精品解析：四川省泸州市2024-2025学年高一下学期期末统一考试数学试题

泸州市高2024级高一学年末统一考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页.共150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 3. 在中，，则（ ） A B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，，表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 18 7. 若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是实数 B. 若，则的虚部为 C. 若点的坐标为，则 D. 若，则或 10. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 在上有最大值 D. 在上单调递增 11. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角正切值为 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知向量，，，则_____. 13. 已知函数在上是增函数，则符合条件的整数的值为_____. 14. 若，，且，则的最小值是_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若向量与共线，求； （2）已知，若，求实数值. 16. 已知函数的最小值为，其图象经过点，且图象上相邻两个最高点之间的距离为. （1）求函数解析式； （2）若，且，求的值. 17. 设的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求的值； （2）若点在线段上，，，的面积为，求的长度. 18. 如图，四边形为矩形，四边形为梯形，，平面平面，，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若二面角为，求点到平面的距离. 19. 若函数在定义域内存在满足，则称为“局部反比例对称函数”. （1）已知函数是“局部反比例对称函数”，求的值； （2）求证：函数有两个零点，，且； （3）若是“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泸州市高2024级高一学年末统一考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页.共150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A的范围，再利用交集的定义即可求得结果. 【详解】因为，，故， 故选：D 2. 命题：“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定可直接写出答案. 【详解】依据题意，先改变量词，然后否定结论， 可得命题，的否定是： ，. 故选：B 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由，则. 故选：D. 4. 在平面直角坐标系中，角顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角函数定义求出，进而由正切二倍角公式计算即可 【详解】由题意得，故 故选：C 5. 设，，表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】通过立体几何定理逐一判断即可. 【详解】对于选项A：若，，则或与相交，故选项A错误； 对于选项B：若，，则或，故选项B错误； 对于选项C：若，，则，故选项C正确； 对于选项D：若，，则或， 因为，则或直线，相交或直线，是异面直线，故选项D错误. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用指对数的互化，即可求解. 【详解】因为，得到，所以， 故答案为：.B 7. 若一个圆台的高为，母线与底面所成角为，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线为，由圆台的侧面积得，再由圆台的高为可得体积． 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线为， 圆台的高为，母线与底面所成角为， 所以， 则圆台的侧面积，可得， 故有， 圆台的体积． 故选：B. 8. 若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意将问题转换为在上有解，故只需求函数在上的值域即可. 【详解】， 由题意关于的方程在上有解， 令，因为在单调递增， 所以在单调递增， 又因为在单调递增，所以在单调递增， 而，当时，， 所以，故的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是实数 B. 若，则的虚部为 C. 若点的坐标为，则 D. 若，则或 【答案】AC 【解析】 【分析】求解判断A，根据复数的虚部定义判断B，根据复数的几何意义求出，再求出的共轭复数判断C；根据复数的模的定义判断D. 【详解】对于A，因，则，所以A正确； 对于B，因为，所以的虚部为，所以B错误； 对于C，因为点的坐标为，所以，所以，所以C正确； 对于D，设，因为，所以即可， 例如也符合，所以不一定或，所以D错误. 故选：AC 10. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 在上有最大值 D. 在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由题知， 对于A，令，得到， 当时，，所以A正确， 对于B，因为，的图象不关于点对称，所以B错误， 对于C，当时，， 当，即时，，所以C正确， 对于D，由，解得， 令，得到，又，上单调递增，所以D正确， 故选：ACD. 11. 如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，点一定在线段上 B. 当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C. 当点在棱上运动时，的最小值为 D. 线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直判定A，应用空间向量法计算角及外接球球心结合表面积公式计算判断B，D，应用展开图及勾股定理计算判断B. 【详解】对于A，若， 又因为平面，平面， 所以，又平面，可得平面， 所以，又因为是正方形，所以，所以点一定在线段上，故A正确； ， 对于C，如图，旋转平面，使之与平面共面， 连接交于，此时最短为，大小为，故C错误， 对于B，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 当为的中点时，则，，， 设三棱锥的外接球的球心为，则， 即，解得， ∴三棱锥的外接球半径， ∴三棱锥的外接球表面积为，则B正确； 设线段上存在点，设， 则可得，又，，， 则， 设异面直线与所成角为，若正切值为，则， 即，化简得， 解得，故线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知向量，，，则_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量垂直、向量的数量积和向量的模进行求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：2. 13. 已知函数在上是增函数，则符合条件的整数的值为_____. 【答案】1 【解析】 【分析】先确定，，从而得到，结合为整数，求出答案. 【详解】在上是增函数，需， 时，， 故，解得， 又为整数，所以. 故答案为：1 14. 若，，且，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由变形为，化应用基本不等式可求最小值． 【详解】因为满足， 所以，即，即， 所以， 所以 ， 所以当且仅当，即，时取“”，解得 所以的最小值为， 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若向量与共线，求； （2）已知，若，求实数的值. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平面向量线性运算的坐标表示写出；再根据平面向量共线的坐标表示列出关系式可求解出；最后根据平面向量模的坐标表示即可求解. （2）先根据平面向量的坐标得出，及；再根据平面向量数量积的坐标表示得出，；最后根据平面向量夹角的计算方法列出等式求解即可. 【小问1详解】 由向量，可得：. 因为向量与共线， 所以，解得：， 则， 所以. 【小问2详解】 由向量，可得：，，， 所以，. 因为， 所以， 则，即，解得：. 16. 已知函数的最小值为，其图象经过点，且图象上相邻两个最高点之间的距离为. （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）由（1）可得，，再利用正弦的和角公式，即可求解. 【小问1详解】 因为函数的最小值为，所以， 因为函数图象上相邻两个最高点之间的距离为. 所以函数最小正周期为，解得， 又图象经过点，所以，又， 所以，则. 【小问2详解】 由（1）知， 又，则，所以， 因为， 又， 所以. 17. 设的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求的值； （2）若点在线段上，，，的面积为，求的长度. 【答案】（1）3 （2）1或2 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）根据题设，结和三角形的面积公式及余弦定理易得，设，再利用列方程即可求解. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得：． 所以 则． 因为，所以. 【小问2详解】 由题意，，则， 由余弦定理得，则，解得， 则，设，， 由， 则， 则，解得或2，即或2. 18. 如图，四边形为矩形，四边形为梯形，，平面平面，，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若二面角为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，只需证明即可； （2）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （3）首先求得，由等体积法求点面距离即可 【小问1详解】 如图所示，连接交于点，连接， 因为四边形为矩形， 所以点是的中点，又因为点是的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 取中点，连接， 因为，所以 又，，所以四边形是矩形， 所以垂直平分，所以， 又，所以，即， 因为四边形为矩形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面； 【小问3详解】 因为，，所以， 由（2）知道平面，而平面， 所以， 又因为，所以， 又，平面， 所以平面， 而平面，所以， 若二面角为，则，解得， 如图所示，取中点，连接， 因为平面，，所以平面， 而平面，所以， 又因为平面平面，所以， 又，平面， 所以平面， 因为，所以平面， 由题意可得，， ，， 所以，所以， 设所求为， 则由等体积法有，即， 解得. 19. 若函数在定义域内存在满足，则称为“局部反比例对称函数”. （1）已知函数是“局部反比例对称函数”，求的值； （2）求证：函数有两个零点，，且； （3）若是“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“局部反比例对称函数”的定义列出等式并化简等式，然后使判别式大于等于即可确定的值. （2）根据零点存在定理和题干中“局部反比例对称函数”的定义证明即可. （3）根据“局部反比例对称函数”的定义列出等式并化简等式，然后根据一元二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为函数是“局部反比例对称函数”， 所以， 化简得. 要使得等式成立，则，，解得. 又，所以或. 【小问2详解】 因为，， 所以，所以为“局部反比例对称函数”. 因为，定义域为. 所以，， 所以根据零点存在定理可知，在内存在一个零点，设为， 则，而，所以， 所以设，则也是的一个零点，且. 【小问3详解】 因为是“局部反比例对称函数”， 所以在上有解， 化简得. 令，则，所以方程变为. 令，对称轴为， 当时，解得； 当时，， 解得，又，所以. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$