第14章 全等三角形 预学检测-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（人教版2024）

23 典例3 已知:如图,△ABC≌△A'B'C',AD,A'D'分别 是∠BAC,∠B'A'C'的平分线.求证:AD=A'D'.证明: ∵ △ABC≌ △A'B'C',∴ ∠B = ∠B',∠BAC = ∠B'A'C',AB=A'B'.∵ AD,A'D'分别是∠BAC, ∠B'A'C'的平分线,∴ ∠BAD=12∠BAC ,∠B'A'D'= 1 2∠B'A'C'.∴ ∠BAD = ∠B'A'D'.在 △ABD 和 △A'B'D' 中, ∠B=∠B', AB=A'B', ∠BAD=∠B'A'D', 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD ≌ △A'B'D'(ASA).∴ AD=A'D'.∴ 全等三角形对应角 的平分线的长相等. 典例3图 预学训练 1. B 2. A 3. D 4. C 5. 15° 6. 4 7. 1 8. 4 解析:∵ AB∥CD,OG⊥CD,∴ OF⊥AB.∵ AO 是∠BAC 的 平 分 线,OF⊥AB,OE⊥AC,OE=2, ∴ OF=OE=2.∵ CO 是∠ACD 的平分线,OE⊥AC, OG⊥CD,∴ OG=OE=2.∴ FG=OF+OG=4. 9. ∵ PD⊥OA,PE⊥OB,∴ ∠PDF=∠PEG=90°.在 Rt△PFD 和 Rt△PGE 中, PF=PG, DF=EG, ∴ Rt△PFD≌ Rt△PGE(HL).∴ PD=PE.∵ P 是OC 上一点,PD⊥ OA,PE⊥OB,∴ OC是∠AOB 的平分线. 10. C 11. 3∶4∶5 解析:如图,过点O 作OD⊥BC 于点D, OE⊥AC 于点E,OF⊥AB 于点F.∵ 三条角平分线AO, BO,CO 交 于 点O,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB, ∴ OD=OE=OF.∵ AB=30,BC=40,AC=50,∴ 易 得S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=AB∶BC∶AC=3∶4∶5. 第11题 12. (1) ∵ ∠ACB=∠DCE,∴ ∠ACB+∠BCD= ∠DCE+ ∠BCD,即 ∠ACD = ∠BCE.在 △ACD 和 △BCE 中, CA=CB, ∠ACD=∠BCE, CD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACD ≌ △BCE (SAS).(2) 如图,过点C 作CM⊥AD 于点M,CN⊥BE 于点N.∴ ∠AMC=∠BNC=90°.∵ △ACD≌△BCE, ∴ ∠CAM= ∠CBN. 在 △ACM 和 △BCN 中, ∠CAM=∠CBN, ∠AMC=∠BNC, AC=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACM ≌ △BCN (AAS). ∴ CM=CN.∵ CM ⊥AD,CN ⊥BE,∴ HC 平 分 ∠AHE.(3) ∵ △ACD ≌ △BCE,∴ ∠CAD = ∠CBE.∴ 易得∠AHB=∠ACB=α.∴ ∠AHE= 180°-α.由(2),得 HC 平 分∠AHE.∴ ∠CHE= 1 2∠AHE=90°- 1 2α. 第12题 第十四章预学检测 一、 1. D 2. D 3. A 4. D 5. D 6. C 7. D 8. C 9. D 解析:① ∵ OC 平分∠AOB,∴ ∠DOP=∠EOP, ∵ PD⊥OA 于点D,PE⊥OB 于点E,∴ ∠ODP= ∠OEP=90°.∵ OP=OP,∴ △ODP≌△OEP(AAS). ∴ OD=OE.② ∵ △ODP≌△OEP,∴ PD=PE, ∠OPD=∠OPE.∴ ∠DPF=∠EPF.∵ PF=PF, ∴ △DPF≌△EPF(SAS).∴ DF=EF.③ ∵ △DPF≌ △EPF,∴ ∠DFO=∠EFO.④ ∵ △DPF≌△EPF, ∴ S△DFP=S△EFP. 10. A 解 析:∵ ∠AOB = ∠COD,∴ ∠AOB + ∠AOD=∠COD+∠AOD.∴ ∠BOD=∠AOC.