1.1《认识三角形》（三角形的高）课件 2025—2026学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

1.1 认识三角形 —— 三角形的高 学习目标 1.理解三角形高的概念，并能在图中识别三角形的高。 2.通过画、折等操作，发现三角形的高的相关性质，培养学生动手实践能力，发展学生几何直观。 3.能够利用与三角形的高进行有关的计算。 1.三角形的中线： 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段. 2.三角形的重心： 三角形三条中线交与一点，这点就是三角形的重心. 3.三角形重心的位置： 在三角形的内部. 4.三角形的角平分线： 在三角形中，一个内角的平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段. 5.三角形的角平分线的性质： 三角形的三条角平分线交与一点. 这点总在三角形内部. 复习导入 运动会上，小明参加了立定跳远比赛，你会测量小明的成绩吗？ 探究新知 如图，下面三角形房梁中，立柱与横梁有什么特殊的位置关系？ 你还记得借助用三角板“过一点画已知直线的垂线” 吗? 放、 靠、 过、 画. 思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? 复习导入 导入新课 动手画一画 在△ABC中，过点C做AB边上的垂线 A B C 如图，下面三角形房梁中，立柱与横梁有什么特殊的位置关系？ D 线段AD是BC边上的高. 一、三角形的高 ∵AD为△ABC的高， ∴∠ADC=∠ADB=90° （或 ⊥ ）. 定义：从三角形的一个顶点，向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. D 线段AD是BC边上的高. 合 作 探 究 A B C D A B C F 如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点 D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置.说说你的想法并与同伴进行交流. AF⊥BC 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗？ 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所画的线段AD叫做△ABC的边BC上的高。 D 三角形的高 一 三角形的高的定义 从三角形的一个顶点， 向它的对边 所在直线作垂线， 顶点 和垂足 之间的线段 叫作三角形的高线， 简称三角形的高. 如右图, 线段AD是BC边上的高. 讲授新课 A B C D 和垂足的字母. 注意 ! 标明垂直的记号 ∵AD为△ABC的高， ∴∠ADC=∠ADB=90° （或 ⊥ ）. 三角形高的一种使用方法： (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ (3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点； 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 如图所示； 一个三角形有三个顶点，有三条高. A B C E F 锐角三角形的三条高 G A B C 直角边BC边上的高是 ; 斜边AB边上的高是 ; (2) 直角边AC边上的高是 ; (1) 画出直角三角形的三条高, AC DC 它们有怎样的位置关系？ 直角三角形的三条高交于直角顶点. BC D 直角三角形的三条高 (1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？ (2) AC边上的高是 ， AB边上的高为 ， BC边上的高为 . (3)钝角三角形的三条高交于一点吗？ (4)它们所在的直线交于一点吗？ 钝角三角形的三条高不相交于一点. 钝角三角形的三条高所在直线交于一点. BF CD AE A B C E D F 钝角三角形的三条高 1.三角形的三条高所在的直线交于一点. 这个点叫三角形的垂心. 2.垂心的位置 锐角三角形的垂心在三角形内部， 直角三角形的垂心是直角顶点， 钝角三角形的垂心在三角形外部. 3.重心、内心、垂心的区别 重心和内心总在三角形内部，垂心的位置和三角形的形状有关. 总结归纳 思考：三角形按角分类分为哪几类？ 一个三角形有三个顶点，有三条高. A B C 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 锐角三角形的高 E F D (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ (3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点； 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 如图所示； 一个三角形有三个顶点，有三条高. 三角形按角分类分为哪几类？ A B C 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 E F 锐角三角形的三条高 G 1.三角形的三条高所在的直线交于一点. 这个点叫三角形的垂心. 2.垂心的位置 锐角三角形的垂心在三角形内部， 直角三角形的垂心是直角顶点， 钝角三角形的垂心在三角形外部. 3.重心、内心、垂心的区别 重心和内心总在三角形内部，垂心的位置和三角形的形状有关. 总结归纳 A B C 直角边BC边上的高是 ; 斜边AB边上的高是 ; (2) 直角边AC边上的高是 ; (1) 画出直角三角形的三条高, AC DC 它们有怎样的位置关系？ 直角三角形的三条高交于直角顶点. BC D 直角三角形的三条高 (1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？ (2) AC边上的高是 ， AB边上的高为 ， BC边上的高为 . (3)钝角三角形的三条高交于一点吗？ (4)它们所在的直线交于一点吗？ 钝角三角形的三条高不相交于一点. 钝角三角形的三条高所在直线交于一点. BF CD AE A B C E D F 钝角三角形的三条高 1.三角形的三条高所在的直线交于一点. 这个点叫三角形的垂心. 2.垂心的位置 锐角三角形的垂心在三角形内部， 直角三角形的垂心是直角顶点， 钝角三角形的垂心在三角形外部. 3.重心、内心、垂心的区别 重心和内心总在三角形内部，垂心的位置和三角形的形状有关. 总结归纳 例1：如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____． 方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”． 典例精析 例2：如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°, ∠BCE＝40°，求∠ADB的度数． 典例精析 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠DAC＝∠BAD＝ ∠BAC=30°. ∵CE是△ABC的高， ∴∠BEC=90° ∵∠BCE＝40°， ∴∠B＝90°-∠BCE=50°， 在🔺ABD中 ∵∠ADB+∠B+∠BAD＝180°（三角形内角和定理） ∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－30°－50°＝100°. 例3：如图，已知AD是△ABC的中线，AF⊥BC，垂足是点F. （1）AF是图中哪几个三角形的高？ （2）图中哪两个三角形的面积相等？请说明理由. 典例精析 A C D B F 解：（1）AF是🔺ABC，🔺ABD，🔺ABF，🔺ADF，🔺ADC，🔺AFC的高. （2）🔺ABD与🔺ACD的面积相等.理由如下： ∵BD=DC， ∴ BD·AF= DC·AF. 由三角形的面积公式可知，🔺ABD与🔺ACD的面积相等. 当堂练习 2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( ) A D C B A B C D A B C D A B C D A B C D B D 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°， ∠2=20°，则∠B=_______． 50° 1 2 A C D B E 4.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线， 已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小. 解： ∵ AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°. ∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°， ∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C ) =180°－90°－40°=50°. ∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°， ∴∠CAE=41°， ∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°. B A C D E 三角形的高 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 高的定义 高的性质 直角三角形的三条高交于直角顶点. 钝角三角形的三条高所在直线交于一点. 课堂小结 $$