精品解析：北京市海淀区北师大实验中学 2024—2025 学年下学期八年级数学期末模拟

北师大实验中学2024—2025学年度第二学期 初二年级数学期末模拟考试试卷 试卷说明： 1.本试卷考试时间为100分钟，总分数为110分． 2.本试卷共8页，四道大题，26道小题． 3.请将答案都写在答题纸上． 4.一律不得使用涂改液及涂改带，本试卷主观试题铅笔答题无效． 5.注意保持卷面整洁，书写工整． 一、单项选择题：（本大题共8小题，每题2分，共16分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　 ） A. B. C. D. 4. 在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是（ ） A. 测量两条对角线是否分别平分两组内角 B. 测量四个内角是否相等 C. 测量两条对角线是否互相垂直且平分 D. 测量四条边是否相等 5. 一次函数中，的值随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表： 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 频数（单位：名） 5 15 对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A. 平均数、中位数 B. 平均数、方差 C. 众数、中位数 D. 众数、方差 7. 如图，中，，把放在平面直角坐标系中，且点，的坐标分别为，，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，线段扫过的区域面积为（ ） A. 66 B. 108 C. 132 D. 16 8. 我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形的面积为y，的长度为x，则下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共8小题，每题2分，共16分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_______. 10. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终成绩为____分． 11. 已知点在函数上，则______． 12. 在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E均是网格线的交点，则_________． 13. 如图，在矩形中，点E为边上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为12，，则__________． 14. 直线与坐标轴围成的三角形面积为1，则__________． 15. 如图，分别以的三边为边长在直线的同侧作等边、等边、等边．若，，，四边形的面积是________． 16. 如图，菱形的边，． （1）菱形的高的长度是__________； （2）P是上一点，，Q是边上一动点，将点A沿直线作对称，A的对应点为，当的长度最小时，的长为__________． 三、解答题（本大题共8道小题，17题和18题每题10分，19至24题每题8分，共68分） 17. 计算 （1） （2） 18. 已知：如图，在中，． 求作：以为对角线的矩形． 作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D； ②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E； ③连接． 四边形 为所求的矩形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)； （2）完成以下证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据) 由作图可知，平分， 又∵， ∴ ( )．(填推理的依据) ∴． ∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据) 19. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 20. 如图直线过点、点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点． （1）求直线的解析式并直接写出点的坐标； （2）求的面积； （3）若当时，关于的不等式恒成立，直接写出的取值范围． 21. 某市一家快餐连锁店的外卖员都是全职骑手．对该快餐连锁店骑手送外卖量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．随机抽取该快餐连锁店的100名外卖骑手，统计他们30天的平均送外卖量（单位：单），并画出频数分布直方图（数据分成6组：，，，，，）； b．该快餐连锁店的两名外卖骑手甲、乙在这30天的送外卖量（单位：单）如下： 甲 10 10 11 11 12 12 12 13 13 14 14 15 16 16 17 29 33 38 42 45 46 46 46 46 47 59 60 60 60 62 乙 18 23 24 25 25 26 27 28 29 29 29 30 30 30 30 31 31 32 32 33 33 33 34 35 35 36 36 37 37 37 c．甲、乙两名外卖骑手这30天送外卖量的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 甲 46 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中，的值； （2）该快餐连锁店共有2000名外卖骑手，为了鼓励工作积极性，决定对800名的外卖骑手发放一次性奖金，请估计甲能否获得这笔奖金？并说明理由； （3）该快餐连锁店提供了两种日工资方案（不考虑其他因素）：方案一规定每日底薪50元，每完成一单外卖提成5元；方案二规定每日底薪100元，外卖的前24单没有提成，从第25单开始，每送一单外卖提成10元． ①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资____乙这30日的工资（填“”“”或“”）； ②为了获得这30天的最高工资，在这两种方案中，乙应选择方案____． 22. 小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是____； （2）下表是与的几组对应值． … 0 1 3 4 … … 1 4 1 … 表中的____； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数图象的性质． （4）结合函数图象，点和点在函数的图象上，且当，时总有成立，则的取值范围是___． 23. 在查阅勾股定理证明方法的过程中，小红看到一种利用“等积变形：同底等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学． （1）根据信息将以下小红的证明思路补充完整： ①如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ADEC，四边形BCFG，四边形ABPQ都是正方形．延长QA交DE于点M，过点C作交DE的延长线于点N，可得四边形AMNC的形状是_______________； ②在图1中利用“等积变形”可得_______________； ③如图2，将图1中的四边形AMNC沿直线MQ向下平移MA的长度，得到四边形A'M'N'C'，即四边形QACC'； ④设CC'交AB于点T，延长CC'交QP于点H，在图2中再次利用“等积变形”可得____________，则有； ⑤同理可证，因此得到，进而证明了勾股定理． （2）小芳阅读完小红的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小红对小芳的说明补充完整： 图1中△ADM≌△_______________，则有_______________＝AB＝AQ，由于平行四边形的对边相等，从而四边形AMNC沿直线MQ向下平移MA的长度，得到四边形QACC'． 24. 在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； （2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 四、选做题（25题4分，26题6分） 25. 如图，点A、B、C为平面内不在同一条直线上的三个点，点D为平面内一点，线段、、、的中点分别为M、N、P、Q，连接M、N、P、Q组成的凸四边形中，下列叙述正确的是：__________． ①存在无数个这样的凸四边形为平行四边形； ②这样的凸四边形不可能是菱形； ③仅存在一个这样的凸四边形是矩形； ④恰好存在两个这样的凸四边形是正方形． 26. 在平面直角坐标系中： 已知正方形，其中，，，，，为该正方形外两点，给出如下定义：平移线段得到线段，使点，分别落在正方形的相邻两边上，或线段与正方形的边重合分别为点，的对应点，线段或长度的最大值称为线段到正方形的“平移距离”． （1）如图，平移线段，得到正方形内两条长度为的线段，则这两条线段的位置关系是______；______(填或)的线段的长度等于线段到正方形的“平移距离”； （2）直线：与轴、轴交于点、，点、为线段上两点，求到正方形的“平移距离”的最大值． （3）若点，直接写出到正方形的“平移距离”的最小值：__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大实验中学2024—2025学年度第二学期 初二年级数学期末模拟考试试卷 试卷说明： 1.本试卷考试时间为100分钟，总分数为110分． 2.本试卷共8页，四道大题，26道小题． 3.请将答案都写在答题纸上． 4.一律不得使用涂改液及涂改带，本试卷主观试题铅笔答题无效． 5.注意保持卷面整洁，书写工整． 一、单项选择题：（本大题共8小题，每题2分，共16分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的条件，掌握最简二次根式的条件（①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号）成为解题的关键． 根据最简二次根式的条件逐项分析判断即可． 【详解】解：A．，故不是最简二次根式，不符合题意； B．是质数，无法分解为平方数与其他数的乘积，且分母无根号，则符合最简二次根式的条件，符合题意； C．分母含根号，需有理化，故原式不是最简二次根式，不符合题意； D． 是整数，故不是最简二次根式，不符合题意. 故选B． 2. 如图，在中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质和平行线的性质解答即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C. 【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等和平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键. 3. 下列计算正确的是（　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法、二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的性质，根据二次根式的乘法、二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的性质 判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 在数学活动课上，老师和同学判断教室中的瓷砖是否为菱形，下面是某小组拟定的4种方案，其中不正确的是（ ） A. 测量两条对角线是否分别平分两组内角 B. 测量四个内角是否相等 C. 测量两条对角线是否互相垂直且平分 D. 测量四条边是否相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理分别进行判定即可得到答案． 【详解】解：A、两条对角线是否分别平分两组内角可以判定四边形是不是菱形，故不符合题意； B、四个内角是否相等不能判定四边形是不是菱形，故符合题意； C、两条对角线是否互相垂直且平分可以判定四边形是不是菱形，故不符合题意； D、四条边是否相等可以判定四边形是不是菱形，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理：①邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形的四边形是菱形．熟记菱形的判定定理是解题的关键． 5. 一次函数中，的值随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． 根据一次函数的性质，当时，函数值随的增大而增大，列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】解：一次函数中， ．若函数值随的增大而增大，需满足，即．解得． 故选A． 6. 某校合唱团有30名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表： 年龄（单位：岁） 13 14 15 16 频数（单位：名） 5 15 对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ） A. 平均数、中位数 B. 平均数、方差 C. 众数、中位数 D. 众数、方差 【答案】C 【解析】 【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案． 【详解】由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x＋10−x＝10， 则总人数为：5＋15＋10＝30， 故该组数据的众数为14岁，中位数为：＝14岁， 即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数； 故选：C． 【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 7. 如图，中，，把放在平面直角坐标系中，且点，的坐标分别为，，将沿轴向左平移，当点落在直线上时，线段扫过的区域面积为（ ） A. 66 B. 108 C. 132 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作轴于点D，由点A、B的坐标利用勾股定理可求出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C移动后的坐标，借助平行四边形的面积即可得出线段扫过的面积． 【详解】过点C作轴于点D，如图所示． ∵点A，B的坐标分别为，，， ∴， ∴． ∴点C的坐标为． 当时，有， 解得：， ∴点C平移后的坐标为． ∴沿x轴向左平移个单位长度， ∴线段扫过的面积． 故选C． 【点睛】此题考查坐标与图形变化-平移，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，作辅助线构造直角三角形是解题关键． 8. 我们知道，四边形具有不稳定性．如图，边长为2的菱形的形状可以发生改变，在这个变化过程中，设菱形的面积为y，的长度为x，则下列图象中，可以表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题函数图象，分析菱形形状变化过程是解题的关键；过点A作于E，当E点与B点重合时，，可判断出此时面积最大，且随着x的减小，面积减小，随着x的增大，面积也增大，而前三个选项中图象均不满足；故可作出判断． 【详解】解：如图，过点A作于E； 当E点与B点重合时，，则， 此时面积最大，且为， 当A往右方向移动时，减小，也减小， 而跟着减小， 即随着x由减小到接近0，但不为0，面积由4减小到接近0，但不为0； 同理，随着x的增大到，面积也增大到4， 前三个选项中图象均不满足，只有移项D满足； 故选：D． 二、填空题：（本大题共8小题，每题2分，共16分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 10. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终成绩为____分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键．根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：小明的最终比赛成绩为（分）， 故答案为：． 11. 已知点在函数上，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的坐标特征，把代入得，把变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵点在函数上， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12. 在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E均是网格线的交点，则_________． 【答案】45 【解析】 【分析】根据网格的特点找到格点，证明，从而可得，然后根据勾股定理求得证明是等腰直角三角形，即可求得． 【详解】如图， ， ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形 ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了网格与勾股定理，证明是解题的关键． 13. 如图，在矩形中，点E为边上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为12，，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形与三角形．熟练掌握矩形性质，三角形周长，勾股定理，是解题关键． 矩形性质可知，根据，，，得，解方程即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ∴， ∵的周长为12，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：5． 14. 直线与坐标轴围成的三角形面积为1，则__________． 【答案】± 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：在函数中，当时，；当时，， 直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ， ． 故答案为：． 15. 如图，分别以的三边为边长在直线的同侧作等边、等边、等边．若，，，四边形的面积是________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，过点F作于M，可证明，则由勾股定理的逆定理可得，由等边三角形的性质可得，则可证明，得到，求出，得到；同理可证明，得到，再证明，得到四边形是平行四边形，则． 【详解】解；如图所示，过点F作于M， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：6． 16. 如图，菱形的边，． （1）菱形的高的长度是__________； （2）P是上一点，，Q是边上一动点，将点A沿直线作对称，A的对应点为，当的长度最小时，的长为__________． 【答案】 ①. ②. 7 【解析】 【分析】（1）作于，根据菱形的性质可判断为等边三角形，三线合一结合勾股定理求出的长即可； （2）勾股定理求出的长，根据，得到在线段上时，的值最小，推出即可． 【详解】解：（1）作于，如图， 菱形的边，， ∴，， 为等边三角形， ∴， ； 即：菱形的高的长度是； 故答案为：； （2）由（1）知：，， ， ， 在中， ． 将点A沿直线作对称，A的对应点为， ∴， ∴， 当点在上时，的值最小，此时， ∵， ， ， ； 故答案为7． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是确定点在上时，的值最小． 三、解答题（本大题共8道小题，17题和18题每题10分，19至24题每题8分，共68分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据最简二次根式的定义，对每个式子化简后再合并同类二次根式即可； （2）二次根式化简为最简二次根式，利用平方差公式计算，然后合并即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 ． 18. 已知：如图，在中，． 求作：以为对角线的矩形． 作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线与交于点D； ②以点 A 为圆心，的长为半径画弧；再以点C 为圆心，的长为半径画弧，两弧在的右侧交于点E； ③连接． 四边形 为所求的矩形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)； （2）完成以下证明． 证明：∵， ∴四边形为平行四边形( )．(填推理的依据) 由作图可知，平分， 又∵， ∴ ( )．(填推理的依据) ∴． ∴平行四边形是矩形( )．(填推理的依据) 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 证明：∵， ∴四边形为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． 由作图可知，平分， 又∵， ∴ (三线合一定理)． ∴． ∴平行四边形是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，角平分线的尺规作图，等腰三角形三线合一： （1）根据题意作图即可； （2）根据矩形的判定定理和等腰三角形三线合一定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长． 【答案】 (1)证明:∵四边形ABCD为菱形， ∴点O为BD的中点， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形． (2)OE=5，BG=2. 【解析】 【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形； (2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2． 【详解】解：(1)略 (2)∵点E为AD的中点，AD=10， ∴AE= ∵∠EFA=90°，EF=4， ∴在Rt△AEF中，． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD=10， ∴OE=AB=5， ∵四边形OEFG为矩形， ∴FG=OE=5， ∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2． 故答案为：OE=5，BG=2． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握． 20. 如图直线过点、点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点． （1）求直线的解析式并直接写出点的坐标； （2）求的面积； （3）若当时，关于的不等式恒成立，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合，求两直线的交点坐标，解一元一次不等式组，根据不等式的解集情况求参数，熟知相关知识是解题的关键． （1）设出直线的解析式，再利用待定系数法可求出直线的解析式；再联立两直线解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点C坐标，进而得到的长，再根据列式求解即可； （3）先解不等式得到，根据当时，关于的不等式恒成立，得到，且，则，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 解；设直线的解析式为， ∵直线过点、点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 联立，解得， ∴； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵当时，关于的不等式恒成立， ∴，且， ∴， 解得． 21. 某市一家快餐连锁店的外卖员都是全职骑手．对该快餐连锁店骑手送外卖量的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．随机抽取该快餐连锁店的100名外卖骑手，统计他们30天的平均送外卖量（单位：单），并画出频数分布直方图（数据分成6组：，，，，，）； b．该快餐连锁店的两名外卖骑手甲、乙在这30天的送外卖量（单位：单）如下： 甲 10 10 11 11 12 12 12 13 13 14 14 15 16 16 17 29 33 38 42 45 46 46 46 46 47 59 60 60 60 62 乙 18 23 24 25 25 26 27 28 29 29 29 30 30 30 30 31 31 32 32 33 33 33 34 35 35 36 36 37 37 37 c．甲、乙两名外卖骑手这30天送外卖量的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 甲 46 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中，的值； （2）该快餐连锁店共有2000名外卖骑手，为了鼓励工作积极性，决定对800名的外卖骑手发放一次性奖金，请估计甲能否获得这笔奖金？并说明理由； （3）该快餐连锁店提供了两种日工资方案（不考虑其他因素）：方案一规定每日底薪50元，每完成一单外卖提成5元；方案二规定每日底薪100元，外卖的前24单没有提成，从第25单开始，每送一单外卖提成10元． ①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资____乙这30日的工资（填“”“”或“”）； ②为了获得这30天的最高工资，在这两种方案中，乙应选择方案____． 【答案】（1）23；30 （2） 甲不能获得这笔奖金，理由如下： ∵一共抽查了100名骑手，其中这30天的平均送单量不低于35单的有人， ∴这30天的平均送单量不低于35单的人数占比为， ∵共有2000名外卖骑手，决定对800名的外卖骑手发放一次性奖金， ∴奖励的人数占比为， ∴能获得奖励的外卖员的平均送单量要不低于35单， ∵甲的平均送单量为单， ∴甲不能获得这笔奖金； （3）①；②一 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，频数分布直方图，求中位数，求众数，用平均数做决策等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）根据题意可得样本中这30天的平均送单量不低于35单的人数占比为，而获得奖励的人数占比也为，那么能获得奖励的外卖员的平均送单量要不低于35单，据此可得结论； （3）①根据工资计算方式分别计算出甲、乙两人的工资即可得到结论；②计算出方案二下乙的工资即可得到结论． 【小问1详解】 解：把甲这30天的送外卖量按照从低到高的顺序排列，中位数是第15个数据和第16个数据的平均数， ∴甲的中位数为，即； ∵乙这30天的送外卖量中，30单的天数最多， ∴乙的众数为30，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①若甲、乙两人都选择了方案一，则甲这30日的工资元， 乙这30日的工资是， ∴甲这30日的工资乙这30日的工资； 乙选择方案二时，这30日的工资是， ∵， ∴在这两种方案中，乙应选择方案一． 22. 小静根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小静的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是____； （2）下表是与的几组对应值． … 0 1 3 4 … … 1 4 1 … 表中的____； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象，并写出一个该函数图象的性质． （4）结合函数图象，点和点在函数的图象上，且当，时总有成立，则的取值范围是___． 【答案】（1）； （2）4； （3）解：如图所示， 由图象可得，函数图象关于直线对称（答案不唯一，正确即可）； （4）或 【解析】 【分析】（1）根据分式的分母不等于零求解即可； （2）将代入求解即可； （3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；观察图象即可得出该函数的性质； （4）根据题意分三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 解：将代入 故答案为：4； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：当，在对称轴左侧时，恒成立， ∴， ∴； 当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，即， ∴， ∵恒成立， ∴当的值大于的值， ∴， 解得：， ∴； 当，在对称轴右侧时，不成立； 综上所述：或． 23. 在查阅勾股定理证明方法的过程中，小红看到一种利用“等积变形：同底等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学． （1）根据信息将以下小红的证明思路补充完整： ①如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ADEC，四边形BCFG，四边形ABPQ都是正方形．延长QA交DE于点M，过点C作交DE的延长线于点N，可得四边形AMNC的形状是_______________； ②在图1中利用“等积变形”可得_______________； ③如图2，将图1中的四边形AMNC沿直线MQ向下平移MA的长度，得到四边形A'M'N'C'，即四边形QACC'； ④设CC'交AB于点T，延长CC'交QP于点H，在图2中再次利用“等积变形”可得____________，则有； ⑤同理可证，因此得到，进而证明了勾股定理． （2）小芳阅读完小红的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小红对小芳的说明补充完整： 图1中△ADM≌△_______________，则有_______________＝AB＝AQ，由于平行四边形的对边相等，从而四边形AMNC沿直线MQ向下平移MA的长度，得到四边形QACC'． 【答案】（1）①平行四边形， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质易证四边形是平行四边形，再根据等底等高可得；再证明可得；通过平移的性质可得、进而完成解答； （2）直接根据全等三角形的判定与性质即可解答． 【小问1详解】 解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴图1中的四边形沿直线向下平移的长度，得到四边形，即四边形， ∴， ∴， ∴同理可证， ∴． 故答案为：平行四边形，． 【小问2详解】 由（1）可知：， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识点、平移的性质，灵活运用相关性质和判定定理成为解题的关键． 24. 在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段． （1）如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； （2）如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即D是的中点； （2） ； 证明：如图2，延长到H使，连接，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴，是等腰三角形， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 四、选做题（25题4分，26题6分） 25. 如图，点A、B、C为平面内不在同一条直线上的三个点，点D为平面内一点，线段、、、的中点分别为M、N、P、Q，连接M、N、P、Q组成的凸四边形中，下列叙述正确的是：__________． ①存在无数个这样的凸四边形为平行四边形； ②这样的凸四边形不可能是菱形； ③仅存在一个这样的凸四边形是矩形； ④恰好存在两个这样的凸四边形是正方形． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识． 连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：连接、， ，，，的中点分别为，，，， ，，，，，， ，，，， ①当与不平行时，如图1， ，， 中点四边形是平行四边形， 故存在无数个中点四边形是平行四边形，故符合题意； ②当且与不平行时，如图2， ，，， ， 中点四边形是菱形；故存在无数个中点四边形是菱形，故①符合题意； ③当，不重合）时，如图3， ，，， ， 中点四边形是矩形； 故存在无数个中点四边形是矩形，故③不符合题意； ④当，时，如图4， ，，， ， ，， 中点四边形是正方形； 故存在两个中点四边形是正方形；故④符合题意． 综上：正确的有①②④． 故答案为：①②④． 26. 在平面直角坐标系中： 已知正方形，其中，，，，，为该正方形外两点，给出如下定义：平移线段得到线段，使点，分别落在正方形的相邻两边上，或线段与正方形的边重合分别为点，的对应点，线段或长度的最大值称为线段到正方形的“平移距离”． （1）如图，平移线段，得到正方形内两条长度为的线段，则这两条线段的位置关系是______；______(填或)的线段的长度等于线段到正方形的“平移距离”； （2）直线：与轴、轴交于点、，点、为线段上两点，求到正方形的“平移距离”的最大值． （3）若点，直接写出到正方形的“平移距离”的最小值：__________． 【答案】（1）平行； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平移的性质，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理求两点距离，理解新定义是解题的关键； （1）根据平移的性质结合定义即可求解； （2）点、为线段上两点，要使得最大，则在上，而到轴的距离为，则，根据解析式可得过定点，过点作轴于点，则，根据，得出重合，进而勾股定理求得的长，即可求解； （3）根据题意要使得最小，则离点最近，则当和重合时，最小，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：根据平移的性质可得分别与平行， ∴， 根据图形可得，则的线段的长度等于线段到正方形的“平移距离” 故答案为：平行；． 【小问2详解】 解： 当时， ∴直线过定点， 当时， 解得： ∴ 根据（1）可得平移后的位置有2个， ∵点、为线段上两点，要使得最大，则在上，而到轴的距离为，则， ∴， 如图，过点作轴于点，则， ∴， 在中， 又∵，则重合， 在中，，， ∴， 平移后的对应线段为，即最大距离为， 在中，， ∴， 【小问3详解】 解：∵， 要使得最小，则离点最近， 如图，当和重合时，最小，此时线段与正方形的边重合，符合题意， 此时 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $