13.1 三角形的概念-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（人教版2024）

54 第十三章　三 角 形 13.1　三角形的概念 1. 三角形的概念:由不在同一条 直 线 上 的 首 尾 所组成的图形叫作 三角形.“三角形”可以用符号“ ”表 示,如图所示为顶点是A,B,C 的三角形,记 作“ ”.△ABC 的三边有时也用a, b,c来表示,顶点A 所对的边BC用 表示,顶点B 所对的边AC 用 表 示,顶点C 所对的边AB 用 表示. 2. 三角形按边分类: 三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰 三角形 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 如图所示为三角形的分类,则下列结论 正确的是 ( ) 典例1图 A. M表示三边均不相等的三角 形,N表示等腰三角形,P表 示等边三角形 B. M表示三边均不相等的三角 形,N表示等边三角形,P表 示等腰三角形 C. M表示等腰三角形,N表示等边三角形,P 表示三边均不相等的三角形 D. M表示等边三角形,N表示等腰三角形,P 表示三边均不相等的三角形 根据三角形的分类,三角形可以分为三边 都不相等的三角形和等腰三角形两类,等腰三 角形又分为底边和腰不相等的等腰三角形和等 边三角形. 解答: 解有所悟:按照“是否有边相等”对三角形进行分 类.注意等腰三角形与等边三角形的联系与区别. 典例2图 典例2(教材P3例题变式)如图, 在△ABC 中,D,E 分 别 是 边 BC,AC 上的点,连接BE,AD 交 于点F. (1) 图中共有多少个三角形? 请把它们表示出来. (2) 写出△BDF 的三个顶点及三条边. (3) 以AB 为边的三角形有哪些? (4) 以F 为顶点的三角形有哪些? (1) 在数图中三角形的个数时,要做到不 重复、不遗漏,可以先数以AB 为边的三角形, 再数以BD 为边的三角形等.(2) 三角形的三个 顶点可各用一个字母表示,如A;每条边需用两 个字母表示,如AB.(3) 以AB 为边的三角形 有4个.(4) 以F 为顶点的三角形有3个. 解答: 解有所悟:数三角形个数的方法:(1) 按组成三角形 的图形个数去数;(2) 固定一个顶点,变换另外两个 顶点去数;(3) 固定一条边,按一定的顺序去数. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 拍 照 批 改 55 [基础过关] 1. 用三根木棒拼成下列图形,其中符合三角形 定义的是 ( ) A B C D 2. 下列说法正确的是 ( ) A. 等边三角形属于等腰三角形 B. 所有的等腰三角形都是锐角三角形 C. 不存在既是钝角三角形又是等腰三角形 的三角形 D. 一个三角形里有两个锐角,则一定是锐 角三角形 答案讲解 3. (教材P3练习第2题变式)如图, ∠ACD=90°,则图中的锐角三角形 是 ,钝 角 三 角 形 共 有 个. 第3题 4. 如图,若以A,B,C,D,E 五个点中的任意三 点为顶点画三角形. (1) 写出以AB 为一边的三角形; (2) 写出以C 为顶点的三角形. 第4题 [综合提升] 5. (教材P4习题13.1第2题变式)根据如图所 示的图形表示的规律,可知依次下去的图 中,三角形的个数是 ( ) 第5题 A. 6(n-1) B. 6n C. 6(n+1) D. 12n 答案讲解 6. (教材P4习题13.1第5题变式)如 图,平面内有五个点,以其中任意三 个点为顶点画三角形,最多可以画 多少个三角形? 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 16 19. (1) ∵ BC∥DF,∴ ∠D+∠BCD=180°.∵ ∠B= ∠D,∴ ∠B+∠BCD=180°.∴ AB∥CD.∴ ∠A= ∠ACD.(2) ∵ ∠A+∠B=106°,∴ ∠ACB=180°- (∠A+∠B)=74°.∵ FG∥AC,∴ ∠BGF=∠ACB= 74°.∵ BC∥DF,∴ ∠EFG=∠BGF=74°. 20. (1) 450.(2) 36°.(3) 视力情况为“B”的人数为450- 45-117-233=55.补全条形图如图所示.(4) 估计该地 区九年级学生中视力正常的学生人数为25000×45450= 2500. 第20题 21. (1) 根据题意,得 8a+7b=670, 4a+5b=410, 解得 a=40 , b=50. (2) 由 题意可知,购买B种吉祥物的个数为90-x.根据题意,得 x≥43 (90-x), x≤2(90-x), 解得3607 ≤x≤60.由题意,得y=(40- 35)x+(50-42)(90-x)=-3x+720.∵ 360 7 ≤x≤ 60且x 为整数,∴ 易得当x=52时,y 的值最大,为 -3×52+720=564. 22. (1) 3⊕ (-2)=32×(-2)-3×3×(-2)+ (-2)=-2.(2) ∵ 2⊕(-3a)=a+5,∴ 22×(-3a)- 3×2×(-3a)+(-3a)=a+5,解得a=2.5.∴ a的值 为2.5.(3) P>Q.理由:由题意,得P=m ⊕ 13=m 2· 1 3-3m ·1 3+ 1 3= 1 3m 2-m+13 ,Q=12 ⊕4m= 1 2 2 ×4m-3×12 ·4m+4m=-m.∴ P-Q= 1 3m 2-m+13- (-m)=13m 2+13>0.∴ P>Q. 23. 由题意,得第m 组有m 个连续的偶数.∵ 2020=2× 1010,∴ 2020是第1010个偶数.∵ 1+2+3+…+44= 44×(44+1) 2 =990 ,1+2+3+…+45=45× (45+1) 2 = 1035,∴ 2020是第45组第1010-990=20(个)数. ∴ m=45,n=20.∴ m+n=65. 3 预学储备 第十三章　三 角 形 13.1 三角形的概念 知识梳理 1. 三条线段 顺次相接 △ △ABC a b c 2. 等 边三角形 典例演练 典例1 B 典例2 (1) 题图中共有8个三角形,它们是△ABC, △ABF,△ABE,△ABD,△ACD,△AEF,△BDF, △BEC.(2) △BDF 的三个顶点分别为B,D,F;三条边 分别为BD,DF,BF.(3) 以AB 为边的三角形为△ABC, △ABF,△ABE,△ABD.(4) 以F 为顶点的三角形为 △ABF,△AEF,△BDF. 预学训练 1. B 2. A 3. △ACE 4 4. (1) 以AB为一边的三角形有△ABC,△ABD,△ABE. (2) 以C 为顶点的三角形有△ABC,△ACD,△ACE, △BCD,△BCE,△CDE. 5. C 解析:题图①中,三角形的个数是6+6=6×2,题 图②中,三角形的个数是6+6+6=6×3,题图③中,三角 形的个数是6+6+6+6=6×4……图 中,三角形的个 数是6(n+1). 6. 如图,以其中任意三个点为顶点画三角形,最多可以画 10个三角形. 第6题 13.2 与三角形有关的线段 知识梳理 1. 大于 小于 2. 中线 DC 3. 重心 4. 角平分线 CAD 5. 高线 高 BC 6. 稳定性 典例演练 典例1 9≤k<14 解析:由题意,得n-9=0,m-5=0, 解得 m=5,n=9.∵ m,n,k为三角形的三边长,∴ 4< k<14.∵ k为三角形的最长边的长,∴ k的取值范围是 9≤k<14. 典例2 (1) ∵ ∠BAC=90°,AD 是边BC 上的高,∴ 易 得1 2AB ·AC= 12BC ·AD.∴ AD=AB ·AC BC = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