《1.4线段垂直平分线与角平分线（一）》导学案 暑假预习手册9--2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册9-《1.4线段垂直平分线与角平分线（一）》 ( 一、 预习 目标 1.理解线段垂直平分线的概念，掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。 2.能够运用线段垂直平分线的性质定理和逆定理进行简单的推理、计算和证明。 3.通过自主探究、合作交流等活动，培养观察、分析、归纳和逻辑思维能力。 ) ( 一、 预习内容 （一） .线段垂直平分线的定义： 1.定义： 经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。例如，对于线段AB，直线 l 过AB中点C，且M l ⊥ AB ，那么 直线 l 就是线段AB的垂直平分线。 2. 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （二） 线段垂直平分线的性质定理： 【 讨论探究 】 1.在一张纸片上画线段AB,折叠纸片,使两个端点A与B重合,展开纸片. (1)指出折痕与线段AB的关系; (2)结合(1)回答下列问题:线段是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? 解:(1)折痕所在的直线垂直平分线段AB,也就是线段AB的垂直平分线. (2)线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴. 2.(1)在[讨论探究]1中的折痕上任意取不在AB上的一点P,连接PA,PB,度量PA,PB,你发现了什么?沿刚才的折痕翻折纸片,验证你的结论; (2)由(1)你能得出什么结论,请用文字语言描述; (3)请证明(2)中得出的结论(画出图形,写出已知、求证和证明). 解:(1)度量PA,PB可以发现PA=PB.沿刚才的折痕翻折纸片,发现PA与PB重合. (2)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. (3)已知:如图所示,l是线段AB的垂直平分线,垂足为D,P为直线l上一点.求证:PA=PB. 证明:由题意,得PD ⊥ AB,AD=BD. ∴∠ PDA= ∠ PDB=90 ° . ∵ PD=PD, ∴△ PDA ≌△ PDB, ∴ PA=PB. 【 概括新知 】 性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 【用数学语言】 若直线MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上，则PA = PB 。 ) ( 3.线段的垂直平分线外的点到线段两端的距离还相等吗?为什么? 解:线段的垂直平分线外的点到线段两端的距离不相等. 理由如下:如图,l为线段AB的垂直平分线,当点P在l右侧时,设PA交l于点Q,连接QB,PB.因为点Q在AB的垂直平分线上,所以QA=QB.于是PA=PQ+QA=PQ+QB>PB.当点P在l左侧时,同理可得PB>PA.综上所述,线段垂直平分线外的点到线段两端的距离不相等. （三）线段垂直平分线的判定定理： 【 讨论探究 】 如果把 “ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ” 的条件与结论互换,我们得到: “ 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ” .请分析这个结论是否正确.(画出图形,写出已知、求证和证明) 解:分两种情况证明 (1)如图,若点Q在线段AB上,且QA=QB,求证:点Q在线段AB的垂直平分线上. 证明:因为QA=QB,则Q是线段AB的中点,则点Q在线段AB的垂直平分线上. (2)若点Q在线段AB外,且QA=QB.求证:点Q在线段AB的垂直平分线上. 证明:如图,过点Q作QM ⊥ AB,垂足为M,则 ∠ QMA= ∠ QMB=90 ° . 在Rt △ QMA和Rt △ QMB中, ∴ Rt △ QMA ≌ Rt △ QMB(HL), ∴ AM=BM, ∴ 点Q在线段AB的垂直平分线上,即到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 【 概括新知 】 判定定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 【用数学语言】 若PA = PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 （四）深入理解： 1 . 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 。 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 因此， 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 2. 判定定理和性质定理之间联系和区别？ （1） 区别 ： 性质定理是已知某条直线是线段的垂直平分线，可直接得出线上点到线段两端的距离相等，用于 “ 由线推点 ” 。 判定定理是已知某点到线段两端的距离相等，可判定该点在这条线段的垂直平分线上，用于 “ 由点推线 ” 。 （2） 联系 ： ① 互为逆定理：性质定理和判定定理的条件与结论相互颠倒，二者互为逆命题，且均为真命题。 ② 共同基础：都围绕线段垂直平分线与 “ 点到线段两端距离 ” 的关系展开，用于解决几何中线段相等、直线垂直平分等问题。 ) ( （五） 线段垂直平分线的 画法 ： 1．利用网格线画线段PQ的垂直平分线． 2. 尺规作线段的垂直平分线 (1)分别以点 A,B 为圆心, 大于 AB 为半径画弧,两弧相交于点C,D;   (2)过C,D两点作直线. 直线CD就是线段AB的垂直平分线. （六） 三角形三边垂直平分线： 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，观察它们的交点位置。 三角形三边中垂线都相交于一点.且锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部，直角三角形三边的垂直平分线的交点在是斜边的中点，钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部. 例：已知:如图,在 △ ABC中,AB,AC的垂直平分线l 1 ,l 2 相交于点O.求证:点O在BC的垂直平分线上. 证明:连接OA,OB,OC.如图. ∵ 点O在AB的垂直平分线l 1 上, ∴ OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).同理OA=OC. ∴ OB=OC, ∴ 点O在BC的垂直平分线上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 【归纳】 三角形三边垂直平分线的性质： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心，且外心到三角形三个顶点的距离相等。 例：如图,AB=AD,CB=CD,AC、BD相交于点E.你能在图中找到哪些相等的角?如何证明? 解： (1)全等三角形有 △ ABC ≌△ ADC, △ ADE ≌△ ABE, △ CDE ≌△ CBE,共3对全等的三角形; 证明: △ ABC ≌△ ADC在 △ ABC和 △ ADC中 ∵ AC=AC AB=AD CB=CD ∴ △ ABC ≌△ ADC (SSS) 我们把两组邻边分别相等的四边形叫作 “ 筝形 ” 。 ) ( 三．经典例题 例 1.如图,△ABC的边AB的垂直平分线DE交AB于D,交AC于E,且BC=BD=2,则△BCE的周长C不可能是(　　) A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8 【 答案】 D　 【 解析】 因为直线DE是AB的垂直平分线,所以AE=BE, AD=BD=2,所以△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC,AB=AD+BD=2+2=4,所以4-2<AC<4+2,即2<AC<6,所以△BCE的周长C的取值范围是4<C<8.故选D. 例2. 如图，在 △ ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若 ∠ BAC＝114 ° ，则 ∠ EAF为（　　） A．40 ° B．44 ° C．48 ° D．52 ° 【 答案】C 【解析】 在 △ ABC中， ∠ BAC＝114 ° ，则 ∠ B+ ∠ C＝180 °﹣∠ BAC＝180 °﹣ 114 ° ＝66 ° ， ∵ EG是AB的垂直平分线， ∴ EA＝EB， ∴∠ EAB＝ ∠ B，同理： ∠ FAC＝ ∠ C， ∴∠ EAB+ ∠ FAC＝ ∠ B+ ∠ C＝66 ° ， ∴∠ EAF＝ ∠ BAC ﹣ （ ∠ EAB+ ∠ FAC）＝114 °﹣ 66 ° ＝48 ° ，故选：C． 例3. 如图,在△ABC中,AB=5,AC=7,直线DE垂直平分BC,垂足为E,交AC于点D,则△ABD的周长是 　　　　 .  【 答案 】 12 【 解析 】 ∵DE垂直平分BC,∴DB=DC.∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=12. 例4 .如图,AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于点O.若BD=6 cm,则OD=＿＿＿＿cm.  【 答案 】 3 【 解析 】 　∵AB=AD,CB=CD,∴AC所在直线是线段BD的垂直平分线,∴OD= BD= ×6=3 cm. 例5. 如图用直尺、圆规将线段AB四等分,并写出作图步骤(保留作图痕迹). 解:步骤:(1)分别以点A,B为圆心,大于1/2AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N; (2)连接MN与AB相交于点C,C就是AB的中点; (3)用同样的方法,再找出AC的中点E和CB的中点F.这样点E,C,F就把线段AB四等分.如图 . ) ( 例6 .如图,在△ABC中,AB的垂直平分线l 1 交AB于点M,交BC于点D,AC的垂直平分线l 2 交AC于点N,交BC于点E,l 1 与l 2 相交于点O,△ADE的周长为10.请你解答下列问题: (1)求BC的长; (2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上,并说明理由. 解 ： (1)∵l 1 垂直平分AB,∴DB=DA,同理EA=EC,∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=10. （ 2） 点O在边BC的垂直平分线上.理由如下:连接AO,BO,CO.∵l 1 与l 2 是AB,AC的垂直平分线,∴AO=BO,CO=AO,∴OB=OC,∴点O在边BC的垂直平分线上. 例7 .已知:如图,AB=CD,线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E.求证:∠ABE=∠CDE. 证明 　如图,连接AE、CE.∵AC、BD的垂直平分线相交于点E,∴AE=CE,BE=DE. 在△ABE和△CDE中, ∴△ABE≌△CDE(SSS),∴∠ABE=∠CDE. 例8 ．如图， △ ABC中， ∠ BAC＝105 ° ，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求 ∠ DAF的度数； （2）如果BC＝8，求 △ DAF的周长． 解：（1） ∵ DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线， ∴ DA＝DB，FA＝FC， ∴∠ DAB＝ ∠ B， ∠ FAC＝ ∠ C， ∵∠ BAC＝105 ° ， ∴∠ B+ ∠ C＝180 °﹣∠ BAC＝75 ° ， ∴∠ DAF＝ ∠ BAC ﹣∠ DAB ﹣∠ FAC＝ ∠ BAC ﹣ （ ∠ B+ ∠ C）＝105 °﹣ 75 ° ＝30 ° ； （2） ∵ DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线， ∴ DA＝DB，FA＝FC， ∴△ DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+CF＝BC＝8． 例9 . 如图所示 ， 在 △ABC 中 ，BC 的垂直平分线 EF 交 ∠ABC 的平分线 BD 于 E， 若 ∠BAC＝60°，∠ACE＝24°， 则 ∠BEF 的度数是多少 ？ 解：∵EF 是 BC 的垂直平分线 ，∴∠BFE＝90°，EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵BD 平分 ∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB，∵∠BAC＝60°，∠ACE＝24°， ∴∠ABD＋∠DBC＋∠ECB＝180°－∠BAC－∠ACE＝96° ，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB＝32°，∴∠BEF＝90°－∠EBC＝58°. ) ( 四．基础过关 （一）选择题 1.如果三角形三边垂直平分线的交点在某一边上,那么这个三角形是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 【 答案】 C 【解析】　直角三角形三边垂直平分线的交点是其斜边的中点.故选C. 2. 已知A,B,C三点不在同一直线上,若点P满足PA=PB=PC,则平面内这样的点P有(　 A ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【 答案】A 【解析】满足PA=PB=PC的点P即三角形ABC三边垂直平分线的交点,只有一个.故选A 3.如图,已知直线MN为 △ ABC的边BC的垂直平分线,若AB,AC两边的垂直平分线相交于点O,当顶点A的位置移动时,点O在 (　　) A.直线MN上 B.直线MN的左侧 C.直线MN的右侧 D.直线MN的左侧或右侧 【 答案】A 【解析】 由题意可知,点O为 △ ABC各边垂直平分线的交点,因为MN为 △ ABC的边BC的垂直平分线,所以无论点A如何移动,点O一定在直线MN上.故选A. 4.如图,A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 (　　) A. △ ABC三条中线的交点处 B. △ ABC三条角平分线的交点处 C. △ ABC三条高的交点处 D. △ ABC三条边的垂直平分线的交点处 【答案】 D 【解析】根据线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,可知超市应建在 △ ABC三条边的垂直平分线的交点处.故选D. （二）填空题 5 .如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,连接AE,若AE=4,EC=2,则BC的长是 ________. 【 答案】 6　　 【 解析】 ∵DE是AB的垂直平分线,AE=4,∴EB=EA=4,∴BC=EB+EC=4+2=6.故选C. 6. 如图，在 △ ABC中， ∠ BAC＝80 ° ，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则 ∠ EAG的度数为 ________. 【答案】 20 ° 【 解析】 ∵ AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F， ∴ AG＝CG，AE＝BE， ∴∠ C＝ ∠ CAG， ∠ B＝ ∠ BAE， ∴∠ BAE+ ∠ CAG＝ ∠ B+ ∠ C＝180 °﹣∠ BAC＝100 ° ， ∴∠ EAG＝ ∠ BAE+ ∠ CAG ﹣∠ BAC＝100 °﹣ 80 ° ＝20 ° ， ) ( 7. 如图，在 △ ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是 ________. 【 答案】 4对 【 解析 】 △ ODC ≌△ ODB， △ AOC ≌△ AOB， △ ADC ≌△ ADB， △ AOE ≌△ COE，共4对． 8 .如图,在 △ ABE中,AD ⊥ BE于点D,C是BE上一点,BD=DC,且点C在AE的垂直平分线上.若 △ ABC的周长为22,DE =_____ . 【答案】11 【解析】　 ∵ BD=DC,AD ⊥ BE, ∴ AD所在直线是BC的垂直平分线, ∴ AB=AC. ∵ 点C在AE的垂直平分线上, ∴ AC=CE. ∵△ ABC的周长是22, ∴ AC+AB+BD+CD=22, ∴ AC+CD=11, ∴ DE=CD+CE=CD+AC=11. （三）解答题 9 .如图,点P在∠AOB内,点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点,连接MN分别交OA、OB于E、F.若△PEF的周长是20 cm,求MN的长. 解 ： 由题意可知,直线OA垂直平分MP,直线OB垂直平分NP,所以ME=PE,NF=PF.因为△PEF的周长是20 cm,所以PE+EF+PF=20 cm,所以MN=ME+EF+NF=PE+EF+PF=20 cm. 1 0 . 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M． （1）若∠A=40°，求∠NMB的度数． （2）如果将(1)中∠A的度数改为70°，其余条件不变，求∠NMB的度数． （3）由（1）（2）你发现了什么规律？并说明理由． 解：（1）∵AB=AC，∴∠ABM=∠ACB．∵∠BAC=40°，∠ABM=∠ACB，∴∠ABM= ×(180°-∠BAC)=70°．∵MN是AB的垂直平分线，∠ABM=70°， ∴∠NMB=90°-∠ABM=90°-70°=20°． （2）与（1）同理可得∠B= ×(180°-∠BAC)=55°，∴∠NMB=90°-55°=35°． （3）规律：在等腰△ABC中，当AB=AC时，∠NMB的度数恰好为顶角∠A度数的一半，即∠NMB= ∠A． 理由如下∵AB=AC∴∠ABM=∠ACB．∴∠ABM= (180°-∠A)=90°- ∠A． ∵∠ABM=90°- ∠A，∠BNM=90°，∴∠BMN=90°-∠ABM= ∠A． ) ( 五．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1. 下列说法中:①P是线段AB上的一点,直线l经过点P且l⊥AB,则l是线段AB的垂直平分线;②直线l经过线段AB的中点,则l是线段AB的垂直平分线;③若AP=PB,且直线l垂直于线段AB,则l是线段AB的垂直平分线;④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线.其中正确 的 有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】①当P不是AB的中点，则直线l不平分线段AB，故错误；②直线l经过线段AB的中点，且垂直于AB则l是线段AB的垂直平分线，故错误；③若AP=PB，则P在线段AB的垂直平分线上，但l不一定过点P，所以直线l不一定是线段AB的垂直平分线，故错误；④正确.故选A. 2. 关于线段的垂直平分线有以下说法:①一条线段的垂直平分线的垂足,也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴.其中正确的说法有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 【答案】B 【解析】 ①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点，正确；②线段的垂直平分线是一条直线，正确；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴，错误，因为线段有2条对称轴：一条是这条线段的垂直平分线，另一条对称轴是这条线段所在的直线；故选：B． 3 . 如图四边形 中， 垂直平分 ，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】C 【解析】∵ 垂直平分 ，∴ ， ，故A选项成立，∵ ，∴ ，∴ ，∴ 平分 ，故B选项成立，∴ ．在 和 中，∵ ，∴ ．故D选项成立， 没有可证明 的条件，故C选项不一定成立，故选：C． 4 .如图已知线段 的垂直平分线 交于点 ，则线段 的大小关系是(　) A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】如图所示：连接 ，∵ 是线段 的垂直平分线，∴ ，∵ 是线段 的垂直平分线，∴ ，∴ ．故选B． ) ( 5 . 到 △ABC 的三个顶点距离相等的点是 △ABC 的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条高 交点 D. 三边中线的交点 【答案】B 【解析】：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点 距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 6 . 如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（　　） A. 50° B. 45° C. 30° D. 20° 【答案】D 【解析】根据线段的垂直平分线性质，可得AD=BD，AE=CE．故∠EAC=∠ECA，∠ABD=∠BAD．因为∠BAC=100°，∠ABD+∠ACE=180°-100°=80°，∴∠DAE=100°-∠BAD-∠EAC=20°．故选：D． 7 . 如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC的周长为（　　） A. 14cm B. 13cm C. 11cm D. 9cm 【答案】B 【解析】∵DE是边AB的垂直平分线∴BD=AD∴△ADC的周长为AC+DC+AD=AC+BC=5+8=13cm．故选B. 8 . 已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm，则△ABC的腰和底边长分别为（ ） A. 24cm和22cm B. 26cm和18cm C. 22cm和26cm D. 23cm和24cm 【答案】C 【解析】如图：∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∴△DBC的周长=BD+CD+BC =AD+CD+BC=AC+BC，∵△ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm，∴AB=70﹣48=22cm，∴BC=48﹣22=26cm，即△ABC的腰和底边长分别为22cm和26cm．故选C． 9 . 如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法： 甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．下列说法正确的是（　　） A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 【答案】D 【解析】甲：虽然CP= AP，但∠A≠ ∠ACP，即∠A≠∠ACD．甲不正确；乙∵CP是线段AB的中垂线，∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，作AC、BC之中垂线分别 ) ( 交AB于D、E，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，∵∠A=∠B，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACD≌△BCE，∴AD=EB，∵AD=DC，EB=CE，∴AD=DC=EB=CE．乙正确，故选D． 10 .如图，在四边形ABCD中，AE，AF分别是BC，CD的垂直平分线， ∠ EAF＝80°， ∠ CBD＝30°，则 ∠ ADC的度数为(　　) A．45° B．60° C．80° D．100° 【答案】B 【 解析 】在四边形AECF中，∠ECF＝360°－∠AFC－∠AEC－∠EAF.∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF＝80°，∴∠ECF＝100°.在△BCD中，∠CDB＝180°－∠CBD－∠BCD＝50°.如图，连接AC，则AD＝AC＝AB，∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝2∠CAF＋2∠CAE＝2∠EAF＝160°. ∴∠ADB＝10°.∴∠ADC＝∠CDB＋∠ADB＝50°＋10°＝60°. 二．填空题（30分） 11 . 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为 ________. 【答案】 5 【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，线段PA＝5∴PA=PB， 即PB=5. 12. 如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是 _________. 【答案】 10 【解析】∵ED是AB 的 垂直平分线，∴AD=BD，∵△BDC的周长=DB+BC+CD，∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故选C． 13 ．如图，在 △ ABC中，AF平分 ∠ BAC，AC的垂直平分线交BC于点E， ∠ B=70°， ∠ FAE=19°，则 ∠ C= _______ 度． ) ( 【 答案】24 【 解析】 ∵ DE是AC的垂直平分线， ∴ EA=EC， ∴∠ EAC= ∠ C， ∴∠ FAC= ∠ EAC + 19°， ∵ AF平分 ∠ BAC， ∴∠ FAB= ∠ EAC + 19°， ∵∠ B + ∠ BAC + ∠ C=180°， ∴ 70° + 2（ ∠ C + 19°） + ∠ C=180°，解得， ∠ C=24°，故答案为：24． 14 ．如图，点A为 △ PBC的三边垂直平分线的交点，且 ∠ P=72°，则 ∠ BAC= _______ ． 【 答案】 144° 【 解析】 ∵ A为 △ PBC三边垂直平分线的交点， ∴ 点A是 △ PBC的外心，由圆周角定理得， ∠ BAC=2 ∠ BPC=144°，故答案为：144° 15 ．如图，在 △ ABC中， ∠ C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若 ∠ B=35°，则 ∠ CAD =_______ °． 【 答案】 20 【 解析】 ∵ DE是AB的中垂线， ∴ AD=BD， ∴∠ BAD= ∠ B=35°， ∴∠ CAD=180°﹣90°﹣35° × 2=20°．故答案为：20． 16. 如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC=9，AE：EC=2：1，则点B到点E的距离是 __________ ． 【 答案】6 【 解析】 如图，连接BE． ∵ AC=9，AE：EC=2：1， ∴ AE= × 9=6，EC=9 × =3， ∵ DE垂直平分AB， ∴ EA=EB=6．故答案为：6． 17 ．如图，在Rt △ ABC中， ∠ B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知 ∠ BAE=10°，则 ∠ C的度数为 ___________ ． 【 答案】 40° 【 解析】 ∵∠ B=90°， ∠ BAE=10°， ∴∠ BEA=80°． ∵ ED是AC的垂直平分线， ∴ AE=EC， ∴∠ C= ∠ EAC． ∵∠ BEA= ∠ C + ∠ EAC， ∴∠ C=40°．故答案为：40°． 18 ．如图， △ ABC中，DE是AC的垂直平分线， △ ABD的周长为13， △ ABC的周长为19，则AE的长为 _______. 【 答案】3 ) ( 【 解析】 ∵ DE是AC的垂直平分线， ∴ DA=DC， ∵△ ABD的周长为13， ∴ AB + BD + AD=13， ∴ AB + BD + DC=13，即AB + BC=13， ∵△ ABC的周长为19， ∴ AB + BC + AC=19， ∴ AC=6， ∴ AE=3， 19 ．如图，在 △ ABC中， ∠ B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分 ∠ ACB，若BE=4，则AE的长为 _______. 【 答案】2 【 解析】 ∵ DE是BC的垂直平分线， ∴ EC=EB=4， ∴∠ ECB= ∠ B=30°， ∵ CE平分 ∠ ACB， ∴∠ ECB= ∠ ACE=30°， ∴∠ A=90°，又 ∠ ACE=30°， ∴ AE= EC=2． 20 ．如图， △ ABC中，BD平分 ∠ ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若 ∠ A=60°， ∠ ABD=24°，则 ∠ ACF= _______ ． 【 答案】 48° 【 解析】 ∵ BD平分 ∠ ABC， ∠ ABD=24°， ∴∠ ABC=2 ∠ ABD=48°， ∠ DBC= ∠ ABD=24°， ∵∠ A=60°， ∴∠ ACB=180°﹣ ∠ A﹣ ∠ ABC=180°﹣60°﹣48°=72°， ∵ FE是BC的中垂线， ∴ FB=FC， ∴∠ FCB= ∠ DBC=24°， ∴∠ ACF= ∠ ACB﹣ ∠ FCB=72°﹣24°=48°，故答案为：48°． 三．解答题（60分） 21 . 如图所示 ，A，B，C 是新建的三个居民小区 . 现要在到三个小区距离相等的地方修建一所学校 ， 试确定学校的位置 . 解：① 连接 AB，BC， 如图所示 ； ② 作 AB，BC 的垂直平分线相交于点 P， 点 P 就是学校的位置 . 22 . 如图所示 ， 在 △ABC 中 ，BC 的垂直平分线 EF 交 ∠ABC 的平分线 BD 于 E， 若 ∠BAC＝60°，∠ACE＝24°， 则 ∠BEF 的度数是多少 ？ 解：∵EF 是 BC 的垂直平分线 ，∴∠BFE＝90°，EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵BD 平分 ∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB，∵∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，∴∠ABD＋∠DBC＋∠ECB＝180°－∠BAC－∠ACE＝96°，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB＝32°，∴∠BEF＝90°－∠EBC＝58°. ) ( 23 . 如图，在△ABC中，∠C=40°，∠B=68°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．求∠EAD的度数. 解：∵∠C=40°，∠B=68°，∴∠BAC=72°，∵DF是线段AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=68°，∴∠DAC=4°，∵EG是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC， ∴∠EAC=∠C=40°，∴∠BAE=32°，∴∠EAD=∠BAC-∠DAC-∠BAE=36°. 24. 如图在 △ABC 中 ，AB＝AC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 N， 交 BC 的延长线于点 M. （1） 若 ∠A＝40°， 则 ∠NMB 为 　　 . （2） 若将 （1） 中 ∠A 的度数改为 70°， 其余条件不变 ， 则 ∠NMB 的度数为 　　 . （3） 由 （1）（2） 你发现了什么规律 ？ 并说明理由 . 解： （ 1） 20° （2） 35° （ 3） 规律 ：∠NMB＝ ∠A. 理由 ： 因为在 △ABC 中 ，AB＝AC， 所以 ∠ABC＝∠ACB＝ （180°－∠A）. 因为 AB 的垂直平分线交 AB 于点 N， 交 BC 的延长线于点 M， 所以 MN⊥AB， 所以 ∠NMB＝90°－∠ABC＝ ∠A. 24 . 如图，在四边形ABCD中， ，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD． 解 ： （1） ， ， 点E是CD的中点， ，在 和 中， ， ； （2）由（1）已证： ， ，又 ， 是线段AF的垂直平分线， ，由（1）可知， ， ． 25 . 如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN交BC于点D. （1）如果∠CAD=20°，求∠B的度数； （2）如果∠CAB=50°，求∠CAD的度数； （3）如果∠CAD：∠DAB=1：2，求∠CAB的度数. ) ( 解：（1）∵∠C=90°，∠CAD=20°，∴∠ADC=70°，∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=35°，答：∠B的度数是35°； （ 2） ∵∠C=90°，∠CAB=50°，∴∠B=40°，∵DE是AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=40°，∴∠CAD=10°； （3）设∠CAD=x，则∠DAB=∠B=2x，则x+2x+2x=90°，解得x=18，则∠CAB=54°． 26. 如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点． （1）若△CDE的周长为4，求AB的长； （2）若∠ACB=100°，求∠DCE 度数； （3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE=___________. 解 ： （1）∵D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点，∴DC=DA，EC=EB，∵△CDE的周长=DC+DE+EC=4，∴DA+DE+EB=4，即AB的长为4； （ 2） ∵∠ACB=100°，∴∠A+∠B=80°，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，∴∠DCA+∠ECB=80°，∴∠DCE=100°-80°=20°； （3）∵∠ACB=α，∴∠A+∠B=180°-α，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，∴∠DCA+∠ECB=180°-α，∴∠DCE=α-180°+α=2α-180°，故答案 ：2α-180°． ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册9-《1.4线段垂直平分线与角平分线（一）》 ( 一、 预习 目标 1.理解线段垂直平分线的概念，掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。 2.能够运用线段垂直平分线的性质定理和逆定理进行简单的推理、计算和证明。 3.通过自主探究、合作交流等活动，培养观察、分析、归纳和逻辑思维能力。 ) ( 二 、 预习内容 （一） .线段垂直平分线的定义： 1.定义： 经过一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。例如，对于线段AB，直线 l 过AB中点C，且M l ⊥ AB ，那么 直线 l 就是线段AB的垂直平分线。 2. 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. （二） 线段垂直平分线的性质定理： 【 讨论探究 】 1.在一张纸片上画线段AB,折叠纸片,使两个端点A与B重合,展开纸片. (1)指出折痕与线段AB的关系; (2)结合(1)回答下列问题:线段是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? 2.(1)在[讨论探究]1中的折痕上任意取不在AB上的一点P,连接PA,PB,度量PA,PB,你发现了什么?沿刚才的折痕翻折纸片,验证你的结论; (2)由(1)你能得出什么结论,请用文字语言描述; (3)请证明(2)中得出的结论(画出图形,写出已知、求证和证明). 【 概括新知 】 性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 【用数学语言】 若直线MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上，则PA = PB 。 ) ( 3.线段的垂直平分线外的点到线段两端的距离还相等吗?为什么? （三）线段垂直平分线的判定定理： 【 讨论探究 】 如果把 “ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ” 的条件与结论互换,我们得到: “ 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ” .请分析这个结论是否正确.(画出图形,写出已知、求证和证明) 【 概括新知 】 判定定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 【用数学语言】 若PA = PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 （四）深入理解： 1 . 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 。 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 因此， 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 2. 判定定理和性质定理之间联系和区别？ （1） 区别 ： 性质定理是已知某条直线是线段的垂直平分线，可直接得出线上点到线段两端的距离相等，用于 “ 由线推点 ” 。 判定定理是已知某点到线段两端的距离相等，可判定该点在这条线段的垂直平分线上，用于 “ 由点推线 ” 。 （2） 联系 ： ① 互为逆定理：性质定理和判定定理的条件与结论相互颠倒，二者互为逆命题，且均为真命题。 ② 共同基础：都围绕线段垂直平分线与 “ 点到线段两端距离 ” 的关系展开，用于解决几何中线段相等、直线垂直平分等问题。 ) ( （五） 线段垂直平分线的 画法 ： 1．利用网格线画线段PQ的垂直平分线． 2. 尺规作线段的垂直平分线 (1)分别以点 A,B 为圆心, 大于 AB 为半径画弧,两弧相交于点C,D;   (2)过C,D两点作直线. 直线CD就是线段AB的垂直平分线. （六） 三角形三边垂直平分线： 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，观察它们的交点位置。 例：已知:如图,在 △ ABC中,AB,AC的垂直平分线l 1 ,l 2 相交于点O.求证:点O在BC的垂直平分线上. 【归纳】 三角形三边垂直平分线的性质： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心，且外心到三角形三个顶点的距离相等。 例：如图,AB=AD,CB=CD,AC、BD相交于点E.你能在图中找到哪些相等的角?如何证明? 我们把两组邻边分别相等的四边形叫作 “ 筝形 ” 。 ) ( 三．经典例题 例 1.如图,△ABC的边AB的垂直平分线DE交AB于D,交AC于E,且BC=BD=2,则△BCE的周长C不可能是(　　) A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8 例2. 如图，在 △ ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若 ∠ BAC＝114 ° ，则 ∠ EAF为（　　） A．40 ° B．44 ° C．48 ° D．52 ° 例3. 如图,在△ABC中,AB=5,AC=7,直线DE垂直平分BC,垂足为E,交AC于点D,则△ABD的周长是 　　　　 .  例4 .如图,AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于点O.若BD=6 cm,则OD=＿＿＿＿cm.  例5. 如图用直尺、圆规将线段AB四等分,并写出作图步骤(保留作图痕迹). 例6 .如图,在△ABC中,AB的垂直平分线l 1 交AB于点M,交BC于点D,AC的垂直平分线l 2 交AC于点N,交BC于点E,l 1 与l 2 相交于点O,△ADE的周长为10.请你解答下列问题: (1)求BC的长; (2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上,并说明理由. ) ( 例7 .已知:如图,AB=CD,线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E.求证:∠ABE=∠CDE. 例8 ．如图， △ ABC中， ∠ BAC＝105 ° ，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足． （1）求 ∠ DAF的度数； （2）如果BC＝8，求 △ DAF的周长． 例9 . 如图所示 ， 在 △ABC 中 ，BC 的垂直平分线 EF 交 ∠ABC 的平分线 BD 于 E， 若 ∠BAC＝60°，∠ACE＝24°， 则 ∠BEF 的度数是多少 ？ ) ( 四．基础过关 （一）选择题 1.如果三角形三边垂直平分线的交点在某一边上,那么这个三角形是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 2. 已知A,B,C三点不在同一直线上,若点P满足PA=PB=PC,则平面内这样的点P有(　 A ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图,已知直线MN为 △ ABC的边BC的垂直平分线,若AB,AC两边的垂直平分线相交于点O,当顶点A的位置移动时,点O在 (　　) A.直线MN上 B.直线MN的左侧 C.直线MN的右侧 D.直线MN的左侧或右侧 4.如图,A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在 (　　) A. △ ABC三条中线的交点处 B. △ ABC三条角平分线的交点处 C. △ ABC三条高的交点处 D. △ ABC三条边的垂直平分线的交点处 ) ( （二）填空题 5 .如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E,连接AE,若AE=4,EC=2,则BC的长是 ________. 6. 如图，在 △ ABC中， ∠ BAC＝80 ° ，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则 ∠ EAG的度数为 ________. 7. 如图，在 △ ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是 ________. 8 .如图,在 △ ABE中,AD ⊥ BE于点D,C是BE上一点,BD=DC,且点C在AE的垂直平分线上.若 △ ABC的周长为22,DE =_____ . （三）解答题 9 .如图,点P在∠AOB内,点M、N分别是点P关于直线OA、OB的对称点,连接MN分别交OA、OB于E、F.若△PEF的周长是20 cm,求MN的长. 1 0 . 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M． （1）若∠A=40°，求∠NMB的度数． （2）如果将(1)中∠A的度数改为70°，其余条件不变，求∠NMB的度数． （3）由（1）（2）你发现了什么规律？并说明理由． ) ( 五．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1. 下列说法中:①P是线段AB上的一点,直线l经过点P且l⊥AB,则l是线段AB的垂直平分线;②直线l经过线段AB的中点,则l是线段AB的垂直平分线;③若AP=PB,且直线l垂直于线段AB,则l是线段AB的垂直平分线;④经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线.其中正确 的 有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 关于线段的垂直平分线有以下说法:①一条线段的垂直平分线的垂足,也是这条线段的中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴.其中正确的说法有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 3 . 如图四边形 中， 垂直平分 ，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. 平分 C. D. 4 .如图已知线段 的垂直平分线 交于点 ，则线段 的大小关系是(　) A. B. C. D. 无法确定 5 . 到 △ABC 的三个顶点距离相等的点是 △ABC 的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条高 交点 D. 三边中线的交点 6 . 如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（　　） A. 50° B. 45° C. 30° D. 20° 7 . 如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC的周长为（　　） A. 14cm B. 13cm C. 11cm D. 9cm 8 . 已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm，则△ABC的腰和底边长分别为（ ） A. 24cm和22cm B. 26cm和18cm C. 22cm和26cm D. 23cm和24cm 9 . 如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法： 甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．下列说法正确的是（　　） A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都错误 C. 甲正确，乙错误 D. 甲错误，乙正确 ) ( 10 .如图，在四边形ABCD中，AE，AF分别是BC，CD的垂直平分线， ∠ EAF＝80°， ∠ CBD＝30°，则 ∠ ADC的度数为(　　) A．45° B．60° C．80° D．100° 二．填空题（30分） 11 . 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为 ________. 12. 如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是 _________. 13 ．如图，在 △ ABC中，AF平分 ∠ BAC，AC的垂直平分线交BC于点E， ∠ B=70°， ∠ FAE=19°，则 ∠ C= _______ 度． 14 ．如图，点A为 △ PBC的三边垂直平分线的交点，且 ∠ P=72°，则 ∠ BAC= _______ ． 15 ．如图，在 △ ABC中， ∠ C=90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若 ∠ B=35°，则 ∠ CAD =_______ °． 16. 如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC=9，AE：EC=2：1，则点B到点E的距离是 __________ ． 17 ．如图，在Rt △ ABC中， ∠ B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知 ∠ BAE=10°，则 ∠ C的度数为 ___________ ． ) ( 18 ．如图， △ ABC中，DE是AC的垂直平分线， △ ABD的周长为13， △ ABC的周长为19，则AE的长为 _______. 19 ．如图，在 △ ABC中， ∠ B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分 ∠ ACB，若BE=4，则AE的长为 _______. 20 ．如图， △ ABC中，BD平分 ∠ ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若 ∠ A=60°， ∠ ABD=24°，则 ∠ ACF= _______ ． 三．解答题（60分） 21 . 如图所示 ，A，B，C 是新建的三个居民小区 . 现要在到三个小区距离相等的地方修建一所学校 ， 试确定学校的位置 . 22 . 如图所示 ， 在 △ABC 中 ，BC 的垂直平分线 EF 交 ∠ABC 的平分线 BD 于 E， 若 ∠BAC＝60°，∠ACE＝24°， 则 ∠BEF 的度数是多少 ？ 23 . 如图，在△ABC中，∠C=40°，∠B=68°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．求∠EAD的度数. ) ( 24. 如图在 △ABC 中 ，AB＝AC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 N， 交 BC 的延长线于点 M. （1） 若 ∠A＝40°， 则 ∠NMB 为 　　 . （2） 若将 （1） 中 ∠A 的度数改为 70°， 其余条件不变 ， 则 ∠NMB 的度数为 　　 . （3） 由 （1）（2） 你发现了什么规律 ？ 并说明理由 . 24 . 如图，在四边形ABCD中， ，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：（1）FC＝AD；（2）AB＝BC+AD． 25 . 如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN交BC于点D. （1）如果∠CAD=20°，求∠B的度数； （2）如果∠CAB=50°，求∠CAD的度数； （3）如果∠CAD：∠DAB=1：2，求∠CAB的度数. 26. 如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点． （1）若△CDE的周长为4，求AB的长； （2）若∠ACB=100°，求∠DCE 度数； （3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE=___________. ) 学科网（北京）股份有限公司 $$