数列求和 讲义-2026届高三数学一轮复习

数列：数列求和（公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和）复习讲义 数列：数列求和 （公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和）复习讲义 考点一 公式法 【知识点解析】 1. 已知数列为等差数列，公差为. （1）通项公式：. （2）前项和：. 2. 已知数列为等比数列，公比为. （1）通项公式：. （2）前项和：. 若已知数列为等差数列或等比数列，则直接代入对应公式，求出对应特征值即可！ 【例题分析】 1．（24-25高二下·江西吉安·期末）在等差数列中，为其前项和，若，则（    ） A．14 B．16 C．7 D．8 2．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A．78 B．72 C．39 D．36 3．（24-25高二下·四川内江·期末）已知等差数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广东深圳·期末）记等比数列的前项和为，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·四川乐山·期末·多选）已知等比数列，，，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列的前和是 C．数列是等差数列 D．数列的前10项和是 6．（24-25高二下·四川南充·期末·多选）关于等差数列和等比数列，下列选项中说法正确的是（   ） A．若等比数列的前项和，则实数 B．若数列为等比数列，且，则 C．若等差数列的前项和为，则成等差数列 D．若等差数列的前项和为，公差，则的最大值为30 7．（2025·浙江绍兴·二模）等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则 . 8．（24-25高二下·北京昌平·期末）设等差数列 的公差为d，前n项和为 等比数列 的公比为q.若 (1)求数列 的通项公式； (2)求和: 9．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知数列是等差数列，其前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和 . 考点二 裂项相消法 【知识点解析】 1. 裂项相消法的基本原理 对于数列，若能将其通项公式拆分为（或）的性质， 则前项和. 2. 常见的裂项形式 类型 求解思路 等差型 ，其中. 无理型 ，其中. 指数型 常见裂项 【例题分析】 1．（24-25高二下·四川·阶段练习）已知数列的通项公式为的前项和为，若，则的最大值为（ ） A．46 B．45 C．44 D．43 2．（24-25高二下·云南·期末）设数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·期末）已知数列为正整数，则 ． 4．（24-25高二下·湖南·期末）已知数列的前n项和为，则数列的前n项和为 ． 5．（24-25高二下·江西南昌·期末）设数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前n项和为，证明：． 6．（24-25高二下·云南保山·期末）已知数列满足：，． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，数列的前n项和为，求证：． 7．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)若，求证：. 8．（24-25高二下·天津·阶段练习）设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 9．（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列. (2)设，求数列的前n项和. (3)若，求满足条件的最小整数n. 10．（24-25高二下·云南·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 11．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知正项等比数列，，且，，构成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 考点三 错位相减法 【知识点解析】 1.错位相减法：且为等差数列，公差为，为等比数列，公比为. （1）① （2）② （3）①-②得 （4）求和得 （5）化简得最终答案. （6）若已知,则，其中，.（不建议直接用） 【例题分析】 1．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知数列的前n项和为，且．若恒成立，则k的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 2．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知数列的通项公式为，其前项和为，则 ． 4．（24-25高二下·湖北·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 5．（24-25高二下·河南南阳·期末）数列满足，.正项等比数列满足，. (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 6．（24-25高二下·四川达州·期末）已知数列的前项和为，，等比数列满足：，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和为. 7．（24-25高二下·四川内江·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：. 8．（24-25高二下·江西·期末）为数列的前n项和．已知，． (1)证明：是等差数列． (2)设，求数列的前n项和． 9．（24-25高二下·四川南充·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 考点四 倒序相加法 【知识点解析】 1. 倒序相加法的处理步骤 （1）. （2）. （3）上述两式相加，得 （4）若数列在满足的情况下，则. （5）所以 【例题分析】 1．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 2．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）若等差数列满足，则（    ） A．2025 B． C． D． 3．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 5．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求数列的前99项的和的值． 6．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 考点五 分组与并项求和 【知识点解析】 1. 分组求和法： （1）记的前项和为，记的前项和为，记的前项和为. （2）分别求与. （3）. 2. 并项求和法：对于数列，若其项满足相邻几项的和具有规律性（如和为常数、成等差或等比数列），则可将这些项两两（或三三）合并为一组，转化为对新数列的求和. （1）观察项的规律：分析数列项的符号、数值或周期特征，判断是否可合并（如正负交替、周期重复）。 （2）确定并项方式：根据规律选择两两并项、三三并项或按周期并项（如每 2 项、每 3 项一组）。 （3）处理奇偶项差异：若数列项数的奇偶性影响并项结果（如正负交替型），需分情况讨论。 （4）转化为新数列求和：将合并后的项视为新数列，利用等差、等比数列求和公式或其他方法计算。 【例题分析】 1．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前n项和（   ） A．107 B．1409 C．1414 D．112 2．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的通项公式，则数列的前10项和为（   ） A．35 B．40 C．45 D．50 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）数列的前2025项和为（   ） A．1012 B． C．1013 D． 4．（24-25高二下·河南南阳·期末·多选）已知数列则下列说法错误的是（    ） A．数列为等差数列 B．是单调递减数列 C．数列的前20项和为-698860 D．若，则 5．（24-25高二下·江西吉安·阶段练习）已知数列的前n项和为，，且，若，则 ． 6．（24-25高二下·北京顺义·期末）已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 7．（24-25高二下·河北·期末）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前n项和； (3)求证：． 8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 9．（24-25高二下·四川南充·期末）已知数列满足，且. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 10．（2025·云南玉溪·模拟预测）设是等差数列，是等比数列，，且. (1)求与的通项公式； (2)设，求的前项和． 11．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 课后提升训练 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）等差数列的前项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若是等比数列，且，则数列的前8项和为（    ） A．689 B．716 C．729 D．1597 4．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知数列满足，，且，则的前51项的和为（    ） A．37 B．40 C．42 D．46 5．（2025·四川成都·三模·多选）已知公差为1的等差数列满足成等比数列，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前8项和为 D．的前50项和为 6．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知数列满足，且，则数列的前项和 . 7．（2025·浙江·三模）已知为正整数，有穷数列中所有可能的乘积的和记为．例如，当时，，则数列的前项和为 ． 8．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知数列的首项为1，数列的前项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 9．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知正项等比数列的首项，其前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 10．（2025·四川成都·模拟预测）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，数列的前n项和，证明：． 11．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知等差数列的前n项和为，且，，等比数列的前n项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 12．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列是正项等比数列，满足，，且， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．记数列的前项和为，求证：． 13．（24-25高二下·江西·期末）在数列中，是和的等差中项，且集合为单元素集合． (1)求． (2)已知数列为等比数列，． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）若，证明： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数列：数列求和（公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和）复习讲义 数列：数列求和 （公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组与并项求和）复习讲义 考点一 公式法 【知识点解析】 1. 已知数列为等差数列，公差为. （1）通项公式：. （2）前项和：. 2. 已知数列为等比数列，公比为. （1）通项公式：. （2）前项和：. 若已知数列为等差数列或等比数列，则直接代入对应公式，求出对应特征值即可！ 【例题分析】 1．（24-25高二下·江西吉安·期末）在等差数列中，为其前项和，若，则（    ） A．14 B．16 C．7 D．8 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以. 所以. 故选：A. 2．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则（   ） A．78 B．72 C．39 D．36 【答案】C 【详解】依题意，. 故选：C 3．（24-25高二下·四川内江·期末）已知等差数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为. 由，得，解得， 所以. 故选：A. 4．（24-25高二下·广东深圳·期末）记等比数列的前项和为，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】等比数列的前项和为，若，设等比数列公比为， 则 ， 当时，则的最小值为. 故选：D. 5．（24-25高二下·四川乐山·期末·多选）已知等比数列，，，则（   ） A．数列是等比数列 B．数列的前和是 C．数列是等差数列 D．数列的前10项和是 【答案】AC 【详解】由题可得， 则，所以数列是等比数列，故A正确；，故B不正确； 已知，，故是等差数列，故C正确； 则，故D错误. 故选：AC. 6．（24-25高二下·四川南充·期末·多选）关于等差数列和等比数列，下列选项中说法正确的是（   ） A．若等比数列的前项和，则实数 B．若数列为等比数列，且，则 C．若等差数列的前项和为，则成等差数列 D．若等差数列的前项和为，公差，则的最大值为30 【答案】BCD 【详解】由，可得时，， 作差得，当时，，解得，所以A错误； 由等比数列性质可知，因为，所以， ，所以B正确； 由等差数列的前项和可知，成等差数列，所以C正确； 等差数列中，公差，则， 当或时，前项和取得最大值，最大值，所以D正确. 故选：BCD. 7．（2025·浙江绍兴·二模）等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则 . 【答案】15 【详解】由题意可得，解得， 因为与的等差中项为，所以，则， 得到，解得，故， 由等比数列求和公式得. 故答案为：15. 8．（24-25高二下·北京昌平·期末）设等差数列 的公差为d，前n项和为 等比数列 的公比为q.若 (1)求数列 的通项公式； (2)求和: 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）若 则，解得， 所以； ，所以，则； （2）由（1）， 所以 . 9．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知数列是等差数列，其前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和 . 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设首项为，公差为，因为，所以， 因为，所以， 解得，，故. （2）因为，所以， 而，则，且， 可得是首项为，公比为的等比数列，故. 考点二 裂项相消法 【知识点解析】 1. 裂项相消法的基本原理 对于数列，若能将其通项公式拆分为（或）的性质， 则前项和. 2. 常见的裂项形式 类型 求解思路 等差型 ，其中. 无理型 ，其中. 指数型 常见裂项 【例题分析】 1．（24-25高二下·四川·阶段练习）已知数列的通项公式为的前项和为，若，则的最大值为（ ） A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】C 【详解】根据题意， 则， 因为，又，， 则的最大值为44. 故选：C 2．（24-25高二下·云南·期末）设数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，， 当时，， 所以， 两式相减得， 因此（）， 当时，， 不满足， 所以， 又因为当时，， 当时，， 所以数列的前9项和为． 故选：A. 3．（24-25高一下·上海·期末）已知数列为正整数，则 ． 【答案】 【详解】由题设， 所以. 故答案为： 4．（24-25高二下·湖南·期末）已知数列的前n项和为，则数列的前n项和为 ． 【答案】/ 【详解】由题意知，，时，， 则时，， 两式相减得，可得， 又也满足上式， 故. 则 所以 ． 故答案为：. 5．（24-25高二下·江西南昌·期末）设数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)若数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由可得：， 所以数列为等差数列，且首项为3，公差为3； （2）由数列为等差数列，，可得, 所以，又因为， 所以， 因为，所以，故． 6．（24-25高二下·云南保山·期末）已知数列满足：，． (1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析，； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴， 又， ∴数列是首项为3，公比为3的等比数列， ∴， 即． （2）由题意及（1）证明如下，， 在数列中， ， ∴ ， ， ∴单调递增，， ∵， ∴， ∴． 7．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知各项都是正数的数列，其前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)若，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得， 所以，又数列是各项都是正数的数列，， 所以，， 当时，有， 所以， 所以，故数列是1为首项，2为公差的等差数列， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 裂项得，证毕. 8．（24-25高二下·天津·阶段练习）设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 依题意得，解得或（舍去）， 故，， 所以的通项公式为，的通项公式为； （2）由（1）可得， 则， 两式相减可得： ， 所以； （3）由（1）可得， 所以. 9．（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列. (2)设，求数列的前n项和. (3)若，求满足条件的最小整数n. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1000 【详解】（1）证明：因为，所以，所以. 因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，则. 因为，所以. 设数列的前n项和为，则. （3）由（2）知，所以. 令，易知单调递增. 因为，， 所以满足条件的最小整数为1000. 10．（24-25高二下·云南·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， … ，． 累加得，， 所以，则，当时，上式也成立， 所以的通项公式为． （2）． 记数列的前项和为， 则． 11．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知正项等比数列，，且，，构成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公比为，由，则， 由，得，解得或（舍）. 因为，，成等差数列，所以. ，即，解得或（舍）. 所以. （2）由（1）知，. 则. 所以. 考点三 错位相减法 【知识点解析】 1.错位相减法：且为等差数列，公差为，为等比数列，公比为. （1）① （2）② （3）①-②得 （4）求和得 （5）化简得最终答案. （6）若已知,则，其中，.（不建议直接用） 【例题分析】 1．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知数列的前n项和为，且．若恒成立，则k的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【详解】因为， 所以①，②， ①减②可得： ， 所以． 因为，所以，即恒成立，故． 故选：B 2．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，则， 两式作差，有， 所以. 故选：B 3．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）已知数列的通项公式为，其前项和为，则 ． 【答案】 【详解】， 所以， 所以， 所以， 故答案为：． 4．（24-25高二下·湖北·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：①当时，， ②当时 ，， 则， 整理得： ∴，又， ∴是以2为首项，4为公比的等比数列； （2）由（1）得：， ∴， ∴，① ，② 由②①得： ， ∴. 5．（24-25高二下·河南南阳·期末）数列满足，.正项等比数列满足，. (1)证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）由题意得，，即，且， 所以是以2为首项，为公差的等差数列， ，. （2）设的公比为，，， 则，解得或（舍去）， ，. ，① ，② ①-②，得 ， 所以. 6．（24-25高二下·四川达州·期末）已知数列的前项和为，，等比数列满足：，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和为. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 当时，，所以； 设的公比为，则， 解得，； （2）由（1），， ， ， 两式相减得 ， 所以. 7．（24-25高二下·四川内江·期末）已知等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由可得， 当时，，则， 即， 由于为等比数列，故可知公比为3，则，则， 故； （2）由（1）可知，， ，则， 故， 设，则， 则， 故 ， 故，由于，故， 故，即. 8．（24-25高二下·江西·期末）为数列的前n项和．已知，． (1)证明：是等差数列． (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，，因为，所以. 当时，， ，即， 因为，所以， 所以数列是首项为4，公差为1的等差数列. （2）由（1）知， 所以， 则， 则， 两式相减得， 所以数列的前项和. 9．（24-25高二下·四川南充·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得， 当时，， 作差得，化简得， 可知数列为等比数列，当时，，解得， 所以. （2）可知， 则， 则， 作差得，化简得. （3）已知，可知在函数上， 设等差数列，是一个首项为，公差为的等差数列， 则在函数上， 可知是指数函数，是一次函数， 易知指数函数与一次函数至多只有两个交点，所以不存在三个点即在上，又在上， 即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 考点四 倒序相加法 【知识点解析】 1. 倒序相加法的处理步骤 （1）. （2）. （3）上述两式相加，得 （4）若数列在满足的情况下，则. （5）所以 【例题分析】 1．（24-25高二下·北京西城·阶段练习）数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（    ） A．2025 B．2024 C．1013 D．1012 【答案】D 【详解】由函数，得， 令， 则， 两式相加得， 解得. 故选：D. 2．（24-25高二下·陕西西安·阶段练习）若等差数列满足，则（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【详解】由等差数列满足，则对于，，当时，， 则， 设， 则， 两式相加可得，解得. 故选：B. 3．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 5．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）已知数列满足，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)求数列的前99项的和的值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由 ① 得 ② ①－②得：， 在①式中令得，合适上式，所以对任意的正整数n都有： （2）， 两式相减得： 整理得： （3）， 所以 所以，为定值，则 且，两式相加得，因此 6．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）因为，当时，，则； 当时，，则，即， 而为递增数列，故， 即为首项为2，公差为2的等差数列， 故； （2）（i）， 所以， ， 两式相加可得， 故数列的通项公式为； （ii）， 故. 考点五 分组与并项求和 【知识点解析】 1. 分组求和法： （1）记的前项和为，记的前项和为，记的前项和为. （2）分别求与. （3）. 2. 并项求和法：对于数列，若其项满足相邻几项的和具有规律性（如和为常数、成等差或等比数列），则可将这些项两两（或三三）合并为一组，转化为对新数列的求和. （1）观察项的规律：分析数列项的符号、数值或周期特征，判断是否可合并（如正负交替、周期重复）。 （2）确定并项方式：根据规律选择两两并项、三三并项或按周期并项（如每 2 项、每 3 项一组）。 （3）处理奇偶项差异：若数列项数的奇偶性影响并项结果（如正负交替型），需分情况讨论。 （4）转化为新数列求和：将合并后的项视为新数列，利用等差、等比数列求和公式或其他方法计算。 【例题分析】 1．（24-25高二下·四川眉山·期末）已知数列的通项公式为，则数列的前n项和（   ） A．107 B．1409 C．1414 D．112 【答案】B 【详解】因为， 则． 故选：B． 2．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列的通项公式，则数列的前10项和为（   ） A．35 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【详解】因为， 则． 故选：C 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）数列的前2025项和为（   ） A．1012 B． C．1013 D． 【答案】C 【详解】设数列的前项和为，则. 可以将相邻两项看作一组，即，，，，，一共有组，还剩下最后一项2025. 每一组的值都为，例如，，，以此类推. 因为一共有1012组，每组的值为，所以前2024项分组后的和为. 等于前2024项分组后的和加上最后一项2025，即. 故选：C. 4．（24-25高二下·河南南阳·期末·多选）已知数列则下列说法错误的是（    ） A．数列为等差数列 B．是单调递减数列 C．数列的前20项和为-698860 D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于选项A：，易得不是等差数列，A错误； 对于选项B：并非单调递减数列，B错误； 对于选项C：令， 是以1为首项，4为公差的等差数列， ， 是以-2为首项，4为公比的等比数列， ， ，C正确； 对于选项D：①若为奇数， 则， ②若为偶数，则， ，∴， 故，， ，D错误. 故选：ABD 5．（24-25高二下·江西吉安·阶段练习）已知数列的前n项和为，，且，若，则 ． 【答案】25 【详解】当时，，，，，，，，，， 则数列从第6项开始，数列为周期为3的周期数列，一个周期三项的和为7． 因为；所以，由，，得， 所以，所以． 故答案为：25． 6．（24-25高二下·北京顺义·期末）已知等比数列为递增数列，其前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为，由，且等比数列为递增数列，所以， ，解得（负值舍去）， 所以，即； （2）由数列是首项为1，公差为3的等差数列，所以， 所以， . 7．（24-25高二下·河北·期末）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前n项和； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析； 【详解】（1）是各项均不为0的等差数列， ， . （2）因为， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上可得； （3）当时，， ， 所以； 8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列满足，，是数列的前项和，记． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)10170. 【详解】（1）由，，得， 则，而， 所以数列是等比数列. （2）由（1）得，，所以数列的通项公式. （3）由（2）得，， . 9．（24-25高二下·四川南充·期末）已知数列满足，且. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）由，可得，化简得， 所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，所以； （2）由可得， 则， 根据分组求和可得. 10．（2025·云南玉溪·模拟预测）设是等差数列，是等比数列，，且. (1)求与的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）是等差数列，设公差为，是等比数列，设公比为，则， 因为，， 所以，解得或（舍去） 所以，； （2）， . 11．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)。 【详解】（1）由题设且，则，即， 又，故是首项为1，公比为2的等比数列， 所以； （2）由（1）得， 所以. 课后提升训练 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）等差数列的前项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设公差为，则， 解得， 故， 所以， 所以的前10项和为. 故选：A 2．（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）已知数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知， 则 . 故选：B. 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若是等比数列，且，则数列的前8项和为（    ） A．689 B．716 C．729 D．1597 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以，则， 故数列的前8项和为. 故选：C. 4．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知数列满足，，且，则的前51项的和为（    ） A．37 B．40 C．42 D．46 【答案】B 【详解】当为奇数时，也是奇数，因为，所以当为奇数时，， ，令，则，令，则， 令，则，令，则， 以此类推，偶数项为和交替， 前项中有项奇数项，和为， 有项偶数项，有个、个，和为， 所以的前51项的和为. 故选：B. 5．（2025·四川成都·三模·多选）已知公差为1的等差数列满足成等比数列，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前8项和为 D．的前50项和为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为成等比数列，所以，即，解得，故A正确； 对于B，的前项和为，故B正确； 对于C，因为， 所以的前8项和为，故C错误； 对于D，因为， 所以的前50项和为，故D正确. 故选：ABD 6．（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知数列满足，且，则数列的前项和 . 【答案】 【详解】已知，则有： 将以上个式子相加可得： 根据等差数列求和公式，则 所以： 因为， 所以 数列的通项为，将代入，所求数列通项为.裂项后求和得： 故答案为： 7．（2025·浙江·三模）已知为正整数，有穷数列中所有可能的乘积的和记为．例如，当时，，则数列的前项和为 ． 【答案】 【详解】根据题意有： ， 令，所以， 则的前 项和为，则有： 故答案为：． 8．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知数列的首项为1，数列的前项和为，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以当时，， 所以当时，. 因为，所以也符合上式， 所以. （2）设数列的前项和为. 因为， 所以. 9．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知正项等比数列的首项，其前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设数列的公比为， 当时，，此时； 当时，， 由，解得，故； （2）由（1）得，则， 则， 故 ， 故. 10．（2025·四川成都·模拟预测）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由得，，， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，，所以， 所以， ． 11．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知等差数列的前n项和为，且，，等比数列的前n项和为，且. (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知：，， 即，解得. 所以数列的通项公式. 在等比数列中，当时，，得. 当时，，解得，. 所以数列的通项公式. （2）因为， 所以，① ，② ①②得 . 解得， 所以数列的前n项和. 12．（24-25高二下·广东广州·期末）已知数列是正项等比数列，满足，，且， (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列．记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）数列是正项等比数列，满足， 可得， 又，且，解得，， 所以，解得，则； （2）证明：在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 可得， ， 数列的前项和， ， 相减可得， 化为， 由，可得． 13．（24-25高二下·江西·期末）在数列中，是和的等差中项，且集合为单元素集合． (1)求． (2)已知数列为等比数列，． （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）若，证明： 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）因为是和的等差中项，所以，即①， 又因为集合为单元素集合，即只有一个解， 所以，得到②， 由①②知． （2）（i）数列的前项为，又由（1）知，所以，即. 又由（1）可知，所以，即， 解得或，因为，所以，则， 则数列的公比为， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列， 则，得到． （ⅱ）证明：因为， 所以， 又，所以，故命题得证． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$