专题07：第1章集合与常用逻辑用语章节复习 讲义-2025年初升高衔接沪教版（2020）数学

2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题07 集合与常用逻辑用语章节复习 模块一、集合 1．集合的相关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合： 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N*或N＋ 2．集合间的基本关系 　　表示 关系　　 文字语言 记法 集合间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A AB或 BA 相等 集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素 A⊆B且B⊆A ⇔A＝B 空集 空集是任何集合的子集 ∅⊆A 空集是任何非空集合的真子集 ∅B且B≠∅ 3．集合的三种基本运算 文字语言 图形表示 符号语言 集合的并集 所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 集合的交集 所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 集合的补集 全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 4.集合基本运算的常见性质 (1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. (2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. (3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅； ∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 模块二、常用逻辑用语 1、命题 （1）命题的概念：把用语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题； （2）命题的分类：其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题； （3）命题的表示方法：命题通常写成“若α，则β”的形式；其中陈述句α称为命题的条件，β称为命题的结论； 用集合的语言描述：满足α满足β； （4）推出关系定义: 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 2.充分条件与必要条件 （1）充分条件与必要条件的相关概念 记p，q对应的集合分别为A，B，则 p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p A⊇B p是q的充要条件 p⇒q且q⇒p A＝B p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp AB p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p AB p是q的既不充分条件也不必要条件 pq且qp AB且A⊉B （2）从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 3、反证法 （1）判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 考点01： 集合的含义 【名师点拨】(1)明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合． (2)看集合的构成元素满足的限制条件是什么． 注意：利用集合元素的限制条件或元素与集合的关系求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1.给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 2．已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 3.集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解题思路】，，可能的取值为，分别代入可得，得到元素个数. 【解答过程】因为，所以．又，所以， 所以可能的取值为，分别代入可得， 所以集合A中共有6个元素． 故选：D. 4.已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【解题思路】由集合与元素的关系分类讨论即可求解. 【解答过程】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8. 故选：D. 5.已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据集合中的元素特征得出不等式组可解得结果. 【解答过程】由且，得 解得， 故选：A． 6.已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}． （1）若集合A＝∅，则实数a的取值集合为________； （2）若集合A中只有一个元素，则实数a的取值集合为________． 【答案】（1）　（2） 【解析】（1）若A＝∅，则关于x的方程ax2－3x＋2＝0无实根，当a＝0时，A＝，不符合题意；当a≠0时，由Δ＝9－8a<0，得a>.综上，实数a的取值集合为. （2）集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，当a＝0时，可得x＝，集合A中只有一个元素；当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一个解，即Δ＝9－8a＝0，可得a＝.综上，实数a的取值集合为. 7.已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）借助根与系数的关系计算即可得； （2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算. 【解答过程】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 考点02：集合的表示方法 8.设集合，则用列举法表示集合为 . 【答案】 【分析】根据、求出的可能取值，即可得出集合. 【详解】当时，则，可得， 因为，则，则，故. 故答案为：. 9.用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 【答案】且． 【分析】根据描述法的定义求解． 【详解】用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为：且． 故答案为：且． 10.用区间表示下列集合： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据区间的定义直接求解即可. 【详解】（1）由题意可知：. （2）因为对任意恒成立， 所以. 11.若，则集合可用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列举法表示集合，可得结果. 【详解】因为，则. 故选：D. 12.下面说法中，不正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的定义，表示方法及集合相等的条件逐个分析判断 【详解】解：方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确； 表示直线上点的集合，而，所以，所以B错误； 集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确； 由于集合的元素具有无序性，所以，所以D正确． 故选：B． 考点03：集合的基本关系 【名师点拨】1．判断两集合间关系的三种方法 2．由集合间的关系求参数的解题策略 (1)若集合元素是一一列举的，则将集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，此时注意集合中元素的互异性． (2)若集合表示的是不等式的解集，常借助数轴转化为区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，此时需注意端点值能否取到． 提醒：题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论． 13.集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}的关系是(　　) A．S⊆P⊆M B．S＝P⊆M C．S⊆P＝M D．P＝M⊆S 【答案】C 【解析】任取a∈M，则a＝5k1－2＝5(k1－1)＋3，k1∈Z，所以a∈P，所以M⊆P；任取b∈P，则b＝5n1＋3＝5(n1＋1)－2，n1∈Z，所以b∈M，所以P⊆M，所以M＝P；任取c∈S，则c＝10m1＋3＝5×2m1＋3，m1∈Z，所以c∈P，所以S⊆P，又8∈P，8∉S，所以S≠P，所以S⊆P＝M.故选C. 14.下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 15．已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【详解】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 16．已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为集合，非空集合，且， 所以，解得：． 故选：C． 17.集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意，分和两种情况讨论即可. 【解答过程】因为， ①当时，，解得， ②当时，， 解得， 综上所述，的取值范围是为：. 故选：A. 18.已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据包含关系得到不等式，求出a的取值范围为； （2）分和两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为， 综上，实数a的取值范围为. 19.已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【解答过程】（1）   若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 考点04：子集（真子集）的个数问题 20.设集合，则集合的非空真子集的个数为 ． 【答案】14 【分析】先求出集合M，再根据集合子集个数的结论计算即可. 【详解】集合，变形, 则有个子集，非空真子集的个数为14个. 故答案为：14. 21.已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】由集合子集，真子集的运算，集合中必有，且为集合{1,2,3,4,5}的子集. 【详解】因为集合满足， 所以，，， 又集合满足， 所以集合有：，，，，共有4个， 故选：A. 22.设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（   ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解题思路】先解出集合，再由得到，最后根据包含关系求出实数即可； 【解答过程】， 因为，所以， 所以， 对应实数的值分别为， 其组成集合的子集个数为个. 故选：D. 23.已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【解答过程】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 考点05：集合的运算 【名师点拨】集合综合运算的求解策略 (1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算． (2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验． (3)解决抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算问题的途径有两条：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用图形化抽象为直观． 24．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 故． 故选：C． 25．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，， 则； 故选：B． 26．已知全集，集合，则（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】因为，集合， 则集合或. 故选：A. 27．如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意.图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B. 28.设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意有即． 29.已知集合，若，则实数的值可以为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由集合交集的结果可得包含关系，可得答案. 【详解】由题意可得，由，则，可得. 故选：A. 考点06：命题 30.将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若…则…”形式___________. 【答案】若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 【分析】确定命题的条件和结论，然后改写． 【详解】命题中条件是：“两个角是等腰三角形的两底角”，结论是“角是锐角”，改写为： 若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 故答案为：若两个角是等腰三角形的两个底角，则它们是锐角． 31.判断命题“已知，若是奇数，则是奇数”是真命题还是假命题？___________. 【答案】真命题 【分析】分为奇数和偶数两种情况讨论，分别设、，化简，即可得出结论. 【详解】若为奇数，可设， 则， 此时为奇数，合乎题意； 若为偶数，可设，则，此时为偶数，不合乎题意. 综上所述，已知，若是奇数，则是奇数，原命题为真命题. 故答案为：真命题. 32．（2022·上海长宁·高一期末）如果，那么”是__________命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】直接根据不等式的性质即可得出结论. 【详解】解：因为，则， 所以， 所以如果，那么”是真命题. 故答案为：真. 33．（2021·上海师大附中高一阶段练习）命题“若，则”是___________命题（填“真”或“假”）. 【答案】真 【分析】根据“”等价于“或”以及真值表可得答案. 【详解】因为“”等价于“或”， 根据真值表可知，若“”为真，则“或”，即“”为真， 所以“若，则”是真命题. 故答案为：真 34．（2020·上海市延安中学高一阶段练习）有四个命题：①；②，；③；④；其中正确的命题是_______.（填序号） 【答案】①③ 【解析】根据不等式的性质，以及特殊值法，逐项判断，即可得出结果. 【详解】①若，则，因此，故①正确； ②若，，，满足，，但不满足，故②错； ③若，则，故③正确； ④若，，则满足，但不满足，故④错. 故答案为：①③. 【点睛】本题主要考查判定命题的真假，考查根据不等式的性质判断所给结论是否正确，属于基础题型. 35．（2021·上海交大附中高一开学考试）若和或都是假命题，则的范围是__________ 【答案】 【分析】先由和或都是假命题，求出x的范围，取交集即可. 【详解】若为假命题，则有或 若或是假命题，则 所以的范围是 即的范围是 胡答案为： 36．（24-25高一上·江苏常州·期中）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】即无解，据此可得答案 【详解】因，，则在R上无解， 则. 故答案为： 37．（2021·上海·高一专题练习）已知命题①函数的图像总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. （1）若命题①为真命题，求的取值范围； （2）若命题②为真命题，求的取值范围； （3）若命题①②中至多有一个命题为真，求的取值范围； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）分，两种情况讨论即可求解； （2）方程两个不相等的实数根，可利用判别式建立不等式求解． （3）求命题①、②全都是真命题时的范围为，则的补集即为所求． 【详解】（1）时，，符合题意； 当时，由求得，故的取值范围为． （2）方程两个不相等的实数根， 即或，故取值范围为． （3）设，，若命题①、②全都是真命题， 则的范围为 故当命题①、②中至多有一个命题为真时， 的取值范围是． 考点07：充分条件与必要条件的判断 【名师点拨】判断充分、必要条件的两种方法 (1)定义法 (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母取值范围的推断问题. 38．已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由是的充分不必要条件，即是的真子集， 由是的充分不必要条件，即是的真子集， 所以是的真子集，即是的充分不必要条件. 故选：A 39．（24-25高一下·上海宝山·期末）“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为不能推出，而能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 40．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据可得，结合充分条件和必要条件的定义即可下结论. 【详解】由，得，所以充分性成立； 由，得，所以必要性不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 41.已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】通过举反例的方法结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】若，显然所以“”不是“”的充分条件； 若，显然，所以“”不是“”的必要条件； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 42．（25-26高一上·全国·课后作业）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 考点08：根据充分性与必要性求参数 【名师点拨】由充分、必要条件求参数范围的策略 (1)巧用转化求参数：把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形； (2)端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍. 43．（25-26高一上·全国·课后作业）已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 【答案】D 【详解】解法1  ．因为p是q的必要条件，所以．当，即时，符合题意；当时，由，得或，解得或．综上所述，m的值为0或或． 解法2（代入法）  ，当时，，符合题意；当时，；当时，，均满足题意． 44．已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令或，，是的充分不必要条件可得真包含于，可求解. 【详解】令或，， 因是的充分不必要条件，可得真包含于， 可得. 故选：D 45．已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 46．已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即． 47．已知集合，或，且是的充分条件，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 又是的充分条件，所以， 因为或，所以，解得， 所以的最大值为. 故选：A 48．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据必要非充分条件，转化为子集关系，即可求解. 【解答过程】因为是的必要非充分条件， 设集合 或，或，, 当，得时，此时成立，，成立， 当时，即时，再满足，得：，此时的取值为， 所以 故答案为：. 49．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，可得， 则有或，解得或， 因为，则. 综上所述，实数的取值范围为或. （2）因为命题是命题的必要不充分条件，则， 当时，，解得， 当时，则，解得. 检验：当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 考点09：充要条件的证明 50．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 51．证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【答案】证明见解析 【详解】证明：充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 52．已知，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【详解】先证充分性：因为，所以， 所以 . 再证必要性：因为， 所以，又，所以且， 所以，所以，即. 综上可知，当时，成立的充要条件是. 53．已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【答案】证明见解析 【详解】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 考点10：反证法 54．（2021·上海市行知中学高一阶段练习）用反正法证明：“若，则或”时，需假设_________. 【答案】 且##且 【分析】根据反证法的定义即可得到答案. 【详解】“x≤1或y≤1”的否定为：“x>1且y>1”. 故答案为：x>1且y>1. 51．（2021·上海·位育中学高一期中）著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______． 【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【分析】从命题的否定入手可解. 【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题. 52．（2020·上海·高一专题练习）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数、、中至多有一个是偶数”的正确假设为 A．自然数、、中至少有一个是偶数 B．自然数、、中至少有两个是偶数 C．自然数、、都是奇数 D．自然数、、都是偶数 【答案】B 【分析】对结论进行否定可得出正确选项. 【详解】“自然数、、中至多有一个是偶数”其意思为“三个自然数、、中全是奇数或一个偶数两个奇数”，其否定为“三个自然数、、中两个偶数一个奇数或全是偶数”， 即“自然数、、中至少有两个是偶数”，故选B. 【点睛】本题考查反证法的基本概念的理解，考查命题的否定，同时要熟悉“至多个”与“至少个”互为否定，考查对概念的理解，属于中等题. 53．（2020·上海·高一专题练习）设是两个实数，给出下列条件： ①；②；③；④；⑤. 其中能推出：“中至少有一个大于”的条件是____________． 【答案】③. 【解析】对于①②④⑤分别用举例的方法进行判断，对③用反证法进行证明并判断. 【详解】若，则，但，故①推不出； 若，则，故②推不出； 若，则，故④推不出； 若，则，故⑤推不出； 对于③，即，则中至少有一个大于1， 反证法：假设且， 则与矛盾， 因此假设不成立，中至少有一个大于1. 故答案为：③. 【点睛】本题考查用反证法、举例判断的方法判断命题是否成立，难度一般.反证法的证明步骤：先假设结论不成立，然后利用假设的结论推导出与题意矛盾的条件，即可完成证明. 54．（2021·上海·高一专题练习）（1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于； （2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）充分非必要条件，证明见解析. 【解析】（1）利用反证法即可证明. （2）利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果. 【详解】（1）证明：假设，，， 则，这与矛盾， 所以a，b，c中至少有一个小于. （2）由（1）可得a，b，c中至少有一个小于， 反之不一定成立，例如：，，，则， 所以“”是“a，b，c中至少有一个小于” 的充分非必要条件. 【点睛】本题考查了反证法证明不等式、充分条件、必要条件的定义，属于基础题. 55．（2021·上海·高一专题练习）若，且，求证：一元二次方程和中至少有一个方程有实根. 【分析】利用反证法，假设上述两个方程中都没有实数根，推理得到与已知相矛盾，即可得出假设错误，结论正确. 【详解】证明：假设上述两个方程中都没有实数根． 则两个方程的判别式 即，，不等式两边同时相加得， ∵． ∴不等式等价为， 这与矛盾，故假设不成立，即上述两个方程中至少有一个方程有实数根． 【点睛】本题考查反证法在证明中的应用,其中利用“正难则反”的原则,将问题转化为证明其逆否命题真假的判断是解答的关键. 考点11：新定义题 【名师点拨】解决以集合为背景的新定义问题要抓住的两点 (1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． (2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质． 56．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【答案】C 【分析】ABD举反例即可，C选项给出证明. 【详解】取，则，故A错误； 取，则，不是无理数，故B错误； 设，，则，，故C正确； 取，， 由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被整除或被整除的全体整数集， 取，则，不能被或整除，即，故D错误. 故选：C 57．设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【详解】当时，；当时，； 当时，，， 所以，共有8个元素. 故选：B 58.设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】集合的总和为： 每个子集的和应为： 列举所有和为且满足三分划条件的子集组合： 组合一：     组合二： 组合三： 共种不同的分法. 故选：D. 59．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【解题思路】由封闭集的定义，逐项判断即可，同时③用举例，④用反证法即可. 【解答过程】对于①，因为为一个“封闭集”，由定义可知则，那么,正确； 对于②，因为为一个“封闭集，，所以，所以，正确； 对于③，,，都是封闭集，显然或不成立，错误 对于④，充分性：都是“封闭集”，若或，易知是“封闭集”， 必要性：若是“封闭集”，令, 假设且． 则存在,,同时, 因为是“封闭集”， 所以,，分两类情况讨论 若,又则所以，这与假设矛盾； 若,又则所以，这与假设矛盾； 故假设不成立，原结论是“封闭集”则或．必要性成立，故正确； 故选：D. 60.定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)集合能满足，实数的取值范围为. 【解题思路】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）易知，假设集合能满足，则，或且，代入求解即可. 【解答过程】（1）因为对任意的，有，， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2）, 因为且，所以， 所以 所以. （3）因为，，所以. 假设集合能满足， 则，或且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得. 所以若且，则且. 综上所述，实数的取值范围为. 所以集合能满足，实数的取值范围为. 61.已知集合中含有三个元素同时满足（1）（2）（3）为偶数，则称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)判断集合是否具有性质，说明理由; (2)若集合具有性质，证明：集合是的“期待子集”; (3)证明：集合具有性质的充分条件是集合是集合的“期待子集”. 【答案】(1)不具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断； （2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”； （3）存在三个互不相同的，使得均属于,证明满足性质的三个条件即可. 【解答过程】（1）集合不具有性质，理由如下:从任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足③， 有一个为2时，不妨令，则，不满足②， 综上，集合不具有性质. （2）因为集合具有性质，所以是偶数，必为奇数. 当时，由，则，不合题意; 当时，由，则，或（舍去）;所以，所以具有性质， 而中的元素1，2，3满足:，集合是的“期待子集”. （3）当集合是集合的“期待子集”时，则在中存在三个互不相同的元素使得均属于， 不妨设，令，，则，满足①， ，满足②， 为偶数，满足③，所以集合具有性质， 所以集合具有性质的充分条件是集合是集合的“期待子集”. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题07 集合与常用逻辑用语章节复习 模块一、集合 1．集合的相关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合： 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N*或N＋ 2．集合间的基本关系 　　表示 关系　　 文字语言 记法 集合间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A AB或 BA 相等 集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素 A⊆B且B⊆A ⇔A＝B 空集 空集是任何集合的子集 ∅⊆A 空集是任何非空集合的真子集 ∅B且B≠∅ 3．集合的三种基本运算 文字语言 图形表示 符号语言 集合的并集 所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 集合的交集 所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 集合的补集 全集U中不属于集合A的所有元素构成的集合 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 4.集合基本运算的常见性质 (1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A. (2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. (3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅； ∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 模块二、常用逻辑用语 1、命题 （1）命题的概念：把用语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题； （2）命题的分类：其含义判断为真的命题叫做真命题：判断为假的命题叫做假命题； （3）命题的表示方法：命题通常写成“若α，则β”的形式；其中陈述句α称为命题的条件，β称为命题的结论； 用集合的语言描述：满足α满足β； （4）推出关系定义: 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 2.充分条件与必要条件 （1）充分条件与必要条件的相关概念 记p，q对应的集合分别为A，B，则 p是q的充分条件 p⇒q A⊆B p是q的必要条件 q⇒p A⊇B p是q的充要条件 p⇒q且q⇒p A＝B p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp AB p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p AB p是q的既不充分条件也不必要条件 pq且qp AB且A⊉B （2）从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 3、反证法 （1）判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 考点01： 集合的含义 【名师点拨】(1)明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合． (2)看集合的构成元素满足的限制条件是什么． 注意：利用集合元素的限制条件或元素与集合的关系求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 1.给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 2．已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 3.集合中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4.已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 5.已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}． （1）若集合A＝∅，则实数a的取值集合为________； （2）若集合A中只有一个元素，则实数a的取值集合为________． 7.已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 考点02：集合的表示方法 8.设集合，则用列举法表示集合为 . 9.用描述法表示图中阴影部分（包括边界）为 ． 10.用区间表示下列集合： (1)； (2)． 11.若，则集合可用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 12.下面说法中，不正确的为（    ） A． B． C． D． 考点03：集合的基本关系 【名师点拨】1．判断两集合间关系的三种方法 2．由集合间的关系求参数的解题策略 (1)若集合元素是一一列举的，则将集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，此时注意集合中元素的互异性． (2)若集合表示的是不等式的解集，常借助数轴转化为区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，此时需注意端点值能否取到． 提醒：题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论． 13.集合M＝{x|x＝5k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝5n＋3，n∈Z}，S＝{x|x＝10m＋3，m∈Z}的关系是(　　) A．S⊆P⊆M B．S＝P⊆M C．S⊆P＝M D．P＝M⊆S 14.下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 15．已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 16．已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17.集合，集合.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18.已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 19.已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 考点04：子集（真子集）的个数问题 20.设集合，则集合的非空真子集的个数为 ． 21.已知集合满足，那么这样的集合的个数为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 22.设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（   ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 23.已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 考点05：集合的运算 【名师点拨】集合综合运算的求解策略 (1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算． (2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验． (3)解决抽象集合(没有给出具体元素的集合)间的关系判断和运算问题的途径有两条：一是利用特殊值法将抽象集合具体化；二是利用图形化抽象为直观． 24．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 25．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 26．已知全集，集合，则（   ） A．或 B．或 C． D． 27．如图所示的Venn图中阴影部分所表示的集合为（      ） A． B． C． D． 28.设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29.已知集合，若，则实数的值可以为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 考点06：命题 30.将“等腰三角形两底角必是锐角”改写为“若…则…”形式___________. 31.判断命题“已知，若是奇数，则是奇数”是真命题还是假命题？___________. 32．（2022·上海长宁·高一期末）如果，那么”是__________命题.（填“真”或“假”） 33．（2021·上海师大附中高一阶段练习）命题“若，则”是___________命题（填“真”或“假”）. 34．（2020·上海市延安中学高一阶段练习）有四个命题：①；②，；③；④；其中正确的命题是_______.（填序号） 35．（2021·上海交大附中高一开学考试）若和或都是假命题，则的范围是__________ 36．（24-25高一上·江苏常州·期中）命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为 . 37．（2021·上海·高一专题练习）已知命题①函数的图像总在轴上方；命题②关于的方程有两个不相等的实数根. （1）若命题①为真命题，求的取值范围； （2）若命题②为真命题，求的取值范围； （3）若命题①②中至多有一个命题为真，求的取值范围； 考点07：充分条件与必要条件的判断 【名师点拨】判断充分、必要条件的两种方法 (1)定义法 (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母取值范围的推断问题. 38．已知集合A，B，C均为非空集合．若是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 39．（24-25高一下·上海宝山·期末）“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 40．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 41.已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．（25-26高一上·全国·课后作业）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点08：根据充分性与必要性求参数 【名师点拨】由充分、必要条件求参数范围的策略 (1)巧用转化求参数：把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形； (2)端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍. 43．（25-26高一上·全国·课后作业）已知和，且p是q的必要条件，则实数m的值为（    ） A．0 B．2或 C．或 D．0或或 44．已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46．已知，，若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 47．已知集合，或，且是的充分条件，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 48．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 49．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 考点09：充要条件的证明 50．已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 51．证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 52．已知，求证：成立的充要条件是. 53．已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 考点10：反证法 54．（2021·上海市行知中学高一阶段练习）用反正法证明：“若，则或”时，需假设_________. 51．（2021·上海·位育中学高一期中）著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______． 52．（2020·上海·高一专题练习）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数、、中至多有一个是偶数”的正确假设为 A．自然数、、中至少有一个是偶数 B．自然数、、中至少有两个是偶数 C．自然数、、都是奇数 D．自然数、、都是偶数 53．（2020·上海·高一专题练习）设是两个实数，给出下列条件： ①；②；③；④；⑤. 其中能推出：“中至少有一个大于”的条件是____________． 54．（2021·上海·高一专题练习）（1）已知，证明：若，则a，b，c中至少有一个小于； （2）已知，判断“”是“a，b，c中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由. 55．（2021·上海·高一专题练习）若，且，求证：一元二次方程和中至少有一个方程有实根. 考点11：新定义题 【名师点拨】解决以集合为背景的新定义问题要抓住的两点 (1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． (2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质． 56．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 57．设P，Q为两个非空实数集合，定义．若，，则中元素的个数为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 58.设集合，若集合满足，，称为集合的一个“三分划”（不考虑的顺序，即与视作同一种情况）．对于集合，在的所有“三分划”中，满足集合中元素之和相等的“三分划”的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 59．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 60.定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 61.已知集合中含有三个元素同时满足（1）（2）（3）为偶数，则称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)判断集合是否具有性质，说明理由; (2)若集合具有性质，证明：集合是的“期待子集”; (3)证明：集合具有性质的充分条件是集合是集合的“期待子集”. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$