河南信阳市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

机密★启用前 2025一2026学年下学期期末考试 高一数学 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自已的姓名、准考证号、考场号、座位号填写答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在 试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸 和答题卡的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交， 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.复数Z= +,则2的虚部为 1+2i A一司 B一 c号 D. 2.△ABC中，Ai=号A店，E为CD中点，设CA=a,C店=，则A应- D A-号a+ B.ga-co ca+ Da-号b 3.已知tana= ,则cos2a-sin'a= 1 A司 B一清 c号 D号 4.“人造太阳”（托卡马克）的外形像一个巨大的“甜甜圈十圆柱塔”.其底座是圆柱体.某科技馆拟 造一个“人造太阳”模型，其底座的直径为1.2m,高为0.6m.现要给底座的外侧面涂漆，每平方 米需要0.5kg的涂料，则需要多少千克的涂料？ A.0.36π B.0.72π C.0.18π D.0.108π 5.已知m,n是二条不同的直线，，B为二个不同的平面，则下列命题中正确的是 A.若m∥n,n∥a,则m∥a B.若m,n为异面直线，m∥B,n∥B,m∥a,n∥a,则a∥B C.若aLβ，m⊥a,m⊥n,则n∥β D.若m∥a,a∥β，n∥β，则m∥n 2025一2026学年下学期期末考试高一数学第1页).共4页 6.在如下图给出的频率分布直示图三种分布形态中，关于平均数，众数和中位数的说法正确的是 图1 图2 图3 A.图1中，中位数>平均数=众数 B.图2中，众数<中位数<平均数 C.图3中，中位数<平均数<众数 D.三个图中，中位数与平均数和众数都大致相等 7.如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC,且PA=AC=BC,M为PB中点， AM=√5，则三棱锥P一AMC的体积为 A号 B② C.4 D告 8.△ABC中，D为BC上一点，且满足AB·AD=AC·AD,|AD1=3,又△ABC内一点G满足 AG+BG+CG=0,则AG·AD的值为 A.3 B.6 C.9 D.12 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.一个几何题是由一个正方体挖去一个内切球（球与正方体的各个面都只一个公共点）以后得到 的.现用一平面去截这个几何体，则截面图形可能为 10.已知f(x)=Asin(wx十p(A>0,w>0,p<)部分图象如图所示，则 下列说法正确的是 A.w=2 123 B.f(x)关于（经，0）对称 -2 C若将f()的图象向左平移m(m>0)个单位后得到的函数为偶函数，则m的最小值为是 D,若方程f(x)=在0，上有且仅有一个实数解，则t的取值范围为[-B,) 2025一2026学年下学期期末考试高一数学第2页共4页 11、已知△ABC的内角A、B、C所对的边为a,b,c,直线l与△ABC的边AB, AC分别交于D,E二点，点P为BC中点，设∠ADE=0,则 A.asin(B-0)+bsin(A+0)=csine B.acos(B-0)+bcos(A+0)=ccos0 C.当AP·DE=0时，ccos0+bcos(0+A)=0 D.若A∈(，x),则tanA+tanB十tanC<tang 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.欧拉公式e”=cos0十sin0(e=2.71828…)是瑞士数学家欧拉提出的，则e“+1=, 13.若向量a,b,c两两的夹角相等，且1a=||=1,fc=2,则|a十b十c= 14.在三棱锥P一ABC中，平面ABC⊥平面PBC,△ABC与△PBC都是边长为2的等边三角 形，若M为三棱锥P一ABC外接球上的动点，则M到平面ABC距离的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知向量a和b满足|a|=2b|=2,a在b上的投影向量为e. (1)求a与b的夹角8； (2)若a+b与a一3b能构成一个平面的一组基底，求入的取值范围. 16.(15分)△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cc6sB=(2a一b)cosC. (1)求角C的大小； (2)若△ABC的面积为2√5，且>a,c=2√3，D在AB上，且AD=2DB,求CD 17.(15分)人工智能正在从技术概念全面渗透进我们生活的方方面面，重塑着人们的生活方式. 为了让中学生全面了解人工智能与人们生活的关系，某市举办了“AI与生活”的知识竞赛活 动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数x(40 ≤x≤100)分成六组：[40,50)，[50,60)…，[90,100]，并作出如图所示的频率分布直方图. ↑频率/组距 0.025 0.020 0.010-- 0.005 0405060708090100分数 2025一2026学年下学期期末考试、高一数学第3页共4页 (1)求a的值； (2)求样本数据的第75%百分位数； (3)已知落在[50,60)内样本数据的平均数是55，方差是6；落在[60,70)内样本数据的平均数 是64，方差是s,且这两组数据的总方差是22，求落在[60,70)内样本数据的方差s. 18(17分)如图，正三棱柱ABC-A1B1C中，E为AC中点. (1)求证：AB1∥平面BEC1; (2)若BB=BA=2; ①求直线AB1与平面ACC1A1所成角的正切值； ②在CC,上是否存在一点E,使得二面角F一BE一A的余弦值为.一 若 存在，指出F的位置，若不存在，说明理由。 19.(17分)已知向量a=(sinx,cos）,b=[sin(x-),sina],函数f(x)=2a·b,g(x)=f(买x. (1)求f(x)在[，x上的最大值： (2)计算g(1)+g(2)+…十g(2026)的值； (3)若Vz∈[受]，目x,∈[一1,1]，使得g)=mf()成立，求实数m的取值范围. 2025亠2026学年下学期期末考试：高一数学第4页共4页 2025一2026学年下学期期末考试 高一数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A B B A B 1.C解析：2=124=1+分=1-2 2i 乙=1+2 “7的虚部为2.故选C. 2.A解析：A正=2AD+AC=2[日C店-CA)-a]=后(b-a)-7a=b-a.放选A 3.C解析：tana=号 ,co2a=8g2g-1-a。1-号 =43 osa+n。Fama1t方a-92a-3 4 c0e2a-sina=号.故选C 4.A解析：r=0.6,h=0.6,S=2πrh=0.72π，需涂漆0.72π×0.5=0.36π千克.故选A. 5.B解析：由面面平行的判定定理知，B对.故选B. 6.B解析：题图1中的三个数大致相等；因为平均数靠近“拖尾”的一侧，众数是最高的小短形的中 间值.所以题图2中的众数<中位数<平均数，题图3中的平均数<中位数<众数..故选B. 7.A解析：设PA=AC=BC=a,则AB=√2a 又PA⊥面ABC,.PA⊥AB ∴PB=a,AM==尽 则a=2 过C作CH⊥AB,由于面PAB⊥面ABC,所以CH⊥面PAB 则V,-Ac=V-pw=CH·Saw=号X,EXE=景故选A 8.B解析：由AB.AD=AC.AD 得：AD·(AB-AC)=0,AD.CB=0,.AD⊥BC 即AB·AD=(AD+DB)·AD=AD+DB.AD=AD 同理AC·AD=AD2 又AG+BG+CG=0,知G为△ABC的重心， ∴.AG=号(AB+AC), 则AG.AD=号AB+AC)·Ad=号(A店.Ai+AC.Ai)=}(A市+A市)=6.故选B. 2025-2026学年下学期期末考试高一数学参考答案及评分标准第1页共6页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分， 题号 9 10 11 答案 ABC AC BCD 9.ABC解析：当截面过上下底面和左右二个侧面的中心时，截面图形为A;当截面为一个对角 面时，截面的图形为B;当截面过上底面中心且与上下底面不垂直时选C. 故选ABC. 10.AC解折：由图知，A=2号-音--子T=a=2 又sin(2×8+p)=1,9=3 ∴f)=2sin(2x+罗）A对 当x=7登时，m(2×登+5）=sn经=-1≠0 “(径0)不为对称中心，B错 图象左移-个单位后，得到y=2sin[2(x+m)+】-=2sim(2x+2m+》,要为偶函教，须2m 十晋-x十受m-经+登，当=0时，m的最小值正值为登∴C对. 当xe,]时，2x+∈[后割] 令m=2x+5,当m=号时，(m)=, 当m=时，m）=一E,作出因象， 当t∈[-√3，√3)U{2}时，y=f(x)与y=t的图象只一个交点，∴.t∈[-√，√3)U{2}, .D错.故选AC 11.BCD解析：AB=AC+CB AB·ED=AC.ED+CB.ED 设|ED=d,则有cd·cos0=b·dcos(0+A)+a·dcos(B-O) 从而ccos0=bcos(0+A)十acos(B-0),.B对，A错 当AP.DE=0,由AP=2(AB+AC) 2025一2026学年下学期期末考试高一数学参考答案及评分标准第2页共6页 “2AB+AC)·ED=0 cdcos0+bdcos(0+A)=0 从而ccos0+bcos(0+A)=0,∴.C对 AABC tanA+tanB++tanC=tanA+tan(B+C)(1-tanBtanC)=tanA-tanA.(1-tanB ·tanC)=tanA·tanB·tanC A∈(3，x∴B,C∈(o,2) 则tanA·tanB·tanC<0,又0e(0,2）∴tan>0 故有tanA+tanB+tanC<tan0,D对. 故选B,C,D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.解析：em+1=c0sπ+isinπ+1=-1+1=0. 答案：0 13.解析：当a,b,c两两夹角成0°时，|a十b十c|=4, 当a,b,c两两夹角成120°时，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=6+2 1×1×(-)+1×2×(-)+1×2×(-2)】=1 .|a+b+cl=1,故|a+b+cl=1或4. 答案：la+b+cl=1或4 14.