精品解析：重庆市巫山县高唐初级中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

巫山县高唐初级中学2024-2025学年八年级下学期数学期中试题 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列结论中，错误的有（ ） A. 在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5； B. 的三边长分别为，，，若，则是直角三角形； C. 在中，若，则是直角三角形； D. 若三角形的三边长之比为，则该三角形是直角三角形； 2. 与3＋最接近的整数是( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是边长为1的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在四边形中，已知，添加下列一个条件，不能判断四边形成为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两底角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 角平分线上的点到角两边的距离相等 D. 三个角都是的三角形是等边三角形 7. 如图，在四边形中，、、，，点是四边形边上的一个动点，若点到的距离为，则点P的位置有(　　) A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 8. 如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1 9. 如图，直线l是一条河，P，Q两地在直线l的同侧，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的方案是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的对角线与交于点O，过点O作的垂线交，于E、F两点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 已知，则的值为_______． 12. 已知，b为的小数部分，则的值为_______． 13. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_____． 14. 如图，在中，已知，，平分交边于点，则的长为_____． 15. 如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为______． 16. 如图，在中，，，，则_____． 17. 若关于的不等式组有解且至多有个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 __． 18. 计算：________，________． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 如图，在平行四边形中，，垂足为点． （1）尺规作图：过点作，垂足为点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求证：平行四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ①　　． 又，， ②　　． 在和中， ． ④　　． 平行四边形是菱形⑤　　． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 小明家装修剩有一块损坏的如图四边形方砖，他想从中取一块长方形方砖作为二次使用，于是在方砖的D点向边，作垂线，垂足为M，N，沿着垂线割出长方形砖，其余部分视为损耗部分，他想通过测量一些数据了解该损坏方砖的损耗面积，于是测得如下数据：，，，，请问小明根据以上数据能否计算出这块损坏方砖的损耗面积，若能，请求出损耗面积；若不能，请说明理由． 22. 如图，□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形． （2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长． 23. 如图，在中，对角线的垂直平分线分别交、于点F、E，点O为垂足，连接，．求证：四边形是菱形． 24. 如图，菱形的对角线，交于点O，E是的中点，于点F，交于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，则_______． 25. 如图1，点E、F分别在菱形的边、上，且． （1）求证： （2）如图2，若，连接，M是中点，连接，在不添加字母和任何辅助线的情况下，直接写出图中的所有直角三角形． 26. 已知，平行四边形中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． （1）如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． （2）如图②，在第（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积． （3）如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止）．若，设点的运动时间为t秒，当t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巫山县高唐初级中学2024-2025学年八年级下学期数学期中试题 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列结论中，错误的有（ ） A. 在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5； B. 的三边长分别为，，，若，则是直角三角形； C. 在中，若，则是直角三角形； D. 若三角形的三边长之比为，则该三角形是直角三角形； 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查勾股定理及其逆定理，三角形内角和定理，关键是根据勾股定理和其逆定理解答 【详解】解：A在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为或，错误，故本选项符合题意； B、的三边长分别为，，，若，则是直角三角形，正确，故本选项不符合题意； C、在中，若，则，故是直角三角形，正确，故本选项不符合题意； ④若三角形的三边长之比为，设三边为，满足，因此该三角形是直角三角形，正确，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 与3＋最接近的整数是( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用无理数的估算方法估算出的取值范围，即可得出3＋的取值范围，即可得答案. 【详解】∵＜＜ ∴4+3＜3+＜5+3 即：7＜3＋＜8 ∵24更接近于25， ∴与3＋最接近的整数是8， 故选C. 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键. 3. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法、加法、减法法则以及二次根式的性质分别计算即可得到答案． 【详解】解：A. ，故本选项计算正确，不符合题意； B. ，故本选项计算正确，不符合题意； C. 与不能合并，故本选项计算错误，符合题意； D. ，故本选项计算正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握运算法则及性质是解题的关键． 4. 如图是边长为1的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先算出、、的长，然后根据三角形的面积求出边上的高即可． 【详解】解：， ， ∵根据网格特点可知，为直角三角形， ∴边上的高为：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的有关计算，根据网格特点得出为直角三角形，是解题的关键． 5. 如图所示，在四边形中，已知，添加下列一个条件，不能判断四边形成为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴四边形可以是等腰梯形，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、等腰梯形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 6. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两底角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 角平分线上的点到角两边的距离相等 D. 三个角都是的三角形是等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的性质和等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形的两底角相等的逆命题是两角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题； B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题是假命题； C、角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，逆命题是真命题； D、三个角都是的三角形是等边三角形的逆命题是等边三角形的三个角都是，逆命题是真命题； 故选：B． 【点睛】本题考查的是真假命题的判断、逆命题的概念，掌握全等三角形的判定、等腰三角形的判定判定及性质、角平分线的判定及性质和等边三角形的判定及性质是解题的关键． 7. 如图，在四边形中，、、，，点是四边形边上的一个动点，若点到的距离为，则点P的位置有(　　) A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，解答本题的关键是求出满足条件的点所在的位置．根据勾股定理，可以求得、、和的长，然后即可得到点到的距离和点到的距离，从而可以得到满足条件的点有几处，本题得以解决． 【详解】解：，，， ，， 在中，斜边上的高是：， ，，， ， 在中，斜边上的高是：， ，点是四边形边上的一个动点，点到的距离为， 点的位置在、、、上都可以，即满足条件的点有处， 故选：D． 8. 如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由点E为AD的中点可得AE＝DE＝3，设CG＝x，DG＝CD−CG＝6−x，由折叠性质可得EF＝AE＝3，FG＝CG＝x，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD＝6，∠D＝90°， ∵点E是AD边的中点， ∴AE＝DE＝3， ∵正方形ABCD分别沿BE，BG折叠， ∴EF＝AE＝3，FG＝CG， 设CG＝x，则： DG＝CD−CG＝6−x，FG＝CG＝x， ∴EG＝EF＋FG＝3＋x， 在Rt△DEG中，DE2＋DG2＝EG2， 即32＋（6−x）2＝（3＋x）2， 解得：x＝2， ∴CG＝2， 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是将Rt△DEG各边表示出来． 9. 如图，直线l是一条河，P，Q两地在直线l的同侧，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，分别向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，则铺设的管道最短的方案是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可根据轴对称的性质及两点之间线段最短进行求解即可． 【详解】解：由题意得：过点P作关于l的对称点，然后连接，交直线l于点M，则符合题意的只有B选项； 故选B． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质及两点之间线段最短，熟练掌握轴对称的性质及两点之间线段最短是解题的关键． 10. 如图，矩形的对角线与交于点O，过点O作的垂线交，于E、F两点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．先根据矩形的性质，推理得到，再根据求得的长，即可得到的长． 【详解】解：，， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 又中，， ， ， 故选：D 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. 已知，则的值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，化简二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，则，据此求出，再计算出，据此可得答案． 【详解】解：由题意得， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 12. 已知，b为的小数部分，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先求出的小数部分，再求出和的值，把变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：2． 13. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的性质、三角形的中位线定理等知识，证明是的中位线是解题的关键．由菱形的性质得，而点M为的中点，则是的中位线，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线、交于点O， ． 点O为的中点． 点M为的中点， 是的中位线． ， ． 故答案为：4． 14. 如图，在中，已知，，平分交边于点，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，即得，进而由，即可求出，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形性质得出，，根据等边三角形性质得出，，推出，，根据等腰三角形性质得出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理． 16. 如图，在中，，，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在中，利用勾股定理，进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，，， 故答案为：4 17. 若关于的不等式组有解且至多有个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的综合，掌握解一元一次不等式组的解集的方法，解分式方程的方法是解题的关键． 根据不等式的性质解一元一次不等式组，再根据不等式取值的方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”得到不等式解集，根据解分式方程的方法，分式方程解为非负整数的方法即可求解． 【详解】解：， 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， 不等式组的解为：， 不等式组有解且至多有2个偶数解， ， ， ， ， ， ， ， ， 分式方程解为非负整数， 且， 解得：且， 或1或7或10， 所有满足条件的整数的值之和为：， 故答案为：． 18. 计算：________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法和除法，运用有理数乘法和除法法则进行计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 如图，在平行四边形中，，垂足为点． （1）尺规作图：过点作，垂足为点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若，求证：平行四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ①　　． 又，， ②　　． 在和中， ． ④　　． 平行四边形是菱形⑤　　． 【答案】（1） 解：如图，为所作； （2），，，，两邻边相等的平行四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质和菱形的性质． （1）利用基本作图，过点作的垂线即可； （2）先根据平行四边形的性质得到，再证明得到，然后根据两邻边相等的平行四边形为菱形可判断平行四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用负整数指数幂、零指数幂和绝对值的意义计算； （2）利用平方差公式和完全平方公式展开，然后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 21. 小明家装修剩有一块损坏的如图四边形方砖，他想从中取一块长方形方砖作为二次使用，于是在方砖的D点向边，作垂线，垂足为M，N，沿着垂线割出长方形砖，其余部分视为损耗部分，他想通过测量一些数据了解该损坏方砖的损耗面积，于是测得如下数据：，，，，请问小明根据以上数据能否计算出这块损坏方砖的损耗面积，若能，请求出损耗面积；若不能，请说明理由． 【答案】能，损耗面积为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据矩形的性质得到，得到，根据勾股定理得到，求得．根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：能，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴损耗面积． 22. 如图，□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形． （2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ，， 四边形是平行四边形． （2）5 【解析】 【分析】（1）只要证明，即可． （2）先证明得，再在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ， 在中， ，，， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住平行四边形的判定方法和性质，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 23. 如图，在中，对角线的垂直平分线分别交、于点F、E，点O为垂足，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴．， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 由线段垂直平分线的性质得．，再证，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】略 24. 如图，菱形的对角线，交于点O，E是的中点，于点F，交于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，则_______． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）2 【解析】 【分析】（1）先证明是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由矩形的性质得，进而由勾股定理求出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 25. 如图1，点E、F分别在菱形的边、上，且． （1）求证： （2）如图2，若，连接，M是中点，连接，在不添加字母和任何辅助线的情况下，直接写出图中的所有直角三角形． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ； （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可证明，再由全等三角形的性质可得出结论； （2）根据等腰三角形三线合一的性质得，则和是直角三角形；因为以及（1）中全等三角形的性质和菱形的性质可得，同理可得，从而找出图中所有直角三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， 是等腰三角形， M是中点， ， ， 和是直角三角形． 四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ， 和是直角三角形， 故不添加任何辅助线的情况下，图中所有的直角三角形有，，，． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键． 26. 已知，平行四边形中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． （1）如图①，在运动过程中，若平分，且满足，求的度数． （2）如图②，在第（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积． （3）如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止）．若，设点的运动时间为t秒，当t为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形？ 【答案】（1） （2） （3）当为秒或8秒或秒时，以四点组成的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得； （2）过点作于点，连接，先根据平行四边形的性质得出，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得的长，然后利用三角形的面积公式可得的面积，由此即可得； （3）先求出，，，从而可得要使以四点组成的四边形是平行四边形，则需，再分四种情况：①，②，③和④，根据建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，连接， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【小问3详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴要使以四点组成的四边形是平行四边形，则需， 由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，点从点运动到点所需时间为秒， ∴， ∵， ∴． ①当时，， ∴， ∴， ∴，符合题设，舍去； ②当时，， ∴， ∴， ∴，符合题设； ③当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，符合题设； ④当时，， ∴， ∴， ∴，符合题设； 综上，当为秒或8秒或秒时，以四点组成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、一元一次方程的应用等知识，正确分情况讨论，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $