精品解析：重庆市西南大学附属中学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

西南大学附中2024—2025学年度下期期末考试 高二数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，再利用交集的定义求解. 【详解】集合，则， 所以. 故选：D 2. 在数列中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】推导出数列为常数列，即可得出的值. 【详解】在数列中，已知，，则， 故数列为常数列，则，因此，. 故选：D. 3. 的展开式中含的系数为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 的展开式通项为 ，令 ， 的系数为 ，故选A. 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 4. 下列函数中奇偶性与其它三个不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数满足，偶函数满足，对选项进行逐一判断. 【详解】选项A：函数定义域为,关于原点对称； ，，为奇函数. 选项B：函数定义域为不等于,关于原点对称； ，，为奇函数. 选项C：函数定义域为,关于原点对称； ，为偶函数. 选项D：函数定义域为,关于原点对称； ， 所以，为奇函数. 故选：C. 5. 从甲乙丙丁戊五人中挑选四人参加接力赛，乙若参加必须是甲的下一棒，则一共有多少种不同的安排方式（ ） A. 42 B. 45 C. 48 D. 51 【答案】A 【解析】 【分析】由分类加法原理即可求解. 【详解】第一种情况：乙不参加，共种情况， 第二种情况：乙参加，甲必然参加，共种情况，总计42种情况. 故选：A. 6. 平面直角坐标系中以四个点为顶点的直角梯形绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为，绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为，则（ ） A. B. C. D. 大小无法计算 【答案】A 【解析】 【分析】由圆台、圆锥以及圆柱的体积公式计算并比较大小即可得解. 【详解】 绕y轴旋转一周所得到的是圆台， 绕x轴旋转一周所得到的旋转体为圆柱和圆锥的组合. 所以， 故选：A. 7. 已知在上恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，由导数确定单调性后，由单调性得结论． 【详解】令，则，为增函数， 故，即解集为. 故选：B． 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意求出点的坐标，再根据即可容易求得. 【详解】由题可知，渐近线方程为， 故可得直线方程为， 联立， 即可求得点坐标为， 又因为点P在以线段为直径的圆外， 故可得， 则， 则，解得， 则离心率. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，属中档题；本题的难点在于点坐标的求解，以及点在圆外的转化. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 等差数列的前n项和为，已知，，则下列选项中正确的是（ ） A. ， B. 等差数列的公差 C. 使成立的n最小为10 D. 当时，取得最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由等差数列的前n项和为、可得即可判断；对于B，只需求出，然后由即可判断；对于C，直接解不等式即可判断；对于D，由n为正整数即可判断. 【详解】对于A选项，因数列为等差数列，，则，且， 则，所以，A错误； 对于B选项，由A知，则，则， 则公差，B正确； 对于C选项，由，得或，因为n为正整数，所以n最小值为10，C正确； 对于D选项，因为n为正整数，所以D错误. 故选：BC. 10. 已知正四面体棱长为6，点E，F分别位于棱上.其中，，动点P在平面内运动（包含边界），运动过程中与平面所成角的正切值为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 顶点A在平面的投影为点O，则直线与直线共面 C. 直线与所成角的正弦值为 D. 点P的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，只需证明面，再结合线面垂直的性质即可判断；对于B，由顶点A在平面的投影点O位于线段上即可判断；对于C，结合异面直线的定义即可判断；对于D，说明点的轨迹为等边的内切圆即可求解. 【详解】对于A选项，连接，由正四面体和得均垂直于，且平面， 可得面，又平面，则，A正确； 对于B选项，由正四面体可知，顶点A在平面的投影点O位于线段上，不在线段上，则异面，B错误； 对于C选项，在上取靠近A的三等分点M，则，直线与所成角即为直线与所成角， ，在中，，，，由余弦定理得， 同理可得，，由余弦定理得， 所以直线与所成角的正弦值为，C正确； 对于D选项，因为三角形外接圆的半径为， 所以且正四面体高等于， 因为与平面所成角的正切值为， 即，解得， 设等边的内切圆半径为，则， 解得，可知点的轨迹为等边的内切圆，且均在面内， 所以点的轨迹长度为，D正确. 故选：ACD. 11. 已知圆和抛物线的准线相切于点A，点B为圆C与抛物线D的一个交点，点N，M分别为圆C与抛物线D上的动点，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 点B到D的准线的距离为2 C. 直线AB与抛物线D相交 D. 若点，则的最小值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线的性质求得判断A，根据抛物线的定义判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，根据抛物线的定义与圆的性质判断D． 【详解】对于A选项，因为D的准线与圆C相切，则，即，A正确； 对于B选项，由A可知抛物线焦点即为圆心，则由抛物线定义知点B到D的准线的距离等于，B正确； 对于C选项，点，设，则由B选项知，，可得，， 抛物线方程，对应函数为，导函数为， 则点B处的切线斜率为，则直线AB与抛物线相切，C错误； 对于D选项，点位于抛物线内，的最小值等价于的最小值， 过点M作准线的垂线，垂足为，则，的最小值为点E到准线的距离，即为5， 则最小值为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：定点到圆上点的距离的最值利用定点到圆心的距离加减半径可得，抛物线上的动点定点的距离与到焦点的距离之和的最小值可根据抛物线的定义转化为定点到准线的距离． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】直接求导，然后代入即可求解. 【详解】由得， 则，，解得. 故答案为：. 13. 某生在一次考试中，共有8道题供选择，已知该生会答其中5道题，随机从中抽4道题供该生回答，至少答对2道题则及格，则该生在第一题不会答的情况下及格的概率是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率计算公式进行计算即可. 【详解】设事件“从8道题中抽4道题，第一题不会答”，事件“从8道题中抽4道题，至少有2道题会答”.， 则， 所以该生在第一题不会答的情况下及格的概率为. 故答案为： 14. 已知定义在上的函数的图象经过坐标原点，，，且函数为偶函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】首先说明是以4为一个周期的函数，然后计算得即可求解. 【详解】由，得， 则 两式相加得 又，所以 故图象关于点中心对称，且定义在上，. 由为偶函数，知图象关于直线对称， 故是以4为一个周期的函数. 因为的图象经过原点，，则. 由为偶函数得，令，得 因，令，可得 则， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 数列中，，满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） 由，得，又， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义即可证明； （2）由题意，由等差、等比数列求和公式以及分组求和法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得（，. 所以 . 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，M、N分别是AC、的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：连结，，为矩形，； 又M为AC的中点； 又平面；平面 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由中位线定理得证，再由线面平行的判定定理得证； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，可知， ， 设平面的法向量；，； 令，，，， 设平面的一个法向量是， 由，取，得； 二面角为锐角，它的余弦值为. 17. 2025年5月25日，多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛，王楚钦战胜巴西选手雨果夺得冠军，夺得三大赛单打首冠；现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日常训练. （1）假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； （2）若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若第一局甲失败，则下一局甲获胜的概率为，已知第一局甲获胜的概率为，在前两局比赛中，用X表示甲获胜的次数，求X的方差； （3）如果每局比赛甲获胜的概率为P，且，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，对于甲选手来说，选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）五局三胜对甲有利，理由如下： 采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率， 采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率： . 令， 因为时，，所以，选择五局三胜对甲有利. 【解析】 【分析】(1)三局两胜制甲胜有两种情况：前两局甲连胜、前两局甲胜一局且第三局甲胜； （2）三局两胜X的所有可能取值为0、1、2，分析每种取值所包含的事件并求出概率，代入期望公式求出期望，最后代入方差公式求方差. （3）首先分别求出两种赛制甲获胜的概率，然后作差比较大小，最后得出结论. 【小问1详解】 设事件“比赛采用三局两胜制甲胜”， 则. 【小问2详解】 X的所有可能取值为0，1，2， ，，. 所以期望为； 方差为； 【小问3详解】 略 18. 已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. （1）求C的方程； （2）过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明：依题意可设直线l的方程为，，，. 联立得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义得到，，故C的方程为； （2）（ⅰ）设直线l方程为，，，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，直线PM的方程为，代入两根之和，两根之积求出，故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ⅱ）计算出，得到的取值范围为. 【小问1详解】 因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，解得，，故C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）， ， 因为，所以，， 所以的取值范围为. 19. 已知A，B，C是曲线上不同的三点.若点A，B，C的横坐标成等比数列，且曲线在点B处的切线的斜率小于直线AC的斜率，则称是其定义域上的“等比左偏函数”.已知. （1）讨论的极值点个数； （2）若是上的“等比左偏函数”，求实数a的取值范围； （3）当时，数列满足，，证明：. 【答案】（1）当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为1. （2） （3）证明：当时，，， 令，，则， 仅当时，，在上单调递增， ，，， 从而，，…，故. 由（2）知， 令，则，则 又因为，所以， ，即，从而， ，.即. ∴当时， ， 又当时，，符合上式， . 【解析】 【分析】（1）求出函数定义域及导数，分、两种情况进行讨论，利用导数的正负判断函数的单调性进而确定极值点个数； （2）设，，则，根据导数的几何意义求出B点的斜率k，由题意得，利用换元法及导数证明，即可求得a的范围； （3）根据题意写出的递推公式，利用导数分析的单调性进而证明，利用（2）中函数的单调性证明，即可证明，通过构造证明，最后利用等比数列的求和公式证明题中不等式. 【小问1详解】 由，，， ①当时，，在上单调递减，的极值点个数为0； ②当时，令，可得，令，可得， 故在上单调递增，上单调递减. 在处取得极大值，无极小值，的极值点个数为1. 综上，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为1. 【小问2详解】 设，， 是上的“等比左偏函数”，，易知，不妨设， ，曲线在点B处切线的斜率， 又， . ，，令，则， 所以，（*）. 令， 则， 在上单调递增，， 结合（*）式，得，即a的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西南大学附中2024—2025学年度下期期末考试 高二数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 2. 在数列中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中含的系数为 A. B. C. D. 4. 下列函数中奇偶性与其它三个不同的是（ ） A. B. C. D. 5. 从甲乙丙丁戊五人中挑选四人参加接力赛，乙若参加必须是甲的下一棒，则一共有多少种不同的安排方式（ ） A. 42 B. 45 C. 48 D. 51 6. 平面直角坐标系中以四个点为顶点的直角梯形绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为，绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积为，则（ ） A. B. C. D. 大小无法计算 7. 已知在上恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 等差数列的前n项和为，已知，，则下列选项中正确的是（ ） A. ， B. 等差数列的公差 C. 使成立的n最小为10 D. 当时，取得最小值 10. 已知正四面体棱长为6，点E，F分别位于棱上.其中，，动点P在平面内运动（包含边界），运动过程中与平面所成角的正切值为，则下列选项正确的是（ ） A. B. 顶点A在平面的投影为点O，则直线与直线共面 C. 直线与所成角的正弦值为 D. 点P的轨迹长度为 11. 已知圆和抛物线的准线相切于点A，点B为圆C与抛物线D的一个交点，点N，M分别为圆C与抛物线D上的动点，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 点B到D的准线的距离为2 C. 直线AB与抛物线D相交 D. 若点，则的最小值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________. 13. 某生在一次考试中，共有8道题供选择，已知该生会答其中5道题，随机从中抽4道题供该生回答，至少答对2道题则及格，则该生在第一题不会答的情况下及格的概率是________ 14. 已知定义在上的函数的图象经过坐标原点，，，且函数为偶函数，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 数列中，，满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前n项和. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，M、N分别是AC、的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 2025年5月25日，多哈世界乒乓球锦标赛男单决赛，王楚钦战胜巴西选手雨果夺得冠军，夺得三大赛单打首冠；现有甲、乙两名乒乓球运动员进行日常训练. （1）假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； （2）若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为，若第一局甲失败，则下一局甲获胜的概率为，已知第一局甲获胜的概率为，在前两局比赛中，用X表示甲获胜的次数，求X的方差； （3）如果每局比赛甲获胜的概率为P，且，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，对于甲选手来说，选择哪种赛制获胜概率更大？请说明理由. 18. 已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. （1）求C的方程； （2）过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 19. 已知A，B，C是曲线上不同的三点.若点A，B，C的横坐标成等比数列，且曲线在点B处的切线的斜率小于直线AC的斜率，则称是其定义域上的“等比左偏函数”.已知. （1）讨论的极值点个数； （2）若是上的“等比左偏函数”，求实数a的取值范围； （3）当时，数列满足，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $