精品解析：北京市西城区2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷 高一数学 本试卷共6页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2 已知，若，则实数x=（ ） A. 8 B. -2 C. 2 D. -8 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 平面向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知是不重合的平面，是不重合的直线，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 在平面直角坐标系中，已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知正六棱锥的侧棱长为6，底面边长为是底面上一个动点，，则点所形成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数和的图象以每秒个单位的速度向左平移，的图象以每秒个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为（ ） A. 1秒 B. 2秒 C. 3秒 D. 4秒 9. 已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域．理想方波的解析式为，而在实际应用中多采用近似方波发射信号．如就是一种近似情况，则（ ） A. 函数是最小正周期为的奇函数 B. 函数的对称轴为 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的最大值不大于2 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 复数，则__________________. 12. 已知函数．若非零实数，使得对都成立，则满足条件一组值可以是______，______．（只需写出一组） 13. 有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为______；表面积为______． 14. 在中，，则______，______． 15. 如图，在棱长为2的正方体中，点为的中点，点是侧面上（包括边界）的动点，点是线段上的动点，给出下列四个结论： ①任意点，都有； ②存在点，使得平面； ③存在无数组点和点，使得； ④点到直线的距离最小值是． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点． （1）求及的值； （2）求的值． 17. 在中，分别是三个内角的对边，． （1）求的大小； （2）若，且边上的高是边上的高的2倍，求及的面积． 18. 如图，在三棱柱中，点分别为的中点． （1）求证：平面； （2）已知，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得三棱柱唯一确定，并求解下列问题： 条件①：； 条件②：； 条件③：． （i）求证：； （ii）求三棱锥的体积． 注：如果选择条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若函数， （i）求函数的单调递增区间； （ii）求函数在区间内的所有零点的和． 20. 如图（1），在Rt中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）点为线段的中点，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 21. 若存在实数和周期函数，使得，则称是好函数． （1）判断是否是好函数，证明你结论； （2）对任意实数，函数满足．若是好函数， （i）当时，求； （ii）求证：不周期函数； （iii）求证：是好函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市西城区2023—2024学年度第二学期期末试卷 高一数学 本试卷共6页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 2. 已知，若，则实数x=（ ） A. 8 B. -2 C. 2 D. -8 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的充要条件即可求解. 【详解】因为，且， 所以，解得：， 故选：. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】， 由正弦定理可得，故. 故选：B 4. 平面向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的几何意义即可求解. 【详解】由图可知：在方向上的投影为，故， 故选：C 5. 已知是不重合的平面，是不重合的直线，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据特例判断A，根据线面垂直的判定定理判断B，根据平面平行的判定定理判断C，根据面面垂直的判定定理判断D. 【详解】对A，两平面相交时，两平面外直线平行交线，即满足，不能得出，故A错误； 对B， 由线面垂直的判定定理，，则，正确； 对C，由两平面平行的判定定理知，，则，正确； 对D，由面面垂直的判定定理知，，则，正确. 故选：A 6. 在平面直角坐标系中，已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积坐标运算及三角函数恒等变换化简，利用正弦函数的值域求解即可. 【详解】由题意，， 又，所以，， 所以. 故选：A 7. 如图，已知正六棱锥的侧棱长为6，底面边长为是底面上一个动点，，则点所形成区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正六棱锥的结构特征可得，进而可得，分析可知点所形成区域为以为圆心，半径为的圆面，即可得面积. 【详解】因为为正六棱锥，则顶点在底面的投影为底面中心，如图， 又因为底面边长为，则，可得， 且，则， 可知点所形成区域为以为圆心，半径为的圆面，其面积为. 故选：B. 8. 已知函数和的图象以每秒个单位的速度向左平移，的图象以每秒个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为（ ） A. 1秒 B. 2秒 C. 3秒 D. 4秒 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象的平移及诱导公式求解即可. 【详解】经过时间， 平移后可得， 平移后可得， 由两函数图象重合知，， 所以，即，由，可知. 故选：B 9. 已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】以为整体，结合正弦函数对称性解得，进而根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称， 因为，且，则， 则，解得， 又因为是的真子集， 所以“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 10. 方波是一种非正弦曲线的波形，广泛应用于数字电路、定时器、逻辑控制、开关电源等领域．理想方波的解析式为，而在实际应用中多采用近似方波发射信号．如就是一种近似情况，则（ ） A. 函数是最小正周期为的奇函数 B. 函数的对称轴为 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的最大值不大于2 【答案】D 【解析】 【分析】计算即可求解A，根据与的关系即可求解B，根据特殊值即可求解C，根据三角函数的有界性即可求解D. 【详解】对于A, 故A错误， 对于B，， 故也为的一条对称轴，B错误， ， ，由于，故C错误， 对于D，，故D正确， 故选：D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 复数，则__________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法法则化简复数，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】，因此，. 故答案为：. 12. 已知函数．若非零实数，使得对都成立，则满足条件的一组值可以是______，______．（只需写出一组） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据余弦函数的周期性当时，满足题意. 【详解】若，则， 当时，，， 故可取， 故答案为：，答案不唯一 13. 有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为______；表面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式求木质工艺品的体积，根据圆柱、圆锥的侧面积公式求木质工艺品的表面积. 【详解】由题意可知：这个木质工艺品体积为； 因为圆锥的母线长为 所以这个木质工艺品的表面积为. 故答案为：；. 14. 在中，，则______，______． 【答案】 ①. 12 ②. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义求解即可； （2）利用向量的减法运算化简，再由数量积的运算法则求模即可. 【详解】由已知可得， . 故答案为：12； 15. 如图，在棱长为2的正方体中，点为的中点，点是侧面上（包括边界）的动点，点是线段上的动点，给出下列四个结论： ①任意点，都有； ②存在点，使得平面； ③存在无数组点和点，使得； ④点到直线的距离最小值是． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①：可证平面，即可得结果；对于②：可证平面，即可得结果；对于③：分析可知，结合平面性质分析判断；对于④：结合平面分析可知：当平面时，点到直线的距离最小，结合长度关系分析求解. 【详解】因为∥，且，可知为平行四边形. 对于①：因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面， 可得平面，由平面，则，故①正确； 对于②：由①可知：平面，由平面，则， 同理可证：， 且，平面，可得平面， 又因为平面，平面， 可知平面与平面相交， 所以不存在点，使得平面，故②错误； 对于③：若，则四点共面，即平面， 又因为点侧面，且侧面平面，则， 根据平面的性质可知：对任意线段（不包括），均存在，使得， 所以存在无数组点和点，使得，故③正确； 对于④：由②可知：平面， 由垂线性质可知，当平面时，点到直线的距离最小， 又因为， 可知为正三棱锥，点为等边的中心， 此时点到直线的距离为， 所以点到直线的距离最小值是，故④正确； 故答案：①③④. 【点睛】关键点点睛：对于空间中动线问题的研究，常常有拓展的思路，把线转为面，研究线面问题，有助于理解判断. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点． （1）求及的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据任意角的三角函数值的定义求，再利用倍角公式求； （2）根据任意角的三角函数值的定义求，再利用倍角公式、诱导公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：， 所以. 【小问2详解】 由题意可得：， 则， 所以. 17. 在中，分别是三个内角的对边，． （1）求的大小； （2）若，且边上的高是边上的高的2倍，求及的面积． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由正弦定理转化为三角函数，由二倍角的正弦公式化简即可得解； （2）由高的关系得出边的关系，再由余弦定理求出，由面积公式求面积即可. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 因为，所以. 所以 所以 因为，所以，， 所以，所以，即. 【小问2详解】 因为边上的高是边上的高的2倍，， 所以由等面积法知， 所以， 所以， 所以 18. 如图，在三棱柱中，点分别为的中点． （1）求证：平面； （2）已知，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得三棱柱唯一确定，并求解下列问题： 条件①：； 条件②：； 条件③：． （i）求证：； （ii）求三棱锥的体积． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）证明见解析 （2）(i)选条件②③或者①③，证明见解析；（ii）体积为 【解析】 【分析】（1）根据线线平行，即可根据线面平行的判定求证， （2）根据三棱柱唯一可选择②③或者①③，即可证明三棱柱为直三棱柱，即可根据线线垂直证明线面垂直求证，根据三棱锥的体积公式即可求证. 【小问1详解】 证明：如图，取的中点为，连接，， 则且，在三棱柱中，且， 又为的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 若选条件①②： 由可得四边形矩形，底面三角形形状不确定，此时三棱柱不唯一； 若选条件②③： 由，，平面，故平面， 又，故，所以，故三棱柱唯一，符合要求， 由于平面，平面，则， 又，平面， 故平面，平面，故, 若选条件①③： 由可得四边形为矩形， 又，故， 所以，故三棱柱唯一，符合要求， 由于平面，平面，则， 又，平面， 故平面，平面，故， 19. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若函数， （i）求函数的单调递增区间； （ii）求函数在区间内的所有零点的和． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）由图象及三角函数的性质可以得到，进而得到的解析式； （2）根据三角恒等变换化简，进而利用正弦函数单调性求单调区间，再由正弦函数性质得出零点，即可求和. 【小问1详解】 由图象可知：， 将点代入得， ∴ 【小问2详解】 （i）令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. （ii）令，即， 所以或， 即或， 由可得，零点为， 故零点之和为. 20. 如图（1），在Rt中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）点为线段的中点，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）先证明平面，得到，联合，可证； （2）运用等体积法可解； （3）取中点，连接.在上取点，使得，连接. 证明即可证明平面，即找出了满足题意的点. 【小问1详解】 如图所示， 根据题意，，且平面， 则平面，平面，则.又已知. ，平面，则平面. 【小问2详解】 如图所示，连接.设点到平面的距离． 由翻折前状态，可知. 由（1）知道，，则，则． 由（1）知道，，. 由平面.等体积法知道. 即. 代入化简得到，则，则点到平面的距离. 【小问3详解】 存在，. 如图所示，取中点，连接.在上取点，使得，连接. 由于点为线段的中点，则，. 又．则，，则四边形为平行四边形． 则，平面，平面，则平面. 此时． 21. 若存在实数和周期函数，使得，则称是好函数． （1）判断是否是好函数，证明你的结论； （2）对任意实数，函数满足．若是好函数， （i）当时，求； （ii）求证：不是周期函数； （iii）求证：是好函数． 【答案】（1）是好函数，不是好函数，证明见解析； （2）（i）（ii）证明见解析（iii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据好函数的定义直接判断即可； （2）（i）由所给条件直接得出（ii）假设函数为周期函数，推出矛盾可证明函数不是周期函数（iii）证明函数为好函数转化为证明为周期函数，再由函数周期的性质化简即可得证. 【小问1详解】 因为，其中为周期函数，所以为好函数，、 若为好函数，则存在实数和周期函数，使得， 所以为周期函数，又由二次函数性质知当且仅当时， 取最小值，这与是周期函数矛盾， 所以不好函数. 【小问2详解】 （i）由，， 可得. （ii）若是周期函数，设是的一个周期， 则，这与矛盾， 所以不是周期函数. (iii) 因为是好函数，所以存在实数和周期函数，使得， 由(ii)知，否则是周期函数，矛盾. 令， 以下证是以为周期的周期函数，是的周期， 假设存在，使得， 则 ，矛盾. 所以 ， 所以. 所以是好函数. 【点睛】关键点点睛：证明是好函数，即证存在实数和周期函数，使得 ，据此可构造函数，转化为证明是以为周期的周期函数，再由周期函数的定义证明即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$