精品解析：山东省淄博市2024-2025学年高一下学期教学质量检测数学试题

2024-2025学年度第二学期高一教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由复数的乘法运算把给出的复数化简为的形式，则复数的虚部可求． 【详解】因为，虚部为. 故选：B. 2. 按从小到大排列的一组数据90，92，92，93，93，94，95，96，99，100的80%分位数为（ ） A. 96 B. 96.5 C. 97 D. 97.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算. 【详解】这组数据共10个数，， 所以80%分位数为第8个、第9个数据的平均数，即. 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式和二倍角的余弦公式化简可得结果. 【详解】. 故选：A. 4. 在中，，点平分线段．设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，，再由，化简即可求解. 【详解】因为，即， 又点平分线段， 所以. 故选：D. 5. 已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，高为4，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆台的母线长，再由圆台侧面积公式计算即得. 【详解】由圆台上下底面圆的半径分别为高为， 可求得母线长为. 则 . 故选：D. 6. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，设正方体棱长为，则为异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理求解. 【详解】 取的中点，连接，设正方体棱长为， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，则为异面直线与所成角或其补角， 由 所以. 故选：B 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得， 又因为，所以． 故选：B． 8. 已知函数，若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对进行化简，再根据三角函数的平移规律得到的表达式，结合函数图象分析在上有两个不相等实根时的取值范围. 【详解】 则 将向左平移个单位，得： 再向上平移个单位，得 当时， 令，则 方程即 作出函数在的图象： 要使有两个解，结合图象可知，解得， 因此，当时，有两个不等实根. 故选：C. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为2 B. 若，则的值为 C. 若与的夹角为锐角，则 D. 若，则与的夹角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量的坐标运算可逐项判断. 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，与的夹角为锐角，所以， 又时，与的夹角为0， 所以与的夹角为锐角，，故C错误； 对于D，，，，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知一组样本数据的方差，则（ ） A. 这组样本数据的平均数为2 B. 数据的方差为 C. 若的平均数为1，方差为10，的平均数为3，方差为6，则的方差为9 D. 现构造新的样本数据，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据方差意义可求平均数，即可对A判断；由方差的性质可对B判断；根据分层的方差再结合总体方差的求法即可对C判断；利用方差变形公式求出新的方差，即可对D判断. 【详解】A：由题知根据方差的求解公式，可得，故A正确； B：由数据的方差为，根据方差的性质可得数据的方差为，故B正确； C：由A知总体平均数为，若的平均数为1，方差为10，的平均数为3，方差为6， 则由公式，可得，故C正确； D：原数据的平均数为，设新数据的平均数为，并设新数据的方差为， 则由方差公式可得 ，故D错误； 故选：ABC. 11. 已知正方体的棱长为4，，分别是棱，上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 若平面与平面的交线为，则 C. 若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则 D. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据正方体的体对角线长即外接球的直径计算即可排除；对于B，先证平面，再由线面平行的性质易得结论；对于C，取的中点，的中点，由得到，，即得即为平面与平面所成二面角的平面角，计算即可判断；对于D，连接，，证明四边形为菱形，且为平面截正方体所得的截面，即可计算判断. 【详解】正方体的外接球的半径，∴正方体的外接球的表面积为，故A错误； 在正方体中，∵，， ∴四边形为平行四边形，∴. 又因平面，平面，∴平面. 因平面，平面平面，∴，故B正确； 取的中点，的中点，连接，易得，∴，. 又，∴，，∴即为平面与平面所成二面角的平面角. ∵分别为的中点，∴，则有平面. 又平面，∴，∴，故C正确； 连接，.∵，分别是棱的中点， ∴.易得与全等， 故，，∴，， ∴四边形为菱形，且为平面截正方体所得的截面， 故截面面积为，故D正确. 故选：BCD. 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式直接计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以在上的投影向量为. 故答案为： 13. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】， 又函数在单调递增， 所以，解得. 故答案为：. 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的中线的最大值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得，，利用向量的模长公式可求，根据二次型函数求最值即可 【详解】 ， 即，即，又，所以， 又的中线，所以， ， 又为锐角三角形，所以，， 即时，. 故答案为： 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数； （2）将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数. 【答案】（1）x＝0.06，60 （2）A组3人；B组2人；C组1人 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求解x；求出身高在170cm及以上的频率，利用频数=样本容量×频率可得. （2）根据分层抽样的相关运算进行求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知5×（0.07＋x＋0.04＋0.02＋0.01）＝1， 解得x＝0.06， 身高在170 cm及以上的学生人数为100×5×（0.06＋0.04＋0.02）＝60. 【小问2详解】 A组人数为100×5×0.06＝30，B组人数为100×5×0.04＝20，C组人数为100×5×0.02＝10， 由题意可知A组抽取人数为30×＝3，B组抽取人数为20×＝2，C组抽取人数为10×＝1， 故A，B，C三个组分别抽取的学生人数为3，2，1. 16. 已知函数的部分图像如图所示， （1）求解析式； （2）求函数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图可知，根据即可求解的值.再结合函数图象过和的范围即可求解解析式； （2）由（1）知，根据二倍角公式及两角和差的余弦公式、辅助角公式化简可得，即可求解. 【小问1详解】 由图可知，∴，∴，∴. 又，∴，∴，∴. 又，∴，，∴. 【小问2详解】 由（1）知，∴ . ∴当，即时，函数的最大值，最大值为. 17. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，. （1）求证：平面 （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明：因为，且为直角三角形，所以， 由直三棱柱定义可知，平面，因为平面，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据“堑堵”定义可得，然后利用线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理可证； （2）记的中点为，证明为二面角的平面角，然后可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，因为平面，所以，， 因为，所以， 记的中点为，则， 所以为二面角的平面角， 因为平面，因为平面，所以， 因为， 所以，即二面角的正切值为. 【点睛】 18. 如图，平面内四点，，，，满足，，. （1）若，， （i）求的面积； （ii）求； （2）若，，求. 【答案】（1）（i）（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）在直角中，可求，，再得到，利用三角形面积公式即可求解；（ii）根据余弦定理可解； （2）设，利用正弦定理及三角恒等变换化简可得，即可求解. 【小问1详解】 （i），，， ，又，所以，， . （ii）， 所以. 【小问2详解】 ，设，则,, 在中，由正弦定理可得，即， 所以，即, 所以,即， 因为，所以，所以， . 19. 如图，在三棱锥中，，，，，，，，的中点分别为，，，，， （1）证明：平面； （2）证明：平面，并求与平面所成的角的正弦值； （3）若，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解； （3） 【解析】 【分析】（1）根据重心的性质可证，再利用线面平行的判定即可证明； （2）根据边长，利用勾股定理可证，，根据线面垂直的判定即可证平面，由线面角的定义可知就是与平面所成的角，接着求正弦值即可； （3）过作交延长线于，先证平面，再证平面，即为三棱锥的高，根据锥体体积公式计算即可. 【小问1详解】 证明：设相交于点，相交于点， ，，，的中点分别为，，，， 所以分别为的重心， 所以，，同理可得， 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 证明：由（1）知分别为的重心， 在中，，，所以， ，， ，，即， 在中，， ，即，又，所以， 又平面， 所以平面， 即平面，所以就是与平面所成的角， ， 即与平面所成的角的正弦值. 【小问3详解】 过作交延长线于， 是中点，，， 又是中点，所以， 又，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面，即为三棱锥的高， ，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期高一教学质量检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 按从小到大排列的一组数据90，92，92，93，93，94，95，96，99，100的80%分位数为（ ） A. 96 B. 96.5 C. 97 D. 97.5 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，点平分线段．设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，高为4，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A＝（ ） A. B. C. D. 或 8. 已知函数，若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为2 B. 若，则的值为 C. 若与的夹角为锐角，则 D. 若，则与的夹角的余弦值为 10. 已知一组样本数据的方差，则（ ） A. 这组样本数据的平均数为2 B. 数据的方差为 C. 若的平均数为1，方差为10，的平均数为3，方差为6，则的方差为9 D. 现构造新的样本数据，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差 11. 已知正方体的棱长为4，，分别是棱，上的点（不包括端点），且，则下列说法正确的是（ ） A. 正方体的外接球的表面积为 B. 若平面与平面的交线为，则 C. 若平面与平面所成的二面角为，的面积为，则 D. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为_____. 13. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为_____. 14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的中线的最大值为_____. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 15. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数； （2）将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数. 16. 已知函数的部分图像如图所示， （1）求解析式； （2）求函数的最大值. 17. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，. （1）求证：平面 （2）求二面角的正切值. 18. 如图，平面内四点，，，，满足，，. （1）若，， （i）求的面积； （ii）求； （2）若，，求. 19. 如图，在三棱锥中，，，，，，，，的中点分别为，，，，， （1）证明：平面； （2）证明：平面，并求与平面所成的角的正弦值； （3）若，求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $