专题6 方程(组)与不等式(组)在实际生活中的应用-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（人教版2024）

41 专题六　方程（组）与不等式（组）在实际生活中的应用　　　 利用等量关系和不等关系建立方程(组)与不等式(组)模型,从而把实际问题转化为数学问 题,最终解决问题.建立方程(组)或不等式(组)模型的难点是如何根据问题的描述剖析其中的数 量关系,挖掘出题目中的隐含条件,从而建立相等关系和不等关系. 类型一 方程(组)模型 1. 新考向 数学文化 (广西中考)《九章算术》 是我国古代重要的数学著作,其中记载了一 个问题,大意如下:现有田出租,第一年3亩 得1钱,第二年4亩得1钱,第三年5亩得 1钱.三年共得100钱.出租的田有多少亩? 设出租的田有x亩,则可列方程为 ( ) A. x 3+ x 4+ x 5=1 B. x 3+ x 4+ x 5=100 C. 3x+4x+5x=1 D. 3x+4x+5x=100 2. 新情境 热点信息 (福建中考)今年我国国 民经济良好,市场销售稳定增长,社会消费 增长较快,第一季度社会消费品的零售总额 为120327亿元,比去年第一季度增长了 4.7%,求去年第一季度社会消费品的零售总 额.设去年第一季度社会消费品的零售总额 为x亿元,则符合题意的方程是 ( ) A. (1+4.7%)x=120327 B. (1-4.7%)x=120327 C. x 1+4.7%=120327 D. x 1-4.7%=120327 3. (宜宾中考)某果农将采摘的荔枝分装为大 箱和小箱销售,其中每个大箱装4千克荔 枝,每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘 共32千克荔枝,根据市场销售需求,大箱和 小箱都要装满,则最多装 ( ) A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱 4. 新考向 数学文化 (嘉兴中考)我国古代数 学名著《张邱建算经》中有这样一题:一只公 鸡值5钱,一只母鸡值3钱,3只小鸡值 1钱,现花100钱买了100只鸡.若公鸡有 8只,设母鸡有x 只,小鸡有y只,则可列方 程组为 . 5. (扬州中考)《九章算术》中记载了一个有趣 的追及问题,大意如下:速度快的人每分钟 走100米,速度慢的人每分钟走60米,现在 速度慢的人先走100米,速度快的人去追他, 则速度快的人追上他需要 分钟. 6. 新情境 日常生活 (陕西中考)小红在一家 文具店买了一种大笔记本4本和一种小笔记 本6本,共用了62元.已知她买的大笔记本 每本的价格比小笔记本每本的价格贵3元, 求该文具店中这种大笔记本每本的价格. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 拍 照 批 改 42 7. 新考向 传统文化 (北京中考)对联是我国 传统文化的瑰宝.对联装裱后如图所示,上、 下空白处分别称为天头和地头,左、右空白 处统称为边.一般情况下,天头长与地头长 的比是3∶2,左、右边的宽相等,均为天头长 与地头长之和的1 10. 某人要装裱一副对联, 对联的长为100cm,宽为27cm.若要求装裱 后的长是装裱后的宽的4倍,求边的宽和天 头长. 第7题 答案讲解 8. ★ 新情境 日常生活 为了锻炼身 体,很多同学准备购买足球、跳绳. (1) 某校七年级(1)班有部分同学 准备统一购买足球和跳绳.经班长统计,需 要购买足球的有12名同学,需要购买跳绳 的有10名同学.请根据如图所示的对话信 息,分别求出足球和跳绳的单价. (2) 由于足球和跳绳的需求量增大,体育用 品商店计划再次购进足球a 个和跳绳b根 (其中a>15),恰好用了1800元,其中每个 足球的进价为80元,每根跳绳的进价为 15元,则有哪几种购进方案? (3) 假如(2)中所购进的足球和跳绳全部售 出,且售价与(1)中的单价相同,为了获利最 多,商店应选择哪种购进方案? 第8题 类型二 不等式(组)模型 9. (丽水中考)小霞原有存款52元,小明原有存 款70元,从这个月开始,小霞每月存15元零 花钱,小明每月存12元零花钱.设经过n个 月后小霞的存款超过小明,可列不等式为 ( ) A. 52+15n>70+12n B. 52+15n<70+12n C. 52+12n>70+15n D. 52+12n<70+15n 答案讲解 10. 新考向 学科育人 志愿者在重 阳节乘车前往敬老院慰问孤寡老 人,参加的志愿者不足50人,联系 汽车若干辆.若每辆车坐6人,则剩下 18人无车可坐;若每辆车坐10人,则其余 的车坐满后,仅有一辆车不空也不满.参加 此次活动的志愿者的人数为 ( ) A. 54 B. 48 C. 46 D. 45 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版) 43 11. (广东中考)某商品的进价为4元,标价5元 出售,商家准备打折销售,但其利润率不能 低于10%,则最多可打 折. 12. 新考向 学科育人 (山西中考)为加强校 园消防安全,学校计划购买某种型号的水 基灭火器和干粉灭火器共50个,其中水基 灭火器的价格为540元/个,干粉灭火器的 价格为380元/个.若学校购买这两种灭火 器的总价不超过21000元,则最多可购买 这种型号的水基灭火器多少个? 13. (泸州中考)某商场购进A,B两种商品,已 知购进3件A种商品的费用比购进4件 B种商品的费用多60元;购进5件A种商 品和2件B种商品的总费用为620元. (1) 求A,B两种商品每件的进价. (2) 该商场计划购进 A,B两种商品共 60件,且购进B种商品的件数不少于A种 商品件数的2倍.若 A 种商品按每件 150元的价格销售,B种商品按每件80元 的价格销售,销售完A,B两种商品后获得 的总利润不低于1770元,则购进A种商品 的件数最多为多少? 答案讲解 14. 新情境 日常生活 (广安中考) 某超市销售A,B两种盐皮蛋.若 购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种 盐皮蛋,则共需390元;若购买5箱A种盐 皮蛋和8箱B种盐皮蛋,则共需310元. (1) 每箱A种盐皮蛋、B种盐皮蛋的价格分 别是多少元? (2) 若某公司购买 A,B两种盐皮蛋共 30箱,且购买 A种盐皮蛋的数量至少比 B种盐皮蛋的数量多5箱,又不超过B种盐 皮蛋数量的2倍,则怎样购买才能使总费 用最少? 请求出最少费用. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 13 k<4.对于不等式组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x , 可得 x≥-1,x≤k. ∵ 关 于x的不等式组 x-2(x-1)≤3, 2k+x 3 ≥x 有解,∴ k≥-1.综上 所述,k的取值范围是-1≤k<4.∴ 符合条件的整数k 的值为-1,0,1,2,3. 专题六　方程（组）与不等式（组） 在实际生活中的应用 1. B 2. A 3. C 4. 5×8+3x+13y=100 , x+y+8=100 5. 2.5 6. 设该文具店中这种大笔记本每本的价格是x 元,则小 笔记本每本的价格是(x-3)元.由题意,得4x+6(x- 3)=62,解得x=8.∴ 该文具店这种大笔记本每本的价 格为8元. 7. 设天头长为xcm,则地头长为23xcm.∴ 边的宽为 1 10x+ 2 3x =16xcm.∴ 装裱后的长为2 3x+x+ 100= 53x+100 cm,装裱后的宽为16x+16x+27= 1 3x+27 cm.由题意,得53x+100= 13x+27 ×4, 解得x=24.∴ 1 6x=4.∴ 边的宽为4cm,天头长为 24cm. 8. (1) 设足球和跳绳的单价分别为x 元、y 元.由题意, 得 12x+10y=1400, 10x+12y=1240, 解得 x=100 , y=20. ∴ 足球和跳绳的单 价分别为100元、20元.(2) 由题意,得80a+15b=1800 (a>15),可购进足球的数量最多为180080 ≈22 (个), ∴ 15<a≤22.∵ a,b为整数,∴ 当a=16时,b=1043 (不 合题意,舍去);当a=17时,b=883 (不合题意,舍去);当 a=18时,b=24;当a=19时,b=563 (不合题意,舍去);当 a=20时,b=403 (不合题意,舍去);当a=21时,b=8;当 a=22时,b=83 (不合题意,舍去).∴ 有两种方案,方案 一:购进足球18个,跳绳24根;方案二:购进足球21个, 跳绳8根.(3) 方案一的利润为(100-80)×18+(20- 15)×24=480(元),方案二的利润为(100-80)×21+ (20-15)×8=460(元).∵ 480>460,∴ 为了获利最多, 商店应选择方案一,即购进足球18个,跳绳24根. 利用枚举法求二元一次方程的整数解 二元一次方程的解有无数组,但在限定条件下往 往可以求出其整数解.求二元一次方程的整数解,在问 题不是特别复杂的情况下,可以采用枚举法,即将其中 的一个未知数可以取的整数一一列举出来,求出对应 的另一个未知数的值,并找出符合题意的整数解.本题 就是在已知a的取值范围的条件下,列举出所有符合 条件的整数值,通过计算求出b的值,最后选取a,b均 是整数的解. 9. A 10. B 11. 8.8 12. 设购买这种型号的水基灭火器x 个,则购买这种型 号的干粉灭火器(50-x)个.根据题意,得540x+ 380(50-x)≤21000,解得x≤12.5.∵ x为整数,∴ x的 最大值为12.∴ 最多可购买这种型号的水基灭火器 12个. 13. (1) 设A种商品每件的进价是x元,B种商品每件的 进 价 是 y 元.根 据 题 意,得 3x-4y=60, 5x+2y=620, 解 得 x=100, y=60. ∴ A种商品每件的进价是100元,B种商品 每件的进价是60元.(2) 设购进m 件 A种商品,则 购 进 (60 - m)件 B 种 商 品.根 据 题 意,得 60-m≥2m, (150-100)m+(80-60)(60-m)≥1770, 解 得 19≤ m≤20.∴ m 的最大值为20.∴ 购进A种商品的件数最 多为20. 14. (1) 设每箱A种盐皮蛋的价格是x元,每箱B种盐皮 蛋的 价 格 是 y 元.由 题 意,得 9x+6y=390, 5x+8y=310, 解 得 x=30, y=20. ∴ 每箱A种盐皮蛋的价格是30元,每箱B种盐 皮蛋的价格是20元.(2) 设购买A种盐皮蛋m 箱,则购 买B种盐皮蛋(30-m)箱.由题意,得 m-(30-m)≥5, m≤2(30-m), 解得35 2≤m≤20. 又∵ m 为正整数,∴ m 所有可能的取 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14 值为18,19,20.① 当m=18时,30-m=12,购买总费用 为30×18+20×12=780(元);② 当m=19时,30-m= 11,购买总费用为30×19+20×11=790(元);③ 当m= 20时,30-m=10,购买总费用为30×20+20×10= 800(元).∵ 780<790<800,∴ 购买A种盐皮蛋18箱, B种盐皮蛋12箱才能使总费用最少,最少费用为780元. 专题七　新定义题 1. C 2. C 3. 8 4. 9 144 5. 6200 9313 6. B 7. 1 8. 0≤m<13 9. (1) 1;2.(2) 当3x+2≥2(x-1),即x≥-4时, (3x+2)-(x-1)=5,解得x=1.当3x+2<2(x-1), 即x<-4时,(3x+2)+(x-1)-6=5,解得x=52 (不 合题意,舍去).综上所述,x=1. 10. B 11. C 12. -4或7 13. (1) 是;不是.(2) ① 由题意,得∠AOC=90°-4t°, ∠AOB=40°.∵ 射线OA 是射线OB,OC 的“双倍和谐 线”,∴ ∠AOC=2∠AOB 或∠AOB=2∠AOC.当 ∠AOC=2∠AOB 时,如图①,则90-4t=2×40,解得 t=52 ;当∠AOB=2∠AOC 时,如图②,则40=2(90- 4t),解得t=352. 综上所述,当射线OA 是射线OB,OC 的 “双倍和谐线”时,t 的值为 52 或35 2.② 由 题 意,得 ∠CON=4t°,∠AON=90°+2t°,∠AOD=12∠AOB= 20°.∴ ∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2t°.∵ 当射线 OC与射线OA 重合时,旋转停止,∴ 此时∠AON= ∠CON.∴ 90+2t=4t.∴ t=45.∴ 当t=45时,旋转停 止,此时∠AON=180°,即射线 OC,OA 均与OM 重 合.∵ 射线OC位于射线OD 的左侧,且射线OC 是射线 OM,OD 的“双倍和谐线”,∴ ∠COM =2∠COD 或 ∠COD=2∠COM.当∠COM=2∠COD 时,如图③,即 180°-∠CON=2(∠CON-∠DON),∴ 180-4t= 2(4t-70-2t),解得t=40.∴ ∠CON =4°×40= 160°.当∠COD=2∠COM 时,如 图④,即∠CON - ∠DON=2(180°-∠CON),∴ 4t-(70+2t)=2(180- 4t),解得t=43.∴ ∠CON=4°×43=172°.综上所述,当 射线OC 位于射线OD 的左侧,且射线OC 是射线OM, OD 的“双倍和谐线”时,∠CON 的度数为160°或172°. 第13题 利用分类讨论思想求角的度数 分类讨论思想是中学数学的重要思想方法之一, 在图形问题中,如果图形中的某些元素的位置是不确 定的,那么需要根据某一位置关系进行分类讨论.如果 图形中的各元素的数量关系或对应关系是不确定的, 那么需要根据数量关系或对应关系进行分类讨论. 专题八　规律探究型问题 1. C 2. D 3. C 解析:观察题图中的规律发现,分数的分子是几,则 必在第几列;只有第一列的分数,分母与其所在行数一致, 故 20 2023 在第20列,即b=20.向前递推到第1列时,分数 为 20-19 2023+19= 1 2042 ,故分数 20 2023 与分数 1 2042 在同一行, 即在第2042行,则a=2042.∴ a-b=2042-20=2022. 4. a100 5. 1024 -22024+2024 6. n(n+1)+1 (n+1)2+1 解析:每个数对的第一个 数分别为3,7,13,21,31,…,即1×2+1,2×3+1,3×4+ 1,4×5+1,5×6+1,…,∴ 第n 个数对的第一个数为 n(n+1)+1,每个数对的第二个数分别为5,10,17,26, 37,…,即22+1;32+1;42+1;52+1;62+1,…,∴ 第n个 数对的第二个数为(n+1)2+1. 7. A 解析:∵ a1=2,∴ a2= 1+2 1-2=-3 ,a3= 1-3 1+3= -12 ,a4= 1-12 1+12 =13 ,a5= 1+13 1-13 =2……由此可得规律 为按2,-3,-12 ,1 3 四个数一循环.∵ 2023÷4= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