安徽省六安第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

六安一中2025年春学期高二年级期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分:150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则集合（     ） A． B． C． D． 2．随机变量,若,则（ ） A．0.1 B．0.5 C．0.2 D．0.1 3． 已知函数是奇函数，则实数a的值为（ ） A.0 B.1 C. D. 0.5 4．函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 5．约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示159这个数就是237．现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为（     ） A．3 B．4 C．7 D．5 6．设函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若关于x的方程有三个不同的实数解，实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8．定义在上的函数满足，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9.下列结论正确的是（ ） A．对于两个分类随机变量X,Y,利用进行独立性检验时，的值越小，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于0 D．用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 10．已知函数（ ） A． B． C．用表示不大于的最大整数，若，则 D．若方程无解，则的取值范围是 11．已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列成立的有（     ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若命题，，则该命题的否定是 . 13．已知实数满足 . 14．一个箱子里有五个球，分别以1-5编号，若有放回的取四次，每次取一个，记至少取出一次的球的个数为X，则P(X=2)= . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 为了解消费者对新能源汽车续航里程和充电设施的满意率，随机调查了200名新能源汽车车主，得到如下数据： 对续航里程满意 对续航里程不满意 对充电设施满意 80 30 对充电设施不满意 40 50 （1）任意调查一名新能源汽车车主，设事件“该车主对续航里程满意”为A，事件“该车主对充电设施满意”为B，求和； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关？ 附： α 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（本小题满分15分） 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 17．（本小题满分15分） 2025年春晚舞台上，机器人扭秧歌表演成为一大亮点．现统计出机器人Unitree A1在某地区2024年2月至6月的销售量，数据如下表： 月份 2 3 4 5 6 销售量 45 55 70 110 用最小二乘法得到Unitree A1的销售量关于月份的回归直线方程为，且相关系数，销售量的方差． （1）求的值（结果精确到0.1）； （2）（i）求的值； （ii）现从这5个月份中随机抽取3个月份，设抽取到销售量大于60的月份个数为，求的分布列和方差． 附：回归系数，相关系数， 18．（本小题满分17分） 已知函数的定义域为，对任意，都有，并满足对任意，当时，都有． （1）求的值，判断的奇偶性并给出证明； （2）解不等式：； （3）记表示中较大的值，若对，都有 求实数的取值范围. 19．（本小题满分17分） 甲、乙两个不透明的口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的若干个小球，已知甲口袋有个红球和4个白球，乙口袋有个红球和2个白球.现在小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. （1）当时. （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个红球的概率; （ii）设小明4次摸球中，摸出红球的个数为X，求X的分布列和数学期望； （2）当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？ 六安一中2025年春学期高二年级期末考试 数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C A D C D A B ABD AC ACD 三、填空题 12． 13． 1 14． 3、 解答题 15．（1）依题意，， （2） 由已知数据得， 而，则依据小概率值的独立性检验， 可以认为消费者对续航里程的满意率与对充电设施的满意率有关，且此推断犯错误的概率不会超过0.01 16．（1）2 （2）函数在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值 【详解】（1）因为．所以． 由题意．所以； 所以所以切线方程为 （2）因为．所以． 由；由． 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以当时，函数取得极小值，且，无极大值． 17．（1） （2）（i）；（ii）分布列见解析， （1）由表得，. 由，得. ， ， . （2）（i）回归直线过样本中心点，且，. 即，解得. （ii） 所以 18．（1）为偶函数，证明见解析；（2）；(3). 【详解】（1）为偶函数，证明如下，因为的定义域是，关于原点对称， 令，则，所以， 令，则，所以，所以为偶函数. （2）不妨设，由，得， 则在上单调递增，又是定义在上的偶函数. 所以在上单调递减. 则可变形为， 则，解得. 故所求不等式解集为. （3）由（1）（2）知， ，令， 当时，；当时，恒成立，故. 因为，当且仅当时等号成立，故. 综上，实数的取值范围是. 19．(1)（i）；（ii）分布列见解析，. (2)时，P最大. 【详解】（1）（i）设事件：小明4次摸球中，至少摸出1个红球， 则. （ii）由题可知，可能的取值为， 甲口袋每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为， 乙口袋每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为， 分布列如下， 0 1 2 3 4 所以. （2）小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率P， 因为， 所以， 令，则， 所以当时，；当时，； 所以函数在单调递增，单调递减， 所以当，即时，P最大，最大值为. 3 学科网（北京）股份有限公司 $$