在 △AOC 和△BOD 中, OA=OB, ∠AOC=∠BOD, OC=OD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AOC≌ △BOD(SAS).∴ AC=BD.∴ ①正确.∵ △AOC≌ △BOD,∴ ∠OCM=∠MDO.∵ ∠MDC=∠MDO+ ∠ODC,∠OCD=∠OCM+∠MCD,∠COD=180°- (∠OCD + ∠ODC),∠CMD =180°- (∠MDC + ∠MCD),∴ ∠CMD =180°-(∠MDO+∠ODC+ ∠MCD),∠COD =180°- (∠OCM + ∠MCD + 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24 ∠ODC).∴ ∠CMD=∠COD.∴ ②错误.如图,过点O 作OE⊥AC,OF⊥BD,垂足分别为E,F.∴ ∠OEC= ∠OFD=90°.在△COE 和△DOF 中, ∠OCE=∠ODF, ∠OEC=∠OFD, OC=OD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △COE≌△DOF(AAS).∴ OE=OF.∵ OE⊥AC, OF⊥BD,∴ MO 平分∠BMC.∴ ③正确.综上所述,正 确的是①③. 第10题 二、 11. 答案不唯一,如DE=EF 12. 100° 13. 5cm 或10cm 14. 4 15. (1,4) 16. 16 解析:∵ 四边形ABCD 为正方形,∴ ∠DAB= ∠D=∠ABC=90°,AD=AB.∴ ∠ABE=∠D= 90°.∵ ∠DAB =90°,∠EAF =90°,∴ ∠DAF + ∠BAF=90°,∠BAE+ ∠BAF=90°.∴ ∠DAF = ∠BAE.在 △AEB 和 △AFD 中, ∠BAE=∠DAF, AB=AD, ∠ABE=∠D, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEB ≌ △AFD.∴ S△AEB =S△AFD.∴ 易 得 S四边形AECF=S正方形ABCD=4×4=16. 三、 17. ∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠ABD=∠C= 60°,AB=BC.在△ABD 和△BCE 中, AB=BC, ∠ABD=∠C, BD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△BCE.∴ AD=BE. 18. (1) 在△ABC和△ADE中, BC=DE, ∠B=∠D, AB=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌ △ADE.(2) 由(1),得△ABC≌△ADE.∴ AC=AE, ∠BAC=∠DAE=60°.∴ ∠AEC=∠ACE.∴ ∠ACE= 180°-60° 2 =60°. 19. (1) 如图,线段BD 为所求作.(2) 当BE=BC 时, ∠BED=∠C.理由:如图,在线段AB 上取一点E,使 BE=BC,连接 DE.∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠EBD= ∠CBD.在 △BDE 和 △BDC 中, BE=BC, ∠EBD=∠CBD, BD=BD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDE≌ △BDC(SAS).∴ ∠BED= ∠C.∴ 当 BE=BC时,∠BED=∠C. 第19题 20. (1) ∵ AB⊥BD,CD⊥BD,∴ ∠ABP=∠CDP= 90°.∵ ∠CPA =90°,∴ ∠CPD + ∠APB =90°. ∵ ∠ABP=90°,∴ ∠APB+∠PAB=90°.∴ ∠CPD= ∠PAB.在△CPD 和△PAB 中, ∠CDP=∠PBA=90°, ∠CPD=∠PAB, CD=PB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △CPD≌△PAB(AAS).(2) ∵ BD=10m,BP= 2m,∴ DP=DB-BP=10-2=8(m).∵ △CPD≌ △PAB,∴ AB=DP=8m. 21. (1) 答案不唯一,如△ABE≌△ADF.∵ CA 平分 ∠BCD,AE⊥BC,AF⊥CD,∴ AE=AF,∠AEB= ∠AFD=90°.在Rt△ABE 和Rt△ADF 中, AB=AD, AE=AF, ∴ Rt△ABE≌Rt△ADF(HL).(2) ∵ Rt△ABE≌ Rt△ADF,∴ ∠B= ∠ADF.∵ ∠ADF+ ∠ADC= 180°,∴ ∠B+∠ADC=180°. 22. (1) ∵ ∠ACF=∠ADF,∴ ∠B+∠A=∠B+ ∠F.∴ ∠A=∠F.∵ DE∥BC,∴ ∠ADE=∠B.在 △ADE 和 △FBD 中, ∠A=∠F, AD=FB, ∠ADE=∠B, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE ≌ △FBD(ASA).∴ AE=FD.(2) ∵ ∠FDB=80°,∠B= 70°,∴ ∠F=30°.∴ ∠ACF=∠ADF=∠B+∠F= 100°.∴ ∠1=∠F+∠ACF=130°. 23. (1) ∵ 点Q 的速度与点P 的速度相等,∴ 当t= 1时,易得AP=BQ=2cm.∵ AB=9cm,∴ BP=9- 2=7(cm).∵ AC=7cm,∴ BP=AC.∵ AC⊥AB, BD⊥AB,∴ ∠A=∠B=90°.在△ACP 和△BPQ 中, AP=BQ, ∠A=∠B, AC=BP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACP≌△BPQ(SAS).(2) PC⊥ PQ.理由:∵ △ACP≌△BPQ,∴ ∠ACP=∠BPQ. ∵ ∠A=90°,∴ ∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP= 90°.∴ ∠CPQ=90°,即PC⊥PQ. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 80 第十四章预学检测 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共30分) 1. 下列图形中,属于全等形的是 ( ) A B C D 2. 如图,△ABE≌△ACD,点B,D,E,C 在同 一条直线上.下列结论不一定正确的是 ( ) A. AB=AC B. ∠BAE=∠CAD C. BE=CD D. AD=DE 第2题 第3题 3. 如图所示为一个平分角的仪器,其中AB= AD,BC=DC.将点A 放在角的顶点处,AB 和AD 沿着角的两边放下,沿AC 画一条射 线AE,AE 就是这个角的平分线.此仪器的 原理是 ( ) A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 4. (凉山中考)如图,在△ABF 和△DCE 中,点 E,F 在BC 上,BE=CF,∠B=∠C.添加 下列一个条件,仍无法证明△ABF≌△DCE 的是 ( ) 第4题 A. ∠AFB=∠DEC B. AB=DC C. ∠A=∠D D. AF=DE 5. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探 究活动,各组的作图痕迹如图所示,其中射 线OP 为∠AOB 的平分线的有 ( ) 第5题 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如 图,AB =AC,AD =AE,∠BAC = ∠DAE,点B,D,E 在同一条直线上.若 ∠1=25°,∠2=35°,则∠3的度数是 ( ) A. 50° B. 55° C. 60° D. 70° 第6题 第7题 7. 如图,OP 平分∠AOB,PC⊥OA,D 是OB 上的动点.若PC=5cm,则PD 的长可能是 ( ) A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm 8. 如图,点E 到△ABC 三边的距离相等,过点 E 作MN∥BC,交AB 于点M,交AC 于点 N.若BM+CN=2025,则线段MN 的长为 ( ) 第8题 A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 拍 照 批 改 81 答案讲解 9. 如图,OC 为∠AOB 的平分线,P 是 OC 上的一点,PD⊥OA 于点D, PE⊥OB 于点E,F 为OC 上另一 点,连接 DF,EF,有下列结论:① OD= OE;② DF=EF;③ ∠DFO= ∠EFO; ④ S△DFP=S△EFP.其中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第9题 第10题 答案讲解 10. 如图,在△AOB 和△COD 中,OA= OB,OC = OD,OA < OC, ∠AOB=∠COD,连接 AC,BD 交于点M,连接OM.有下列说法:① AC= BD;② ∠CMD > ∠COD;③ MO 平 分 ∠BMC.其中,正确的是 ( ) A. ①③ B. ①② C. ① D. ③ 二、 填空题(每题3分,共18分) 11. (牡丹江中考)如图,在△ABC 中,D,E 分 别是AB,AC 上一点,CF∥AB,D,E,F 三 点共线,请添加一个条件: ,使得 AE=CE. 第11题 第12题 12. (成都中考)如图,△ABC≌△CDE.如果 ∠D=35°,∠ACB=45°,那么∠DCE 的度 数为 . 第13题 13. 如 图,在△ABC 中,∠C= 90°,AC=10cm,BC=5cm, 点P,Q 分别在线段AC 和与 AC 垂直的射线AM 上移动, 且PQ=AB.当AP= 时,△ABC 和△QPA 全等. 14. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂 足分别是 D,E,AD,CE 交于点 H.若 AE=CE=5,CH=1,则BE= . 第14题 第15题 15. (临夏中考)如图,在△ABC 中,点A 的坐 标为(0,1),点B 的坐标为(4,1),点C 的坐 标为(3,4).若点D 在第一象限(不与点C 重合),且△ABD 与△ABC 全等,则点D 的坐标为 . 答案讲解 16. 如图,正方形ABCD 的边长为4, 将Rt△AMN 的直角顶点落在点 A 处,两条直角边分别与CD 交于 点F,与CB 的延长线交于点E,则四边形 AECF 的面积是 . 第16题 三、 解答题(共52分) 17. (6分)(宜宾中考)如图,D,E 分别是等边 三角形ABC的边BC,AC上的点,且BD= CE,BE 与AD 交于点F.求证:AD=BE. 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 82 18. (6分)(长沙中考)如图,点C 在线段AD 上,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE. (1) 求证:△ABC≌△ADE; (2) 若∠BAC=60°,求∠ACE 的度数. 第18题 19. (6分)如图,在锐角三角形ABC 中,AB> BC. (1) 尺规作图:作△ABC 的角平分线BD (保留作图痕迹,不写作法). (2) 若点E 在边AB 上,则当BE 满足什么 条件时,∠BED=∠C? 请说明理由. 第19题 20. (8分)小明利用一根长为2m的竿子CD 来测量路灯杆AB 的高度(AB⊥BD),方法 如下:如图,在地面上选一点P,使BP= 2m,然后把竿子CD 在BP 的延长线上左 右移动,使∠CPA=90°,且CD⊥BD,此时 测得BD=10m. (1) 求证:△CPD≌△PAB; (2) 求路灯杆AB 的高度. 第20题 21. (8分)如图,在四边形 ABCD 中,AB= AD,CA 平分∠BCD,AE⊥BC,AF⊥CD. (1) 根据给出的条件,找出图中的一对全等 三角形,并证明; (2) ∠B 和∠ADC 之间有什么样的数量 关系? 第21题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 83 22. (8分)如图,在△ABC 中,D 为边AB 上一 点,DE∥BC,交AC 于点E,F 为BC 的延 长线上的一点,BF=AD,∠ACF=∠ADF. (1) 求证:AE=FD; (2) 若∠FDB=80°,∠B=70°,求∠1的 度数. 第22题 答案讲解 23. (10分)如图,AB=9cm,AC⊥ AB,BD⊥AB,AC=BD=7cm, 点P 在线段AB 上以2cm/s的速 度由点A 向点B 运动,同时,点Q 在线段 BD 上由点B 向点D 匀速运动,它们运动 的时间为ts. (1) 若点Q 的速度与点P 的速度相等,则 当t=1时,求证:△ACP≌△BPQ; (2) 在(1)的条件下,判断此时PC 和PQ 之间的位置关系,并说明理由. 第23题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备