解析：取BC中点D,连PD,AD 设O,O2分别为等边△PBC和△ABC的外心，过O,O2分别作△PBC,△ABC的垂线交于 O,则O即为三棱锥P一ABC的外接球球心， 又面PBC⊥面ABC,.∠O1DO2=90° 又∠OO1D=∠OO2D=90°且O1D=O2D 则0D0,0为正方形，∴00，=0，D= 3 在△00，A中，0，A=23 3 0A=0+0A=/+号-， 3 即外接球字径为西 当M在球面上运动时，M点到面ABC的最大距离为5十E 3 答案：⑤+ 3 2025一2026学年下学期期末考试高一数学参考答案及评分标准第3页共6页 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.解：(1)a在b上的投影向量为9p Ib·e=e 则96=12X1Xc09=1,c0c0=20=60 ………………（6分） (2)当a+b与a-3b平行时，设a+b=k(a-3b) 则就a=一专 故当加十b与a一3b能作为基底时，A≠- 3 (13分) 16.解：(1)由正弦定理，ccosB=（2a一b)cosC可以化成： sinC·cosB=2sinA·cosC-sinBcosC ,.sinC·cosB+sinBcosC=2sinA·cosC sin(B+C)=2sinA·cosC 又△ABC中，sin(B+C)=sinA .c0sC三7，C=60° (7分) (2》5e-sinC=abx9-2v月，iab=8 又c=2√3，.12=a2+b2+2 abcosC=(a+b)2-3ab=(a+b)2-24 .a+b=6,. a=2, “或 a=4 b=4 b=2 又b>Q,a=2,b=4…（11分） 由于AD=2DBCi=3Ci+号CB cò=8+a+号ab=9+9+g=号 CD=43 (15分) 3 17.解：(1)由题意10×(0.005+0.01十0.02+a+0.025+0.01)=1, 解得Q=0.03;… …(4分） (2)由频率分布直方图知， 前3组数的频率为10×(0.005十0.01+0.02)=0.35，前4组数的频率为10×(0.005+0.01 +0.02十0.03)=0.65，因此第75百分位数在第5组即区间[80,90)上，设第75百分位数 为m, 则(m一80)×0.025=0.75-0.65=0.1，解得m=84 (9分) (3)样本数据在区间[50,60)的个数为0.1×200=20，在区间[60,70)上的个数为0.2×200 =40, 所以ω= 20X55+20+401 20+401 40×64=61, 西=020n×[6+(55-61门+00o×[+(64-61门=2. 解得5号=3.…（们5分） 4 2025一2026学年下学期期末考试高一数学参考答案及评分标准第4页共6页 18.解：(1)连B,C交BC,于O,连OE O为B,C中点，E为AC中点 ∴.OE∥AB 又AB,中面C,EB→AB,∥面C,BE ……………………………………（5分） OEC面C,EB (2)①取A,C,中点H,连B,H,AH C ,△AB,C为正三角形，且H为A,C,中点 .B,H⊥A1C,三棱锥为正三棱锥，.AA1⊥面A,B,C1,AC,∩AA,=A1, ∴.B,H⊥面ACC,A1,又AHC面ACC,A1,.B,H⊥AH 则∠B1AH为直线AB,与面ACCA1所成的角. ………（8分） AB,=2√E,B,H=√3，∴.AH=√AB-B,H=√5 an∠B,AH=B,H-￥B=5】 AH 5 ………（11分） 5 ②由图知，二面角F一BE一A的平面角与二面角F一BE一C的平面角互补，问题转化为是否 存在点R,使得二面角F-BB-C的余孩值为是 .BE⊥AC BE⊥CC →BE⊥面CEC CC∩AC=C 又EFC面CEC,CEC面CEC,∴.BE⊥EF,BE⊥CE ∴.∠FEC为二面角F一BE一C的平面角.… (14分) 设CF=1,则tan∠FEC=瓷=，从而cos∠FEC= 1 3 2+1 5 ∴=号，即CP=号，即F点在CC,上靠近C的三等分点. ………（17分) 19.解：(1)f(x)=2a·b=2 sinzsin-君)+cosx·simx -2[sinr停sinx-coax+cosx·sin时 -sinsinco(1-c0s2z) 2 sin2x ml2x-)+号 ……………………（3分) sin(2x-）e[-1, .f(x)的最大值为√. ………………………（4分） 2025一2026学年下学期期末若试高一数学参若安及评分标准第5而址6而 2gz)=n[2x号-引+9=i如（受-）+ .周期T=4……… …（5分) 又g=+9g2)=5g8)=-方+9g0=0 ∴g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=23 又2026=4×506+2 .g(1)+g(2)+…+g(2026)=506×23+g(1)+g(2) =10125+3+39-2021,8+1 2 (9分) 2 (8)当∈[爱]时fx[1+同， 当∈[-1]时，受-晋[要剖 sm(经-引[-1，引ge[, …(11分） 0当m>0时mfx)[5mw5] 由题知，须[5]=[， 号m≥2→m<1 2 3m≤5+1m<3+E 0m<3+g 2 6 ②m=0时，m)=0,01=[号，生]特合题室 2 ③m<0时，mfxy)∈5m,号n】 由题知，领[]=[，+ V3m≥B,2→m≥3=2E 2 6 2m≤51m≥E+=-(5+35) 2 2 3-2 :3-25≤m<0 6 综合①，②，③得，32E≤m<3+5 6 ……（17分） 6 2025一2026学年下学期期末考试高一数学参考答案及评分标准第6页共6页