精品解析：四川省泸州市2023-2024学年高二下学期7月期末统一考试数学试题

泸州市高2022级高二学年末统一考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答；用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知变量与的数据如下表所示，若关于的经验回归方程是，则表中（ ） 1 2 3 4 5 10 11 13 15 A. 11 B. 12 C. 12.5 D. 13 3. 设随机变量ξ服从正态分布，若，则下列结论中正确的是（ ） A. ，标准差 B. ，标准差 C. ，标准差 D. ，标准差 4 已知空间向量，若共面，则实数 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 80 6. 数列的前n项和满足，若，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 7 7. 已知是双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 若函数满足对恒成立，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直线过抛物线的焦点，且与交于M，N两点，则（ ） A. B. C. 的最小值为6 D. 的最小值为12 10. 已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ） A. 若为互斥事件，则 B. 若为互斥事件，则 C. 若相互独立，则 D. 若，则 11. 如图，在棱长为的正方体中，点P是平面内一个动点，且满足，则下列结论正确的是（ ） A B. 直线与平面所成角为定值 C. 点P轨迹的周长为 D. 三棱锥体积的最大值为 第II卷（非选择题 共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 某医院选派4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，则不同的选派方法有______种. 13. 已知函数在上是减函数，则的取值范围是______ 14. 人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为______ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中， （1）求证数列等比数列； （2）设，求数列的前项和. 16. 乒乓球运动属于有氧运动，能提高心肺功能，帮助增强肌肉，改善身体协调性和平衡能力.某校为了解学生对乒乓球运动的喜爱情况，随机调查了200名学生，统计得到如下2x2列联表．乒乓球运动总计 性别 乒乓球运动 总计 喜欢 不喜欢 男生 40 100 女生 20 总计 120 200 （1）先完成列联表，依据的独立性检验，能否认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联？ （2）为增强学生参加乒乓球运动的积极性，从调查结果为喜欢的学生中按性别用分层抽样的方法抽取6人参加乒乓球动动集训，再从这6人中随机抽取3人参加乒乓球比赛，记随机变量X为这3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 附： 其中. 17. 设，···， 都在椭圆C：上，且构成一个公差为的等差数列（其中O是坐标原点），记及 （1）若，求点的坐标（写出一个即可）： （2）当公差d变化时，求的最小值. 18. 在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，点D满足，平面平面， （1）求证； （2）若直线与平面所成角的正弦值为 （i）求平面与平面的距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 设函数， （1）求证：当时，函数没有零点； （2）若曲线在点处的切线，也是曲线的切线，求a的值； （3）对任意，关于x的不等式恒成立，求正数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泸州市高2022级高二学年末统一考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑． 3．填空题和解答题的作答；用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设直线的倾斜角为， 直线可转化为, 故. 又因为, 所以. 故选：C. 2. 已知变量与的数据如下表所示，若关于的经验回归方程是，则表中（ ） 1 2 3 4 5 10 11 13 15 A. 11 B. 12 C. 12.5 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】利用样本中心点求解即可. 【详解】， 因为经验回归方程经过样本中心， 所以， 解得. 故选：A. 3. 设随机变量ξ服从正态分布，若，则下列结论中正确的是（ ） A. ，标准差 B. ，标准差 C. ，标准差 D. ，标准差 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性分析判断即可. 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布，， 所以，，， 又， 所以， 故选：B 4. 已知空间向量，若共面，则实数 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理可知存在一对有序实数，使，然后列方程组可求得答案. 【详解】因为不共线，共面， 所以存在一对有序实数，使， 所以， 所以，解得， 故选：A 5. 的展开式中项的系数为（ ） A. B. C. 10 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】变形后,分析加通项公式即可解决． 【详解】，要得到展开式中项，只需要找出展开式的项即可.由通项公式规律，由于 ，可直接写出项．即为．则展开式中项为，系数为. 故选：D. 6. 数列的前n项和满足，若，则的值是（ ） A. B. C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合化简变形可得数列是以2为首项，为公比的等比数列，从而可求出，进而可求出答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 因为，，所以，得， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 故选：B 7. 已知是双曲线右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由点到直线的距离公式可得，然后结合条件由双曲线的定义可得的关系式，然后转化为的齐次式，即可得到结果. 【详解】 不妨过点作渐近线，即的垂线垂足为， 由点到直线的距离公式可得， 如图，设的左焦点为为坐标原点，取的中点，连接， 因为，所以，所以， 则．又， 所以， 整理得，得，得． 故选：A 8. 若函数满足对恒成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，即可得关于对称，结合二次函数的单调性即可得解. 【详解】由，则，即， 故关于对称，又， 则由二次函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 故对，有，即， 即，即，解得或， 即不等式的解集为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助结合复合函数求导法则得到，从而得到的对称轴. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直线过抛物线的焦点，且与交于M，N两点，则（ ） A. B. C. 的最小值为6 D. 的最小值为12 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据题意及直线过定点即可判断A，B；再根据抛物线的性质知直线垂直于轴，取得最小值，进而即可判断C，D． 【详解】对于A，B，由直线与轴的交点坐标为，则，即，故A错误，B正确； 对于C，D，当直线垂直于轴，即时，取得最小值，且最小值为．故C错误，D正确． 故选：BD． 10. 已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ） A. 若为互斥事件，则 B. 若为互斥事件，则 C. 若相互独立，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件性质可求得A错误，B正确，再由相互独立事件性质可得C正确，利用对立事件及条件概率公式可得D正确. 【详解】对于A，若为互斥事件，则，即可得A错误； 对于B，由可得， 又为互斥事件，则，又，即B正确； 对于C，若相互独立，则, 所以，即C正确； 对于D，若，所以； 可得， 所以，即D正确. 故选：BCD 11. 如图，在棱长为的正方体中，点P是平面内一个动点，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成角为定值 C. 点P轨迹的周长为 D. 三棱锥体积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理、性质定理可判断A；求出点的轨迹可判断C；求出直线与平面所成角可判断B；求出三棱锥体积的最大值可判断D. 【详解】对于A，连接，因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，平面，所以平面， 平面，所以，同理可得， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于C， 由A选项知平面，设平面， 即平面，平面， 因为，， 所以三棱锥为正三棱锥，因为平面， 则与正的中心，则， 所以，因为， 所以，因为， 即， 即， ，两边平方化简可得， 因为点到等边三角形的边的距离为， 所以点的轨迹是在内，且以为圆心、半径为的圆， 所以点P的轨迹的周长为，故C错误； 对于B，由选项C可知，点的轨迹是在内， 且以为圆心、半径为的圆，，且， 平面，所以就是直线与平面所成角， 所以，因为， 所以直线与平面所成角为定值，故B正确； 对于D，因为点到直线的距离为， 点到直线的最大距离为， 故的面积的最大值为， 因为平面，则 三棱锥体积的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：选项C的解题关键点是求出点的轨迹；选项B的解题的关键点求出直线与平面所成角. 第II卷（非选择题 共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 某医院选派4名医生到3个乡镇义诊，每个乡镇至少有一人，每名医生只能去一个乡镇，则不同的选派方法有______种. 【答案】36 【解析】 【分析】先将名医生分为组，分别有名医生，再将其分配给个乡镇即可. 【详解】现将名医生分为组有种， 再将其分配给个乡镇有种. 故答案为：. 13. 已知函数在上是减函数，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】由函数在上是减函数，得在上恒成立，分离参数后即在上恒成立，令，求出即可求解. 【详解】， 在上是减函数， 在上恒成立，又 即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，当时，， 则. 故答案为：. 14. 人脸识别在现今生活中应用非常广泛，主要是测量面部五官之间的距离，称为“曼哈顿距离”．其定义如下：设， ，则A，B两点间的曼哈顿距离.已知，若点满足，点N在圆上运动，则的最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，作出点的轨迹，将问题转化为点到圆的距离问题，从而得解. 详解】由题意得，圆，圆心，半径， 设点，则， 故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，，    则，， 则，即的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中， （1）求证数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）将递推公式转化为 是等比数列； （2）由（1）得，再利用错位相减法求解. 【小问1详解】 由，又，所以， 所以是公比为2的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知，数列的首项为，公比为2， ， ， ， 所以 两式相减，得， 所以． 16. 乒乓球运动属于有氧运动，能提高心肺功能，帮助增强肌肉，改善身体协调性和平衡能力.某校为了解学生对乒乓球运动的喜爱情况，随机调查了200名学生，统计得到如下2x2列联表．乒乓球运动总计 性别 乒乓球运动 总计 喜欢 不喜欢 男生 40 100 女生 20 总计 120 200 （1）先完成列联表，依据的独立性检验，能否认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联？ （2）为增强学生参加乒乓球运动的积极性，从调查结果为喜欢的学生中按性别用分层抽样的方法抽取6人参加乒乓球动动集训，再从这6人中随机抽取3人参加乒乓球比赛，记随机变量X为这3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 附： 其中. 【答案】（1）列联表见解析，能认为； （2）分布列见解析，数学期望2. 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据完成列联表，然后利用公式计算，再与临界值比较即可； （2）由分层抽样可知抽取的6人中，男生有2人，女生有4人，所以的所有可能取值为1，2，3，然后求出相应的概率，从而可求得X的分布列和数学期望． 【小问1详解】 解：列联表： 性别 乒乓球运动 总计 喜欢 不喜欢 男生 40 60 100 女生 80 20 100 总计 120 80 200 零假设为：是否喜欢乒乓球运动与性别无关联，则 ， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以认为是否喜欢乒乓球运动与性别有关联； 【小问2详解】 喜欢乒乓球运动中，男生40人，女生80人，则男生人数与女生的人数之比为， 所以抽取的6人中，男生抽2人，女生抽4人，所以可能取1，2，3， 则，， ， 所以的分布列为： 1 2 3 . 17. 设，···， 都在椭圆C：上，且构成一个公差为的等差数列（其中O是坐标原点），记及 （1）若，求点的坐标（写出一个即可）： （2）当公差d变化时，求的最小值. 【答案】（1）； （2）6250. 【解析】 【分析】（1）根据首项和前项和，求得，结合的坐标满足椭圆方程，解方程组即可求得结果； （2）根据原点到椭圆上一点距离的最小值，即可求得的最小值； 【小问1详解】 由，解得：， 因为所以，因为为公差为的等差数列， 所以，所以， 可得， 由，可得，故点的坐标可以为. 【小问2详解】 原点到二次曲线 上各点的最小距离为，最大距离为； 因为，故，且， 故，因为，故在上递增， 故的最小值为. 当椭圆C：，则， 所以的最小值为. 18. 在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，点D满足，平面平面， （1）求证； （2）若直线与平面所成角的正弦值为 （i）求平面与平面距离； （ii）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，得到，借助得到即可； （2）（i）找出直线与平面所成角，则知道，用同角三角函数关系式，得.再用余弦定理解得，再求点到面的距离即可解决；（ii）建立坐标系，再求出关键点的坐标，后求出平面与平面的法向量，进而求出向量夹角的余弦值，再得到两平面夹角余弦值即可. 【小问1详解】 如图所示， 为正三角形，为中点，， 又平面平面平面平面平面， 平面，又平面， . 【小问2详解】 （i），故． 如图过作于， 因为平面，又平面，所以， 又平面，则平面. 则，则. 由余弦定理得， 即，解得． 则平面与平面的距离. （ii）由前面计算和证明可得，侧面为菱形， 为正三角形，则. 又平面，则如图所示可建立空间直角坐标系. 则， 则 设平面的法向量为， 则， 设可求得平面法向量， 则， 则. 则平面与平面夹角的余弦值为. 19. 设函数， （1）求证：当时，函数没有零点； （2）若曲线在点处的切线，也是曲线的切线，求a的值； （3）对任意，关于x的不等式恒成立，求正数k的取值范围. 【答案】（1）证明见解析； （2）答案见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数先求导函数得出单调性即可得出零点； （2）先根据求出切线，再根据切线求参； （3）把恒成立不等式移项设新函数,再结合函数单调性求参即可. 【小问1详解】 由题设， 当时，则， 所以在单调递增，， 故时，没有零点，得证. 【小问2详解】 由（1）知，，曲线在点处的切线为 , 由题设，则， 设 与相切于点，则， ，则， ，则， 所以或 小问3详解】 ， 令，， 存在，使在单调递增； 显然在恒成立，则. 当，，恒成立； 当，设， 所以单调递增，所以， 也成立， 所以. 【点睛】方法点睛：恒成立问题移项设新函数，根据函数的最值满足不等式求参. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$