精品解析：北京市大兴区2024～2025学年七年级下学期期末数学试卷

大兴区2024~2025学年度第二学期期末检测初一数学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在答题纸上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域． 3．题目答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题纸交回． 一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是（ ） A (-1，-2) B. (1，-2) C. (1，2) D. (-1，2) 2. 如图，直线，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 3. 已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（　　） A. 5 B. 1 C. D. 4. 下列调查方式中，合理的是（　　） A. 为了解全北京市中小学生的睡眠情况，采用全面调查 B. 为调查某批次汽车的抗撞击能力，采用全面调查 C. 为选出学校短跑最快学生参加全市比赛，采用抽样调查 D. 为调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，采用抽样调查 5. 若，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 6. 观察下面表格，结论不正确的是（　　） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 441 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 729 7.84 8.41 A. 2.1的平方是4.41 B. C. 5.76的算术平方根是2.4 D. 当时，随着的增大，的值也增大 7. 在等式中，当时，；当时，．当时，若对于每一个的值，关于的不等式总成立，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，已知，若，平分交于点，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 的相反数是_______． 10. 用不等式表示“的3倍与2的和大于5”为______． 11. 不等式组的解集是______． 12. 如图，直线相交于点，若，则______°． 13. 用一组的值说明命题“若且，则”是假命题，这组值可以是______，______． 14. 《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大、小器各容几何．意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛，音hú，是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少解？设1个大容器容量为斛，1个小容器容量为斛．根据题意，可列方程组为_____． 15. 下面的折线图描述了某市5月份一天的气温变化情况． 根据图中信息，给出下列三个结论： ①这一天在时到达最低气温； ②这一天气温是的时刻有两个； ③这一天在这个时刻到这个时刻之间，气温逐渐升高． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为，设． （1）三角形面积的最小值为_______； （2）当三角形的面积是4时，点的坐标是______． 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24-25题，每题5分，第26-28题，每题7分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 18. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 19. 解不等式组：． 20. 解方程组． 21. 如图，点，点在内部．根据下列语句画图并完成填空： （1）画射线，交于点； （2）过点画边上的垂线，垂足为； （3）连接； （4）在线段中，最短的线段是________，依据是________． 22. 如图，在四边形中，，过点作交点，交的延长线于点，求证：． 23. 某学校七年级举办数学知识竞赛，初赛试题共20道，每一题答对得6分，答错或不答都扣2分，若规定初赛成绩超过85分可晋级复赛，那么至少要答对多少道题目才能成功晋级？ 24. 已知关于的方程组的解满足，求的取值范围． 25. 2025年3月22日是“世界水日”，联合国确定今年“世界水日”主题为“冰川保护”，旨在呼唤全球关注冰川资源保护及对水资源可持续利用的重要性．某校为了解全校1000个家庭的生活用水情况，随机抽样调查了本校50个家庭的月均生活用水量（单位：），数据如下：4.2，14.8，13.2，6.9，5.4，9.6，5.3，5.8，11.4，4.7，10.3，14.1，7.9，13.5，22.5，7.2，25.4，18.6，2.2，11.9，14.2，5.3，23.4，3.6，8.5，5.2，6.2，4.6，5.6，12.8，26.8，10.5，2.4，8.9，7.3，8.0，16.0，4.9，8.6，7.8，5.7，16.2，10.0，13.8，17.6，4.6，3.1，11.1，21.6，9.5． a．50个家庭的月均生活用水量的频数分布表： 用水量分组 频数 组别 2.0 16 A 6.0 12 B 10.0 m C 14.0 6 D 18.0 E 22.0 3 26.0 1 G b．50个家庭的月均生活用水量的频数分布直方图： c．50个家庭的月均生活用水量的扇形图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出频数分布表中的值：_______，_______； （2）补全频数分布直方图； （3）下列结论中，所有正确结论的序号是_______． ①月均生活用水量在范围的家庭数所占百分比为； ②月均生活用水量在范围的家庭数所占百分比超过； ③本校月均生活用水量在范围的家庭数约有60个． 26. 某校七年级525名师生一起去参观历史博物馆．已知客运公司有A，B两种型号客车可供租用，A型客车载客量为40人，B型客车载客量为56人，一辆A型客车的租金比一辆B型客车的租金少200元，2辆A型客车和5辆B型客车的租金共8000元． （1）每辆A型客车和每辆B型客车的租金分别是多少元？ （2）学校计划租用10辆客车，怎样租车最省钱？ 27. 已知直线与直线相交于两点，，点是直线上一定点，点是射线上一动点（点不与点，点重合），连接，作，交直线于点（点不与点重合）． （1）直线与的位置关系是___________； （2）如图，若点在线段上，用等式表示与之间的数量关系，并证明； （3）若点在线段的延长线上，用等式表示与之间的数量关系． 28. 在平面直角坐标系中，对于任意点，若点的坐标为，则称点是点的反2倍交换点．例如：点是点的反2倍交换点． （1）已知点的反2倍交换点为． ①当时，点的坐标为________； ②当点的坐标为时，的值为_______； （2）在长方形中，点，已知线段，点，，其中． ①若线段上存在点，使得点的反2倍交换点在长方形的内部，则点的坐标可以是________； ②若线段上任意点的反2倍交换点在长方形的边上或内部，则的最大值是________，m的取值范围是_________； ③将长方形沿轴方向平移个单位长度得到长方形，若线段上任意点的反2倍交换点都在长方形的边上或内部，且线段与长方形有交点，直接写出的取值范围是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大兴区2024~2025学年度第二学期期末检测初一数学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分，考试时间120分钟． 2．在答题纸上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域． 3．题目答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题纸交回． 一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是（ ） A. (-1，-2) B. (1，-2) C. (1，2) D. (-1，2) 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系的特点，第四象限的点，横坐标为正、纵坐标为负来判定． 【详解】∵点在第四象限， ∴点的横坐标为正、纵坐标为负， 符合条件的为：B， 故选：B． 【点睛】本题考查象限点的特点，注意，象限在坐标轴上是按照逆时针方向进行划分的． 2. 如图，直线，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行同位角相等，邻补角的求解，根据两直线平行同位角相等求出的度数，在用180度减去即可． 【详解】解：如图， ， ， ， 故选：D． 3. 已知是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（　　） A. 5 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入方程， 得：， 解得：， 故选：A． 4. 下列调查方式中，合理的是（　　） A. 为了解全北京市中小学生的睡眠情况，采用全面调查 B. 为调查某批次汽车的抗撞击能力，采用全面调查 C. 为选出学校短跑最快的学生参加全市比赛，采用抽样调查 D. 为调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，采用抽样调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合理选择调查方式（全面调查或抽样调查），需根据调查对象的特点、可行性及必要性进行判断． 【详解】解：A、调查全北京市中小学生的睡眠情况，总体数量极大，全面调查成本高、耗时长，应采用抽样调查，故此选项错误 B、测试汽车抗撞击能力属于破坏性检测，全面调查会导致所有车辆损毁，不可行，应采用抽样调查，故此选项错误 C、选出全校短跑最快的学生需确保结果准确，必须调查全体学生（全面调查），抽样可能遗漏最快者，故此选项错误 D、检测食品色素含量需破坏样本且总体数量大，适合通过抽样调查推断整体情况，故此选项正确 故选：D． 5. 若，则下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一分析即可判断求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，该选项错误，不合题意； 、∵， ∴，该选项错误，不合题意； 、∵， ∴，该选项正确，符合题意； 、∵， ∴， ∴，该选项错误，不合题意； 故选：． 6. 观察下面表格，结论不正确的是（　　） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 27 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A. 2.1的平方是4.41 B. C. 5.76的算术平方根是2.4 D. 当时，随着的增大，的值也增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根的定义，乘方的计算，根据表格数据逐一验证选项的正确性，重点分析平方根的范围及函数单调性． 