精品解析：北京市育英学校2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷（四年制）

北京市育英学校四年制初三第一学期期末练习 数学 一、选择题（本题共30分，每题3分，第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，从左向右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 1，1，2 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 1，，2 4. 在奥运会跳水项目中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成绩．去掉这两个分数的前后， 一定不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 已知一次函数 ，那么下列结论正确的是（ ） A. y 的值随 x 的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象必经过点 D. 当 时，y<0 6. 下面的四个问题中都有两个变量：变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象的是（ ） A. 汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的行驶路程y与行驶时间x B. 用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的一条边长y与另一条边长x C. 将水匀速注入水箱中，水箱中的水量y与注水时间x D. 在弹簧测力计的弹性范围内，弹簧挂重物伸长后的总长度y与所挂重物质量x 7. 如图，四边形是菱形，，，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 64 8. 某学校为了让学生更好地体会中国传统节日的文化内涵，在端午节到来之际，组织“端午诗词朗诵会”、邀请两位学生和两位教师担任评委，比赛评分规则为：每位评委先按十分制对参赛选手独立打分，然后将两位学生评委和两位教师评委的评分按照的比，计算出选手的最终成绩.下表是四位评委给某位选手的打分成绩： 学生评委 教师评委 评委 评委 评委 评委 分 分 分 分 则该选手的最终成绩是（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 9. 在平面直角坐标系中，当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在平面直角坐标系中的四个点，恒过定点的直线，与四边形交于点M，N（点M和N可以重合）． 根据学习函数的经验，线段的长度l可以看做k的函数，绘制函数l的图象如图2．下列说法正确的是（ ） A. l是k的一次函数 B. 函数l有最大值为3 C. 当时，函数l随k的增大而增大 D. 函数l的图象与横轴的一个交点是 二、填空题（本题共24分，每题3分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 12. 请写出一个图象平行于直线，且过第一、二、四象限的一次函数的表达式________． 13. 已知点和点是一次函数图象上的点，则_______．（用“”，“”或“”连接） 14. 甲，乙两地5月上旬的日平均气温如图所示，则这两地5月上旬日平均气温的方差较小的是__________．（填“甲”或“乙”）． 15. 初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形． 16. 一家鞋店在一段时间内销售了某款女鞋30双，各种尺码鞋的销售数量如下表所示．在由鞋的尺码组成的数据中，这组数据的众数是_________． 尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 10 7 4 1 17. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 _________________ ． 18. 由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，需要对它的刹车性能进行测试，设汽车的刹车距离为（单位：），车速为（单位：），根据测得的数据，与的函数关系如图所示， （1）若该款汽车某次测试的刹车距离为，估计该车的速度约为 ________； （2）在测试中发现该款汽车在车速达到某一数值时，其刹车距离的数值恰好是车速数值的，则此时的车速约为 _______（结果取整数）． 三、解答题（本题共46分，其中第19题6分，第23题4分，第25题4分，第26题7分，第20，21，22，24，27题每题5分） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 一次函数的图像经过点和． （1）求这个一次函数的表达式； （2）画出该函数的图像； （3）结合图像回答：当时，x的取值范围是______． 21. 为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：）． b．八年级学生成绩在这一组的是： 81 83 84 84 84 86 89 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________； （3）成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 22. 在证明直角三角形相关性质时，班里善于思考的两位同学提出了如下两种添加辅助线的方法，请乐于探究的你选择其中一种方法，完成证明． 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，点是的中点． 求证：． 方法一 证明：如图，延长到点，使得，连接，． 方法二 证明：如图，取的中点，连接． 23. 在某校组织的“人与自然”主题绘画活动中，该校的每位同学都上交了一幅作品，在本次活动中，评委从美术表现和创造实践两项对作品打分，各项得分均按百分制计．对所有作品的得分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．所有作品美术表现和创造实践的单项得分的平均数、中位数如下： 评分项 平均数 中位数 美术表现 86.5 85 创造实践 86 88 b．甲、乙两位同学作品的得分如下： 美术表现 创造实践 甲 86 87 乙 85 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）在所有作品中，记在美术表现这一项中，得分高于该项的平均分的学生作品个数为；记在创造实践这一项中，得分高于该项的平均分的学生作品个数为，则___________（填“＞”，“＝”或“＜”）． （2）若按美术表现占60%，创造实践占40%计算每位同学作品的平均得分，那么乙同学作品的平均得分是___________，甲、乙两位同学作品的平均得分排名更靠前的同学是___________（填“甲”或“乙”）． 24. 水龙头关闭不严会造成滴水．为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究： 试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据． 时间 5 10 15 20 25 水量 17 32 47 77 （1）探究：根据上表中的数据，拟用下面三个函数模型模拟水量与时间的关系：①，②，③，你认为选用函数_______（填序号）模拟最合理（不必说明理由），并求出相应的函数表达式和漏记的值； （2）应用： ①兴趣小组用量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？ ②成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用多少天？（结果保留一位小数） 25. 春节期间，某移动公司推出三种手机流量套餐的优惠方案，具体如下表所示： 每月基本 费用（元） 每月免费 使用流量（） 超出流量 每收费（元） 套餐 20 10 套餐 56 30 套餐 188 无限 其中，，，三种套餐每月所需的费用、、（元）与每月使用的流量之间的函数关系如图所示． （1）写出表中的值_________； （2）在套餐中，若每月使用的流量不少于，直接写出每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式___________； （3）如果从节省费用的角度考虑，根据图象与表达式可知：当且时，每月使用的流量的取值范围是__________． 26. 已知，点E在正方形ABCD的AB边上（不与点A，B重合），BD是对角线，延长AB到点F，使BF＝AE，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM，CF． （1）根据题意补全图形，并证明MB＝ME； （2）①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明； ②直接用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系． 27. 在平面直角坐标系xOy中，对于点和点Q给出如下定义：若点Q的坐标为，则称点Q为点P的“n倍点”． （1）①若点，点Q为点P的“倍点”，则点Q的坐标为___________； ②当P是直线与x轴的交点时，点P的“n倍点”的坐标为___________． （2）已知点，，，． ①若对于直线上任意一点Q，在直线上都有点P，使得点Q为点P的“n倍点”，求n的值； ②点P是直线上任意一点，若在四边形的边上存在点P的“n倍点”，且，直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市育英学校四年制初三第一学期期末练习 数学 一、选择题（本题共30分，每题3分，第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐项判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、中含有分数，故不是最简二次根式，不符合题意； C、中含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； D、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 下列各式中，从左向右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的加法运算，正确计算是解题的关键． 根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得． 【详解】A：，而非，故本选项不符合题意； B：在实数范围内，负数没有平方根，和无意义，故本选项不符合题意； C：，故本选项符合题意； D： ，而非，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A. 1，1，2 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 1，，2 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形． 【详解】解：A、12＋12≠22，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、22＋32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、42＋52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、12＋（）2＝22，能构成直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 4. 在奥运会跳水项目中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成绩．去掉这两个分数的前后， 一定不发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中位数、众数、算术平均数、方差的含义和判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响. 【详解】解：中位数为大小排序后中间1位数或者中间2位数的平均数，故去掉一个最大的数和最小的数后，排序中间的1位数或2位数仍在中间，没有变化，故中位数不变．平均数，众数，方差都可能变化． 故选：B． 5. 已知一次函数 ，那么下列结论正确的是（ ） A. y 的值随 x 的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象必经过点 D. 当 时，y<0 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质逐项进行分析即可． 【详解】解：A、由于一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，故该选项不符合题意； B、一次函数y=-x+2的k=-1<0，b=2>0，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意； C、将（0,2）代入y=-x+2中得2=0+2，等式成立，所以（0,2）在y=-x+2上，故该选项符合题意； D、一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，所以当x<2时，y>0，故该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 6. 下面的四个问题中都有两个变量：变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象的是（ ） A. 汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的行驶路程y与行驶时间x B. 用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的一条边长y与另一条边长x C. 将水匀速注入水箱中，水箱中的水量y与注水时间x D. 在弹簧测力计的弹性范围内，弹簧挂重物伸长后的总长度y与所挂重物质量x 【答案】B 【解析】 【分析】A根据汽车的行驶路程随行驶时间的增加而增加判断即可；B根据矩形的周长公式判断即可．C根据水箱中的剩余水量随放水时间的增大而减小判断即可； 【详解】解：汽车从地匀速行驶到地，根据汽车的行驶路程随行驶时间的增加而增加，故A不符合题意； 用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形的一条边长y随另一条边长x的增加而减少，是一次函数关系，故B符合题意； 将水匀速注入水箱中，，根据水箱中的水量y随注水时间x的增加而增加，故C不符合题意； 在弹簧测力计的弹性范围内，弹簧挂重物伸长后的总长度y与所挂重物质量x成正比例；故D不符合题意； 所以变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是B． 故选：B． 【点睛】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 7. 如图，四边形是菱形，，，则菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得出，与互相垂直且平分，再证明是等边三角形得， 由勾股定理和菱形的性质求出的长，最后用菱形的面积公式计算． 【详解】如图，设，相交于点O， 四边形是菱形， ，与互相垂直且平分， ，， 又， 为等边三角形， ， 在中，， 由勾股定理得，， ， 菱形的面积． 故选：C． 8. 某学校为了让学生更好地体会中国传统节日的文化内涵，在端午节到来之际，组织“端午诗词朗诵会”、邀请两位学生和两位教师担任评委，比赛评分规则为：每位评委先按十分制对参赛选手独立打分，然后将两位学生评委和两位教师评委的评分按照的比，计算出选手的最终成绩.下表是四位评委给某位选手的打分成绩： 学生评委 教师评委 评委 评委 评委 评委 分 分 分 分 则该选手的最终成绩是（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】B 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，该选手的最终成绩是分， 故选：B． 【点睛】本题考查了求加权平均数，熟练掌握求加权平均数的计算方法是解题的关键． 9. 在平面直角坐标系中，当时，对于的每一个值，一次函数的值小于一次函数的值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数的性质及求不等式的解集，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是解题关键 根据题意，当时，恒成立，将不等式整理为，分析右侧表达式的最小值即可确定的范围 【详解】解：由题意得，当时，， ∴ 对于，随增大而增大，当趋近于0时，的最小值趋近于2， ∴为使对所有成立，必须小于等于右侧的最小值，即， 当时，原不等式变为， 解得，符合条件， 故选：D 10. 如图1，在平面直角坐标系中的四个点，恒过定点的直线，与四边形交于点M，N（点M和N可以重合）． 根据学习函数的经验，线段的长度l可以看做k的函数，绘制函数l的图象如图2．下列说法正确的是（ ） A. l是k的一次函数 B. 函数l有最大值为3 C. 当时，函数l随k的增大而增大 D. 函数l的图象与横轴的一个交点是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图像读取信息，一次函数的图像与性质，一次函数与坐标轴的交点，根据函数图像可以之间判断函数的增减性，是不是一次函数，最大值是否存在，然后再结合图1，判断函数的最值为直线时，当时，即时，函数与x轴有两个交点，可以求出即可作出判断． 【详解】解：A、由图2可知，l不是k的一次函数，不符合题意； B、由图2可知，当时，l有最大值， 当时，即直线， l有最大值为2，故本选项错误，不符合题意； C、由图2可知，当时，函数l随k的增大而减小，故本选项错误，不符合题意； D、当时，即时， 过，两点或过，两点， 当，过两点时，，函数l的图象与横轴的一个交点是，正确，故选项D符合题意， 故选：D． 二、填空题（本题共24分，每题3分） 11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键． 【详解】解：根据二次根式的意义，有， 解得， 故自变量x的取值范围是， 故答案为：． 12. 请写出一个图象平行于直线，且过第一、二、四象限的一次函数的表达式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设一次函数表达式为：，由图象平行于直线可得，由图象经过第一、二、四象限，可得，由此即可得到答案． 【详解】解：设一次函数表达式为：， 图象平行于直线， ， 图象经过第一、二、四象限， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数（为常数，）是一条直线，当时，图象经过一、三象限，随的增大而增大，当时，图象经过二、四象限，随的增大而减小，当时，图象交于轴的正半轴，当时，图象过原点，当时，图象交于轴的负半轴． 13. 已知点和点是一次函数图象上的点，则_______．（用“”，“”或“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较一次函数值的大小，根据题意，将点和点代入一次函数表达式求出，比较大小即可得到答案．熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：点和点是一次函数图象上的点， ，， 则， 故答案为：． 14. 甲，乙两地5月上旬的日平均气温如图所示，则这两地5月上旬日平均气温的方差较小的是__________．（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，根据方差是衡量一组数据波动大小的统计量，由题中甲，乙两地5月上旬的日平均气温折线图即可得到甲、乙两地气温波动大小，从而确定答案．熟记方差的统计意义是解决问题的关键． 【详解】解：方差是衡量一组数据波动大小的统计量，由图可知，甲地5月上旬的日平均气温波动较乙地大， 这两地5月上旬日平均气温的方差较小的是乙， 故答案为：乙． 15. 初三数学志趣课活动中，老师把一张长方形纸片如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：___________的矩形是正方形． 【答案】有一组邻边相等 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形与折叠等知识，熟记矩形的判定与性质、正方形的判定定理是解决问题的关键． 先由矩形性质得到，再由折叠性质得到，，从而确定四边形是矩形，再由正方形的判定定理即可得证四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形），从而得到答案． 【详解】解：如图所示： 在矩形中，， 由折叠性质可得，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）， 故答案为：有一组邻边相等． 16. 一家鞋店在一段时间内销售了某款女鞋30双，各种尺码鞋的销售数量如下表所示．在由鞋的尺码组成的数据中，这组数据的众数是_________． 尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 10 7 4 1 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求众数，从各种尺码鞋的销售数量统计表可知，尺码为销售最多，从而得到答案．熟记众数的求法是解决问题的关键． 【详解】解：由各种尺码鞋的销售数量统计表可知，尺码为销售了双，则在由鞋的尺码组成的数据中，这组数据的众数是， 故答案为：． 17. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为 _________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用．连接，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：如图，连接，则， 中，由勾股定理可得， ， 又∵， ∴， 故答案为：． 18. 由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，需要对它的刹车性能进行测试，设汽车的刹车距离为（单位：），车速为（单位：），根据测得的数据，与的函数关系如图所示， （1）若该款汽车某次测试的刹车距离为，估计该车的速度约为 ________； （2）在测试中发现该款汽车在车速达到某一数值时，其刹车距离的数值恰好是车速数值的，则此时的车速约为 _______（结果取整数）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）观察函数图像可得答案； （2）用待定系数法求出与的函数关系式，令可解得的值． 【详解】解：（1）观察可知，与的函数图像过点， ∴该款汽车某次测试的刹车距离为，估计该车的速度约为， 故答案为：． （2）观察可知，与的函数图像是顶点为， 设，把代入得：，解得：， ∴， ∵刹车距离的数值恰好是车速数值的， ∴，解得：， ∴此时的车速约为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是能从函数图像中获取有用的信息． 三、解答题（本题共46分，其中第19题6分，第23题4分，第25题4分，第26题7分，第20，21，22，24，27题每题5分） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式加法运算、二次根式减法运算、二次根式乘法运算、二次根式除法运算、有理数减法运算等知识，熟记二次根式性质、二次根式加减乘除运算法则求解是解决问题的关键． （1）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算合并同类二次根式求解即可得到答案； （2）先由二次根式除法运算法则和乘法运算法则求解，再由二次根式性质化简，最后由有理数减法运算计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 一次函数的图像经过点和． （1）求这个一次函数的表达式； （2）画出该函数的图像； （3）结合图像回答：当时，x的取值范围是______． 【答案】（1） （2） 在直角坐标系中描出点和，过两点画直线如下图所示，      ； （3） 【解析】 【分析】（1）将两点代入函数解析式求解即可得到答案； （2）描出两点，过两点画直线即可得到答案； （3）根据图像找到x轴下方图像的图像规律即可得到答案； 【小问1详解】 解：将点和代入可得， ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据图像可得， 当时，，， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； 【点睛】本题考查求一次函数解析式，画一次函数图像，根据一次函数与不等式的关系结合图像求解，解题的关键是求出解析式正确画出图像． 21. 为了了解学生对党的二十大精神的学习领会情况，某校团委从七，八年级各随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：）． b．八年级学生成绩在这一组的是： 81 83 84 84 84 86 89 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七 83.1 88 89 八 83.5 m 84 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）七年级学生小亮和八年级学生小宇的成绩都是86分，这两名学生在本年级成绩排名更靠前的是________（填“小亮”或“小宇”），理由是________； （3）成绩不低于85分的学生可获得优秀奖，假设该校八年级300名学生都参加测试，估计八年级获得优秀奖的学生人数． 【答案】（1）83.5； （2）小宇， 理由：小亮的成绩为86分低于七年级学生成绩的中位数88分，故小亮的成绩低于七年级一半的学生成绩；小宇的成绩为86分高于八年级学生成绩的中位数83.5分，故小宇的成绩高于八年级一半的学生成绩，所以学生小宇的成绩在本年级排名更靠前； （3）105人． 【解析】 【分析】（1）结合题意，根据中位数的意义解答即可； （2）根据中位数的意义，比较七、八年级的中位数即可得出答案； （3）先算出样本中成绩不低于85分的比例，再乘以300即可得到答案． 【小问1详解】 八年级一共有20名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据分别为83、84 故中位数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）， 估计八年级获得优秀奖的学生有105人 【点睛】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键． 22. 在证明直角三角形相关性质时，班里善于思考的两位同学提出了如下两种添加辅助线的方法，请乐于探究的你选择其中一种方法，完成证明． 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，点是的中点． 求证：． 方法一 证明：如图，延长到点，使得，连接，． 方法二 证明：如图，取的中点，连接． 【答案】 方法一：延长到点，使得，连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； 方法二：取的中点，连接，如图所示： ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】方法一：延长到点，使得，连接，如图所示，根据线段中点的定义可得，从而可得四边形是平行四边形，进而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，从而可得，即可得证； 方法二：取的中点，连接，如图所示，从而可得是的中位线，，然后利用三角形的中位线定理可得，从而可得，进而可得是的垂直平分线，最后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查几何证明，涉及中点定义、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形的中位线的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等知识，熟练掌握握矩形的判定与性质，以及三角形的中位线定理是解题的关键． 23. 在某校组织的“人与自然”主题绘画活动中，该校的每位同学都上交了一幅作品，在本次活动中，评委从美术表现和创造实践两项对作品打分，各项得分均按百分制计．对所有作品的得分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．所有作品美术表现和创造实践的单项得分的平均数、中位数如下： 评分项 平均数 中位数 美术表现 86.5 85 创造实践 86 88 b．甲、乙两位同学作品的得分如下： 美术表现 创造实践 甲 86 87 乙 85 88 根据以上信息，回答下列问题： （1）在所有作品中，记在美术表现这一项中，得分高于该项的平均分的学生作品个数为；记在创造实践这一项中，得分高于该项的平均分的学生作品个数为，则___________（填“＞”，“＝”或“＜”）． （2）若按美术表现占60%，创造实践占40%计算每位同学作品的平均得分，那么乙同学作品的平均得分是___________，甲、乙两位同学作品的平均得分排名更靠前的同学是___________（填“甲”或“乙”）． 【答案】（1）＜ （2）86.2；甲 【解析】 【分析】（1）根据中位数和平均数的意义即可解答； （2）根据加权平均数的定义可求得乙同学作品的平均得分，再求出甲的加权平均数，与乙比较即可解答． 【小问1详解】 解：由美术表现的平均数大于中位数，则得分高于该项的平均分的学生作品个数为小于所有学生数的一半；由创造实践的平均数小于于中位数，则得分高于该项的平均分的学生作品个数为大于所有学生数的一半，故． 故答案为． 【小问2详解】 解：乙同学作品的平均得分为， 甲同学作品的平均得分为， 因为，则甲、乙两位同学作品的平均得分排名更靠前的同学是甲 故答案为，甲． 【点睛】本题主要考查了中位数、平均数、加权平均数等知识点，理解各概念的意义是解答本题的关键． 24. 水龙头关闭不严会造成滴水．为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究： 试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表中的一组数据． 时间 5 10 15 20 25 水量 17 32 47 77 （1）探究：根据上表中的数据，拟用下面三个函数模型模拟水量与时间的关系：①，②，③，你认为选用函数_______（填序号）模拟最合理（不必说明理由），并求出相应的函数表达式和漏记的值； （2）应用： ①兴趣小组用量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？ ②成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用多少天？（结果保留一位小数） 【答案】（1）②；； （2）①没有滴满；②2.7天 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练用待定系数法求一次函数是解题的关键． （1）由题意可得，应该用一次函数模拟水量与时间的关系，根据待定系数法求得解析式即可解答； （2）①将代入函数解析式，即可解答； ②计算水龙头一天的漏水量，再除以成年人每天需要的饮水量即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得，应该用一次函数模拟水量与时间的关系，故选函数②， 把代入函数解析式可得， ， 解得， 水量与时间的解析式为， 故漏记的； 【小问2详解】 解：①将代入函数解析式，可得， 在第30分钟量筒没有滴满； ②由题意知水龙头每分钟滴水为， 水龙头一天的漏水量为， 天， 答：这个水龙头一天的漏水量可供一位成年人饮用天． 25. 春节期间，某移动公司推出三种手机流量套餐的优惠方案，具体如下表所示： 每月基本 费用（元） 每月免费 使用流量（） 超出流量 每收费（元） 套餐 20 10 套餐 56 30 套餐 188 无限 其中，，，三种套餐每月所需的费用、、（元）与每月使用的流量之间的函数关系如图所示． （1）写出表中的值_________； （2）在套餐中，若每月使用的流量不少于，直接写出每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式___________； （3）如果从节省费用的角度考虑，根据图象与表达式可知：当且时，每月使用的流量的取值范围是__________． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，涉及求一次函数表达式、由函数图象解不等式等知识，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由（元）与每月使用的流量之间的函数图象可知，当流量从增加到时，费用从增加到，列式计算可得的值； （2）由超出流量每收费3元，可得出，化简即可得到每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式； （3）先求出套餐每月使用的流量不少于，每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式，再求出当套餐的收费等于套餐收费时的值，结合图象可得答案． 【小问1详解】 解：由（元）与每月使用的流量之间的函数图象可知，当流量从增加到时，费用从增加到，则超出流量每收费， ∴， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：由（1）知，在套餐中，若每月使用的流量不少于，超出流量每收费3元， ∴， ∴每月所需的费用（元）与每月使用的流量之间的函数表达式为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（1）知，在套餐中，若每月使用的流量不少于，超出流量每收费3元， ∴， 当套餐的收费等于套餐收费时，， 解得， ∴结合函数图象知，当且时，每月使用的流量的取值范围是， 故答案为：． 26. 已知，点E在正方形ABCD的AB边上（不与点A，B重合），BD是对角线，延长AB到点F，使BF＝AE，过点E作BD的垂线，垂足为M，连接AM，CF． （1）根据题意补全图形，并证明MB＝ME； （2）①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明； ②直接用等式表示线段AM，BM，DM之间的数量关系． 【答案】（1）如图所示， 四边形是正方形，是对角线， ， ， 是等腰直角三角形， ； （2）①如图所示，连接、， 是等腰直角三角形， ，， ， 又， ， ， ， ， ∵ ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 即； ② 【解析】 【分析】（1）证是等腰直角三角形即可得； （2）①先证得，由知，证得，，由知是等腰直角三角形，从而得；②连接，证四边形是平行四边形得，由，知，结合，得，从而得出答案． 【详解】解：（1） 略 （2）① 略 ②，理由如下： 如图，连接， ， ， 又且， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 又，， ， 则． 【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形与等腰直角三角形及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点． 27. 在平面直角坐标系xOy中，对于点和点Q给出如下定义：若点Q的坐标为，则称点Q为点P的“n倍点”． （1）①若点，点Q为点P的“倍点”，则点Q的坐标为___________； ②当P是直线与x轴的交点时，点P的“n倍点”的坐标为___________． （2）已知点，，，． ①若对于直线上任意一点Q，在直线上都有点P，使得点Q为点P的“n倍点”，求n的值； ②点P是直线上任意一点，若在四边形的边上存在点P的“n倍点”，且，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）① ② 【解析】 【分析】（1）①直接根据题中定义求解即可；②先求得与x轴的交点坐标，再根据定义求解即可； （2）①先利用待定系数法求得直线的表达式为．则，又，利用题中定义可求得n值； ②先得出轴，，再求得直线的表达式为，设，则点P的“n倍点”，分点Q在边上时、 点Q在边上时、点Q在边上时、点Q在边上时，求得，进而可求解． 【小问1详解】 解：①根据定义，点Q的坐标为， 故答案为：； ②由得，∴， ∴点P的“n倍点”的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①设过点，的直线为， 解得 ∴直线的表达式为． ． 点P在直线上，． ． ②∵点，，，． ∴轴，， 设直线的表达式为， 将代入，得， ∴直线的表达式为． 设，则点P的“n倍点”， 若点Q在边上时，则，即， ∴，则； 若点Q在边上时，则，即， ∴，则； 若点Q在边上时，则，即， ∴，则； 若点Q在边上时，则，即， ∴，则 综上， ，又， ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、解不等式、算术平方根等知识，理解题中定义并正确求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $