13.3 三角形的内角与外角-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（人教版2024）

17 6×8 10 =4.8.∴ AD 的长为4.8.(2) ∵ △ABC 是直角三 角形,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,∴ S△ABC= 1 2AB · AC=12×6×8=24.∵ AE 是边BC 的中线,∴ BE= CE.∴ 1 2BE ·AD=12CE ·AD,即S△ABE=S△AEC. ∴ S△ABE= 1 2S△ABC= 1 2×24=12.∴ △ABE 的面积是 12.(3) △ACE 的周长-△ABE 的周长=AC+AE+ CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2.∴ △ACE 和△ABE 的周长的差是2. 预学训练 1. B 2. C 3. C 4. D 5. D 6. 三角形具有稳定性 7. 90cm 8. 6 9. (1) 3.(2) ∵ AD,BE 是△ABC的中线,∴ BD=CD, AE=EC.∴ S△ABE =S△ADC = 1 2S△ABC.∴ S△ABE - S△AEF = S△ADC - S△AEF,即 S△ABF = S四边形FDCE. ∵ S△ABF=4cm2,∴ S四边形FDCE=4cm2. 10. C 11. C 12. C 解析:∵ 一个等腰三角形的两边长分别是 a 和 2a+1,∴ 另一边长可能是a 或2a+1,∵ a+a=2a< 2a+1,∴ 第三边的长为2a+1.∴ 周长为a+2a+1+ 2a+1= 5a+2. 13. 7或9或11 14. 2c-2a 15. (1) ∵ (a-b)2+|b-c|=0,∴ (a-b)2=0且|b- c|=0.∴ a=b=c.∴ △ABC 是等边三角形.(2) ∵ a, b,c是△ABC的三边长,∴ b-c-a<0,a-b+c>0, a-b-c<0.∴ 原式=a+c-b+a-b+c-b-c+a= 3a-3b+c. 16. (1) 如图,延长BP 交AC 于点D.在△ABD 中, AB+AD>PB+PD;在△PCD 中,PD+DC>PC. ∴ AB+AD+PD+DC>PB+PD+PC,即AB+AC> PB+PC.(2) 在△ABP 中,PA+PB>AB.同理,可得 PB+PC>BC,PA+PC>AC.将以上三式分别相加,得 2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC,即PA+PB+PC> 1 2 (AB+BC+AC). 第16题 13.3 三角形的内角与外角 知识梳理 1. 三角形的外角 6 2 对顶角 2. ∠ACD=∠A+ ∠B 两个内角的和 3. 大于 4. 180° 5. 互余 6. 互余 典例演练 典例1 ∵ AD是边BC上的高,∴ ∠ADC=90°.∵ ∠C= 50°,∴ ∠DAC=90°-∠C=40°.∴ ∠EAC=∠EAD+ ∠DAC=45°.∵ AE 是∠BAC 的平分线,∴ ∠CAB= 2∠DAC=90°.∴ ∠B=180°-∠CAB-∠C=40°. 典例2 ∵ ∠3是△ABD 的一个外角,∴ ∠3=∠B+ ∠1.∵ ∠3=80°,∠B=∠1,∴ ∠1=12∠3= 1 2×80°= 40°.∵ ∠BAC=70°,∴ ∠2=∠BAC-∠1=70°- 40°=30°. 典例3 设∠ABC=∠ACB=x,则∠BAC=3x.在△ABC 中,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°.∴ x+x+3x= 180°.∴ x=36°.∴ ∠BAC=3x=108°.∵ CD 是AB 边 上的 高,∴ ∠D =90°.∵ ∠ACD = ∠BAC- ∠D, ∴ ∠ACD=108°-90°=18°. 预学训练 1. B 2. C 3. D 4. C 5. (1) 65° (2) 60° (3) 67.5° 6. 直角 7. ∵ ∠CEF=∠AED=48°,∠ACB=∠CEF+∠F, ∴ ∠F=∠ACB-∠CEF=74°-48°=26°. ∴ ∠BDF= 180°-∠B-∠F=180°-67°-26°=87°. 8. B 9. D 10. D 解析:∵ ∠B=97°,∠C=40°,∴ ∠A=180°- 97°-40°=43°.由平移的性质,可知AB∥DE.∴ ∠GHC= ∠A=43°. 11. 80°或40° 12. ∵ ∠B=50°,∠ANC=80°,∴ ∠BAN=∠ANC- ∠B=30°.∵ AN 是∠BAC 的平分线,∴ ∠BAC= 2∠BAN=60°.∴ ∠C=180°-∠B-∠BAC=70°. 13. (1) 在△OAB 中,∠A+∠B=180°-∠AOB.在 △OCD 中,∠C+∠D =180°- ∠COD.∵ ∠AOB= ∠COD,∴ ∠A+∠B=∠C+∠D.(2) 题图②中共有 6个“8字”.(3) 在“8字”ABED 中,∠E+∠ADE= ∠A+∠ABE①;在“8字”EBCD 中,∠E+∠EBC= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 18 ∠C + ∠EDC ②.由 ①+②,得 2∠E+ ∠ADE + ∠EBC=∠A+∠C+∠ABE+∠EDC.∵ DE 平分 ∠ADC,BE 平分∠ABC,∴ ∠ADE=∠EDC,∠EBC= ∠ABE.∴ 2∠E=∠A+∠C,即∠E=12 (∠A+∠C). 第十三章预学检测 一、 1. D 2. B 3. C 4. B 5. C 6. B 7. C 8. B 忽略对等腰三角形的边进行分类讨论而致错 等腰三角形的边有腰和底之分,因此在解决等腰 三角形的边长问题时,要分两种情况:已知的边是腰或 者已知的边是底. 9. B 10. D 解析:∵ EF∥BC,∴ ∠B=∠3.∵ ∠1,∠2分别 是△ABC 和△ABD 的外角,AD 平分∠BAC,∴ ∠1= ∠BAC+∠B=2∠BAD+∠3,∠2=∠BAD+∠B= ∠BAD+∠3,即∠BAD=∠2-∠3.∴ ∠1=2(∠2- ∠3)+∠3.整理,得∠1=2∠2-∠3,即∠1+∠3=2∠2. 二、 11. 100° 12. 100° 13. 8 14. 80° 求折叠问题中角的度数的方法 首先要明确折叠前、后哪些角相等,观察图形中已 知角和未知角之间的内在联系,建立角与角之间的数 量关系,再利用两角的和、差以及三角形的内角和定理 等知识求出未知角的度数. 15. 360° 16. (1) DE+DF=CG 解析:如图①,连接 AD. ∵ S△ABC=S△ABD +S△ACD,即 1 2AB ·CG=12AB · DE+12AC ·DF,∴ AB·CG=AB·DE+AC· DF.∵ AB=AC,∴ AB·CG=AB·DE+AB·DF,即 AB·CG=AB·(DE+DF).∴ DE+DF=CG. (2) DE=CG+DF 解析:如图②,连接AD.∵ S△ABD= S△ABC+S△ACD,即 1 2AB ·DE=12AB ·CG+12AC · DF,∴ AB·DE=AB·CG+AC·DF.∵ AB=AC, ∴ AB·DE=AB·CG+AB·DF,即AB·DE=AB· (CG+DF).∴ DE=CG+DF. 第16题 三、 17. (1) 7个.△ADC,△BDE,△CEF,△BCF, △BCE,△BCD,△ABC.(2) △ADC,△ABC. 18. (1) ∵ GH∥BC,∠C=40°,∴ ∠HAC=∠C= 40°.∵ ∠FAH=∠GAB=60°,∴ ∠CAF=∠HAC+ ∠FAH=100°.(2) ∵ ∠HAC=40°,∠GAB=60°, ∴ ∠BAC=80°.∵ AE 平 分 ∠BAC,∴ ∠BAE = 1 2∠BAC=40°.∵ GH ∥BC,AD ⊥BC,∴ 易 得 ∠GAD=90°.∴ ∠BAD=90°-60°=30°.∴ ∠DAE= ∠BAE-∠BAD=10°. 19. (1) 100°.(2) ∠AEF+∠FDC=2∠B.在△BDE 中,∠BDE+∠BED=180°-∠B.由折叠的性质,可知 ∠FDE = ∠BDE,∠FED = ∠BED.∴ ∠FDE + ∠FED=∠BDE+∠BED=180°-∠B.又∵ ∠BDE+ ∠FDE+∠FDC=180°,∠BED+∠FED+∠AEF= 180°,∴ ∠AEF+∠FDC=180°-(∠BED+∠FED)+ 180°-(∠BDE+∠FDE)=360°-(180°-∠B)- (180°-∠B)=2∠B,即∠AEF+∠FDC=2∠B. 20. 画出图形如图①②所示.① 如图①,当△ABC是锐角 三角形时,∵ BD,CE 是△ABC的高,∴ BD⊥AC,CE⊥ AB.∴ ∠ADB =90°,∠BEC=90°.∵ ∠A =45°, ∴ ∠ABD=90°-45°=45°.∴ ∠BHC= ∠ABD + ∠BEC=45°+90°=135°.② 如图②,当△ABC 是钝角三 角形时,∵ BD,CE 是△ABC 的高,∴ BD⊥AD,CE⊥ AB.∴ ∠AEC=∠CDH=90°.∴ ∠A+∠ACE=90°, ∠BHC + ∠HCD = 90°.∵ ∠ACE = ∠HCD, ∴ ∠BHC=∠A=45°.综上所述,∠BHC 的度数是135° 或45°. 第20题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 59 13.3　三角形的内角与外角 1. 如图①,把△ABC 的一边BC 延长,得到 ∠ACD.像这样,三角形的一边与另一边的 延长线组成的角,叫作 .如图②, 一个三角形有 个外角.每个顶点处 有 个外角,这两个外角是 . 2. 如图①,∠ACD 是△ABC 的一个外角,则 ∠ACD 与∠A,∠B 的关系是 ;三角形的外角等于与它不 相邻的 . 3. 三角形的一个外角 与它不相邻的 任意一个内角. 4. 三角形的内角和等于 . 5. 直角三角形的两个锐角 . 6. 有两个角 的三角形是直角三角形. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1(教材P12例1变式)如图,在△ABC 中,AD 是边BC 上的高,AE 是∠BAC 的平分 线,∠EAD=5°,∠C=50°,求∠B 的度数. 典例1图 在直角三角形CAD 中,由∠C 的度数求 ∠CAD 的度数,利用角平分线的定义求∠CAB 的度数,进一步求出∠B 的度数. 解答: 解有所悟:由垂直的定义及直角三角形的两个锐角 互余,求出∠CAD 的度数是关键,由角平分线的定 义求∠CAB 的度数是难点,最后应用三角形的内 角和定理求∠B 的度数水到渠成. 典例2 如图,D 是△ABC 的边BC 上的一点, ∠B=∠1,∠3=80°,∠BAC=70°,求∠2的 度数. 典例2图 ∠3是△ABD 的一个外角,先由三角形外 角的性质得出∠3=∠B+∠1,即可得出∠1的 度数,最后根据角的和差关系可以求出∠2的 度数. 解答: 解有所悟:抓住∠3是△ABD 的一个外角是解题的 关键,利用∠B=∠1,∠3=80°可顺利求得∠1的 度数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 60 典例3 如图,在△ABC 中,∠BAC=3∠ABC= 3∠ACB,CD是边AB上的高,求∠ACD的度数. 典例3图 设∠ABC=∠ACB=x,则∠BAC=3x, 根据三角形内角和定理即可求得∠BAC 的度 数,再由三角形的高的性质可得∠D=90°,利用 三角形外角的性质即可求得∠ACD 的度数. 解答: 解有所悟:在△ABC 中,根据三角形内角和定理, 设未知数建立方程是解本题的关键.根据三角形的 高的定义、三角形的外角的性质,即可求得∠ACD 的度数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. 如果三角形的三个内角的度数比是1∶2∶ 4,那么这个三角形是 ( ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 2. 如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=50°, CD 平分∠ACB,则∠ADC的度数是 ( ) 第2题 A. 80° B. 90° C. 100° D. 110° 3. (教材 P16 练 习 变 式)如 图,∠ACD 是 △ABC 的外角.若∠ACD=110°,∠B= 50°,则∠A 的度数为 ( ) 第3题 A. 40° B. 50° C. 55° D. 60° 4. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,交BC 于点D.若∠B=30°,∠ADC=70°,则∠C 的度数是 ( ) 第4题 A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 5. (教材P16习题13.3第3题变式)已知∠A, ∠B,∠C 是△ABC 的三个内角. (1) 如果∠C=90°,∠A=25°,那么∠B= ; (2) 如果∠B-∠A=∠C-∠B,那么∠B= ; (3) 如果∠A=45°,∠B=∠C,那么∠C= . 6. 如果一个三角形的两个不同的外角之和为 270°,那么这个三角形是 三角形(填 “锐角”“直角”或“钝角”). 答案讲解 7. 如图,DF 分别交△ABC 的边AB, AC 于点D,E,交BC 的延长线于 点F.若∠B=67°,∠ACB=74°, ∠AED=48°,求∠BDF 的度数. 第7题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 61 [综合提升] 8. 如图,D 是∠ACB 内一点.如果∠1=35°, ∠2=40°,∠ADB=145°,那么∠ACB 的度 数为 ( ) A. 75° B. 70° C. 65° D. 60° 第8题 第10题 9. (教材P21复习题13第1题变式)有下列条 件:① ∠A+∠B=∠C;② ∠A∶∠B∶ ∠C=1∶2∶3;③ ∠A =90°- ∠B; ④ ∠A=∠B=12∠C. 其中,能确定△ABC 是直角三角形的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图,△ABC 经过平移得到△DEF,DE 分 别交BC,AC 于点G,H.若∠B=97°, ∠C=40°,则∠GHC 的度数为 ( ) A. 147° B. 40° C. 97° D. 43° 11. 在 △ABC 中,AD 为 边 BC 上 的 高, ∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC= . 12. 如图,在△ABC 中,AN 是∠BAC 的平分 线,∠B=50°,∠ANC=80°.求∠BAC 和 ∠C 的度数. 第12题 答案讲解 13. (1) 如图①,AD,BC 相交于点O, 得到 一个“8字”ABCD.求 证: ∠A+∠B=∠C+∠D. (2) 图②中共有多少个“8字”? (3) 如图②,∠ABC 和∠ADC 的平分线相 交于点E.利用(1)中的结论,求证:∠E= 1 2 (∠A+∠C). 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备