精品解析：云南省玉溪市澄江市第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

云南省澄江市第一中学2023-2024学年下学期期末考试 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合A，再根据交集的定义计算即可求解. 【详解】由得，则， 又，所以. 故选：B 2. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得，得到，进而，所以，由均值不等式求得最小值. 【详解】因为且，所以，所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：A. 3. 设向量，的夹角的余弦值为，，，则（ ） A. -23 B. 23 C. -27 D. 27 【答案】B 【解析】 【分析】由数量积的定义以及运算律直接计算即可求解. 【详解】设与的夹角为，则， 又，，所以， 所以． 故选：B. 4. 若复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法法则计算出，从而得到复数在复平面内对应的点，从而得到所在象限. 【详解】因为， 所以， 则复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 5. 甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜的概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，，，根据互斥事件和独立事件概率求法运算求解. 【详解】设甲第局胜，，2，3，且，，， 所以甲恰好连胜两局的概率 . 故选：B. 6. 在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（ ） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，假设点坐标，然后得到，然后代入并结合基本不等式进行计算即可. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，，因为， 所以，，. 因为，所以，， 所以. 当且仅当，即，时取等号. 故选: B. 7. 底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作圆锥与其内切球的轴截面，利用直角三角形求出内切球的半径，再计算内切球的体积. 【详解】由题意可知，圆锥的母线，底面半径， 根据题意可作圆锥与其内切球的轴截面如图所示： 根据圆锥和球的对称性可知，球的截面为圆，即为等腰的内切圆， 即，，，， 在中，，由，，则， 在中，，即， 可得，解得，即内切球的半径， 故内切球体积. 故选：C. 8. 已知数据，，，…，，满足：（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ） A. 中位数不变 B. 第35百分位数不变 C. 平均数不变 D. 方差不变 【答案】D 【解析】 【分析】由中位数，百分位数，平均数和方差的定义，计算后确定结论. 【详解】原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A选项正确； 原数据中，，第35百分位数是第4个数据， 去掉，后，，第35百分位数是新数据中的第3个， 第35百分位数不变，B选项正确； 原来的平均数为， 去，掉后的平均数为，平均数不变，故C选项正确； 原来的方差为， 去掉后，的方差为， 方差变小，故D选项错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项可举出反例；BCD选项，可通过不等式的基本性质进行证明. 【详解】对选项A：可取，，，则满足，但此时，所以选项A错误； 对选项B：因为，所以若，则；若，则；所以选项B正确； 对选项C：若，则，所以选项C错误； 对选项D：若，所以；又因为，所以由同向同正可乘性得：，所以，所以选项D正确， 故选：BD． 10. 已知函数的定义域为，设为的导函数，，，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】赋值计算判断A；赋值并利用复合函数的求导法则求导探讨性质判断CD；探讨函数的周期计算判断D. 【详解】函数，对任意，， 对于A，令，得，而，则，A正确； 对于B，令，得， 则，两边求导得，，即， 因此关于对称，，B正确； 对于C，由，得， 令，得，两边求导得， 即，因此，函数偶函数，C错误； 对于D，由，得，则， 因此函数的周期为4，，D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 11. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B. 若复数，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，得到，确定其对应的点为，A正确；B选项，设，，得到，从而求出，所以；C选项，举出反例；D选项，求出复数对应的点的轨迹为圆环，从而确定其面积. 【详解】A选项，复数，则， 故在复平面内对应的点为，位于第一象限，A正确； B选项，设，，， 则，即， 故， 两边平方得， 故，所以， 即，故， 其中，故，B正确； C选项，设复数，满足， 但，C错误； D选项，表示原点为圆心，1为半径的圆的外部， 表示原点为圆心，为半径的圆的内部， 则复数对应的点所构成的图形为如图所示的圆环（包括边界）， 故面积为，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式可得向量夹角的余弦值，根据向量模的计算公式即可求解. 【详解】解：设向量的夹角为， 因为向量在向量上的投影向量为，所以， 又，解得：， 因为， 所以. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】易得对应的复数，再由对应的复数是求解. 【详解】解：设向量对应的复数是，则， 所以对应的复数是： ， ， 所以的坐标是， 故答案为： 14. 对于实数a和b，定义运算“”，，函数，若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】化简函数的解析式，作出函数的图像，由题意可得函数与的图像有两个交点，结合图像求得结果 【详解】当，即时，， 当，即或时，， 函数的图像如图所示， 由图像可得，要使函数恰有两个零点，只要函数与的图像有两个交点， 对于，当时，，当时 ，， 因为 ， 所以由图可知或， 所以实数c的取值范围是， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某货轮匀速行驶在相距300海里甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（即：，其中为比例系数）；当航行速度为30海里/小时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时200元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时. （1）请将从甲地到乙地的运输成本（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶. 【答案】（1）；（2）故当货轮航行速度为20海里小时时，能使该货轮运输成本最少为6000元． 【解析】 【分析】（1）由题意，每小时的燃料费用为，当时，，解得．从甲地到乙地所用的时间为小时，可得从甲地到乙地的运输成本：．（2）由（1）得：，利用基本不等式即可得解． 【详解】由题意，每小时的燃料费用为， 当时，，解得 从甲地到乙地所用的时间为小时，则从甲地到乙地的运输成本： ， ． 故所求的函数为． （2）由（1）得：，当且仅当，即时取等号． 故当货轮航行速度为20海里小时时，能使该货轮运输成本最少为6000元． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16. 已知函数，． （1）求最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，求的单调递增区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式展开结合三角恒等式化简,进一步利用即可求解. （2）先根据平移法则求出，进而根据三角函数单调区间的求法解不等式即可得解. 【小问1详解】 由题意有， ， 结合二倍角公式， 有， 又且， 因此； 【小问2详解】 由题意， 又余弦函数的单调增区间为， 依题意有， 解得， 因此的单调递增区间为. 17. 全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下表： 空气质量指数（） [0，50] (50，100] (100.150] (150.200] (200.250] 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 20 40 m 10 5 （1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图； （2）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数. 【答案】（1），，频率分布直方图如下 （2）平均数为95，中位数为87.5 【解析】 【分析】（1）可得空气质量指数在的频数和频率，即可求出，进而求得，则可得出频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图直接计算即可. 【小问1详解】 由图可得空气质量指数在的有20天，频率为，所以， 所以， 则可得频率分布直方图如下： 【小问2详解】 由频率分布直方图可得平均数为， 因为的频率，的频率， 所以中位数在内，设为， 则，解得. 18. 如图，点为正四棱柱的上底面的中心，底面的边长为2，点到平面的距离为.试求： （1）二面角的平面角的大小（用反三角函数表示角的大小）； （2）点A到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别取的中点，利用三垂线法可知二面角的平面角为，即可得结果； （2）可知三棱锥的高为，根据题意利用等体积法求点到面的距离. 【小问1详解】 分别取的中点，连接， 可知，为的中点，则， 因为底面，底面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得， 可知二面角的平面角为， 在中，， 则，， 所以二面角的平面角的大小. 【小问2详解】 设点A到平面的距离为， 由（1）可知：三棱锥的高为， 因为，即，解得， 所以点A到平面的距离为. 19. 已知函数的图象经过点，. （1）证明：函数的图象是轴对称图形； （2）求关于不等式的解集； （3）若函数有且只有一个零点，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点，代入函数的解析式求出，再证明函数为偶函数，即可证明函数的图象是轴对称图形； （2）将利用对数的运算化为，再进行求解即可； （3）将问题转化为只有一个解，结合函数的单调性求出实数的值. 【小问1详解】 由题意可知，，解得，. 所以.易知的定义域为， 因为， 所以函数是偶函数，故函数的图象是轴对称图形. 【小问2详解】 不等式可化为，即， 解得，又，所以，解得，故原不等式的解集为. 【小问3详解】 由（1）可知，， 由题意可知，，得，即， 令，又知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南省澄江市第一中学2023-2024学年下学期期末考试 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，的夹角的余弦值为，，，则（ ） A. -23 B. 23 C. -27 D. 27 4. 若复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 甲、乙两人进行网球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设乙在第一局获胜概率为、第二局获胜的概率为，第三局获胜的概率为，则甲恰好连胜两局的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（ ） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 7. 底面圆周长为，母线长为4的圆锥内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数据，，，…，，满足：（），若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ） A. 中位数不变 B. 第35百分位数不变 C. 平均数不变 D. 方差不变 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的定义域为，设为的导函数，，，，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 11. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B. 若复数，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则__________. 13. 在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是__________． 14. 对于实数a和b，定义运算“”，，函数，若函数恰有两个零点，则实数c的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成.已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（即：，其中为比例系数）；当航行速度为30海里/小时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时200元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时. （1）请将从甲地到乙地的运输成本（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶. 16. 已知函数，． （1）求的最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，求的单调递增区间． 17 全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年8月某日起连续n天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下表： 空气质量指数（） [0，50] (50，100] (100.150] (150.200] (200250] 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 天数 20 40 m 10 5 （1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图； （2）由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数. 18. 如图，点为正四棱柱的上底面的中心，底面的边长为2，点到平面的距离为.试求： （1）二面角的平面角的大小（用反三角函数表示角的大小）； （2）点A到平面距离. 19. 已知函数的图象经过点，. （1）证明：函数图象是轴对称图形； （2）求关于的不等式的解集； （3）若函数有且只有一个零点，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$