【详解】解：A、当时，，正确； B、由表格可知，，，因，故，原结论错误； C、，故5.76的算术平方根为2.4，正确； D、表格中x从2.1到2.9时，依次递增，正确， 故选：B． 7. 在等式中，当时，；当时，．当时，若对于每一个的值，关于的不等式总成立，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程的解，结合已知条件列得正确的方程组是解题的关键．先由已知点代入方程求出k和b的值，再将不等式转化为关于m的条件，结合时x的取值范围确定m的取值． 【详解】解：将点和代入， 得方程组：， 解得， 将代入不等式， 得：， 整理得：， ∵当时，若对于每一个x的值，关于x的不等式总成立， ， ， 故选：C． 8 如图，已知，若，平分交于点，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质，准确进行推理证明．根据平行线的性质判断即可． 【详解】解：如图， ， ， 平分， ， ，所以结论①正确； ， ， ，所以结论②正确； ， ， ， ， 平分， ， ，所以结论③不正确； ， ， ，所以结论④正确； 故选：B． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 的相反数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 10. 用不等式表示“的3倍与2的和大于5”为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解题关键是理解题意并抓住关键词． 首先表示的3倍与2的和，再表示和大于5即可． 【详解】解：的3倍表示为：， 与2的和表示为：， 大于5表示为：． 故答案为：． 11. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解一元一次不等式的方法是关键； 先求得不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集是； 故答案为：． 12. 如图，直线相交于点，若，则______°． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了邻补角的定义、对顶角相等，正确求解是关键； 根据题意可设，利用邻补角互补求出x，再根据对顶角相等即得答案． 【详解】解：∵， ∴设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 故答案为：80． 13. 用一组的值说明命题“若且，则”是假命题，这组值可以是______，______． 【答案】 ①. 1（答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了有理数的大小比较，假命题的判断，正确理解命题中的题设和结论，对应给出数值是解题的关键． 根据给出x、y值，计算比值，使即可． 【详解】解：若，则满足的条件， ∴， 故答案为：1，（答案不唯一）． 14. 《九章算术》中有这样一道题：今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大、小器各容几何．意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛，音hú，是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大、小容器的容量分别是多少解？设1个大容器容量为斛，1个小容器容量为斛．根据题意，可列方程组为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设大容器的容量为x斛，小容器的容量为y斛．根据5个大容器和1个小容器的总容量为3斛，1个大容器和5个小容器的总容量为2斛列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【详解】解：设1个大容器容量为斛，1个小容器容量为斛． 根据题意，列得方程组， 故答案为：． 15. 下面的折线图描述了某市5月份一天的气温变化情况． 根据图中信息，给出下列三个结论： ①这一天在时到达最低气温； ②这一天气温是的时刻有两个； ③这一天在这个时刻到这个时刻之间，气温逐渐升高． 上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况，如气温变化图．根据观察函数图象的横坐标，可得时间，根据观察函数图象的纵坐标，可得气温，根据折线统计图，逐项进行判断即可． 【详解】解：①这一天在时到达最低气温，故原说法错误； ②这一天气温是的时刻有两个，故此说法正确； ③这一天在这个时刻到这个时刻之间，气温逐渐升高，故此说法正确． 综上分析可知：正确的结论有②③． 故答案为：②③． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为，设． （1）三角形面积的最小值为_______； （2）当三角形的面积是4时，点的坐标是______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，一次函数的最值； （1）根据题意得到，根据平移得到，即可求出，根据一次函数的增减性求最值即可； （2）求出，然后令解出x的值，即可得到点C的坐标． 【详解】解：（1）由得， 又∵线段平移，得到线段， ∴，点C和点D的纵坐标相同， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴随x的增大而减小， ∴当时，最小为2； （2）， 令，则， 解得：， ∴ 点C的坐标为， 故答案为：；． 三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24-25题，每题5分，第26-28题，每题7分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、实数的运算等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． 先计算算术平方根与立方根、有理数的乘方、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得． 详解】解：原式 ． 18. 解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 在数轴上表示为： ． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题关键． 19. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 20. 解方程组． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握运用代入消元法成为解题的关键． 直接运用代入消元法求解即可． 【详解】解： 由①得③， 把③代入②得， 解得：， 把代入③得， ∴原方程组的解是． 21. 如图，点，点在内部．根据下列语句画图并完成填空： （1）画射线，交于点； （2）过点画边上的垂线，垂足为； （3）连接； （4）在线段中，最短的线段是________，依据是________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4），垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了画直线，画射线，画垂线，垂线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据射线的画法画图即可； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据线段的画法画图即可； （4）根据垂线段最短可得最短的线段是． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问4详解】 解：在线段中，最短的线段是，依据是垂线段最短． 22. 如图，在四边形中，，过点作交点，交的延长线于点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据题意，结合图形，易得，证得，结合平行线的性质和已知条件，得到，则有，证得结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 某学校七年级举办数学知识竞赛，初赛试题共20道，每一题答对得6分，答错或不答都扣2分，若规定初赛成绩超过85分可晋级复赛，那么至少要答对多少道题目才能成功晋级？ 【答案】至少要答对16道题目才能成功晋级 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设答对道题目，则答错或不答的题目为道，根据题意建立不等式，解不等式，求出的最小正整数值，由此即可得． 【详解】解：设答对道题目，则答错或不答的题目为道， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最小正整数值为16， 答：至少要答对16道题目才能成功晋级． 24. 已知关于的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，灵活应用整体思想是解题的关键； 观察已知的式子结合方程组的两个方程的特点可让方程组中的两个相减，即可得到，即可得到关于m的不等式组，再进一步求解即可． 【详解】解：， ，得， ∵， ∴， 解得． 25. 2025年3月22日是“世界水日”，联合国确定今年“世界水日”主题为“冰川保护”，旨在呼唤全球关注冰川资源的保护及对水资源可持续利用的重要性．某校为了解全校1000个家庭的生活用水情况，随机抽样调查了本校50个家庭的月均生活用水量（单位：），数据如下：4.2，14.8，13.2，6.9，5.4，9.6，5.3，5.8，11.4，4.7，10.3，14.1，7.9，13.5，22.5，7.2，25.4，18.6，2.2，11.9，14.2，5.3，23.4，3.6，8.5，5.2，6.2，4.6，5.6，12.8，26.8，10.5，2.4，8.9，7.3，8.0，16.0，4.9，8.6，7.8，5.7，16.2，10.0，13.8，17.6，4.6，3.1，11.1，21.6，9.5． a．50个家庭的月均生活用水量的频数分布表： 用水量分组 频数 组别 2.0 16 A 6.0 12 B 100 m C 14.0 6 D 18.0 E 22.0 3 26.0 1 G b．50个家庭的月均生活用水量的频数分布直方图： c．50个家庭的月均生活用水量的扇形图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出频数分布表中的值：_______，_______； （2）补全频数分布直方图； （3）下列结论中，所有正确结论的序号是_______． ①月均生活用水量在范围的家庭数所占百分比为； ②月均生活用水量在范围的家庭数所占百分比超过； ③本校月均生活用水量在范围的家庭数约有60个． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）①② 【解析】 【分析】本题考查频数分布表和频率分布直方图； （1）数出落在和的数据个数解答即可； （2）根据m，n的值补全频数分布直方图即可； （3）根据月均生活用水量在范围的家庭数除以样本总数乘以判断①；利用月均生活用水量在范围的家庭数的和除以样本总数乘以判断②；利用样本中的占比乘以总学生数判断③解答即可． 【小问1详解】 解：落在的数据有个，故， 落在的数据有个，故， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图为： 【小问3详解】 解：①月均生活用水量在范围的家庭数所占百分比为，正确； ②月均生活用水量在范围的家庭数所占百分比超过，正确； ③本校月均生活用水量在范围的家庭数约有个，错误； 故答案为：①②． 26. 某校七年级525名师生一起去参观历史博物馆．已知客运公司有A，B两种型号客车可供租用，A型客车载客量为40人，B型客车载客量为56人，一辆A型客车的租金比一辆B型客车的租金少200元，2辆A型客车和5辆B型客车的租金共8000元． （1）每辆A型客车和每辆B型客车的租金分别是多少元？ （2）学校计划租用10辆客车，怎样租车最省钱？ 【答案】（1）每辆A型客车和每辆B型客车的租金分别是1000元和1200元； （2）租用型客车2辆，型客车8辆，最省钱 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题关键是明确题意，根据题目中的数量关系列出方程组或者不等式组． （1）每辆A型客车和每辆B型客车的租金分别是x元和y元，根据题意可以列出相应的方程组，解出即可求出答案； （2）设租用型客车辆，租用型客车辆，根据题意列出不等式然后求解，即可得出相应方案，然后计算费用即可． 【小问1详解】 解：每辆A型客车和每辆B型客车的租金分别是x元和y元， ， 解得，， 答：每辆A型客车和每辆B型客车的租金分别是1000元和1200元； 【小问2详解】 设租用型客车辆，租用型客车辆， 根据题意列出不等式： 解得： 共有两种租车方案， 方案一：租用型客车2辆，型客车8辆，费用为元， 方案二：租用型客车1辆，型客车9辆，费用为元， 方案三：租用型客车0辆，型客车10辆，费用为元， 由上可得，方案一：租用型客车2辆，型客车8辆，最省钱． 27. 已知直线与直线相交于两点，，点直线上一定点，点是射线上一动点（点不与点，点重合），连接，作，交直线于点（点不与点重合）． （1）直线与的位置关系是___________； （2）如图，若点在线段上，用等式表示与之间的数量关系，并证明； （3）若点在线段的延长线上，用等式表示与之间的数量关系． 【答案】（1）平行 （2），证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理； （1）根据同旁内角互补，两直线平行解答即可； （2）过点H作，根据平行公理可得，进而得到，，然后根据角的和差解答即可； （3）画出图形，分两种情况仿照（2）的解答过程得到结论即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：平行； 【小问2详解】 解：，理由为： 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 【小问3详解】 解：或． 理由为： 当点F在CD上靠近N左侧时， 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 当点F在CD上靠近N右侧时， 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于任意点，若点的坐标为，则称点是点的反2倍交换点．例如：点是点的反2倍交换点． （1）已知点的反2倍交换点为． ①当时，点的坐标为________； ②当点的坐标为时，的值为_______； （2）在长方形中，点，已知线段，点，，其中． ①若线段上存在点，使得点的反2倍交换点在长方形的内部，则点的坐标可以是________； ②若线段上任意点的反2倍交换点在长方形的边上或内部，则的最大值是________，m的取值范围是_________； ③将长方形沿轴方向平移个单位长度得到长方形，若线段上任意点的反2倍交换点都在长方形的边上或内部，且线段与长方形有交点，直接写出的取值范围是________． 【答案】（1）①；② （2）①；②1；；③ 【解析】 【分析】（1）①根据得出，再根据反2倍交换点定义求出点N的坐标即可； ②先求出点的反2倍交换点为，根据点的坐标为，得出，求出a的值即可； （2）①根据点的反2倍交换点在长方形的内部，在长方形的内部找出一个点，然后求出点S的坐标即可； ②先求出点，的反2倍交换点坐标分别为，，根据线段上任意点的反2倍交换点在长方形的边上或内部，得出点T的反2倍交换点的纵坐标，横坐标，从而求出，，即可得出答案； ③根据平移得出点，，，，根据线段上任意点的反2倍交换点都在长方形的边上或内部，得出，根据线段与长方形有交点，得出，再列出关于t的不等式，求出t的取值范围即可． 【小问1详解】 解：①当时，点， ∴点N的坐标为； ②点的反2倍交换点为， ∵点的坐标为， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：①∵点的反2倍交换点在长方形的内部， ∴点的反2倍交换点的坐标可以是 ∴此时点S的坐标为， 即点S的坐标可以是；（答案不唯一） ②∵点，的反2倍交换点坐标分别为，， ∴点T的反2倍交换点在线段上， ∵线段上任意点的反2倍交换点在长方形的边上或内部， ∴点T的反2倍交换点的纵坐标，横坐标， ∴，， 解得：，， ∴k的最大值为1； ③∵将长方形沿轴方向平移个单位长度得到长方形， ∴点，，，， ∵线段上任意点的反2倍交换点都在长方形的边上或内部， ∴， 解得：， ∵线段与长方形有交点， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形综合，求不等式组的解集，新定义运算，解题的关键是数形结合，熟练掌握坐标系内点的坐标特点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$