专题29 数列求和 讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕数列求和专题，系统梳理公式法、分组、并项、错位相减、裂项相消、倒序相加等核心方法，按知识逻辑分考点组织，通过考点分析、方法总结、真题讲解（含2024全国甲卷等）、分层练习环节，帮助学生构建解题框架，突破求和难点。 讲义注重数学思维与方法创新，如错位相减法分解为“写和、乘公比、错位相减、化简”四步训练，裂项相消法总结“前裂后裂、消项规律”，结合倒序相加推导等差数列求和公式。分层设计强化训练，助力学生高效掌握技巧，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

专题29 数列求和 知识点 数列求和的几种常用方法 一、公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式． 等差：. 等比： 二、分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式．常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律． 三、并项求和法 若在一个数列的前项和中，可两两结合求和，则称之为并项求和.形如的，可采用两项合并的方法求和. 四、错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列． 五、裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项． 提醒 常用的裂项公式： （1）； （2）； （3）; （4）; （5）. 六、倒序相加法：如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式就是用此法推导的. 提醒 常用结论： （1）; （2）. 考点一 分组求和法 【例1】已知是首项为19，公差为的等差数列，为的前项和. （1）求通项公式及； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和. 方法总结 分组求和法的常见题型 （1）若数列的通项公式为，且，为等差数列或等比数列，则可采用分组求和法求数列的前项和. （2）若数列的通项公式为其中数列，是等比数列或等差数列，则可采用分组求和法求的前项和. 考点二 并项求和法 【例2】已知数列的前项和为，且. （1）证明是等比数列，并求其通项公式； （2）设，求数列的前100项和. 方法总结 并项求和法的常见题型 （1）已知数列的通项公式为，求数列的前项和. （2）已知数列是周期数列或为定值，求数列的前项和. 考点三 错位相减法求和 【例3】(2024·全国甲卷)记为数列的前项和，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 方法总结 错位相减法求和的步骤 (1)写出的前项和为, (2)两边乘公比.（错位） (3)两式相减，得（相减） (4)化简 【变式3-1】设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，，，. （1）求数列，的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和. 考点四 裂项相消法求和 【例4】已知等比数列的各项均为正数，且,. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 方法总结 裂项相消法的原则及规律 （1）裂项原则：一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止. （2）消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项. 【变式4-1】(2022·新高考Ⅰ卷)记为数列的前项和，已知,是公差为的等差数列. （1）求的通项公式. （2）证明：. 考点四 倒序相加法求和 【例5】已知数列为等差数列，试用倒序相加法推导数列的前项和的表达式. 方法总结 如果一个数列的前项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式就是用此法推导的. 【变式5-1】设函数，且，. （1）计算的值； （2）求数列的通项公式. 强化训练： 1．已知数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和为． 2．已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)若，证明：． 3．已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 4．已知数列的前项和为，且满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 5．已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ． 6．(2023·新高考Ⅱ卷)已知为等差数列，记，分别为数列，的前项和，，. （1）求的通项公式. （2）证明：当时，. 专题29 数列求和 例1【解析】（1）因为 是首项，公差 的等差数列， 所以， . （2）由题意，，所以， . 例2【解析】（1）在数列 中，，当 时，，两式相减，得， 而，解得，所以 是首项为2，公比为5的等比数列，且. （2）由（1）知，， 所以. 例3【解析】（1）当 时，，解得. 当 时，，所以,即， 而，故，故， 所以数列 是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）因为, 所以， ， 所以 ， 所以. 变式3-1【解析】（1）设，由题意可得 解得 或 当 时，，； 当 时，，. （2）当 时，由（1）知，， ， ， ， ， . 例4【解析】（1）设数列 的公比为,由 得,所以. 由条件可知，,故. 由，得,所以. 故数列 的通项公式为. （2）， 故. 因为， 所以数列 的前 项和为. 变式4-1【解析】（1），,, 又 是公差为 的等差数列，, , 当 时，， , 整理得,即, ， 显然对于 也成立， 的通项公式为. （2）,. 例5【解析】对于等差数列， ， ① ， ② 由，得. 因为， 所以， 即. 变式5-1【解析】（1）. （2）由题意知，当 时，， ， 两式相加，得， 所以，又 不符合， 所以 强化训练： 1．【解析】（1）①， 当时，，解得， 当时，②， 式子①-②得，故， 因为，所以，所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2）， . 2．【解析】（1）设的公差为，则根据题意有， 解之得，所以， 即的通项公式为； （2）由上可知， 所以， 则， 易知, . 3．【解析】（1）设的公差为，由题意得 ； 当时，则，， 当时，则，，， 是以1为首项，3为公比的等比数列， ； （2）由（1）得， ，① ，② ①－②得， . 4．【解析】（1）因为，所以， 当时，， 所以，即， 又因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）知，，所以， 因为①， 所以②， 由①-②得： ， 所以． 5．【解析】由， 令， 则， 两式相加得：， ∴． 故答案为：2022 6．【解析】（1）设等差数列 的公差为. 因为， 所以,,， 则 解得,， 则， 所以数列 的通项公式为. （2）由（1）知，，. 当 为偶数时，， ， 当 时，，因此. 当 为奇数时，， 当 时，，因此. 故当 时，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $