精品解析：吉林省长春市2022-2023学年高二上学期四县区四校期末联考数学试题

2022~2023学年度第一学期期末长春四县区四校联考 高二数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题意．） 1. 倾斜角为135°，在轴上的截距为1的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线斜率和截距即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为135°，所以斜率为-1.因为直线在轴上的截距为1，所以所求直线方程为，即. 故选：B 2. 若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线离心率计算公式，结合渐近线方程，可得答案. 【详解】由，则离心率，解得， 即渐近线方程为，代入可得，整理可得. 故选：D. 3. 已知等比数列中，，且，那么的值是（ ）. A. 15 B. 31 C. 63 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据已知求出的值即得解. 【详解】设等比数列的公比为， 由题得. 所以. 故选：B 4. 椭圆M的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆M于点A，B.若的周长为20，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆定义列出方程，求出a＝5，根据焦点坐标求出c＝3，，得到椭圆标准方程. 【详解】因为的周长为20，由椭圆定义可知：4a＝20，即a＝5， 又因为c＝3，所以， 所以该椭圆的标准方程为. 故选：B. 5. 已知数列是各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则（ ） A. 128 B. 127 C. 126 D. 125 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的知识求得数列的首项和公比，从而求得. 【详解】设等比数列的公比为，且，， ，， 所以，即 故选：C 6. 在正方体ABCD—中，异面直线AD，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体边长为1，则， 则， 设异面直线AD，所成角为， 则. 故选：D 7. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则到轴的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出的长度，然后列出方程即可得到结果. 【详解】由题意可知，不妨令在轴上方，准线与轴交点为,如图所示 因为点在C上，根据抛物线的定义可得，且，则, 所以等腰三角形，且,解得， 在中，,即即，解得，所以到轴的距离为. 故选：A. 8. 已知F是椭圆的一个焦点，若存在直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的性质可得四边形为平行四边形，可得，在三角形中有余弦定理及均值不等式可得离心率的取值范围． 【详解】解：连接，与左右焦点，的连线， 由，由椭圆及直线的对称性可得四边形为平行四边形，， 在三角形中，， 所以，即，当且仅当时等号成立，又直线的斜率存在，故， 即，可得， 所以椭圆的离心率. 故选：A． 二、多选题（本题共4个小题，每题5分，共计20分．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 已知直线，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线之间的距离为1 【答案】CD 【解析】 【分析】根据给定的直线的方程，结合各选项中的条件逐一判断作答. 【详解】依题意，直线，由解得：，因此直线恒过定点，A不正确； 当时，直线，而直线，显然，即直线不垂直，B不正确； 当时，直线，而直线，显然，即，C正确； 当时，有，解得，即直线， 因此直线之间的距离，D正确. 故选：CD 10. （多选）在等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（ ） A. B. C. D. 中的第506项是中的第2022项 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的首项和公差可判断C,根据，的关系可判断A,B,D. 【详解】因为，，所以，故C正确； 数列中项的序号被4除余3的项是第3项、第7项、第11项、…，所以，，故A正确，B错误； 对于D，设数列中的第k项是数列中的第m项，则，所以当时，，即数列中的第506项是中的第2023项，故D错误． 故选：AC 11. （多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 当最大时， C. 离心率为 D. 的最小值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】椭圆定义有，结合已知确定的最小值并确定此时的位置，即可判断D、B的正误，此时设，结合椭圆方程求短轴长，即可判断A、C的正误. 【详解】由题意知，所以． 因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确． 当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确． 由B的分析，不妨令，代入椭圆方程，得．又，所以，得， 所以椭圆的短轴长为，故A正确． 易得，所以，故C错误． 故选：ABD 12. 已知圆C：，直线l：，点P在圆C上，点Q在直线l上，则（ ） A. 直线l与圆C相交 B. 的最小值为 C. 到直线l的距离为1的点P有且只有2个 D. 从点Q向圆C引切线，切线的长的最小值是2 【答案】BC 【解析】 【分析】设圆心C到直线l的距离为d，则，圆的半径. 对于A：利用几何法判断直线l与圆C相离；对于B：利用几何法求出的最小值；对于C：利用几何法判断出圆上有2个点到直线的距离为1；对于D：先判断出要使切线长最小，只需最小，即可求解. 【详解】设圆心C到直线l的距离为d，则，圆的半径. 对于A：因为，所以直线l与圆C相离.故A错误； 对于B：由圆的几何性质可知：（此时，P在之间）. 对于C：设m：到直线l：的距离为1. 则，所以. 当时，直线m1：，此时圆心C到直线m1的距离为d1，则.此时到直线m1与圆C相离，没有交点； 当时，直线m2：，此时圆心C到直线m2的距离为d2，则.此时到直线m1与圆C相交，有2个交点，即圆上有2个点到直线的距离为1.故C正确； 对于D：过Q作出圆C的切线QS,连接CS，则. 所以切线长. 要使切线长最小，只需最小，即时，. 所以切线长的最小值为1.故D错误. 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分．其中第16小题第一空2分，第二空3分） 13. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，设，，，请用，，的线性组合表示______． 【答案】 【解析】 【分析】通过空间向量的加法和减法得到，从而表示出 【详解】因为 即 故答案为： 14. 若双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离是，则的离心率为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点到渐近线的距离求得，进而求得，从而求得双曲线的离心率. 【详解】依题意， 双曲线的一条渐近线为， 右焦点到渐近线的距离为， 故， 所以双曲线的离心率为. 故答案为： 15. 若经过点的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是___________． 【答案】1. 【解析】 【分析】先判断出点P在圆上，求出切线斜率，进而求出切线方程，即可求出纵截距. 【详解】把代入圆成立，所以点P在圆上. 设圆的圆心为C，由可得. 所以. 所以经过点的切线的斜率为1，所以切线方程为：. 当时，. 即切线在y轴上的截距是1. 故答案为：1. 16. 已知数列满足，记，则_____________；_____________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据题设中的递推关系可得，进而根据等差数列通项公式求解即可. 【详解】解：由题设可得， 又，，， 所以，， 所以，，即， 所以为等差数列，公差为，首项为 所以，． 故答案为：； 四、解答题（本题共6个小题，共计70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．） 17. 已知圆经过、、三点． （1）求圆的方程； （2）已知圆与圆外切于点，且圆心在直线上，求圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，将、、三点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，即可得出圆的方程； （2）分析可知圆心直线上，求出直线的方程，将直线的方程与直线的方程联立，求出圆心的坐标，以及圆的半径，进而可得出圆的方程. 【小问1详解】 解：设圆的方程为． 将、、三点坐标代入圆的方程可得，解得. 所以圆的方程为，即． 【小问2详解】 解：因为圆与圆外切于点，所以圆心直线上，圆心的坐标为， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 又点在直线上，联立，解得，即点， 所以，圆的半径为， 所以圆的方程为． 18. 已知等差数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列式计算即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 又，则等差数列公差 又， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 因为， 所以. 19. 已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线过点，且，利用抛物线的定义求解； （2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 由抛物线过点，且， 得 所以抛物线方程为； 【小问2详解】 由不过原点的直线：与抛物线交于不同两点， 设，联立 得， 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 则， ，即， 解得或， 又当时，直线与抛物线的交点中有一点与原点重合， 不符合题意，故舍去； 所以实数的值为. 20. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，计算后即可证明； （2）根据线面角的向量求法即可求解. 【小问1详解】 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 因为为棱的中点，为棱的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）得，， 设直线与平面所成的角为， 则. 21. 已知数列的前项和为. （1）证明：. （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得当时，两式相减即可求证； （2）由（1）数列奇数项与偶数项分别为等差数列，进而可求得通项公式. 【小问1详解】 证明： 当时，， 又，故可知 所以 【小问2详解】 解：由题意得： 当时，，又因为，故可知 由，可知数列的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差为，首项分别为：1，3 当时， 当时， 22. 如图所示，已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为为正三角形.过且垂直于的直线与交于两点，. （1）求椭圆的离心率； （2）求四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据图象可知：，因为为正三角形，进而得出的关系即可求解； (2)根据（1）将椭圆方程可化为，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用两点间距离公式求出的值，进而求出四边形的面积. 【小问1详解】 由图可知：， 因为为正三角形，所以，也即， 所以，所以椭圆的离心率为. 【小问2详解】 由（1）可知：，所以， 椭圆方程可化为：，直线的斜率为， 因为直线垂直于，所以，又因为直线过点, 所以直线的方程为：，设， 联立方程组：，整理可得：， 所以， 所以， 因为，所以，解得：， 所以四边形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022~2023学年度第一学期期末长春四县区四校联考 高二数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题意．） 1. 倾斜角为135°，在轴上的截距为1的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线（，）的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列中，，且，那么的值是（ ）. A. 15 B. 31 C. 63 D. 64 4. 椭圆M的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆M于点A，B.若的周长为20，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列是各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则（ ） A. 128 B. 127 C. 126 D. 125 6. 在正方体ABCD—中，异面直线AD，所成角余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则到轴的距离为（ ） A 3 B. 4 C. 6 D. 12 8. 已知F是椭圆的一个焦点，若存在直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（本题共4个小题，每题5分，共计20分．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 已知直线，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线之间的距离为1 10. （多选）在等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（ ） A. B. C. D. 中的第506项是中的第2022项 11. （多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 当最大时， C. 离心率为 D. 的最小值为3 12. 已知圆C：，直线l：，点P在圆C上，点Q在直线l上，则（ ） A. 直线l与圆C相交 B. 的最小值为 C. 到直线l的距离为1的点P有且只有2个 D. 从点Q向圆C引切线，切线的长的最小值是2 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分．其中第16小题第一空2分，第二空3分） 13. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，设，，，请用，，的线性组合表示______． 14. 若双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离是，则的离心率为____. 15. 若经过点的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是___________． 16. 已知数列满足，记，则_____________；_____________． 四、解答题（本题共6个小题，共计70分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．） 17. 已知圆经过、、三点． （1）求圆方程； （2）已知圆与圆外切于点，且圆心在直线上，求圆的方程. 18. 已知等差数列的前n项和为，，且. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 19. 已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，且. （1）求抛物线的方程； （2）不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，若，求的值. 20. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 21. 已知数列的前项和为. （1）证明：. （2）求数列通项公式. 22. 如图所示，已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为为正三角形.过且垂直于的直线与交于两点，. （1）求椭圆的离心率； （2）求四边形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$