精品解析：福建省厦门外国语学校2024-2025学年下学期八年级数学期末试题

2024~2025学年第二学期八年级期末考试 数学 (试卷满分：150分 考试时间：120分钟) 班级 姓名 座号 考号 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共8页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3．作图题可直接用2B铅笔画． 一、选择题(本大题共10小题．每小题4分，共40分) 1. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程：，则下列根的判别式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据3，5，5，7，加入一个数5后，下列各统计量中，发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 5. 如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 6. 小明用四根长度相同的木条制成了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图①所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图②所示的正方形，并测得对角线，则图①中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 7. 利用一个平行四边形画菱形，对于以下两种作法，根据画图痕迹可以判断（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①②都不正确 8. 若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，，的对应点分别为，连接交于点．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图， ， 以为邻边作， 连接， 则线段长为（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题(本大题共有6小题，每小题4分，共24分) 11. 关于x的方程有一个根为，则m的值为___． 12. 若点在一次函数图象上， 则______(填或) 13. 在一次空气污染指数抽查中， 收集到7天的数据如下：75，70，81，91，92，91，85．则该组数据的中位数是___________． 14. 如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，下列四个说法：①；②;③；④．其中说法正确的结论有_________．(填序号) 15. 如图，直角坐标系中，点是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线，直线交于A，B两点，以为边向右侧作正方形，当点在正方形内部时，t的取值范围是______． 16. 如图， 菱形中， ，，E、F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ______． 三、解答题(本大题共9小题，共86分) 17. 解方程： （1） （2） 18. 幸福社区推出智能可回收物投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品、其中奖励积分y(分)与投放质量的函数关系如图所示． （1）当投放质量不超过时，每千克可回收物可以赚取 积分： （2）求AB段所在直线的函数解析式，并求出投放可回收物时，可以获得多少积分? 19. 某同学对两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，从这两块苹果园各随机采摘相同个数的苹果，测量每个苹果的直径作为样本数据，苹果直径用x(单位：cm)表示．将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x/ cm 整理样本数据，并绘制甲、乙两块苹果园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 根据上面图表解答下列问题： （1）请直接写出乙苹果园样本数据频数分布直方图中 ． （2）请求出甲苹果园样本直径的平均数； （3）直接写出乙苹果园样本直径的中位数落在 组；(请填写组别对应的大写字母) 20. 如图，在中，点在边上，，点为线段上一点，．求证：． 21. 如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． （1）求四边形的面积； （2）小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 22. （1）请在所给的平面直角坐标系中，用描点法画出函数 的图象； （2）请继续完成图形并解答：函数的图象分别与轴，轴交于点，，过点作轴的垂线，在直线上取点，恰使，请求出点的坐标． 23. 如图， 矩形， 点E 在边上． （1）尺规作图：请在线段上作出点 F，使得 ；(不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，若， ①设，请用含x的代数式表示(不用写自变量x的取值范围) ②请写出线段与的数量关系，并说明理由． 24. 如图，平面直角坐标系中有菱形，点 点 C，D在第三象限内． （1）如图1， 若点 求菱形的面积； （2）如图2， 若 M为的中点． ①求点 D 到直线的距离； ②若N为边上一动点 (不与点O重合)，将 沿直线折叠，点O的对应点为点E，连接，当 是以为腰的等腰三角形时，画出示意图并求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期八年级期末考试 数学 (试卷满分：150分 考试时间：120分钟) 班级 姓名 座号 考号 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共8页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3．作图题可直接用2B铅笔画． 一、选择题(本大题共10小题．每小题4分，共40分) 1. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查自变量的取值范围，掌握被开方数大于等于0是解题关键． 2. 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的定义，，正比例函数的定义为形如（为常数且）的函数，据此求解即可． 【详解】选项A：，x位于分母，不是正比例函数，不符合定义． 选项B：，x的次数为2，不是正比例函数，不符合定义． 选项C：，含常数项，属于一次函数但非正比例函数． 选项D：，可化简为，符合的形式，k为，是正比例函数． 故选：D． 3. 已知关于x的一元二次方程：，则下列根的判别式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式公式，代入题目方程的系数计算即可． 【详解】解：对于方程，其二次项系数为1，一次项系数为，常数项为，， 故选：D． 4. 一组数据3，5，5，7，加入一个数5后，下列各统计量中，发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，方差，众数，分别计算加入一个数5前后各统计量，最后比较即可得出答案． 【详解】解：原数据：3，5，5，7 平均数： 中位数：排序后为3，5，5，7，中位数为 方差： 众数：出现次数最多的数为5． 新数据：3，5，5，5，7 平均数：（未变） 中位数：排序后为3，5，5，5，7，中位数为5（未变） 方差：（变小） 众数：出现次数最多的数仍为5（未变）． 综上，方差发生变化， 故选：C． 5. 如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算，掌握勾股定理的计算，无理数的估算方法是解题的关键． 根据勾股定理得到第九个直角三角形的斜边长，得到该图形周长，根据无理数的估算即可求解． 【详解】解：每一个直角三角形都有一条直角边长为，如图所示， ∴左起第一个直角三角形的斜边长为， 第二个直角三角形的斜边长为， 第三个直角三角形的斜边长为， 第四个直角三角形的斜边长为， ， ∴第九个直角三角形的斜边长为， ∴这个图形的周长（实线部分）为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴最接近的是13， 故选：B ． 6. 小明用四根长度相同的木条制成了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图①所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图②所示的正方形，并测得对角线，则图①中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形和菱形．熟练掌握正方形性质，菱形性质，等边三角形判定和性质，勾股定理，是解题的关键． 根据正方形性质，得，得，根据菱形性质，得是等边三角形，即得． 【详解】在图2正方形中， ∵， ∴， ∵， ∴， 在图1菱形中，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 7. 利用一个平行四边形画菱形，对于以下两种作法，根据画图痕迹可以判断（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①②都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质及线段和垂直平分线的作法，根据作图方法结合平行四边形的性质利用菱形的判定定理逐一判定即可． 【详解】解：在作法①中，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 由作图可知垂直平分， 则， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，①正确； 在作法①中，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， 由作图可知， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵不一定相等，则不一定相等， ∴不能判定 四边形是菱形，②不正确； 故选：B． 8. 若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件确定的符号后，结合二元一次方程组对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：， ， 又不等式的解集是， ，， 即， 结合一次函数解析式可得， 此时一定在该函数图象上， 选项，将代入解析式可得，结合可解得，与已知矛盾，选项错误； 选项，将代入解析式可得，结合可解得，与已知矛盾，选项错误； 选项，将代入解析式可得，结合可解得，与已知矛盾，选项错误； 选项，将代入解析式可得，结合可解得，符合，选项正确． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是不等式解集与一次函数图象的关系、二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据已知条件确定参数的符号． 9. 如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，，的对应点分别为，连接交于点．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设为直线上一点，根据折叠的性质，矩形的性质，证明四边形为平行四边形，四边形为矩形，逐一进行判断即可． 【详解】解：连接，设为直线上一点， ∵在矩形中，点是的中点， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故选项D正确； ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴，故选项错误； ∵，故选项A错误； ∵， ∴， ∵为的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：；故选项B错误； 故选D． 【点睛】本题考查矩形与折叠，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角等知识点，熟练掌握相关知识点，证明四边形为平行四边形，四边形为矩形，是解题的关键． 10. 如图， ， 以为邻边作， 连接， 则线段长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点O，取的中点M，连接，利用直角三角形斜边中线的性质，求出，由平行四边形的性质求得，，推出是中位线，据此求解即可． 【详解】解：连接交于点O，取的中点M，连接， 由条件可知，，， 是的中位线， ， ， ， ， ， 故选：A 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握以上知识点是关键． 二、填空题(本大题共有6小题，每小题4分，共24分) 11. 关于x的方程有一个根为，则m的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把代入方程，得出m的方程，解关于m的方程即可． 【详解】解：∵关于x的方程．有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 若点在一次函数图象上， 则______(填或) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：由一次函数得， ， ∴随的增大而减小， 由得，， ∴， 故答案为：． 13. 在一次空气污染指数抽查中， 收集到7天的数据如下：75，70，81，91，92，91，85．则该组数据的中位数是___________． 【答案】85 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为70，75，81，85，91，91，92，处在最中间的数据为85， ∴这组数据的中位数为85， 故答案为：85． 14. 如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边 ()，下列四个说法：①；②;③；④．其中说法正确的结论有_________．(填序号) 【答案】① 【解析】 【分析】根据题意，得，，结合公式，求得，结合公式计算即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 故． 故①正确；②错误；③错误；④错误； 故答案为：①． 15. 如图，直角坐标系中，点是x轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线，直线交于A，B两点，以为边向右侧作正方形，当点在正方形内部时，t的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数、解一元一次不等式等知识．根据题意得，，继而解得，此时点C的横坐标为，由点在正方形内部，可得，且，据此解得的取值范围即可． 【详解】解：当轴，点是轴正半轴上的一个动点， ，， ， 点C的横坐标为， 点在正方形内部， ，且， 解得或， 故答案为：或． 16. 如图， 菱形中， ，，E、F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】过点B作，且，证明，当A，E，T三点共线时，取得最小值，最小值为的长，利用勾股定理，菱形的性质解答即可． 【详解】解：∵菱形中， ，， ∴，， 过点B作，且截取， 则， 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故当A，E，T三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴， 故最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题(本大题共9小题，共86分) 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式法求解即可． （2）利用因式分解法求解即可． 本题考查了公式法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得． 18. 幸福社区推出智能可回收物投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品、其中奖励积分y(分)与投放质量的函数关系如图所示． （1）当投放质量不超过时，每千克可回收物可以赚取 积分： （2）求AB段所在直线的函数解析式，并求出投放可回收物时，可以获得多少积分? 【答案】（1）10 （2）；350 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的应用，理解题意、从图象中获得必要的数学信息是解题的关键． （1）根据段图象，直接求解； （2）利用待定系数法求一次函数解析式，再求时，的值． 【小问1详解】 当投放质量不超过10 kg时，由，可知每千克可回收物可以赚取10积分． 【小问2详解】 设AB段所在直线的函数解析式为， 代入，，可得， 解得， ， 当时，， 答：AB段所在直线的函数解析式为，当投放可回收物时，可以获得350积分． 19. 某同学对两块苹果园的优质苹果情况进行调查统计，从这两块苹果园各随机采摘相同个数的苹果，测量每个苹果的直径作为样本数据，苹果直径用x(单位：cm)表示．将所收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x/ cm 整理样本数据，并绘制甲、乙两块苹果园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 根据上面图表解答下列问题： （1）请直接写出乙苹果园样本数据频数分布直方图中 ． （2）请求出甲苹果园样本直径的平均数； （3）直接写出乙苹果园样本直径的中位数落在 组；(请填写组别对应的大写字母) 【答案】（1）50 （2） （3）C 【解析】 【分析】（1）根据题意，甲的样本容量为，故，解答即可． （2）利用加权平均数的定义计算即可； （3）根据中位数的定义解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，甲的样本容量为， 故， 故答案为：50． 【小问2详解】 解：根据题意，得． 【小问3详解】 解：根据题意，得中位数是第100个和101个数据的平均数， 结合已知，得， 故一定落在C组． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了样本容量的计算，平均数的计算，中位数的计算，频数分布直方图，熟练掌握计算是解题的关键． 20. 如图，在中，点在边上，，点为线段上一点，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，先根据四边形是平行四边形，得，，再证明，即可作答． 【详解】略 21. 如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． （1）求四边形的面积； （2）小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 【答案】（1）平方米 （2）线段的长度为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式，即可求解； （2）根据题意得出米，设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵米，米 ∴米 ∵ ∴是直角三角形，且 ∴四边形的面积为平方米 【小问2详解】 解：由（1）可得是直角三角形， 依题意，米， 设米，则米 在中， ∴ 解得：，即线段的长度为米． 22. （1）请在所给的平面直角坐标系中，用描点法画出函数 的图象； （2）请继续完成图形并解答：函数的图象分别与轴，轴交于点，，过点作轴的垂线，在直线上取点，恰使，请求出点的坐标． 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了作一次函数图像，求一次函数解析式，全等三角形等知识，掌握一次函数图像的性质是解题的关键． （1）根据题意列表、描点、连线即可； （2）过点作交于点，点坐标为，连接，进而证得，可得，，可得，设直线为，利用待定系数法求出直线解析式，即可求得点的坐标． 【详解】解：（1）列表得： 描点、连线得： （2）如图，过点作交于点，点坐标为，连接， 由题意知，，， ，， ， ，， ， ， ， 点坐标为，，， ，， 在与中，， ， ，， 轴， ， 设直线为， 直线经过，， 可得，解得， 直线为， 点在直线上且在直线， ， ， ． 23. 如图， 矩形， 点E 在边上． （1）尺规作图：请在线段上作出点 F，使得 ；(不写作法，保留作图痕迹) （2）在（1）的条件下，若， ①设，请用含x的代数式表示(不用写自变量x的取值范围) ②请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①；②，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）①由矩形的性质得到，，求出，得到，再由，得到，则，据此可得结论；②延长到G，使得，设，则，由①可得，，由矩形的性质得到，，则，则可证明，得到；证明垂直平分，得到，可得，，则可证明，得到，据此可得结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②，理由如下： 如图所示，延长到G，使得，连接， 设，则， 由①可得，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，平面直角坐标系中有菱形，点 点 C，D在第三象限内． （1）如图1， 若点 求菱形的面积； （2）如图2， 若 M为的中点． ①求点 D 到直线的距离； ②若N为边上一动点 (不与点O重合)，将 沿直线折叠，点O的对应点为点E，连接，当 是以为腰的等腰三角形时，画出示意图并求直线的解析式． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）作于点H，根据列方程求出t的值，然后根据菱形面积公式求解即可； （2）①作，先求出，再根据勾股定理求出，然后根据平行线间的距离相等即可求解． ②分、和，分类讨论即可． 【小问1详解】 解：如图，作于点H， ∵ ∴， ∴ ∵菱形， ∴ ∵ ∴ ∴（正值舍去） ∴ ∴菱形的面积为： 【小问2详解】 ①作 ∵， ∴ ∴ ∴． ∵菱形 ∴ ∴点 D 到直线的距离为 ②（Ⅰ）当时，连接，作于H，于G， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， ∵M为边的中点， ∴，， ∵折叠， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴D、E、N三点共线， 作于点P，于点Q，则四边形是矩形， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴ ∴ 设直线解析式为， 则，解得， ∴； （Ⅱ）当点E与点A重合时，此时折痕与垂直，所以N与C重合，满足， 由（Ⅰ）知， ∴直线的解析式为； （Ⅲ）由（Ⅱ）图可知，此时满足， ∴此种情况和（Ⅱ）一样． 综上，直线解析式为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $