精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试冲刺演练（五）数学试题

方城一高2025年春期期末考试冲刺演练（五） 高一年级数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） （命题人：李明宇 审题人：赵炬） 考试范围：北师大必修二全册 一、单选题. 1. 已知复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法计算，再结合虚部定义计算求解. 【详解】复数z满足， 则， 则z的虚部为. 故选：B. 2. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】利用斜二测画法的定义，画出原图形， 由是等腰直角三角形，，斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：A 3. 已知，，，且，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求再根据向量平行坐标表示列式，即可得结果. 【详解】因为，， 所以 因为， 所以 故选：A 【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本分析求解能力，属基础题. 4. 已知，，求满足，的点D的坐标为（ ）． A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点D的坐标为，先得到，的坐标，再结合题设列方程组求解即可. 【详解】设点D的坐标为， 由，，则,， 又，， 所以，解得或， 即点D的坐标为或. 故选：C. 5. 已知，，则的值是（ ）． A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题设结合两角差的正弦公式化简可得，进而求得，再利用二倍角公式及两角和的余弦公式化解求解即可. 【详解】由， 则， 则，即， 则， 又因为，所以， 所以， 所以 . 故选：B. 6. 如图，某观察站B在城A的南偏西的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B处的C处有一人正沿公路向A城走去，走了之后到达D处，此时B，D间的距离为．要达到A城，这个人还要走（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，利用余弦定理得，进而得，即可得，利用两角和的正弦公式得，最后由正弦定理即可求解. 【详解】由题意有：，在中，由余弦定理有：， 又，所以， 所以， 所以， 又， 在中，由正弦定理有：，所以. 故选：A. 7. 如图，在中，点Р在所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影，且点O在的内部．若PA，PB，PC两两垂直，那么点О是的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心 【答案】C 【解析】 【分析】通过线线垂直证线面垂直以及线面垂直证线线垂直，依次可证平面PBC，，，平面PAO，；同理可证，，即得点O是的垂心 【详解】连接OA、OB、OC， ∵，，平面PBC，，∴平面PBC， ∵平面PBC，∴． 由题意，平面ABC，平面ABC，∴， 又平面PAO，，∴平面PAO， 平面PAO，∴， 同理可证，，∴点O是的垂心． 故选：C 8. 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为1的正三角形，E，F分别是，的中点，，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件得出正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则求正方体的外接球体积即可. 【详解】如图，因为，是边长为1的正三角形，所以三棱锥为正三棱锥， 所以顶点在底面上的射影为底面的中心，所以平面， 因为平面，所以，连接并延长交于点，则， 因为，所以平面，又平面，所以. 因为E，F分别是，的中点，所以， 因为，所以，所以，所以平面， 所以正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以， 把三棱锥补形为正方体，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球， 所以半径为， 所以球O的体积为. 故选：D 二、多选题. 9. ，，为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是关于x的方程（p，）的一个根，则 D. 若，则，中至少有一个是0 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可判断A；设，直接计算可判断B；利用韦达定理求解可判断C；利用反证法即可判断D. 【详解】对A，记，则，满足， 但，不满足，A错误； 对B，记， 若，则， ， 所以，B正确； 对C，若是关于x的方程（p，）的一个根， 则也是该方程的根， 由韦达定理得，解得， 所以，C正确； 对D，同B设，则， 假设，都不等于0， 由，则，则， 整理得，又，所以， 由可得，整理得，所以， 与假设矛盾，故假设不成立，即，中至少有一个是0，D正确. 故选：BCD 10. 已知函数（，）在区间上单调递增，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数图象的一个对称中心可能是 C. 函数的最大值为 D. 函数在区间上单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】首先化简函数，利用函数单调性得出，应用周期公式，对称性及最值，再根据函数的性质逐项判断即可. 【详解】 当时单调递增，则时，函数单调递增， 所以，所以； 不确定，A选项错误； 令，， 所以当时，时，时，函数图象的一个对称中心是，B选项正确； 设，因为函数的最大值为1， 所以函数的最大值是，故C选项正确； 已知在区间上单调递增，若函数在区间上单调递减， 则，但是，不能恒成立 ，故D不正确. 故选：BC. 11. 如图，已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形，，E，F，G分别为，AB，的中点，H为正方形（包括边界）上的动点，则（ ） A. 存在点H，使得E，F，G，H四点共面 B. 存在点H，使得面HEF C. 若，则H的轨迹长度为 D. 四面体EFGH的体积为定值 【答案】AC 【解析】 【分析】根据线线平行可得四点共面，即可判断A,根据线线垂直,结合反证法即可得矛盾求解B,根据投影即可求解C,根据四面体的体积公式,高不为定值即可判断D. 【详解】对于A选项，当H为中点时，连接，则由,进而可得，故E，F，G，H共面，故A正确； 对于B选项，分别过作 则平面，平面， 所以,假若平面，平面,则, 平面,所以平面,平面, 因此, 由于是的中点，是上一点，在正方形中，不可能有， 故不与平面垂直，从而B错误； 对于C选项，取，的中点M，N，当H在MN上时，FH在面上的投影为NH， 而，且， 因此，即H的轨迹即为MN，且其长度为，故C正确； 对于D选项，，其中为点到平面的距离， 由于的面积为定值，但是由于面EFG与面不平行，因此不为定值， 故体积不为定值．故D错误． 故选：AC 三、填空题. 12. 已知向量、、，其中且与的夹角是与的夹角是，则在方向上的投影数量为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】先求出数量积，再根据数量积的几何意义求解即可. 【详解】因为且与的夹角是与的夹角是， 所以， 所以在方向上的投影数量为. 故答案为：1 13. 已知，函数，，若函数值域为，则________________． 【答案】或. 【解析】 【分析】先应用辅助角公式化简函数，再结合角的范围计算值域，再分和分别结合值域计算求出参数即可求解. 【详解】， 因为，所以，， 当时，，所以， 所以，所以； 当时，，所以， 所以，所以； 故答案为：或. 14. 如图，一个棱长为6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，在正方体中，若要使液面形状不可能为三角形， 则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC, 据此计算即可得解. 【详解】如图，在正方体中， 若要使液面形状不可能为三角形， 则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC, 若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形， 设正方体内水的体积为V，而， 而（升）， （升） 所以V的取值范围是. 故答案为： 四、解答题. 15. 已知函数 （1）若，求的最小正周期与函数图象的对称中心； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）若方程在上至少存在3022个根，且的最小值不小于3022，求的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为， （2）． （3）． 【解析】 【详解】解：（1）由题可得，所以函数的最小正周期为．由，可得，所以函数的图象的对称中心是． （2）因为在上单调递增，所以当时，，所以，解得．又．所以． （3）因为，所以，则，所以．又至少存在3022个根，所以可得至少包含3021个周期，即，所以的最小值为．又的最小值不小于3022，所以，所以． 16. 如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，. （1）求； （2）若，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理得出，再由正弦定理得出，再结合二倍角公式即可求解； （2）先由平方关系以及差角公式求出，再由正弦定理求出，进而由三角形面积公式得出四边形的面积． 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理可得，所以， 再由正弦定理，可得， 又因为为的角平分线，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 中，，，， 所以， 从而 ， 由正弦定理可得， 而 . 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若是线段的中点，求线段的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦公式求解. （2）利用同角公式及和角的正弦公式求出，再利用正弦定理及数量积的运算律求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 则，而，， 因此，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，由，得， ， 由正弦定理得，而， 所以. 18. 如图，在正方体中，求证： （1）平面； （2）与平面的交点H是的重心. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）结合正方体的结构特征，以及线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）连接，根据，得出点H为的外心，进而得到点H也是的重心. 【详解】（1）如图所示，连接，则， 平面，， 又，平面， 平面，平面. 平面.，同理， ，平面. （2）连接，由，得， 因此点H为的外心， 又为正三角形，∴点H也是的重心. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特征，以及线面垂直的判定与证明，其中解答中熟记正方体的结构特征，合理应用线面垂直的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. 19. 如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点. （1）已知. （ⅰ）若是所在平面内任意一点，证明：； （ⅱ）若，，求的值； （2）若，，，证明：. 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用平面向量的线性运算证明即可. （ⅱ）利用平面向量的线性运算将用不同的基底表示，再利用系数相等建立方程，求解参数即可. （2）利用平面向量的线性运算得到，再设，进而得到，同理得到，，再联立这些方程消去变量证明结论即可. 【小问1详解】 （ⅰ）因为，所以， 则，整理得. （ⅱ）设，则 ， 又 ， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以， 则，整理得， 设，代入上式得，记为①， 同理可得，，设，， 可得，记为②，，记为③， 联立①②消去，联立①③消去， 可得，， 又因为，，中任意两个向量互不共线， 所以故有， 由得，由得， 又，故，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城一高2025年春期期末考试冲刺演练（五） 高一年级数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） （命题人：李明宇 审题人：赵炬） 考试范围：北师大必修二全册 一、单选题. 1. 已知复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知，，，且，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 4. 已知，，求满足，的点D的坐标为（ ）． A. B. 或 C. 或 D. 5. 已知，，则的值是（ ）． A. B. C. D. 2 6. 如图，某观察站B在城A的南偏西的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B处的C处有一人正沿公路向A城走去，走了之后到达D处，此时B，D间的距离为．要达到A城，这个人还要走（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点Р在所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影，且点O在的内部．若PA，PB，PC两两垂直，那么点О是的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心 8. 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为1的正三角形，E，F分别是，的中点，，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题. 9. ，，为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是关于x的方程（p，）的一个根，则 D. 若，则，中至少有一个是0 10. 已知函数（，）在区间上单调递增，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数图象的一个对称中心可能是 C. 函数的最大值为 D. 函数在区间上单调递减 11. 如图，已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形，，E，F，G分别为，AB，的中点，H为正方形（包括边界）上的动点，则（ ） A. 存在点H，使得E，F，G，H四点共面 B. 存在点H，使得面HEF C. 若，则H的轨迹长度为 D. 四面体EFGH的体积为定值 三、填空题. 12. 已知向量、、，其中且与的夹角是与的夹角是，则在方向上的投影数量为_________． 13. 已知，函数，，若函数值域为，则________________． 14. 如图，一个棱长为6分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是______． 四、解答题. 15. 已知函数 （1）若，求的最小正周期与函数图象的对称中心； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）若方程在上至少存在3022个根，且的最小值不小于3022，求的取值范围． 16. 如图，在四边形中，与相交于点，且为的角平分线，，. （1）求； （2）若，求四边形的面积. 17. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若是线段的中点，求线段的长． 18. 如图，在正方体中，求证： （1）平面； （2）与平面的交点H是的重心. 19. 如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点. （1）已知. （ⅰ）若是所在平面内任意一点，证明：； （ⅱ）若，，求的值； （2）若，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $