专题04：集合的运算（3大知识点+10大题型+真题检验）讲义-2025年初升高衔接数学沪教版（2020）

2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题04 集合的运算 知识点一、交集及其性质 1.交集的定义：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 2.交集的性质： ①；②，；③； ④； ⑤若，则； 3.文氏图表示：可以用文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 知识点二、并集及其性质 1. 并集的定义：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 2. 并集的性质： 1　 ；②，；③； ④；⑤若，则； 3.文氏图表示：可以用文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 ， 如图其中阴影部分表示A∪B． （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B 知识点三、全集、补集及其性质 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A 知识点一、交集 题型01：交集的运算 【名师点拨】①求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果． ②在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰． 【例1】已知集合，则（       ） A． B． C． D． 【例2】已知集合，则（       ） A． B． C． D． 【例3】集合，则（       ） A． B． C． D． 【例4】已知集合，，则集合的子集个数为（       ） A．2 B．4 C．8 D．16 【跟踪训练】 1．已知集合，则（       ） A． B． C． 或 D． 2．已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 3.设集合M＝{x∈R|0≤x≤2}，N＝{x∈N|﹣1＜x＜3}，则M∩N＝（　　） A．{1，2} B．{0，1，2} C．{x|0≤x≤2} D．{x|﹣1＜x＜3} 4．若集合，，则___________. 题型02：根据交集的运算结果求集合或参数 【名师点拨】①策略：当题目中含有条件A∩B＝A或A∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A∩B＝A转化为A⊆B，A∪B＝B转化为A⊆B. ②方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍． ③注意点：当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况． 【例5】已知集合，，若，则B=（     ） A． B． C． D． 【例6】已知集合A＝{x|2a+1≤x≤3a+5}，B＝{x|x≤﹣2或x≥5}． （1）若a＝﹣2，求A∪B，A∩B； （2）A∩B＝A，求实数a的取值范围． 【跟踪训练】 1.设，，若，则实数的值不可以是（　　） A．0 B． C． D．2 2.设集合A＝{3，5}，B＝{x|x2﹣5x+m＝0}，满足A∪B＝{2，3，5}． （Ⅰ）求集合B； （Ⅱ）若集合C＝{x|ax﹣1＝0}，且满足B∩C＝C，求所有满足条件的a的集合． 3.设集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{x|x2﹣2（a+2）x+a2+3＝0}． （1）若A∩B＝{1}，求实数a的值； （2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围． 知识点二、并集 题型03：并集的运算 【名师点拨】①定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果． ②数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 【例7】若集合A＝{0，1，3}，B＝{﹣1，0，2，3}，则A∪B等于（　　） A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，2，3} C．{0，1，3} D．{0，3} 【例8】已知集合P＝{x|﹣1＜x＜3}，Q＝{x|0＜x＜1}，则P∪Q＝（　　） A．{x|0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3} D．∅ 【例9】已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，集合B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}． （1）若A＝B，求a的值； （2）若A∪B＝A，求a的值． 【跟踪训练】 1.设集合，则（       ） A． B． C． D． 2.已知集合，则（       ） A． B． C． D． 3.已知集合，，则等于（       ） A． B． C． D． 4．若集合，则（       ） A． B． C． D． 题型04：根据并集的运算结果求集合或参数 【例10】已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【例11】已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（       ） A． B． C． D． 【例12】已知集合或，，若，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，. (1)当时，求，： (2)若，求m的取值范围. 3.已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 知识点三、全集与补集 题型05：补集的运算 【名师点拨】①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 【例13】已知全集，集合，则 ． 【例14】已知全集，集合，则 ． 【例15】已知全集，，则 . 【跟踪训练】 1．已知全集，若集合，则 ． 2．已知全集为R，集合，则 . 3．已知全集 ，集合 ，则 . 4.设全集，集合，则 ． 题型06：根据补集的运算结果求集合或参数 【例16】设全集，，若，则实数 . 【跟踪训练】 1.已知全集，集合，，是否存在实数a，使得？ 2.已知集合，，，求实数a的值. 知识点四、交集 并集 补集的综合运算 题型07交集、并集、补集的综合运算 【名师点拨】①如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． ②如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 【例17】若全集，则集合 ． 【例18】若，，，则 ． 【跟踪训练】 1．若、是全集的真子集，则下列四个关系式与等价的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）设全集为，集合，，则=________. 3.已知全集，集合，满足，，，则集合__________． 题型08：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 【名师点拨】①与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况． ②不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． 【例19】已知全集，集合，若，求实数t的取值范围． 【例20】已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【跟踪训练】 1．设全集为，若的子集集合，子集，则= 2．已知全集，集合．若，则实数a的取值范围是 ． 3．，，，，则 . 知识点五、综合提升 题型09：韦恩图的应用 【例21】集合A，B，C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A，B，C，试用集合A，B，C的运算结果表述图中阴影所代表的集合 ．    【例22】某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 【跟踪训练】 1.如图，全集，，，则阴影部分表示的集合为（       ） A． B． C． D． 2.已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 3.设全集，集合，，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（       ） A． B． C． D． 4.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（     ） A． B． C． D． 5．设U＝R，已知两个非空集合P，Q满足＝R，则（       ） A．P∩Q＝R B．PQ C．QP D．P∪Q＝R 6．高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 题型10：新定义运算 【例23】对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 【例24】设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，．对于集合，，，，则 ． 【跟踪训练】 1．已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 3.已知两个数集和，定义，.则下列命题正确的个数是（    ） ①任意A，，都有成立； ②任意A，，都有成立； ③存在A，，使成立； ④存在A，，使成立. A．0 B．1 C．2 D．3 一、填空题 1．（2022·上海春考）已知 ， ，则 　 　 2．（2021·上海浦东新·高一期中）已知集合，，则________. 3.【2025上海秋季高考】已知集合U={2≤x≤5,xR)，集合A={2≤x<4,xR)，则= 4.【2024上海秋季高考】 设全集，集合，则 ． 5．（2024春•黄浦区校级期末）设全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，集合，，则　　． 6.（2022秋•徐汇区校级期中）设全集为U，用集合A、B、U的交、并、补集符号表图中的阴影部分 　 　． 7.（2022·上海·高一专题练习）已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有__________个. 8．（2023春·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）设集合，，若，则的取值范围是________． 9．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是_____________. 10.（2022秋·上海长宁·高一上海市复旦中学校考阶段练习）设集合，，集合，则实数的值为_____． 11.（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_________. 12.（2022秋·上海长宁·高一上海市复旦中学校考阶段练习）设全集，集合，若，则实数 ; 二、选择题 13．（2022秋•普陀区校级期中）若集合不是集合的子集，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•嘉定区校级期中）已知全集中有个元素，中有个元素，若非空，则的元素个数为　　 A． B． C． D． 15．（2022秋•黄浦区校级期中）已知全集为，对任意集合，，下列式子恒不成立的是　　 A． B． C． D． 16．（2022秋•浦东新区校级期中）已知集合，集合，若，则的取值范围是　　 A． B． C．， D． 3、 解答题 17．（2023秋•杨浦区校级期末）已知全集，集合，．求，． 18．（2023秋•徐汇区期末）已知集合，，，，且． （1）若，求实数组成的集合． （2）若全集为，，求，的值． 19.（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）设全集，集合，， (1)求； (2)求． 20．（2021·上海市新场中学高一阶段练习）已知集合，集合 （1）求集合； （2）若集合，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 21．（2020·上海·复旦附中青浦分校高一阶段练习）已知集合，集合. （1）若，求实数的值. （2）若，求实数的取值范围. （3）若，，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高一数学暑假班预修提升课程 专题04 集合的运算 知识点一、交集及其性质 1.交集的定义：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 2.交集的性质： ①；②，；③； ④； ⑤若，则； 3.文氏图表示：可以用文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 知识点二、并集及其性质 1. 并集的定义：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 2. 并集的性质： 1　 ；②，；③； ④；⑤若，则； 3.文氏图表示：可以用文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 ， 如图其中阴影部分表示A∪B． （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B 知识点三、全集、补集及其性质 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A 知识点一、交集 题型01：交集的运算 【名师点拨】①求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果． ②在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰． 【例1】已知集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意中的条件有.故选：C 【例2】已知集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意可知，解得，所以，故选：. 【例3】集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以．故选：A. 【例4】已知集合，，则集合的子集个数为（       ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】由题意得， 当时， 联立，解得 ；当时， 联立，解得 ； 故抛物线与曲线有两个公共点，分别为，， 则集合有两个元素，所以的子集个数为，故选:B． 【跟踪训练】 1．已知集合，则（       ） A． B． C． 或 D． 【答案】B 【解析】因为集合，所以，故选：B． 2．已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，，∴.故选：D. 3.设集合M＝{x∈R|0≤x≤2}，N＝{x∈N|﹣1＜x＜3}，则M∩N＝（　　） A．{1，2} B．{0，1，2} C．{x|0≤x≤2} D．{x|﹣1＜x＜3} 【分析】可求出集合N，然后进行交集的运算即可． 【解答】解：∵M＝{x|0≤x≤2}，N＝{0，1，2}， ∴M∩N＝{0，1，2}． 故选：B． 【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题． 4．若集合，，则___________. 【答案】 【分析】分别求得集合，然后根据交集的运算可得结果. 【详解】由，所以 所以， ， 所以. 故答案为：. 题型02：根据交集的运算结果求集合或参数 【名师点拨】①策略：当题目中含有条件A∩B＝A或A∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A∩B＝A转化为A⊆B，A∪B＝B转化为A⊆B. ②方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍． ③注意点：当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况． 【例5】已知集合，，若，则B=（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知：2是的一个解，所以，则， 故.故选：B. 【例6】已知集合A＝{x|2a+1≤x≤3a+5}，B＝{x|x≤﹣2或x≥5}． （1）若a＝﹣2，求A∪B，A∩B； （2）A∩B＝A，求实数a的取值范围． 【分析】（1）a＝﹣2时，求出集合A，由此能求出A∪B和A∩B． （2）由A∩B＝A，得A⊆B，当A＝∅时，2a+1＞3a+5，当A≠∅时，或由此能求出实数a的取值范围． 【解答】解：（1）a＝﹣2时，集合A＝{x|﹣3≤x≤﹣1}，B＝{x|x≤﹣2或x≥5}． ∴A∪B＝（﹣∞，﹣1]∪[5，+∞），A∩B＝[﹣3，﹣2]． （2）若A∩B＝A，得A⊆B，当A＝∅时，2a+1＞3a+5，解得a＜﹣4， 当A≠∅时，或 解得或a≥2， 综上所述，或a≥2， ∴实数a的取值范围是（﹣∞，]∪[2，+∞）． 【点评】本题考查交集、并集、实数的取值范围的求法，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【跟踪训练】 1.设，，若，则实数的值不可以是（　　） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【解析】由题意，，因为，所以，若，则，满足题意； 若，则，因为，所以或，则或. 综上：或或.故选：D. 2.设集合A＝{3，5}，B＝{x|x2﹣5x+m＝0}，满足A∪B＝{2，3，5}． （Ⅰ）求集合B； （Ⅱ）若集合C＝{x|ax﹣1＝0}，且满足B∩C＝C，求所有满足条件的a的集合． 【分析】（Ⅰ）根据A＝{3，5}，A∪B＝{2，3，5}可得出2∈B，从而可求出m＝6，进而得出B＝{2，3}； （Ⅱ）根据B∩C＝C可得出C⊆B，然后可讨论a：a＝0时，显然满足题意；a≠0时，可得出或3，可解出a的值，这样即可得出满足条件的a的集合． 【解答】解：（Ⅰ）∵A＝{3，5}，A∪B＝{2，3，5}， ∴2∈B，且B＝{x|x2﹣5x+m＝0}， ∴4﹣10+m＝0，解得m＝6， ∴B＝{x|x2﹣5x+6＝0}＝{2，3}； （Ⅱ）∵B∩C＝C， ∴C⊆B，且C＝{x|ax＝1}， ∴①a＝0时，C＝∅，满足C⊆B； ②a≠0时，，则或3，解得a或， ∴满足条件的a的集合为：． 【点评】本题考查了交集、并集的定义及其运算，子集的定义，元素与集合的关系，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题． 3.设集合A＝{x|x2﹣4x+3＝0}，B＝{x|x2﹣2（a+2）x+a2+3＝0}． （1）若A∩B＝{1}，求实数a的值； （2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围． 【分析】（1）可求出A＝{1，3}，根据A∩B＝{1}可得出1∈B，从而可得出a＝0或2，经验证即可求出a的值； （2）根据A∩B＝B可得出B⊆A，然后可讨论B：B＝∅时，△＝16a+4＜0，解出；B≠∅时，可得出B＝{1}或{3}或{1，3}，经检验，B＝{1}或{3}不合题意，B＝{1，3}时，可求出a＝0，最后即可得出a的取值范围． 【解答】解：（1）A＝{1，3}，A∩B＝{1}， ∴1∈B，∴1﹣2（a+2）+a2+3＝0，解得a＝0或a＝2， 当a＝0时，B＝{1，3}，不符题意舍； 当a＝2时，集合B＝{1，7}，符合题意， 综上可得，实数a的值为2； （2）∵A∩B＝B，∴B⊆A， ①当B＝∅时，则△＝[﹣2（a+2）]2﹣4（a2+3）＝16a+4＜0， 解得； ②当B≠∅时，集合B＝{1}或B＝{3}或B＝{1，3}， 若B＝{1}或B＝{3}， 则△＝[﹣2（a+2）]2﹣4（a2+3）＝16a+4＝0， 解得，此时，不符合题意； 若B＝{1，3}，由根与系数的关系定理， 可得，解得a＝0， 综上所述，实数a的取值范围是． 【点评】本题考查了交集及其运算，元素与集合的关系，一元二次方程无解和二重根时，判别式△的取值情况，韦达定理，考查了计算能力，属于基础题． 知识点二、并集 题型03：并集的运算 【名师点拨】①定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果． ②数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示． 【例7】若集合A＝{0，1，3}，B＝{﹣1，0，2，3}，则A∪B等于（　　） A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，2，3} C．{0，1，3} D．{0，3} 【分析】直接利用集合并集的定义进行求解即可． 【解答】解：因为集合A＝{0，1，3}，B＝{﹣1，0，2，3}， 所以A∪B＝{﹣1，0，1，2，3}． 故选：A． 【点评】本题考查了集合的运算，涉及了集合并集的求解，解题的关键是掌握集合并集的定义，即由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．属于基础题． 【例8】已知集合P＝{x|﹣1＜x＜3}，Q＝{x|0＜x＜1}，则P∪Q＝（　　） A．{x|0＜x＜1} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3} D．∅ 【分析】直接利用两个集合并集的定义分析求解即可． 【解答】解：因为集合P＝{x|﹣1＜x＜3}，Q＝{x|0＜x＜1}， 所以P∪Q＝{x|﹣1＜x＜3}． 故选：B． 【点评】本题考查了集合的基本运算，涉及了集合并集定义理解和应用，解题的关键是掌握集合并集的含义． 【例9】已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，集合B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}． （1）若A＝B，求a的值； （2）若A∪B＝A，求a的值． 【分析】（1）可求出A＝{1，2}，根据A＝B可得出1，2∈B，从而可得出a＝3； （2）根据A∪B＝A可得出B⊆A，对于方程x2﹣ax+a﹣1＝0，可求出△＝（a﹣2）2，然后讨论△＝0和△＞0，分别求出a的值即可． 【解答】解：（1）A＝{1，2}， ∵A＝B，∴1，2∈B， ∴a＝1+2＝3； （2）∵A∪B＝A， ∴B⊆A， ∴①△＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2＝0，即a＝2时，B＝{1}，满足题意； ②△＞0时，1，2∈B，∴a＝3， 综上得，a＝2或3． 【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，集合相等的定义，并集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题． 【跟踪训练】 1.设集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故选：D. 2.已知集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，故选：B 3.已知集合，，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以；故选：B 4．若集合，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，又，所以． 故选：D． 题型04：根据并集的运算结果求集合或参数 【例10】已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解方程求得集合A，根据并集结果从而求得. 【详解】集合，集合．由，可知集合必须包含元素2，即. 故选：D 【例11】已知集合，，且，则实数的所有值构成的集合是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，由可得. 当时，，合乎题意； 当时，，则或，解得或. 因此，实数的取值集合为.故选：D. 【例12】已知集合或，，若，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合或，，，所以．故选：B． 【跟踪训练】 1.，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知， ，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，，，则， 若，则，解得； 若且，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 2.已知集合，. (1)当时，求，： (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1)；或； (2) 【分析】（1）代入，再由交并补的混合运算可得结果； （2）根据并集结果可得，得出对应不等式可求得m的取值范围. 【详解】（1）当时，可得，或； 又，所以； 或； （2）由可得， 当时，，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，m的取值范围为. 3.已知全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据交集、补集、并集的定义计算可得； （2）依题意可得，即可得到，解得即可. 【详解】（1）当时，又， 所以，或， 所以或. （2）因为，所以， 显然，即， 所以，解得，即实数的取值范围为. 知识点三、全集与补集 题型05：补集的运算 【名师点拨】①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 【例13】已知全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】化简集合，结合交集的概念即可求解. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为：. 【例14】已知全集，集合，则 ． 【答案】/ 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 【例15】已知全集，，则 . 【答案】 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】全集，，故. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．已知全集，若集合，则 ． 【答案】 【分析】首先求出集合A中的不等式，然后根据补集的定义求出A的补集. 【详解】对于集合A，不等式为. 所以. 因为全集，所以集合的补集为. 故答案为：. 2．已知全集为R，集合，则 . 【答案】 【分析】根据补集概念求解即可. 【解析】全集为R，集合，则. 故答案为： 3．已知全集 ，集合 ，则 . 【答案】 【分析】利用集合补集的概念直接求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 4.设全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】先求出全集，然后可求出集合的补集 【详解】因为，， 所以， 故答案为： 题型06：根据补集的运算结果求集合或参数 【例16】设全集，，若，则实数 . 【答案】2 【分析】由题可得，即可求出，验证即可. 【详解】，， ， ，则，解得或， 当时，，，，符合题意； 当时，，，不符合题意， . 故答案为：2. 【跟踪训练】 1.已知全集，集合，，是否存在实数a，使得？ 【答案】存在实数a，使得.理由见解析. 【分析】根据集合补集和交集的定义，即可判断. 【详解】存在实数a，使得.理由如下： 由题意， 所以或， 又因为当时，，不符合条件，故舍去； 当时，，，符合条件； 综上，存在实数a，使得. 2.已知集合，，，求实数a的值. 【答案】 【分析】根据补集的定义得出关于a的方程，分类讨论两种情况：且或且，对每一种情况求解a的值，并且代入集合中进行验证得解. 【详解】由已知得： （1）且，由解得，代入中不满足，故不成立； （2）且，由得或， 当时，不满足， 当时，满足， 且时，，，满足题意， 所以. 知识点四、交集 并集 补集的综合运算 题型07交集、并集、补集的综合运算 【名师点拨】①如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． ②如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 【例17】若全集，则集合 ． 【答案】 【分析】根据集合的运算求解即可. 【解析】因为， 所以， 故答案为： 【例18】若，，，则 ． 【答案】 【解析】先求得集合A、B，再由集合的补集运算、交集运算可得答案. 【解析】因为，，所以， 又，所以， 故答案为：. 【跟踪训练】 1．若、是全集的真子集，则下列四个关系式与等价的有（　　） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系逐一论证即可求解. 【详解】对于①，若，则“”当且仅当“”，即“”当且仅当“且”， 这意味着只要就一定有，即当且仅当，故①符合题意； 对于②，若，则“”当且仅当“”，即“”当且仅当“或”， 这意味着只要就一定有，即当且仅当，故②符合题意； 对于③④，若，则当且仅当，即当且仅当，故③④符合题意； 所以与等价的有4个. 故选：D. 2.（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）设全集为，集合，，则=________. 【答案】 【详解】，故. 3.已知全集，集合，满足，，，则集合__________． 【答案】 【详解】已知，， 所以集合A中至少有2，4，6，集合B中没有2，4，6， 因为，， 所以集合A中没有5，7，9，集合B中有5，7，9， 集合A、B中没有0，1，10， 综上，集合A中没有5，7，9，1，10，集合B中没有2，4，6，1，10， 所以． 题型08：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 【名师点拨】①与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况． ②不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． 【例19】已知全集，集合，若，求实数t的取值范围． 【答案】或 【分析】由得，再分类讨论讨论和，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为， 当时，，则，此时满足； 当时，，则，解得； 综上，或. 【例20】已知集合，集合或，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）应用集合的并补运算求集合； （2）根据包含关系列不等式求参数范围即可. 【详解】（1）由题设，则或， 所以或. （2）由且恒成立，即为非空集， 所以或，即或. 【跟踪训练】 1．设全集为，若的子集集合，子集，则= 【答案】 【分析】根据一元二次方程以及一元一次不等式组，可得集合，根据补集与交集的运算，可得答案. 【详解】由，，解得或，则； 由，解得，则，可得或； 所以. 故答案为：. 2．已知全集，集合．若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意有，由得即可求解. 【详解】由，即， 全集， 由，即， ，，，即． 故答案为：. 3．，，，，则 . 【答案】或 【分析】由题意确定则，进而通过，求得，即可求解. 【详解】设, 若，则，又，所以, 所以，此时可得不符合，所以 则，两边同除，可得，所以, 因为，所以一定有，所以，即， 当时，又，所以，所以, 由韦达定理可得：，此时符合； 当时，又，所以，所以, 由韦达定理可得：，此时符合； 所以或. 故答案为：或 知识点五、综合提升 题型09：韦恩图的应用 【例21】集合A，B，C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A，B，C，试用集合A，B，C的运算结果表述图中阴影所代表的集合 ．    【答案】（表示不唯一，可写成） 【分析】根据给定条件，利用韦恩图阴影部分表示的集合意义列出表达式. 【详解】观察韦恩图知，阴影部分是与的公共部分同与的公共部分，两部分合并在一起而得， 所以阴影所代表的集合是（也可表示为）. 故答案为： 【例22】某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（    ） A．20 B．21 C．23 D．25 【答案】B 【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为，根据题意列出方程即可. 【详解】 如图，设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为，只参加其中一个小组的人数为， 则，即． 因为，所以． 故选：B. 【跟踪训练】 1.如图，全集，，，则阴影部分表示的集合为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图示可知，阴影部分可表示为,∵,∴,故选：. 2.已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意，求得且，结合，即可求解. 【详解】由不等式，解得或，所以或， 又由，可得且， 又因为. 故选：B. 3.设全集，集合，，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意,可知Venn图中阴影部分表示的集合是 ,故选：D 4.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】全集, 又因为，所以,而 所以阴影部分表示的集合是即为， 故选：B. 5．设U＝R，已知两个非空集合P，Q满足＝R，则（       ） A．P∩Q＝R B．PQ C．QP D．P∪Q＝R 【答案】B 【解析】满足＝R，则P，Q，U三个集合如图所示： 即PQ，故选：B. 6．高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 【答案】D 【分析】利用韦恩图法即可快速求解. 【解析】设同时学习必修二和选修一的有x人， 则，解得， 即同时学习必修二和选修一的有3人， 则只学习必修一的有（人）， 故选：D. . 题型10：新定义运算 【例23】对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，理解新定义，可得，通过的集定义与集合运算即可得出结论. 【详解】试题分析：根据新定义，数集，，定义，，，集合，，，则可知所有元素的和为， 故选：D. 【例24】设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，．对于集合，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据运算“*”，，利用集合的交集和补集运算求解. 【详解】解：因为集合，，，， 所以，则， 又， 所以， 故答案为： 【跟踪训练】 1．已知有限集，，定义集合且，表示集合中的元素个数．若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据所给定义求出，，即可求出，从而得解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 则. 故选：A 2.定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，，， ∴，， ，，故选：B. 3.已知两个数集和，定义，.则下列命题正确的个数是（    ） ①任意A，，都有成立； ②任意A，，都有成立； ③存在A，，使成立； ④存在A，，使成立. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】或 或， 则成立.故①判断正确； 或， 或， 则不成立.故②判断错误； 令，则，故③判断正确； 令，则，故④判断正确.故选：D 一、填空题 1．（2022·上海春考）已知 ， ，则 　 　 （答案） （知识点）交集及其运算 （解析）（解答）解：∵ ， ∴(1，2) 故答案为：(1，2) （分析）根据交集的定义求解即可. 2．（2021·上海浦东新·高一期中）已知集合，，则________. 【答案】 【分析】解一元二次方程求集合M、N，再应用集合的并运算求. 【详解】由题设，，， ∴. 故答案为： 3.【2025上海秋季高考】已知集合U={2≤x≤5,xR)，集合A={2≤x<4,xR)，则= 【知识点】补集运算 【答案】{4≤x≤5,xR}/[4,5] 【解析】画数轴解决即可 4.【2024上海秋季高考】 设全集，集合，则 ． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的定义可求. 【详解】由题设有， 故答案为： 5．（2024春•黄浦区校级期末）设全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，集合，，则　　． 【分析】由已知求得与，再由交集运算得答案． 【解答】解：，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，集合，， ，， 则，4，7，． 故答案为：，4，7，． 【点评】本题考查交集与补集的混合运算，是基础题． 6.（2022秋•徐汇区校级期中）设全集为U，用集合A、B、U的交、并、补集符号表图中的阴影部分 　 　． 【解答】解：阴影部分在集合A中或在集合B中，但不在A∩B中即在A∩B补集中； 故阴影部分表示的集合是∁U（A∩B）∩（A∪B）， 故答案为∁U（A∩B）∩（A∪B）． 7.（2022·上海·高一专题练习）已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有__________个. 【答案】16 【详解】因为集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}， 所以集合B等于集合A的子集中加上元素5即可， 所以集合B的个数就是集合A子集的个数，即为， 8．（2023春·上海松江·高一上海市松江二中校考期中）设集合，，若，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】，，，故. 9．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】由，所以分和两种情况求解即可 【详解】当时，满足，此时，得， 当时，因为，，， 所以，解得， 综上或， 所以实数的取值范围是 故答案为： 10.（2022秋·上海长宁·高一上海市复旦中学校考阶段练习）设集合，，集合，则实数的值为_____． 【答案】1或3或4. 【详解】由解得或，所以， 由解得或， （i）若，则，满足； （ii）若，则，因为， 所以或， 综上实数的值为1或3或4. 11.（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【详解】因为，所以， 若即，则，满足题意； 若即， 因为，所以解得， 综上，实数的取值范围是， 12.（2022秋·上海长宁·高一上海市复旦中学校考阶段练习）设全集，集合，若，则实数 ; 【答案】 【分析】根据可得，进而求得，解得并判断是否满足集合即可. 【详解】因为，故，即，故，解得或； 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件； 故. 故答案为： 二、选择题 13．（2022秋•普陀区校级期中）若集合不是集合的子集，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据集合的定义与性质，计算即可． 【解答】解：集合不是集合的子集， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题． 14．（2023秋•嘉定区校级期中）已知全集中有个元素，中有个元素，若非空，则的元素个数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据交集的运算求解即可． 【解答】解：由题意得，，即， 全集中有个元素，中有个元素，非空， 则的元素个数为． 故选：． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键． 15．（2022秋•黄浦区校级期中）已知全集为，对任意集合，，下列式子恒不成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】举例说明错误，分类分析正确即可． 【解答】解：取，则对任意集合，都有，故错误； 取，则对任意集合，都有，故错误； 取，则，故错误； 对于，若，，则，，； 若，，则，，； 若，则，，； 若，如图， 则，，； 若，如图， 则为图中阴影部分，为图中非阴影部分，； 若，如图， 则为图中阴影部分，为图中非阴影部分，； 若，如图， 则，，． 综上所述，恒不成立． 故选：． 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，考查分类讨论与数形结合思想，是中档题． 16．（2022秋•浦东新区校级期中）已知集合，集合，若，则的取值范围是　　 A． B． C．， D． 【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，能求出的取值范围． 【解答】解：集合或， 集合，， ， 当时，，满足要求； 当时，， 由，得，解得，； 当时，， 由，得，解得，． 综上，的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3、 解答题 17．（2023秋•杨浦区校级期末）已知全集，集合，．求，． 【分析】根据补集，交集，并集的定义进行计算即可． 【解答】解：，． ，则或， 或， 则或． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，交、并、补的定义是解决本题的关键，是基础题． 18．（2023秋•徐汇区期末）已知集合，，，，且． （1）若，求实数组成的集合． （2）若全集为，，求，的值． 【分析】（1），可得，，由得，对分类讨论能求出结果； （2）由全集为，，即，得，，代入，求出，，，由此能求出结果． 【解答】解：（1），，， ，， 当，则； 当，则； 当，则， 综上可得实数组成的集合为，． （2）由全集为，，即，得，， ，解得， ，， ，，解得， 综上，，． 【点评】本题考查集合的运算，考查并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 19.（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）设全集，集合，， (1)求； (2)求． 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）集合. 因为，所以. （2）因为集合，，所以, 所以或. 20．（2021·上海市新场中学高一阶段练习）已知集合，集合 （1）求集合； （2）若集合，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）． 【分析】（1）直接解方程可求集合； （2），则且，将代入方程求出的值，再将的值代入方程，解方程可得集合，检验是否满足条件即可； （3）若，则，可得或或或；分别讨论这四种情况即可求解. 【详解】（1）； （2）由（1）知：，若集合，则且， 将代入方程可得， 解得：或； 当时，原方程可化为，解得：或， 此时，满足， 当时，原方程可化为，解得：或， 此时，满足， 所以或； （3）若，则，所以或或或； 当时，方程无解，所以， 解得：， 若，则方程有两个相等的实根， 所以此时无解， 若，则方程有两个相等的实根， 所以此时无解， 若，则方程有两个不相等的实根， 所以此时无解， 综上所述：实数的取值范围为. 21．（2020·上海·复旦附中青浦分校高一阶段练习）已知集合，集合. （1）若，求实数的值. （2）若，求实数的取值范围. （3）若，，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）；（3）. 【分析】（1）将代入集合中，解方程可求得的值，验算可得结果； （2）由知，由此得到所有可能的结果，由此分类讨论每种可能性即可得到结果； （3）由知，分别在，和三种情况下确定的解，综合可得结果. 【详解】 （1），，即，解得：或； 当时，，满足； 当时，，满足； 综上所述：或； （2），，可能的结果为，，，； ①当时，，解得：； ②当时，，解得：； 若，则，不满足； 若，则，不满足； ③当时，，解得：或； 若，则，不满足； 若，则，满足； ④当时，，方程组无解； 综上所述：实数的取值范围为； （3），； 当时，由（2）知：，满足； 当时，由（2）知：；若，则； 当时，由（2）知：或；若，则且； 综上所述：实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$