精品解析：江苏省扬州市梅岭集团2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

扬州市梅岭中学教育集团2024-2025学年第二学期期末考试试卷 初二年级 数学学科 （时间：120分钟；） 友情提醒：所有试题的解答请在答题纸上作答，否则一律无效！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义即可得出答案． 【详解】A.不是中心对称图形，不符合题意； B.是中心对称图形，符合题意； C.不是中心对称图形，不符合题意； D.不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 2. 下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A. 环保部门调查长江的水质情况 B. 调查五一期间到扬州旅游的游客满意度 C. 调查我市中学生使用手机的时长 D. 调查神舟飞船各零件部位是否正常 【答案】D 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据以上逐项分析可知． 【详解】A. 环保部门调查长江的水质情况，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故该选项不符合题意； B. 调查五一期间到扬州旅游的游客满意度，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故该选项不符合题意； C. 调查我市中学生使用手机的时长，调查范围广，费时费力，适合抽样调查，故该选项不符合题意； D. 调查神舟飞船各零件部位是否正常，这个调查很重要不可漏掉任何零件，适合普查，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是全面调查与抽样调查，在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小．理解全面调查与抽样调查的适用范围是解题的关键． 3. 若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的性质即可求解． 【详解】解：和都扩大为原来的3倍得到： 因为分式的值不变 所以是同时含有和的一次二项式 故选：A 【点睛】本题考查分式的性质．掌握相关性质是解题的关键． 4. 从数学的观点看，对以下成语及诗句中的事件判断正确的是（ ） A. 成语“守株待兔”是随机事件 B. 成语“水中捞月”是随机事件 C. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 D. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 【答案】A 【解析】 【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；在一定条件下，肯定它一定不会发生的事件，称为不可能事件；在一定条件下，肯定它一定会发生的事件，称为必然事件；根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义进行分析即可． 【详解】解：A：“守株待兔”可能发生也可能不发生，故是随机时间，符合题意； B：“水中捞月”是肯定会失败的，是不可能事件，故不符合题意； C：“清明时节雨纷纷” 可能发生也可能不发生，是随机时间，故不符合题意； D：“离离原上草，一岁一枯荣”是肯定会发生的事件，是必然事件，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查事件类型的判断，解题的关键是掌握事件的分类知识． 5. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定． 【详解】解：，与不是同类二次根式，故A选项不合题意； 不能化简，与不是同类二次根式，故B选项不合题意； ，与不是同类二次根式，故C选项不合题意； ，与是同类二次根式，故D选项符合题意； 故选：D． 6. 要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（　　） A. 测量两组对边是否相等 B. 测量对角线是否相等 C. 测量对角线是否互相平分 D. 测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理判定即可． 【详解】A.测量两组对边是否相等，能判定平行四边形，故A错误； B.对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定四边形的形状，故B错误； C.测量对角线是否互相平分，能判定平行四边形，故C错误； D.根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形．故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 7. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（椽—装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）． 原文：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽． 译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ 设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，由等量关系列出方程是关键；根据题意，少拿一株椽后，剩下的运费等于一株椽的价钱；设总株数为x，则每株椽的价钱为文，剩下的株的运费为文；根据等量关系列方程即可． 【详解】解：设这批椽有株，则每株椽的价钱为文，若少拿一株，剩下的株的运费为文； 根据题意，得：； 故选：D． 8. 如图，为正方形中边上的一点，且，，分别为边，上的动点，且始终保持，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 过点作交于，过点作，过点作，两直线交于点，连接，由勾股定理求出的长，证明，得出，证明四边形是平行四边形，得出，，从而推出，当点、、三点共线时，的值最小，为，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作交于，过点作，过点作，两直线交于点，连接，  四边形是正方形， ，， ， ， ， ，，  四边形是平行四边形， ， ，，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，  当点、、三点共线时，的值最小，为， ． 故选：C． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题涉及算术平方根的概念．算术平方根是一个非负数的正的平方根．对于形如，先求出的值，再加上负号． 【详解】解： 故答案为：． 10. 若分式的值为0，则x＝_____． 【答案】x=3 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，可得，据此求出x的值是多少即可． 【详解】解: ∵分式的值为0， ∴， 解得x＝3． 故答案为3． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少． 11. 平行四边形中，，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形中对角相等的性质，结合已知的度数求解．本题主要考查平行四边形的性质（平行四边形的对角相等 ），熟练掌握平行四边形对角相等的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形 ∴ 又∵ ，即 ∴ 故答案为： ． 12. 某批篮球的质量检验结果如下：从这批篮球中任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值是_______． 抽取的篮球数n 100 200 400 600 800 1000 1200 优等品频数m 93 192 380 561 752 941 1128 优等品频率 0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940 【答案】0.940． 【解析】 【分析】由表中数据可判断频率在0.940左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只篮球是优等品的概率为0.940． 【详解】从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是0.940． 故答案为：0.940． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题． 13. 若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质．由可得在各象限内y随x增大而减小，由可得点A，点B都在第一象限，或都在第三象限，进而求解． 【详解】解：∵， ∴在一，三象限时，y随x增大而减小， ∵，， ∴点A，点B都在第一象限，或都在第三象限， ∴，或， 解得或； 故答案为：或． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根问题，先解分式方程，求出分式方程的解，进而求出增根得到关于的一元一次方程，解方程即可求解，理解增根的意义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， ∵分式方程有增根， ∴， 即， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．连接，，根据矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出的长，再利用直角三角形斜边上的中线可得，最后根据旋转的性质可得：，，从而利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由旋转得：，， ∴． 故答案为：5． 16. 反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由点为反比例函数的图象与一次函数的图象的交点，可得出、，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征找出、是解题的关键． 17. 如图，矩形的顶点B、D落在反比例函数 的图像上，点A落在反比例函数 （k为常数，)在第二象限的图像上，矩形被坐标轴分割成四个小矩形．若在第四象限的小矩形的面积为1，则k的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质等知识，设，，，，由矩形性质得，，，，根据反比例函数比例系数k的几何意义及其图像上点的坐标特征得，，，结合，，可得，问题随之得解． 【详解】解：设，，，， 由题意：，，，， ∵点B、D落在反比例函数 的图像上， ∴，， ∵在第四象限的小矩形的面积为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A落在反比例函数 （k为常数，)在第二象限的图像上， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在四边形中，点E是的中点，连接、，若，，，且，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】取中点F，连接， ，，利用三线合一得出，利用直角三角形斜边中线的性质求出，，利用等边对等角得出，利用三角形外角的性质求出，利用三角形中位线定理和平行线的性质求出，即可求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：取中点F，连接， ，， ∵，点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E、F是、中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造等腰直角三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）先利用二次根式的性质化简，再进行二次根的加减运算． （2）先计算二次根式的乘除法，再计算二次根的加减运算． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， 经检验：当时，则， ∴是原分式方程的解． 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 经检验：当时，则， ∴是原分式方程的解． 21. 已知分式：． （1）化简这个分式； （2）把分式化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式，问：当时，分式的值较原来分式的值是变大了还是变小了？试说明理由． 【答案】（1） （2） 变小了,理由如下： ； ∵， ∴，， ∴， 即 ∴分式的值较原来分式的值是变小了． 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，异分母分式减法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先通分括号内，再运算除法，然后化简，即可作答． （2）理解题意，列式得，然后通分，再化简得，结合，得，，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 略 22. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了“书香校园”的读书活动，活动中，为了解学生对书籍种类（：艺术类，：科技类，：文学类，：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成两幅不完整的统计图． （1）这次调查中，一共调查了___________名学生； （2）在扇形统计图中，“”部分所对应的圆心角的度数为___________度； （3）补全条形统计图； （4）若全校有2000名学生，请估计喜欢（科技类）的学生有多少名？ 【答案】（1） （2） （3） 补全条形统计图如下： （4）喜欢（科技类）的学生大约有名． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，解题的关键是正确理解图中的信息． （1）根据类的人数和所占的百分比，即可求出总人数； （2）用类人数比总数，可得所占的百分比，乘以即可求出扇形统计图中“”对应的圆心角度数， （3）用总人数乘以所占的百分比，求出的人数，补全条形统计图即可； （4）先计算所占的百分比，总人数乘以样本中所占百分比即可． 【小问1详解】 解：（名） 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵所占百分比为， ∴扇形统计图中，“”部分所对应的圆心角的度数为：， 故答案为：． 【小问3详解】 解：“”部分对应的人数为（人） 【小问4详解】 解：所占的百分比为， （名）， 答：喜欢（科技类）的学生大约有名． 23. 某社区计划对固定区域进行绿化，经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．求甲工程队每天能完成绿化的面积． 【答案】甲工程队每天能完成绿化的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设乙工程队每天能完成绿化的面积为，则甲工程队每天能完成绿化的面积为，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合两队独立完成面积为区域的绿化时甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设乙工程队每天能完成绿化的面积为，则甲工程队每天能完成绿化的面积为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：甲工程队每天能完成绿化的面积． 24. 我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． （1）______________，______________，的小数部分＝______________； （2）设的小数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点即可求得和；已知，则可求得的小数部分； （2）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点可求得的整数部分和小数部分，进而可求得，遵循同样步骤可求得，将和代入原式即可得解； （3）利用有理数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，不等式的性质等知识点可求得的取值范围，进而根据已知条件可求得和，于是可求得，并最终求得的相反数． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 的小数部分为， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：， ， ， 的小数部分为， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ，是整数，且， ，， ， 的相反数为． 【点睛】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，不等式的性质，求相反数等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键． 25. （1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是矩形； （2）如图②，若四边形ABCD满足∠A＝∠C＞90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】 （1）证明：如图①，连接BD， ∵∠A＝∠C＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中， AB＝CD，BD＝DB， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）． ∴AD＝CB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． （2）证明：如图②，分别过点B、D作BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中，∠AEB＝∠CFD＝90°，∠BAE＝∠DCF，AB＝CD， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF，AE＝CF， 由（1）可得四边形EBFD是矩形， ∴ED＝BF， ∴AD＝BC， ∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）连接BD，证明Rt△ABD≌Rt△CDB得AD＝CB，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可证明四边形ABCD是平行四边形，再根据有一个是直角的平行四边形是矩形可得结论； （2）分别过点B、D作BE⊥AD于点E，DF⊥BC于点F，证明△ABE≌△CDF，进而证明四边形EBFD是矩形，再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查了矩形的判定和平行四边形的判定，熟练运用矩形的判定和平行四边形的判定是解答此题的关键． 26. 如图，在中，，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上． （1）求，的值； （2）若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）过B作于E，得到，，，根据勾股定理得到，求得；过C作轴于F，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得； （2）由（1）知，，设，，根据平行四边形的性质列方程组即可得到结论． 【小问1详解】 解：过B作于E， ∵A的坐标为，点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 过C作轴于F， ∴， ∵将线段绕点A按顺时针方向旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点C恰好在反比例函数的图象上， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∵P，Q分别为反比例函数，图象上一点， ∴设，， ∵以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为平行四边形的对角线时，由图象得这种情况不存在； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ∴； 当AQ为平行四边形的对角线时， ， 解得（不合题意）， 综上所述，． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 27. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，作以点为对称中心的平行四边形． （2）在图②中，作四边形的边上的高． （3）在图③中，在四边形的边上找一点，连结，使． 【答案】（1） 如图①中，平行四边形即为所求； （2） 如图②中，高即为所求； （3） 如图③中，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用网格特征连接，并延长，即可作以点为对称中心的平行四边形； （2）取格点，连接交于点，即可作四边形的边上的高； （3）取格点，，，连接，，，与交于点，连接并延长交于点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据网格与勾股定理得出 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴即为所求； 【小问3详解】 如图所示，找到格点， ，， 则是等腰直角三角形， 找到格点，则是矩形， ∴是的中点， ∴垂直平分， 即． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中心对称的性质，勾股定理与网格问题，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 28. 【教材重现】以下是苏科版八（下）数学教材第94页第19题： 在正方形中： ①如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； ②如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 （1）如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交于．若正方形的边长为12，，则___________； 【继续探索】 （2）如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为19，则___________． 【答案】 教材重现①， 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②，证明： 过点A作，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 同理①可得：， ∴； （1）5； （2），理由： 延长，交的延长线于点I，如图所示： 同理①可得： ， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】教材重现：①由题意易得，则有，然后可知，进而问题可求解；②过点A作，则有四边形是平行四边形，然后同理可得，进而问题可求解； （1）连接，交于点K，由折叠的性质可知，同理可得，进而根据勾股定理可进行求解； （2）延长，交的延长线于点I，同理①可得：，然后通过证明，进而根据全等三角形的性质及直角三角形斜边中线定理可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后根据完全平方公式及线段的和差关系可进行求解． 【详解】教材重现：解：①略 ②略 （1）连接，交于点K，如图所示： 由折叠的性质可知：， 同理②可得：， 在正方形中，， ∴； 故答案为5； （2）略 （3）同理①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：（负根舍去）； 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理及轴对称的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理及轴对称的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市梅岭中学教育集团2024-2025学年第二学期期末考试试卷 初二年级 数学学科 （时间：120分钟；） 友情提醒：所有试题的解答请在答题纸上作答，否则一律无效！ 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，最适合采用普查方式的是（ ） A. 环保部门调查长江的水质情况 B. 调查五一期间到扬州旅游的游客满意度 C. 调查我市中学生使用手机的时长 D. 调查神舟飞船各零件部位是否正常 3. 若分式中的和都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（ ） A. B. C. D. 3 4. 从数学的观点看，对以下成语及诗句中的事件判断正确的是（ ） A. 成语“守株待兔”是随机事件 B. 成语“水中捞月”是随机事件 C. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 D. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 5. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（　　） A. 测量两组对边是否相等 B. 测量对角线是否相等 C. 测量对角线是否互相平分 D. 测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 7. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著，该著作记载了“买椽多少”问题（椽—装于屋顶以支持屋顶材料的木杆）． 原文：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽． 译文：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？ 设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为正方形中边上的一点，且，，分别为边，上的动点，且始终保持，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 9. 计算：___________． 10. 若分式的值为0，则x＝_____． 11. 平行四边形中，，则______度． 12. 某批篮球的质量检验结果如下：从这批篮球中任意抽取的一只篮球是优等品的概率的估计值是_______． 抽取的篮球数n 100 200 400 600 800 1000 1200 优等品频数m 93 192 380 561 752 941 1128 优等品频率 0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940 13. 若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是__________． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 15. 如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为_______． 16. 反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则的值是______． 17. 如图，矩形的顶点B、D落在反比例函数 的图像上，点A落在反比例函数 （k为常数，)在第二象限的图像上，矩形被坐标轴分割成四个小矩形．若在第四象限的小矩形的面积为1，则k的值为_________． 18. 如图，在四边形中，点E是的中点，连接、，若，，，且，则的长为_______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知分式：． （1）化简这个分式； （2）把分式化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式，问：当时，分式的值较原来分式的值是变大了还是变小了？试说明理由． 22. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了“书香校园”的读书活动，活动中，为了解学生对书籍种类（：艺术类，：科技类，：文学类，：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成两幅不完整的统计图． （1）这次调查中，一共调查了___________名学生； （2）在扇形统计图中，“”部分所对应的圆心角的度数为___________度； （3）补全条形统计图； （4）若全校有2000名学生，请估计喜欢（科技类）的学生有多少名？ 23. 某社区计划对固定区域进行绿化，经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．求甲工程队每天能完成绿化的面积． 24. 我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，的小数部分为． （1）______________，______________，的小数部分＝______________； （2）设的小数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，求的相反数． 25. （1）如图①，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是矩形； （2）如图②，若四边形ABCD满足∠A＝∠C＞90°，AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形． 26. 如图，在中，，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上．若将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AC，点C恰好在反比例函数的图象上． （1）求，的值； （2）若P，Q分别为反比例函数，图象上一点，且以点O，P，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标． 27. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，作以点为对称中心的平行四边形． （2）在图②中，作四边形的边上的高． （3）在图③中，在四边形的边上找一点，连结，使． 28. 【教材重现】以下是苏科版八（下）数学教材第94页第19题： 在正方形中： ①如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； ②如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 （1）如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交于．若正方形的边长为12，，则___________； 【继续探索】 （2）如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为19，则___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $