精品解析：云南省玉溪市玉溪师范学院附属中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

玉溪师院附中2026届高二下学期校二测考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150 出题人：王浩川 审题人：范晓艳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 使不等式成立一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. 3 C. D. -3 6. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环境保护意识日益增强，贵州某家化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，贵州省环保部门为了保护好贵州优越的生态环境，要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据：，） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 设，且，则最大值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 8. 已知直线与圆相交于两点，若的面积为50，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性较强 B. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为8 C. 相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D. 已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数 10. 已知的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是（ ） A. 二项展开式中各项系数之和 B. 二项展开式中二项式系数最大的项为第四项 C. 二项展开式中有3个有理项 D. 二项展开式中系数最大的项为 11. 已知直三棱柱中，，点分别为棱的中点，是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直三棱柱外接球的半径为2 B. 三棱锥的体积与的位置无关 C. 若为的中点，则过三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形 D. 一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则_____________． 13. 已知的内角，，的对边为，，，的面积为，且，，则的周长为______. 14. 设是双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点、，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并计算这200名市民评分的平均值； （2）用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望. 16. 数列的前项和为，且，在等差数列中，． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别是，中点． （1）求证：平面； （2）当，求异面直线与所成角正弦值． 18. 已知函数在处的切线方程为，其中e为自然常数. （1）求、的值及的最小值； （2）设，是方程（）的两个不相等的正实根，证明：. 19. 在平面直角坐标系中，已知是轴上的动点，是平面内的动点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点，且恰好在轴上，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线方程 （2）过点的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点，设线段的中点为，求证：点在曲线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪师院附中2026届高二下学期校二测考试数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150 出题人：王浩川 审题人：范晓艳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的运算求解. 【详解】∵，∴， 故选：C. 2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 由题,利用除法法则整理为的形式,即可得到复数的坐标形式,进而求解即可 【详解】由题,,所以在复平面内对应的点为, 故选:A 【点睛】本题考查复数的坐标表示,考查复数在复平面的位置,考查复数的除法法则的应用 3. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】 求出不等式成立的一个充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可. 【详解】根据一元二次不等式的解法，解， 可得或， 故使或成立的一个充分不必要条件是， 故选：A. 4. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：D 5. 若，则（ ） A. B. 3 C. D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和与差的余弦公式展开，弦化切后解出即可. 【详解】因为， 所以， 解得：， 故选：C. 6. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环境保护意识日益增强，贵州某家化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，贵州省环保部门为了保护好贵州优越的生态环境，要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据：，） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设该污染物排放前需要过滤的次数为，则由题意得，解不等式可得答案. 【详解】设该污染物排放前需要过滤的次数为，则由题意得 ，即， 所以，， ， 所以， 因为，，所以， 所以， 因为，所以的最小值为8， 故选：B 7. 设，且，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，然后利用二次不等式求解的范围. 【详解】由，由， 得，当且仅当时，取等号， 解不等式，得， 所以的最大值为4. 故选：C. 8. 已知直线与圆相交于两点，若的面积为50，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的一般方程得到圆的圆心和半径，设圆心到直线的距离为，用表示出的面积，由面积为50解出，再结合点到直线的距离公式解出的值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，则， 所以的面积，解得. 又，所以，化简，得，解得. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，，则A组数据比B组数据的相关性较强 B. 若样本数据方差为2，则数据的方差为8 C. 相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D. 已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据相关系数的性质可得；对于B：根据方差的性质可得；对于C：根据决定系数的性质可得；对于D：根据百分数的定义可得. 【详解】对于A：因为，故B组数据比A组数据的线性相关程度更强，A错误； 对于B：若样本数据的方差为2， 则数据的方差为，B正确； 对于C：若相关指数的值越接近于1，则表示回归模型的拟合效果越好， 相关指数的值越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差，C正确； 对于D，设原本数据从小到大为， 因为，所以原样本数据的分位数为， 去掉最大值和最小值后剩余数据按从小到大排列为， 因为，所以剩下28个数据的分位数为，故不一样，D正确. 故选：BCD. 10. 已知的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是（ ） A. 二项展开式中各项系数之和为 B. 二项展开式中二项式系数最大的项为第四项 C. 二项展开式中有3个有理项 D. 二项展开式中系数最大的项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由二项展开式中二项式系数之和为64求出，再得出通项，令可得A正确；由组合数的性质可得B正确；令为整数，可得C错误；令，可得D正确； 【详解】因为的二项展开式中二项式系数之和为64， 所以，所以二项式为， 通项为， A：令，可得二项展开式中各项系数之和为，故A正确； B：当时，二项式系数最大，即第四项，故B正确； C：令为整数，解得，所以有4个有理项，故C错误； D：因为通项为， 所以项的系数为，， 经检验，时，项的系数最大,为，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知直三棱柱中，，点分别为棱的中点，是线段上（包含端点）的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直三棱柱外接球的半径为2 B. 三棱锥的体积与的位置无关 C. 若为的中点，则过三点的平面截三棱柱所得截面为等腰梯形 D. 一只虫子由表面从点爬到点的最近距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助长方体判断A；利用等体积法判断B；通过中位线证明截面为梯形，利用勾股定理求出两腰，进而判断C；分情况讨论，比较最短距离，可判断D. 【详解】对于A，因为，三棱柱为直三棱柱， 如图，故该三棱柱为长方体的一半，如图： 所以直三棱柱外接球即为长方体外接球， 因为， 所以其外接球半径为，故A正确； 对于B，如图： ， 因为分别为的中点，所以， 又点在上，所以到的距离为定值， 故的面积为定值，故三棱锥的体积与的位置无关，故B正确； 对于C，如图，连接， 因为分别为的中点， 所以，且， 又因为，且，所以，且， 过三点的平面截三棱柱所得截面为梯形， 又， 所以，所以， 所以,所以， 所以四边形不是等腰梯形，故C错误； 对于D，若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图1，则爬过的最小距离：为； 若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图2，则爬过的最小距离为：； 若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图3，则爬过的最小距离为：， 若一只虫子由表面从点经过爬到点，如图4， 过作，交于点， 因为为中点，所以 ，所以， 在中，则爬过的最小距离为： ， 故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键要找出虫子的几条路线，然后分别求最短距离. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性即可求解． 【详解】由正态曲线的对称性可知，，， 所以，． 故答案为：． 13. 已知的内角，，的对边为，，，的面积为，且，，则的周长为______. 【答案】6 【解析】 【分析】利用余弦定理及三角形面积公式计算即可. 【详解】∵，∴ ∴，∴ ∴ ∵，∴， ∵ ∴，∵，， 又， ∴是边长为2的等边三角形， ∴的周长为6. 故答案为：6 14. 设是双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点、，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设为双曲线的左焦点，由题意画出图形，由已知结合双曲线的定义求解，，再由余弦定理列式求解双曲线的离心率即可． 【详解】设为双曲线的左焦点，如图所示， 由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， ∴，， 而，所以， 由双曲线的定义可知，， ∴，， ∵，∴， 在中，由余弦定理知， 即，化简得， ∴（负值舍去）． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并计算这200名市民评分的平均值； （2）用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1）；平均分为分 （2）分布列答案见解析，期望为1 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为1计算即可；（2）根据二项分布概率公式计算列的分布列，数学期望计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，， 由，解得， （分）. 【小问2详解】 评分在90分以上的频率为，用频率作为概率的估计值，现从该城市中随机抽取4人可以看成二项分布，, 的所有可能取值为0，1，2，3，4， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 4 . 16. 数列的前项和为，且，在等差数列中，． （1）求数列和通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用与之间的关系可得数列的通项公式；利用等差数列的通项公式列方程组可得数列的通项公式. （2）利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 当时，，即； 当时，由得， 则两式相减得，即，， 综上可知，是首项，公比的等比数列， 则，即. 设等差数列的公差为，则， 即，解得， 所以，即. 故，. 【小问2详解】 由（1）知，， 则①， ②， ①②得， 整理得 ， 即，所以. 17. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）当，求异面直线与所成角正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，结合，即可得证； （2）取的中点，连接、，即可证明，从而得到为异面直线与所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 在三棱柱中，侧棱垂直于底面， 即平面，平面，所以， 又，，平面， 平面． 【小问2详解】 取中点，连接、， 因为，分别是，的中点， 所以且，且， 故得且，所以四边形为平行四边形， 所以，故异面直线与所成角， 又，则， 由（1）平面，平面，故， 因，则， 又，所以， 故异面直线与所成角的正弦值为. 18. 已知函数在处的切线方程为，其中e为自然常数. （1）求、的值及的最小值； （2）设，是方程（）的两个不相等的正实根，证明：. 【答案】（1）、，的最小值为 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义可得，，计算即可得、，结合导数讨论单调性后即可得的最小值； （2）构造函数，借助导数研究单调性后结合函数零点的存在性定理，可得与在函数的两个零点之间，即可得证. 【小问1详解】 ， 由题意有及， 由可得，则，即， 故、，则， ， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故有最小值； 小问2详解】 令，，， 则， 则当，即时，， 当，即时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故 ， 由，故， 又，当时，， 故有两个零点，不妨设两零点，有， 又， 由，故， 则，故. 【点睛】关键点睛：本题需观察出，即可尝试构造函数后，结合零点的存在性定理研究与是否在函数的两个零点之间. 19. 在平面直角坐标系中，已知是轴上的动点，是平面内的动点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点，且恰好在轴上，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程 （2）过点的直线与曲线交于两点，直线与直线分别交于点，设线段的中点为，求证：点在曲线上． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）解法一：设，，则．易知不符合题意，当时利用垂直直线斜率之积为-1计算即可求解； 解法二：在射线上另取一点使，根据全等三角形的性质可得，结合抛物线的定义即可求解； （2）解法一：设l方程，联立抛物线方程，设，，，，利用韦达定理表示，进而对化简计算求出G，即可证明. 解法二：设l方程，联立抛物线方程得，则，是该方程的两根，从而，即可求解. 【小问1详解】 解法一 设，，则． 由点在轴上，得，则，， 因为，若，则，点，重合，不合题意； 若，则，即． 所以曲线的方程是． 解法二 在射线上另取一点，使，连接， 又，所以点在直线上， 易知≌，所以垂直于直线， 连接，则，显然点不能在轴上，即， 故由抛物线的定义知，曲线的方程是． 【小问2详解】 解法一 设，与联立，消去， 得，则，得， 设，，则，， 设直线，的方程分别为，，，， 则 ， 所以点的纵坐标为，故点的坐标为， 显然点的坐标满足方程，故点在曲线上. 解法二 设，因为直线过点，所以， 由，得． 设，，直线，的方程分别为，，，， 则，是上面关于的方程的两根， 即直线，的斜率，是关于的方程的两根， 所以，从而， 所以点的纵坐标为，故点的坐标为， 显然点的坐标满足方程，故点在曲线上． 【点睛】易错点点睛：本题考查了抛物线方程的求法以及直线和抛物线位置关系的应用，易错点在于运算基本都是字母参数的运算，要特别注意，很容易出现计算错误. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $