化为三角函数求最值(范围) 14 基础知识 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① 同理有：，． ②； ③斜三角形中， ④； ⑤在中，内角成等差数列． （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． （1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）． （2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． （3）南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 （1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）． （2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比． 【解题方法总结】 1、方法技巧：解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到． 3、三角形中的射影定理 在 中，；；． 知识点1 知识点 【知识点1】与平面几何有关的问题 在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想． 典型例题 例1： 【例1】（2025•山东模拟）记△的内角，，的对边分别为，，，已知，，，点在边上，且平分，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据，得到，代入即可求解． 【解答】解：设，，则，解得， 由题意可得， 即， 整理得， 所以． 故选：． 【例2】（2025•白银区二模）△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，且，，则边上的中线长为　　 A．7 B．3 C． D． 【答案】 【分析】根据三角形面积公式得到，由向量法即可求得到答案． 【解答】解：已知△的内角，，的对边分别为，，，△的面积为，且，， 则， 解得， 设的中点为， 则， 则 ， 则， 故边上的中线长为． 故选：． 【例3】（2025春•肥西县期中）如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，结合题意算出，将代入化简，进而可得所求答案． 【解答】解：因为平行四边形中，为的中点，所以且， 根据△△，可得，所以， 所以． 故选：． 【例4】（2025•武汉模拟）在△中，内角，，的对边分别是，，，且，，△面积为，为边上一点，是的角平分线，则　　 A． B．1 C． D． 【答案】 【分析】根据等面积得出，再结合面积公式得出，再利用余弦定理求解即可． 【解答】解：因为△面积为，为边上一点，是的角平分线， 所以， 即， 又因为， 所以， 又， 所以， 即， 所以． 故选：． 【例5】（2025春•琼山区期中）在△中，内角，，所对的边分别为，，，且，若是的中点，，，则　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【分析】由正弦定理、商数关系得，分解向量得，结合数量积的运算律即可列方程求解． 【解答】解：因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 若是的中点，则， 两边平方可得，即， 若，则，解得或（舍去）． 故选：． 知识点2 知识点 【知识点2】解三角形的实际应用 根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解 典型例题 【例6】（2025春•芜湖期中）芜湖中江塔始建于明万历四十六年年），清代康熙八年年）续建落成．古时候，人们把长江的从九江至京口（镇江）一段，称为中江，而芜湖适得其处，故有中江之名，中江塔也由此得名．中江塔每层每面均有一门，门两边各有一窗，专供夜间置灯，导航来往船只，故中江塔通常被当作芜湖的城市名片和地标建筑．如图，某同学为测量中江塔的高度，在中江塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处，，三点共线）测得建筑物顶部和中江塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则中塔的高度约为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据图形，由几何关系结合正弦定理和三角函数关系计算可得． 【解答】解：根据题意可知，地面上点处，，三点共线）测得建筑物顶部和中江塔顶部的仰角分别为和， 可得，，在△中，， 在△中，，，所以， 在△中，由正弦定理得，即， 即，解得， 在△中，，，所以． 故选：． 【例7】（2025春•天水期中）某市居民小区内的重兴塔，在2013年被列为国家级重点保护单位，塔身为八角形楼阁式建筑，九层十檐，最下层为双檐木回廊，檐下系砖雕斗拱．上八层为单檐，砖雕仰莲承托，层层紧缩，造型浑厚拙朴，气势雄伟．如图，某校高一学生进行实践活动，选取与塔基在同一水平面内的两个测量基点与，在点测得重兴塔在北偏东的点处，塔顶的仰角为，在点测得重兴塔在北偏西的处，通过测量两个测量基点与之间的距离约为米，则塔高约为　　米． A．54 B．30 C． D． 【答案】 【分析】根据题意求出，，运用正弦定理算出的长，然后在△中根据锐角三角函数的定义求出长，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据题意，在△中，，， 所以． 由正弦定理得，可得米， 在△中，，可得米． 即塔高约为30米． 故选：． 【例8】（2025春•渝中区期中）为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组．今欲测量学校附近洵江河岸的一座“使命塔”的高度，如图所示，可以选取与该塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得“使命塔”塔顶的仰角为，则“使命塔”高　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先解三角形，得，再解直角，就可以得到． 【解答】解：在中，，，可得， 由正弦定理得：，则， 可得：， 在直角中，， 故选：． 【例9】（2025春•山东期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，在△中利用正弦定理求，在△中利用余弦定理求，然后在△中利用余弦定理求出长，即可得到本题的答案． 【解答】解：由题意得，，，， 在△中，，由正弦定理，可得． 由，，可得，所以， 在△中，由余弦定理得，所以． 由，，可得， 在△中，由余弦定理得， 即，所以． 故选：． 【例10】（2025•甘肃模拟）如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的点测得的仰角为，，，（单位：，（点，，在同一水平地面上），则大跳台最高高度　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】在中，由余弦定理可得的值，在中，由角正切值可得的值． 【解答】解：在中，，，，可得， 由正弦定理，即， 可得， 由题意面，可得， ， 所以， 故选：． 知识点3 知识点 【知识点3】 三角形中的面积与周长问题 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到 典型例题 【例11】（2025春•武汉期末）在△中，，，所对的边分别为，，，已知且，若△面积为4，则　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【分析】根据半角公式，正弦定理即可求解． 【解答】解：在△中，由，利用半角公式， 可得，交叉相乘并整理，结合， 推导出，由正弦定理，，得， 已知，面积，即， 由余弦定理，代入，，得， 则，将与相除， 得，利用二倍角公式，代入， 得． 故选：． 【例12】（2025春•新城区期末）在△中，内角，，所对的边分别为，，，，，则△周长的最大值为　　 A．1 B．2 C．3 D． 【答案】 【分析】根据正弦定理，余弦定理，基本不等式即可求解． 【解答】解：根据题意可知，，根据正弦定理，则， 因为，所以，又，两边约去，得，故， 已知，周长，需最大化，由余弦定理，代入，，得：， 利用基本不等式：， 即，解得，当且仅当时取等，因此，周长最大值为． 故选：． 【例13】（2025•宿迁模拟）在△中，三个内角，，所对的边分别为是的三等分点，且．若△的面积时，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由余弦定理得，由△的面积得，解出，的值，由已知可和，再结合向量的数量积运算可求得． 【解答】解：根据题意可知，在△中，，是的三等分点， 根据余弦定理得，， 根据三角形面积公式，则，得，又，解得，， ，， ， ，． 故选：． 【例14】（2025•道里区四模）直线与圆相交于，两点，当△面积最大时，　　 A．0 B． C． D． 【答案】 【分析】设，根据三角形的面积公式与圆的性质算出，可得△为等腰直角三角形时，最大，由此求出圆心到直线的距离，运用点到直线的距离公式求出的值，可得答案． 【解答】解：圆可化为，圆心为，半径， 设，则， 当且仅当时，取得最大值2，此时点到直线的距离， 所以，解得． 故选：． 【例15】（2025•李沧区模拟）已知△的三个内角，，所对边为，，，若，且，，则△的面积为　　 A． B． C． D．1 【答案】 【分析】根据正弦定理化简，结合两角和的正弦公式化简得，可得，所以，根据三角形内角和定理算出，然后运用正弦定理列式求出，结合三角形的面积公式求出答案． 【解答】解：根据，结合正弦定理得， 因为在△中，， 所以，整理得， 在△中，，可得，结合，可知， 因为，所以， 由正弦定理得，可得， 所以△的面积． 故选：． 知识点4 知识点 【知识点4】转化为三角函数求最值(范围) 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围． 典型例题 例1： 【例16】（2023•浙江模拟）记锐角内角、、的对边分别为、、．已知． （1）求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用三角形内角和定理，两角和的余弦公式的得到，进而求解； （2）利用正弦定理和三角函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）由，故， 故， ， 故，因是锐角三角形，故， 故，故，所以． （2）由正弦定理可知， 故， ． ． 由是锐角三角形，可知， 故， 故． 【例17】（2024•新县模拟）如图，在中，，为外一点，，记，． （1）求的值； （2）若的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1）． （2）最大值为． 【分析】（1）由余弦定理可得，求解即可； （2）由已知可得，计算可求的最大值． 【解答】解：（1）在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以，所以， 解得； （2）由题意知，， 所以， 由（1）有， 所以，， 所以 ， 所以当时，取得最大值，最大值为． 【例18】（2024春•乌鲁木齐期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）若边上的高等于1，求； （2）若为锐角三角形，求的面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先由正弦定理求出，注意到，由此可以求出，最终由余弦定理即可求解． （2）先由正弦定理以及恒等变换表示，结合已知条件可以求出的范围，且注意到，由此即可得解． 【解答】解：（1）因为， 由正弦定理，可得， 则， 又， 所以， 因为， 所以，解得， 又由余弦定理，解得， 所以； （2）由正弦定理有，且由（1）可知， 所以， 又因为锐角， 所以，解得， 所以， 所以， 所以， 所以面积的取值范围是． 【例19】（2024•衡水模拟）在△中，内角，，所对的边分别是，，，三角形面积为，若为边上一点，满足，，且． （1）求角； （2）求的取值范围． 【分析】（1）利用三角形的面积公式，正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得，结合，可求的值； （2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，可求，，进而利用正弦函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）因为， 所以，即， 由正弦定理得， 所以， 所以， 因为， 所以， 因为， 可得； （2）在△中，因为，， 所以， 由正弦定理得， 所以， 在△中，由正弦定理得， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，整理得， 因为， 所以，， 所以，，可得的取值范围是，． 【例20】（2024春•陕西期末）已知在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）当时，求的取值范围． 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，由余弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可； （2）利用正弦定理将边化角，由三角恒等变化可得，再由正弦型三角函数的值域求解即可． 【解答】解：（1）因为， 由正弦定理可得， 由余弦定理，即， 所以， 又为锐角， 所以； （2）由正弦定理得， 所以，， 则 ， 由，可得， 所以， 所以， 所以，即的取值范围为，． 学科网（北京）股份有限公司 $$