精品解析：云南省玉溪市第三中学2024-2025学年高一下学期期末检测考试（实验班）数学试题

绝密★启用前 2024—2025学年（下）高一年级期末检测考试（实验班） 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若复数 ，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ） A B. C. D. 3 2. 已知平面向量，满足.若，则向量，的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 135° 3. 已知函数为定义在R上的奇函数，函数．则（ ） A. 2000 B. 1999 C. 4000 D. 3999 4. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则它的侧面积为（ ） A B. C. D. 5. 某机构统计了一地区部分观众每周观看某一电视节目的时长（单位：分钟）情况，并想点样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分为，，，，，，共七组），则估计这些观众观看时长的分位数为（ ） A. 136 B. 135 C. 116 D. 125 6. 如图，海中有一座小岛P，一艘游轮自东向西航行，在点A处测得该岛在其南偏西75°方向，游轮航行16海里后到达点B处，测得该岛在其南偏西45°方向．若这艘游轮不改变航向继续前进，则游轮到该岛的最短距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 7. 如图，正六棱柱的底面边长为5，点分别为线段的中点，若异面直线与所成角的余弦值是，则此正六棱柱的体积为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是复数，则下列说法正确是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 以下选项正确的是（ ） A. B. 事件与事件互为对立事件，则事件与事件一定互斥 C. 事件与事件相互独立，则事件与事件一定互斥 D. “掷2次硬币出现1个正面”的概率与“掷4次硬币出现2个正面”的概率不相等 11. 如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（ ） A B. C. 平面平面 D. 平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则________． 13. 从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为__________. 14. 等腰梯形中，，，，底边的中点为，动点，分别在腰，（包含端点）上，且．若其中，，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四边形中，已知，，． （1）若中点为，求的长； （2）若，设， ①用表示，并写出的取值范围；②若，求的值． 16. 如图，四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点. （1）证明：平面PAB； （2）求直线CE与平面PAB间的距离. 17. 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x（单位：t），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a值； （2）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准xt，估计x的值，并说明理由． （3）在100位居民中，第2组有n位居民，若这n位居民月均用水量的平均数为0.75t，方差为，若其中一位居民的用水量为0.75t，请判断其它位居民月均用水量的方差与的大小关系，并说明理由．（参考公式：） 18. 如图，斜三棱柱中，，四边形是菱形，为的中点，平面，． （1）求证：四边形为矩形； （2）在上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若分别为，的中点，求此斜三棱柱被平面所截的截面面积． 19. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2024—2025学年（下）高一年级期末检测考试（实验班） 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若复数 ，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法及纯虚数的定义列式求解. 【详解】依题意，， 则，解得， 所以实数a的值为. 故选：A 2. 已知平面向量，满足.若，则向量，的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 135° 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积公式及运算律计算求出夹角余弦进而求出夹角即可. 【详解】因为，设夹角为 所以, 所以 所以. 故选：D. 3. 已知函数为定义在R上的奇函数，函数．则（ ） A. 2000 B. 1999 C. 4000 D. 3999 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，采用倒叙相加法即可求解. 【详解】函数为定义在R上的奇函数，函数， 所以， 设 则， 两式相加可得，解得， 所以． 故选：D. 4. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则它的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆锥的体积公式及圆锥的结构特点求圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的底面半径为，则，圆锥的高为，母线长为，则. 由. 所以. 所以圆锥的侧面积为：. 故选：C 5. 某机构统计了一地区部分观众每周观看某一电视节目的时长（单位：分钟）情况，并想点样本数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分为，，，，，，共七组），则估计这些观众观看时长的分位数为（ ） A. 136 B. 135 C. 116 D. 125 【答案】B 【解析】 【分析】先利用概率和为1，求出 【详解】因为，所以. 设这些观众观看时长的分位数为，因为，， 所以这些观众观看时长35%分位数在内.由，得. 故选:B 6. 如图，海中有一座小岛P，一艘游轮自东向西航行，在点A处测得该岛在其南偏西75°方向，游轮航行16海里后到达点B处，测得该岛在其南偏西45°方向．若这艘游轮不改变航向继续前进，则游轮到该岛的最短距离为（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及直角三角形边角关系求解. 【详解】在中，，则， ， 由正弦定理，得， 过作垂直于直线的直线，为垂足，此时， 因此游轮不改变航向继续前进，游轮到该岛的最短距离为（海里）. 故选：A 7. 如图，正六棱柱的底面边长为5，点分别为线段的中点，若异面直线与所成角的余弦值是，则此正六棱柱的体积为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用异面直线夹角的定义，结合余弦定理求出正六棱柱的高，进而求出体积. 【详解】在正六棱柱中，连接，则， （或其补角）为异面直线与所成的角，设此正六棱柱的高为， 在中，，， 则，即，解得或， 此正六棱柱的体积，所以或. 故选：D 8. 如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量的坐标运算结合辅助角公式、正弦型函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，设点，其中， 由可得， 即，故， 因为，故， 故当时，取最小值. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由，可得或，可判定A正确；由，可判定B不正确；由，可判定C正确；取，根据复数的运算法则，得到，可判定D不正确. 【详解】对于A中，若，可得，可得或， 所以或，所以A正确； 对于B中，例如，可得，此时不是实数，所以B不正确； 对于C中，由复数的运算法则，可得， 若，可得，所以C正确； 对于D中，取，则，且， 所以，此时，所以D不正确. 故选：AC. 10. 以下选项正确的是（ ） A. B. 事件与事件互为对立事件，则事件与事件一定互斥 C 事件与事件相互独立，则事件与事件一定互斥 D. “掷2次硬币出现1个正面”的概率与“掷4次硬币出现2个正面”的概率不相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A根据平均数定义即可判断，对于B根据对立事件的定义即可判断，对于C举反例即可判断，对于D分别求“掷2次硬币出现1个正面”的概率与“掷4次硬币出现2个正面”的概率即可判断. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：由事件A与事件B互为对立事件，则，所以事件与事件一定互斥，故B正确； 对于C：抛一枚骰子，令事件，事件，则，， 所以事件与事件相互独立，但事件与事件不互斥，故C错误； 对于D：“掷2次硬币出现1个正面”的概率为，“掷4次硬币出现2个正面”的概率为，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B的任一点，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C 平面平面 D. 平面平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理、线面垂直的性质和判定定理对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 假设，因为平面， 所以平面，又平面， 所以，而平面平面，所以， 在中，，不能同时成立，所以A错误； 对于选项B： 因为平面平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，所以，选项B正确； 对于选项C： 因为平面平面，所以平面平面，所以C正确； 对于选项D： 由选项B可知平面，因为平面，所以平面平面，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则________． 【答案】##-0.6 【解析】 【分析】由向量共线关系得出方程，求得，再由余弦二倍角公式，进而化为齐次式即可求解. 【详解】因为，，且，所以，所以， 所以. 故答案为：. 13. 从存放号码分别为的卡片的盒子里，有放回地取100次，每次取一张卡片，并记下号码，统计结果如下： 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数 15 10 5 7 6 9 18 9 12 9 取到号码为奇数的频率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数表求出取到奇数号码的次数即可计算作答. 【详解】由数表知，取到奇数号码的次数是：， 所以取到号码为奇数的频率为. 故答案为：0.56 14. 等腰梯形中，，，，底边的中点为，动点，分别在腰，（包含端点）上，且．若其中，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】过分别作的垂线，分别交分别于四点，由，然后可得的范围，继而得到的范围. 【详解】如图，过分别作的垂线，分别交分别于四点， 由已知，，， ， 又，所以， 即，， 又，所以， 又，所以，， 当点从点移动到点的过程中，点从点移动到点， 故此时不断减少，不断增大， 故当点在点，点在点时，取得最大值4， 当点在点，点在点时，取得最小值， ，故． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，四边形中，已知，，． （1）若中点为，求的长； （2）若，设， ①用表示，并写出的取值范围；②若，求的值． 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）将整体代入余弦定理可得 （2）①中，由正弦定理化简可得；②把表示出来，得到，再用正弦定理计算，建立等式解出答案 【小问1详解】 因为，，向量点积 所以 ， ， 【小问2详解】 ①， ②在中，，，. ， ， ,即， 因为，所以． 16. 如图，四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点. （1）证明：平面PAB； （2）求直线CE与平面PAB间的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取为的中点，连接，可证四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理可证； （2）转化为求点E与平面PAB间的距离，取的中点，连接，可证平面平面，建立合适空间直角坐标系，根据点面距的向量公式可求出结果. 【小问1详解】 若为的中点，连接，E为PD的中点，则且， 由，，则且，故为平行四边形， 所以，平面，平面，故平面； 【小问2详解】 由（1）知直线CE与平面PAB间的距离，即为点E与平面PAB间的距离， 由，，，取的中点，连接， 所以四边形为矩形，， 由是以AD为斜边的等腰直角三角形，，， 由，且都在平面内，则平面， 由，则平面，平面，则平面平面， 以为原点构建空间直角坐标系，则， 由平面，平面，则， 在中，则， 由，所以，可得， 所以，，则，，， 设平面的一个法向量为，则，取，则， 所以， 所以直线CE与平面PAB间的距离为. 17. 我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x（单位：t），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准xt，估计x的值，并说明理由． （3）在100位居民中，第2组有n位居民，若这n位居民月均用水量的平均数为0.75t，方差为，若其中一位居民的用水量为0.75t，请判断其它位居民月均用水量的方差与的大小关系，并说明理由．（参考公式：） 【答案】（1）； （2），理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出； （2）计算出x落在第7组，从而得到方程，求出； （3）先求出，再利用方差公式进行推导，比较出大小. 【小问1详解】 由题意得， 解得； 【小问2详解】 估计，理由如下： ， ， 故x落在第7组，，解得， 故该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准3.17t； 【小问3详解】 ，理由如下： 第2组有人，即， 其中一位居民的用水量为0.75t，设其它7位居民用水量分别为， 故， 其它7位居民用水量平均数为， 故，显然. 18. 如图，斜三棱柱中，，四边形是菱形，为的中点，平面，． （1）求证：四边形为矩形； （2）在上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）若分别为，的中点，求此斜三棱柱被平面所截的截面面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理求解即可； （2）过点作的垂线交于点，由线面垂直的性质定理和判定定理可知平面，过点作的平行线交于点，所以平面，再在平面中以为原点，为轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示求解即可； （3）延长，交于点，连接交于点，连接，，则四边形即为所得截面，利用线面垂直的判断定理和性质定理，结合余弦定理求该截面面积即可. 【小问1详解】 斜三棱柱中，侧面是平行四边形， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以平面， 又因为平面，所以，所以四边形为矩形. 【小问2详解】 如图，过点作的垂线交于点， 因为平面，平面，所以， 又因为，，，所以平面， 过点作的平行线交于点，连接，所以平面， 由斜三棱柱的性质易知， 在平面中以为原点，为轴建立平面直角坐标系， 所以，，，，， 设，则，所以，， 因为，所以， 即，解得， 在上是存在点，当时，平面. 【小问3详解】 延长，交于点，连接交于点，连接，， 则四边形即为所得截面， 因为四边形是菱形，为的中点，平面，平面， 所以，是等边三角形，则， 因为，所以， 过作交于， 因，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，， 在中，因为， 由余弦定理可知， 因为分别为，的中点，，易知与全等， 所以，，， 在直角三角形中，由可得， 在中，由余弦定理可知， 所以， 所以， 设截面面积为，由于，， 所以 . 即所求截面面积为. 19. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值； （3）若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点的距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得，再根据直径的特点得，最后利用线面垂直的判定即可证明； （2）取中点为，连结，利用余弦定理得，再次在中利用余弦定理即可得到答案； （3）过点作，垂足为，利用线面垂直的判定定理即可得到平面，再求出，最后根据锥体的体积公式即可得到范围. 小问1详解】 因为平面，且平面，所以， 因为点在以为直径的圆上，所以， 又因为平面平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 因为平面，则为直线与平面所成的角，即， 所以，因为为中点，所以， 所以三角形为等边三角形，取中点为，连结，则， 过作交于点，则为的平面角． 在直角三角形中，， 在三角形中，由余弦定理得， 所以，所以． 在三角形中，由余弦定理得. 【小问3详解】 过点作，垂足为， 因为平面，且平面，所以， 因为平面平面， 所以平面，过点作，垂足为，连结， 因为平面平面，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以，即为点到直线的距离． 因为，所以， 所以点在的角平分线上，所以，所以， 所以点在直线上， 所以，因为， 所以，即三棱锥体积的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $