精品解析：北京市通州区2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试题

通州区2024—2025学年第二学期七年级期末质量检测 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，三道大题，27个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、完全平方公式、幂的乘方、同底数幂相除，根据合并同类项、完全平方公式、幂的乘方、同底数幂相除的运算法则逐项判断即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 2. 已知不等式组，下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了将不等式组的解集表示在数轴上，根据数轴上解集的表示方法表示即可，熟练掌握数轴上解集的表示方法是解此题的关键． 【详解】解：将不等式组的解集表示在数轴上如图所示： ， 故选：B． 3. 将化为小数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义，把一个数写成的形式，说明是把原来数的小数向右移动了位得到，由此只要的小数点向左移动位，即可得到原来的数． 【详解】解：， 故选：． 【点睛】此题考查了科学记数法，解题的关键是掌握用科学记数法表示较小的数的方法及还原原数． 4. 若，则下列不等式成立是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵，∴，故原选项计算错误，不符合题意； B、∵，∴，故原选项计算错误，不符合题意； C、∵，∴，故原选项计算错误，不符合题意； D、∵，∴，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（ ）． A. 随机选取一个班的学生 B. 随机选取一个体育队的学生 C. 在全校女生中随机选取人 D. 在全校学生中随机选取人 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抽样调查的知识．注意选取的样本需要有代表性和广泛性．因为抽样时要注意样本的代表性和广泛性，根据样本的代表性即可作出判断． 【详解】解：随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，抽样时要注意样本的代表性和广泛性，在全校学生中随机选取人，这些对象具有代表性和广泛性． 故选：． 6. 若实数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（ ） A. 9 B. 9或10 C. 8或10 D. 8或9 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式组的解集，结合求出整数解，然后求和即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4或1，2，3，4或2，3，4， ∴或或， 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 7. 某学校七年级成立国旗班，每周一负责升国旗．国旗班15名成员的身高分别为（单位：）167，168，168，169，170，170，171，171，172，172，172，173，173，174，175，这组数据的众数、中位数、平均数分别是（ ） A. 172，171，171 B. 172，171，170 C. 168，171，172 D. 168，171，170 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数，根据众数、中位数和平均数的定义分别计算即可，熟练掌握众数、中位数和平均数的定义是解此题的关键． 【详解】解：数据中172出现3次，次数最多，故众数为172； 共有15个数据，中位数为第8个数，排列后的数据第8个为171，故中位数为171； 平均数为：； 综上，众数、中位数、平均数分别为172、171、171， 故选：A． 8. 已知：，且，，的最大值是（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法、绝对值的意义、有理数的加法，根据题意可得，，中有两个负数，一个正数，，，，求出，再分三种情况，结合绝对值的意义求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，中有两个负数，一个正数，，，， ∴， 当，，时，， 当，，时，， 当，，时，， 综上所述，的最大值是， 故选：A． 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法．利用提公因式的方法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 计算：______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． 先根据同底数幂乘法的逆用将改写成，再根据积的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解： ． 11. 命题“如果，那么”的逆命题是_____命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查了对逆命题定义的理解及运用，解题的关键是分清原命题的题设和结论．将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，再判定真假即可． 【详解】解：“如果，那么”的逆命题是逆命题是如果，那么，该命题是假命题， 故答案为：假． 12. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把把代入，得出关于a的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：把代入，得： ， 解得：， 故答案为：． 13. 某学校在四月举行了“书香校园读书月”活动，为了了解七年级学生四月读书情况，随机调查了七年级40名学生在4月1日到4月30日期间读书的册数，数据整理如下表： 册书 0 1 2 3 4 人数 2 10 16 10 2 该学校七年级有800名学生，估计该学校七年级学生在4月读书的总册数是______册． 【答案】1600 【解析】 【分析】该题考查了加权平均数、用样本估计总体，先求出七年级40名学生在4月1日到4月30日期间读书的平均册数，再求解即可． 【详解】解：七年级40名学生在4月1日到4月30日期间读书的平均册数册， 故该学校七年级学生在4月读书的总册数册， 故答案为：1600． 14. 如图，一副三角板中两个三角形三个角的度数分别为；．把两个三角板与一个直尺摆放成如图所示的图形，则______°． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、与三角形板有关的角度运算，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．根据题意可得到，，进而根据邻补角定义和两直线平行，同位角相等求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，， 则， 故答案为：75． 15. 如图，正方形中阴影部分的面积为______．（用含有，的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用、列代数式，根据阴影部分面积等于大正方形的面积减去外围四个小直角三角形的面积列式，再利用完全平方公式化简即可． 【详解】解：由图可得正方形中阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 16. 某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤 时间（分钟） 桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具 大桌 5 3 2 小桌 3 2 1 现有三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 ___分钟． 【答案】 【解析】 【分析】设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，当工作人员1清理大桌子同时，工作人员2清理两张小桌子；第5分钟，当工作人员1清理小桌子①的同时，工作人员2开始清理1张大桌子；第8分钟，当工作人员1清理小桌子②的同时，工作人员3开始在大桌子和小桌子①上摆放新餐具；第分钟，工作人员3开始在小桌子②上摆放新餐具，进而即可求解． 【详解】解：设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图： 由流程图可知：将三张桌子收拾完毕最短需要分钟， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实际问题的方案设计，事件的统筹安排，尽可能让①回收餐具与剩菜、清洁桌面，与②清洁椅面与地面，在同一时间段进行，节约时间是解题的关键． 三、解答题（17－21题，每题6分，每小题3分，22－25题，每题6分，26－27题，每题7分，共68分．解答题要求写出解答过程．） 17. 解下列方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活选择解二元一次方程组的方法成为解题的关键． （1）直接运用加减消元法求解即可； （2）得：，进而得到，然后运用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 得： 把代入①得： ∴方程组的解为． 【小问2详解】 解： 得：③ 由③得：④ 由④得：⑤ 得：， 得：， ∴方程组的解为． 18 解下列不等式组 （1） （2）写出不等式组的所有整数解． 【答案】（1） （2），不等式组的所有整数解为，0 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和求不等式组的整数解，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式的方法． （1）先分别解两个不等式，再求两个不等式解集的公共部分． （2）先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，进而写出不等式组的所有整数解即可． 【小问1详解】 解： 解不等式①得； 解不等式②得； ∴不等式组的解集为：； 【小问2详解】 解： 解不等式①得； 解不等式②得； ∴不等式组的解集为：； ∴不等式组的所有整数解为，0． 19. 计算下列各题 （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先利用完全平方公式，平方差公式进行运算，再合并同类项即可； （）通过多项式乘以多项式，多项式除以单项式法则进行运算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 分解因式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得； （2）先提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 先化简，再求值 （1）已知：，求代数式的值． （2）已知：，求代数式的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及代数式求值，正确化简是解答的关键． （1）先化简所求代数式得到，再根据非负数的性质求得a、b，进而代值求解即可； （2）先利用完全平方公式和多项式乘多项式化原式，再代指求解即可． 【小问1详解】 解： ， 原式； 【小问2详解】 解： ， ∴， ． 22. 某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了扇形统计图，请你根据统计图解答下列问题： a．如下表分组整理这组样本数据： 用水量（单位：吨） 户数（单位：户） 10 38 24 8 b．用户用水量数据的扇形统计图． （1）此次抽样调查的样本容量是______； （2）表格中______； （3）求扇形图中（单位：吨）部分的圆心角的度数； （4）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区7万用户中约有多少万户的用水全部享受基本价格？ 【答案】（1） （2） （3） （4）万户 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，频数分布表，用样本估计总体，样本容量等等，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）用这一组的户数除以其占比即可求出参与调查的户数，即可得到样本容量； （2）用100减去除去这一组的其他组的频数即可得到答案； （3）用360度乘以这一组的人数占比即可得到答案； （4）用7万乘以样本中用水量不超过25吨的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：户， ∴此次抽样调查的样本容量是100； 【小问2详解】 解；由（1）得； 【小问3详解】 解：， ∴扇形图中（单位：吨）部分的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：万户， ∴该地区7万用户中约有万户的用水全部享受基本价格． 23. 已知：直线与直线相交于点，且，平分． （1）依题意画出图形； （2）求的度数． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等． （1）根据题意画出图形即可； （2）根据对顶角定义和角平分线的定义求解即可． 【小问1详解】 解：所作图形如图所示： ； 【小问2详解】 解：∵直线与直线相交于点， ∴（对顶角定义）， ∵平分（已知）， ∴（角平分线定义）， ∵（已知）， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，在三角形中，点是边上一点，过点画，交边于点．画，交边于点． （1）依题意补全图形； （2）求证：． 【答案】（1）图见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）按要求画出图形即可； （2）先根据平行线的性质得到，进而得到，根据内错角相等，两直线平行可得结论． 【小问1详解】 解：补全图形如图： 【小问2详解】 证明：∵ （已知） ∴（两条直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两条直线平行） 25. 列方程（组）、不等式解答问题． 小辰在某商场购买签字笔和笔记本两种商品若干次（每次两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，签字笔和笔记本两种商品同时打折，三次购买的两种商品的数量和费用情况如下表所示： 购买签字笔的数量（支） 购买笔记本的数量（本） 购买总费用（元） 第一次 6 4 88 第二次 3 6 84 第三次 10 6 98 （1）求签字笔和笔记本两种商品的标价各是多少元？ （2）若小辰第三次购买时，签字笔和笔记本的折扣相同，求签字笔和笔记本打几折出售． （3）在（2）的条件下打折，小辰预计购买签字笔和笔记本总数量是30，总金额不超过200元，小辰至少要买签字笔多少支？ 【答案】（1）签字笔的标价是元，笔记本的标价是元 （2）折 （3）至少购买签字笔支 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关键． （1）设签字笔的标价是元，笔记本的标价是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设签字笔和笔记本打折出售，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （3）设小辰购买签字笔支，则购买笔记本支，根据总金额不超过200元建立不等式，求出不等式的最小正整数解即可得． 【小问1详解】 解：设签字笔的标价是元，笔记本的标价是元． 由题意得：， 解得：， 答：签字笔的标价是元，笔记本的标价是元． 【小问2详解】 解：设签字笔和笔记本打折出售， 由题意得：， 解得， 答：签字笔和笔记本打7折出售． 【小问3详解】 解：设小辰购买签字笔支，则购买笔记本支， 由题意得：， 解得， 因为为正整数， 所以的最小值为8， 答：小辰至少要买签字笔8支． 26. 小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． （1）已知关于的方程组，则方程组的解是________． （2）已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． （3）对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法，新定义．掌握凑整消元法是解题的关键，注意计算过程中系数的准确性． （1）通过将方程组两方程相加化简得到，再利用代入消元法逐步求解和的值． （2）通过将方程组三个方程相加化简得到的值，再用该值分别减去原方程，逐步求出的值． （3）根据新定义运算列出关于的方程组，通过方程组相减和变形求出的值，即的结果． 【小问1详解】 解：， 将①＋②得：③， 将③得：④， 将④得：⑤， 将⑤－①得：， 将代入③得：， ∴方程组得解为． 【小问2详解】 解：， 由①＋②＋③得：④， 将④得：⑤， 将⑤①得：， 将⑤②得：， 将⑤③得：， ∴方程组得解为． 【小问3详解】 解：∵且，， ∴， ∴， 由②①得：③， 将③得：④， 将①④得：， ∴． 27. 如图1， ，点E是直线和直线之间内一点，连结，，求证：． 沐沐同学的证明思路是：如图2，过点E作，这样把分成与，然后分别证明，，因此可以证明． 解答下列问题： （1）请选择与沐沐不同的解题思路，证明． （2）如图3，已知，平分，平分，如果，求的度数． （3）如图4， ，点A，B是直线上两个定点，点C、D是直线上两个定点，点M、N分别是直线上动点，连结，，，直接写出，，，四个角之间所有的等量关系． 【答案】（1）详见解析 （2） （3）或或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，探究角的关系等知识． （1）过点B，作交于点N．由平行线的性质得出，，，即可得出，等量代换可得出，即． （2）过点E作，由平行线的性质得出，，，由角平分线的定义得出，，则可得出，根据平角的定义得出，等量代换可得出，即可求出． （3）分4种情况，画出图形，利用平行线的性质得出角的关系即可． 【小问1详解】 证明：过点B，作交于点N． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即． 【小问2详解】 解：过点E作， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵平分，平分 ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 小问3详解】 解：分下列4种情况： 情况1 ：如图1， 根据题意可知：， ∴，，， ∴ 即 情况2：如图2， 根据题意可知：， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 情况3：如图3， 根据题意可知：， ∴，，， ∴， ， ∴ 情况4：如图4， 根据题意可知：， ∴，，， ∵，， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 通州区2024—2025学年第二学期七年级期末质量检测 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，三道大题，27个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知不等式组，下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将化为小数是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是（ ）． A. 随机选取一个班的学生 B. 随机选取一个体育队的学生 C. 全校女生中随机选取人 D. 在全校学生中随机选取人 6. 若实数m满足，则关于x的不等式组的所有整数解的和是（ ） A. 9 B. 9或10 C. 8或10 D. 8或9 7. 某学校七年级成立国旗班，每周一负责升国旗．国旗班15名成员的身高分别为（单位：）167，168，168，169，170，170，171，171，172，172，172，173，173，174，175，这组数据的众数、中位数、平均数分别是（ ） A. 172，171，171 B. 172，171，170 C. 168，171，172 D. 168，171，170 8. 已知：，且，，的最大值是（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. －4 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 分解因式：______． 10. 计算：______． 11. 命题“如果，那么”的逆命题是_____命题．（填“真”或“假”） 12. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，那么的值为______． 13. 某学校在四月举行了“书香校园读书月”活动，为了了解七年级学生四月读书情况，随机调查了七年级40名学生在4月1日到4月30日期间读书册数，数据整理如下表： 册书 0 1 2 3 4 人数 2 10 16 10 2 该学校七年级有800名学生，估计该学校七年级学生在4月读书的总册数是______册． 14. 如图，一副三角板中两个三角形三个角的度数分别为；．把两个三角板与一个直尺摆放成如图所示的图形，则______°． 15. 如图，正方形中阴影部分的面积为______．（用含有，的代数式表示） 16. 某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤 时间（分钟） 桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具 大桌 5 3 2 小桌 3 2 1 现有三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 ___分钟． 三、解答题（17－21题，每题6分，每小题3分，22－25题，每题6分，26－27题，每题7分，共68分．解答题要求写出解答过程．） 17. 解下列方程组 （1） （2） 18 解下列不等式组 （1） （2）写出不等式组的所有整数解． 19. 计算下列各题 （1） （2） 20. 分解因式 （1） （2） 21. 先化简，再求值 （1）已知：，求代数式值． （2）已知：，求代数式的值． 22. 某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了扇形统计图，请你根据统计图解答下列问题： a．如下表分组整理这组样本数据： 用水量（单位：吨） 户数（单位：户） 10 38 24 8 b．用户用水量数据的扇形统计图． （1）此次抽样调查的样本容量是______； （2）表格中______； （3）求扇形图中（单位：吨）部分的圆心角的度数； （4）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区7万用户中约有多少万户的用水全部享受基本价格？ 23. 已知：直线与直线相交于点，且，平分． （1）依题意画出图形； （2）求的度数． 24. 如图，在三角形中，点是边上一点，过点画，交边于点．画，交边于点． （1）依题意补全图形； （2）求证：． 25. 列方程（组）、不等式解答问题． 小辰在某商场购买签字笔和笔记本两种商品若干次（每次两种商品都购买），其中前两次按标价购买，第三次购买时，签字笔和笔记本两种商品同时打折，三次购买的两种商品的数量和费用情况如下表所示： 购买签字笔的数量（支） 购买笔记本的数量（本） 购买总费用（元） 第一次 6 4 88 第二次 3 6 84 第三次 10 6 98 （1）求签字笔和笔记本两种商品的标价各是多少元？ （2）若小辰第三次购买时，签字笔和笔记本的折扣相同，求签字笔和笔记本打几折出售． （3）在（2）的条件下打折，小辰预计购买签字笔和笔记本总数量是30，总金额不超过200元，小辰至少要买签字笔多少支？ 26. 小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． （1）已知关于的方程组，则方程组的解是________． （2）已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． （3）对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 27. 如图1， ，点E是直线和直线之间内一点，连结，，求证：． 沐沐同学的证明思路是：如图2，过点E作，这样把分成与，然后分别证明，，因此可以证明． 解答下列问题： （1）请选择与沐沐不同的解题思路，证明． （2）如图3，已知，平分，平分，如果，求的度数． （3）如图4， ，点A，B是直线上两个定点，点C、D是直线上两个定点，点M、N分别是直线上动点，连结，，，直接写出，，，四个角之间所有的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$