江苏省镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年高二数学暑期培优试卷4

镇江市扬中市第二高级中学2025-2026高二数学暑期培优试卷4 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．化简的值为 （ ） A. B. C. - D. - 2．在中，内角的对边分别是，若，则为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3．在中，，若最长边的长为，则最短边的长为 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 4．已知函数在处取得最大值，则 （ ） A. B. C. D. 5．已知，为锐角，，，则的值为 （ ） A. B. C. D. 6．的值为 （ ） A. B. C. D. 7．如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为 （ ） A. B. C. D. 8．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则 （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9. 已知，为锐角，，，则 （ ） A. B. C. D. 10．在斜三角形中，，则 （ ） A. 角B为钝角 B. C. 若，则 D. 的最大值为 11．已知中，角所对的边分别为，若，，则下列说法正确的是 （ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则只有一解 C. 若，则的面积为 D. 若为锐角三角形，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知，则_____________. 13．已知，则_____________. 14．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则_____________；若，则的值为_____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知角，满足，，且，. （1）求的值； （2）求的大小. 16．在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求角和； （2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且. ①若，求的周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 17．我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画，最高点为，最低点为，观察点所在的水平线与壁画的竖直线交点为，在点处观察点，仰角为，然后面对壁画前进处的点观察点，其仰角的正切值为7． （1）求壁画最高点与点的距离； （2）若在，两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等． ①求壁画最低点与点的距离； ②在观察水平线上，应处在距离点多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？ 18．已知函数，. （1）设，将表示成的函数，并写出的取值范围； （2）若，求函数的值域； （3）若函数存在零点，求实数的取值范围. 19．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且． （1）求小岛与小岛之间的距离； （2）求四个小岛所形成的四边形的面积； （3）记为，为，求的值． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 镇江市扬中市第二高级中学2025-2026高二数学暑期培优试卷4 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．化简的值为 （ A ） A. B. C. - D. - 2．在中，内角的对边分别是，若，则为 （ B ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【详解】因，所以， 所以，所以， 所以且，所以，即， 所以为 直角三角形.故选：B. 3．在中，，若最长边的长为，则最短边的长为 （ C ） A. 1 B. C. 2 D. 3 4．已知函数在处取得最大值，则 （ D ） A. B. C. D. 【详解】由，其中为锐角，. 又因为在处取得最大值，所以，，即，，所以，又，故选：D 5．已知，为锐角，，，则的值为 （ A ） A. B. C. D. 【详解】因为，为锐角，，，所以，，所以， 则， 所以，故选：A． 6．的值为 （ A ） A. B. C. D. 【详解】 .故选：A. 7．如图，为了测量河对岸的塔高，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高为 （ D ） A. B. C. D. 8．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△，已知，，则 （ B ） A. B. C. D. 【详解】解：在中，，又，则，设，则，在中，由正弦定理得，解得，在中，由余弦定理得， 即，又，解得，则， 所以，故选：B 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9. 已知，为锐角，，，则 （ BCD ） A. B. C. D. 【详解】，为锐角，，可得到，① ，得，②，由①②，又，得，则，B正确； ，C正确；又，， ，从而，D正确； 由B知，则有，，又，，则，所以，则A错误.故选： 10．在斜三角形中，，则 （ ACD ） A. 角B为钝角 B. C. 若，则 D. 的最大值为 【详解】对于A，由可得，因，则，则，或，即或，因为斜三角形，故，即角B为钝角，故A正确；对于B，由A项已得角B为钝角，则，因，故，即B错误；对于C，由正弦定理，，又，代入解得，故C正确；对于D，由上分析可得：，,故 ，设，又,则，则，则，且，则， 故当时，的最大值为,故D正确.故选：ACD. 11．已知中，角所对的边分别为，若，，则下列说法正确的是 （ ACD ） A. 若，则为锐角三角形 B. 若，则只有一解 C. 若，则的面积为 D. 若为锐角三角形，则 【详解】对于A，若，则即， 所以且即， 所以为锐角三角形，故A正确；对于B，若，则，所以有两解，故B错误；对于C，若，则，则， 所以，故C正确；对于D，由题，若为锐角三角形，则，所以， 所以，故D正确.故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知，则_____________. 13．已知，则_____________. 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 所以 .故选：A． 14．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图，已知锐角外接圆的半径为4，且三条圆弧沿三边翻折后交于点. 若，则____ ##0.75 _________；若，则的值为_____________. 【详解】设外接圆半径为，则，由正弦定理，可知， 即，由于是锐角，故，又由题意可知P为三角形ABC的垂心，即,故，所以； 设，则， 由于，不妨假设，由余弦定理知， 设AD,CE,BF为三角形的三条高，由于 , 故 , 则得， 所以， 同理可得， 所以，故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知角，满足，，且，. （1）求的值； （2）求的大小. 15．解：（1）因为，，所以， 所以，； 因为，所以； 所以. （2）因为，，所以； 因为，所以，故， 所以； 又因为，所以，； 所以， 又因为，所以. 16．在中，内角，，的对边分别为，，，且，. （1）求角和； （2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且. ①若，求的周长； ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 16．解：（1）因为，由正弦定理可得， 又，所以，则，又，所以； 因为，由余弦定理可得, 即，由正弦定理可得， 所以， 则， 所以， 即，即，即， 又，所以，所以，则； （2）①由（1）可知， 因为，由正弦定理，所以，， 在中，由余弦定理可得 ，则， 因为，所以， ∵，∴， ∴，∴的周长为. ②设， 在中，， 由正弦定理，得， 又在中，由正弦定理可得，得， 所以 ， 所以当且仅当，即时，的面积取最小值为. 17．我们把在某一点观察物体最高点和最低点所形成仰角的差值称之为“仰角差”．某博物馆截面如图所示，墙壁上有一幅壁画，最高点为，最低点为，观察点所在的水平线与壁画的竖直线交点为，在点处观察点，仰角为，然后面对壁画前进处的点观察点，其仰角的正切值为7． （1）求壁画最高点与点的距离； （2）若在，两点观察壁画的最高点和最低点的仰角差相等． ①求壁画最低点与点的距离； ②在观察水平线上，应处在距离点多远处观察壁画，才能使得仰角差最大？ 17．解：（1）在中，，所以， 在中，， 因为， 所以， 所以壁画最高点与点的距离为7． （2）①设，， 在中，，则， 在中，， 在中，由正弦定理得，， 在中，， 在中，由正弦定理得，， 解得，即． ②设距点距离为时，仰角差最大，此时位于点，设， 在中，，在中，， 则 ，当且仅当，即时等号成立， 所以当距离点处观察壁画，才能使得仰角差最大． 18．已知函数，. （1）设，将表示成的函数，并写出的取值范围； （2）若，求函数的值域； （3）若函数存在零点，求实数的取值范围. 18．解：（1）令， 所以， 故，. （2）当时，的值域即为的值域． ，， 由二次函数单调性可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 因为，，， 故，，故， 因此函数的值域为. （3）若函数存在零点，即函数在区间上存在零点， 即关于的方程在上有解， ①当时，不存在； ②当时，由可得， 当且仅当即时取等号，此时； 同理可得：当时，. 综上：实数的取值范围是． 19．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且． （1）求小岛与小岛之间的距离； （2）求四个小岛所形成的四边形的面积； （3）记为，为，求的值． 19．解：（1），且A为钝角，， 在中，由余弦定理可得， ，即， 解得：或（舍去）． 小岛A与小岛之间的距离为2nmile． （2）四点共圆，与互补，则 ． 在中，由余弦定理得：， ，得， 解得（舍去）或． （平方海里）， 四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里． （3）方法1：在中，由正弦定理得：，即，解． ，为锐角，则， 又， ， ． 方法2 在三角形中，；；； 由余弦定理可得：； ； 又， ， ． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$