河北省保定市2024-2025学年高一下学期7月期末调研考试数学试题

1 2024-2025 学年第二学期高一数学期末调研考试 参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1.C 2. C 3.B 4．A 5.D 6.B 7.D 8.D 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。（部分选对中如有 三个正确选项，选对一个得 2 分，选对两个得 4 分；如有两个正确选项，选对一个得 3 分.） 9.AC 10.BD 11.ACD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 11 12 13． 10 10 14. 4, 4 3 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解： (1)因为 212a b    ， 则  2 2 22 22 4 4 4 cos , 4a b a a b b a a b a b b                    1 8cos , 16 21a b      , 解得 1cos , 2 a b     ,又因为0 , πa b    ， 因此， 2π, 3 a b    ，即向量 a  、b  的夹角为 2π 3 . (2)因为向量 cd  与向量 共线，所以存在实数使得  batbta   4 ， 即 batbta    4 因为向量 ba  与 不共线，所以        t t41 解得         2 1 2 1 t  ，或         2 1 2 1 t  因为 dc  与向量 方向相反，所以 0 所以 2 1 t 2 16解：（1） 第二组的频率为   24.010012.0014.0032.0018.01  ， 所以频率直方图的高 024.0 10 24.0 a 设中位数为 x，由频率分布直方图可知，  20,10 所占的面积 为 18.010018.0  ，  30,20， 所占的面积为 24.010024.0  ，  40,30 所占的面 积为 32.010032.0  ， 则中位数  40,30x ，由   5.0032.03024.018.0  x 解得 5.32x ， 平均年龄为 8.3212.05514.04532.03524.02518.015  ， 所以年龄的中位数为 5.32 ，平均年龄为 8.32 岁. （2）  20,10 内的观众有 1818.0100  人，  60,50 内的观众有 1212.0100  人. （3）用分层抽样的方法从  20,10 和  60,50 内抽取 5 名观众，则  20,10 内抽取 3 人，  50,40 内 抽取 2 人，记年龄在  20,10 的为 cba ,, ，年龄在  50,40 为 nm, ， 从 5 名观众中中抽取 2 个人座谈，其样本空间                   ncmcnbmbcbnamacaba ,,,,,,,,,,,,,,,,, ，即   10n ，记 A “抽到的 2 个人来 自不同组”，则             ncmcnbmbnamaA ,,,,,,,,,,, ，即   6An ， 因此      5 3 10 6    n AnAP ， 即抽到的 2 个人来自不同组的概率为 5 3 10 6  . 17解: 解：（1）由 BCA 2cos1 2 cos2 2  ，得   BCA 2coscos  ， 即 01coscos2 2  BB ，即    01cos1cos2  BB ， 因为 1cos B ，所以 2 1cos B ， 因为  ,0B ，所以 3  B . 3 （2）因为 32 3 sin 2 1sin 2 1  acBacS ABC ， 所以 8ac ①， 根据余弦定理，  2222 32cos2  Baccab ， 即 1222  acca ② 联立①和②得 2a 或 4a . （3）法 1：因为 cba 2 ，所以 CBA sin2sinsin  ， 所以 CC sin2 3 sin 3 2sin         ， 则 CCC sin2 3 sinsin 3 2coscos 3 2sin   ， 化简得 3cos3sin3  CC ，即 2 1 6 sin        C ， 因为 3 20  C ，所以 3 2 63   C ， 所以 66  C ，所以 3  C . 法 2：由 2 1 2 cos 222    ab bca B acbca  222 把已知 2 ba c   带入上式 22 2 2 2 baab ba a         化简得 ba  所以 3   BA ，即 3  C 18（1）证明： 法 1：取 SD的中点M ，连结ME，MC ， 因为 FE, 分别为 BCSA, ，且四边形 ABCD为菱形， 则 EM ∥ AD且 ADEM 2 1  ，FC∥ AD且 ADFC 2 1  ， 所以 EM ∥ FC且 FCEM  ， 所以四边形 EFCM 是平行四边形， 4 则 EF ∥MC， 又 MC 平面 SCD， EF 平面 SCD， 所以 EF ∥平面 SCD . 法 2：取 AD的中点 N ， 因为 FE, 分别是 BCSA, 的中点，且四边形 ABCD为菱形， 则 EN ∥ SD，又 EN 平面 SCD，则 EN ∥平面 SCD， FN ∥CD，又 FN 平面 SCD，则 FN ∥平面 SCD， 又 NFNEN  ，则平面 EFN ∥平面 SCD， 又 EF 平面 EFN ，所以 EF ∥平面 SCD . （2）解：法 1： 取 AB的中点O，因为 6 SBSA ，则 ABSO  ， 又因为底面 ABCD为菱形， 3  ABC ，则 OCAB  ，又 OOCSO  ， 所以 AB 平面 SOC， 因为 AB∥CD，所以 CD 平面 SOC 又 CD 平面 SCD，所以平面 SOC 平面 SCD， 因为平面 SOC 平面 SCSCD  ， 过点O作 SCOH  交 SC于H ，则 OH 平面 SCD， 则OH 的长即为点O到平面 SCD的距离， 在 SOCRt 中， 4 30 22 35      SC OCOSOH ， 因为 AB∥CD， AB 平面 SCD， CD 平面 SCD， 所以 AB∥平面 SCD，则 B到平面 SCD的距离即为O到平面 SCD的距离， 所以 B到平面 SCD的距离为 4 30 . 法 2： 因为平面 SAB 平面 ABCD，平面 SAB 平面 ABABCD  ， SO 平面 SAB， 所以 SO 平面 ABCD， 因为 2AB ，则 5SO ， 5 又因为底面 ABCD为菱形， 3  ABC ，所以 3OC ， 7 3 2cos222  ODOAODOAOD 在 SOCRt 中， 2222  OCSOSC ， 在 SODRt 中， 3222  ODSOSD ， 在 SCD 中，因为   22222 12222 SDSCCD  ， 所以 SCD 为直角三角形， 22 2 1  CDSCS SCD ， 33 2sin 2 1  CDBCS BCD ， 设点 B到平面 SCD的距离为 h， 根据 BCDSSCDB VV   ，则 SOShS SCDSCD   3 1 3 1 ， 解得 4 30 h ， 即 B到平面 SCD的距离为 4 30 . （3）解：因为 CDSC  ， CDOC  ， OC 平面 BCD， SC 平面 SCD， 所以 SCO 为二面角 SCDB  的平面角， 在 SOCRt 中， 4 6 22 3cos  SC OCSOC ， 即二面角 SCDB  的余弦值为 4 6 . 19解: 解： （1）因为 90CAB ， mAC 200 ， mAB 3200 ， 所以 mBC 400 ， 3 3 3200 200tan  AB ACB ， 所以 6  B ， 3  C ，   222 222 200 6 cos320020023200200 cos2    BNBABNBABAN 所以 mAN 200 ， 6 则 NAB 为等腰三角形， 6  NAB ， 所以 6  CAM ，则 2  CMA ， 得 mAM 3100 ， mCM 100 ，则 mMN 100 ， 所以护栏的长度为  mMNANAM 3100300  . （2）设计使得 12  CAM 时人工湖面积最小。 （或 4  NAB设计 ，或  34100 CM 都可） 法 1：设 NAB ，       3 ,0  ，则   3 CAM ， 在 NAB 中， ANB AB B AN    sinsin ，即           6 5sin 3200 6 sin AN ， 解得          6 5sin 3100AN ， 在 CAM 中， AMC AC C AM    sinsin ，即           3 sin 200 3 sin AM ， 解得          3 sin 3100AM ， 所以人工湖的面积                                   sin 2 1cos 2 3sin 2 3cos 2 14 1003 3 sin 3100 6 5sin 3100 4 1sin 2 1 2 2 MANANAMSS MAN          2sin 2 1 4 34 1003 2 ， 则当 2 2   即 4   时人工湖的面积最小，最小值为   23230000 m . 7 法 2：设 CAM ，       3 ,0  ，则   3 NAB ， 在 CAM 中， AMC AC C AM    sinsin ，即           3 2sin 200 3 sin AM ， 解得          3 2sin 3100AM ， 在 NAB 中， ANB AB B AN    sinsin ，即           2 sin 3200 6 sin AN 解得 cos 3100 AN ，   cossin 2 1cos 2 34 1003 cos 3100 3 2sin 3100 4 1sin 2 1 2 2                    MANANAMSS MAN   3 3 2sin2 1003 2sin2cos13 1003 cossin2cos32 1003 22 2 2                 ， 则当 23 2   即 12   时人工湖的面积最小，最小值为   23230000 m . 2024—2025学年第二学期高一期末调研考试 数 学 试 题 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1. 已知z(1+i)=2,则|z|= A. 2 B. 1 D. 2. 在一次知识竞赛中,某校8名同学的成绩(单位:分)分别为:80,82,84,90,92,94,96,98，则这组数据的上四分位数为 A.94 B.82 C. 95 D. 96 3. 已知直线a,b和平面α, β,满足(α⊥β,α∩β=b,则a⊥b是a⊥β的 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知 则 B. D. 5. 已知||=1,||=2,⊥(-2),.则向量在向量上的投影向量为 A. D. 6.抛掷质地均匀的骰子两次，记第1次和第2次出现的点数分别为s₁，s₂，设事件A= 事件. 事件 ，则 A. A与B互斥 B. A与B相互独立 C. A∩B=C D. A∪B=C 7. 已知三棱锥S-ABC,SA⊥平面ABC,SA=4,∠CAB=120°,BC=2,则此三棱锥外接球的表面积为 学科网（北京）股份有限公司 8.已知函数 的图象在(0，π)上恰好有2个最高点和1个最低点，且这三个点总可以组成一个锐角三角形，则ω的取值范围是 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中正确的是 且 则 B. 已知一组数据4,4,m,8,9的平均数为6,则m=6 C. 若样本数据x₁,x₂,…,x₁₀的方差为5,则数据 的方差20 D.从5黑1白六个小球中不放回的进行随机抽取，每次抽取1个球，第二次抽到白球的概率为 10. 方程. 在复数集C的两个根分别为：z₁,z₂,则 11.已知圆锥SO的轴截面SAB的顶角为 ，底面半径为： 则 A.圆锥的侧面积为 B.过圆锥顶点的截面面积的最大值为 C. P是圆锥侧面上的一点，且到底面的距离为2，则三棱锥S—APB体积的最大值为9 D.球O'与圆锥的侧面和底面都相切，过圆锥的顶点S作与平面SAB成30°角且与AB平行的平面，则此平面截球O'所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分。 12.甲，乙两人独立解决同一道数学题，若甲和乙能正确解出此题的概率分别为 和 则此题被正确解出的概率是 . 13. 在△ABC中,已知AB=2,AC=3,∠BAC=90°,且 AM与BN相交于点P,则cos∠MPN= . 14. 如图,二面角α—l—β大小等于120°,A,B是棱l上两点 ,BD,AC 分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,AB=AC=BD=2. 则CD= ,直线CD与平面β所成角的正弦值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知平面向量,,若||=1,||=2,|-2|= . (1)求向量与的夹角； (2)若=+t,=4t+,向量与向量共线且方向相反,求实数t的值. 16.(15分) 据网络平台数据，截止到2025年4月12日17时38分，2025年度我国电影大盘票房(含预售)突破250亿，居全球第一.《哪吒之魔童闹海》以60.8%的票房占比断层领跑.一调研团从一场去电影院观看该电影的观众中随机抽取100名作为样本，统计他们的年龄并分成五组:第一组[10,20),第二组[20,30),第三组[30,40),第四组[40,50),第五组[50，60]，绘制成了如图所示的频率分布直方图，把频率视为概率. (1)求频率分布直方图中的a； (2)估计该场观众年龄的中位数和平均数； (3)用比例分配的分层随机抽样方法从此样本中[10,20)和[50,60]内共抽取5名观众,再从中任取2个人座谈，求抽到的2个人来自不同组的概率. 17.(15分) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知, (1)求角B; (2)若 的面积为 求a; (3)若a+b=2c,求角C. 18.(17分) 在四棱锥 中,平面SAB⊥平面ABCD,SA=SB= 底面ABCD为菱形AB=2, E,F分别是SA,BC的中点. (1)求证: EF//平面SCD (2)求点B到平面SCD的距离； (3)求二面角B—CD—S的余弦值. 19.(17分) 某大型商业区周边有一块三角形空地，为了优化环境，拟在此三角形区域建造一个花园，将三角形分割成三部分，如图，在区域. 分别种植牡丹，芍药，将区域 设计成人工湖，在人工湖周围安装护栏，已知. ,M,N在BC上且 (1)当 时，求护栏的长度； (2)为了节约开支，如何设计能使人工湖面积尽可能小，请写出设计方案并求出人工湖面积的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$