广东省梅州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

梅州市高中期末考试试卷（2025.7) 高一数学 注意事项：本试卷共6页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 1,答卷前，考生务必用黑色宇进钢笔或签宇笔将自己的学校、班级、考生号、姓 名和座号填写在答题卡上 2,选择题每小随选出答索后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答家信息点涂 双，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上， 3。作答必须用黑色宇造的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 城内的相应位置上：如需改动，先刻掉原来的答案，然后再写上新的答素：不 准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效， 4.考生必须保持答题卡的签洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的 1.若复数z=i,其中i为虚数单位，则川z= A.i B.0 C.-1 D.1 2.如图1，某图形的直观图是一个边长为2的菱形A'B'CD', 则原图形的面积为 D A.2N2 B.4N5 C.8 D.85 ( 图1 3.c0s105°= A.-6+2 B.E-6 c. 6-2 D.6+迈 4 4 4 4 4.某校举行“爱我中华”演讲比赛，评分规则如下：对每个选手的演讲，共有7个评委打分， 去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数作为有效分，以有效分的平均分作为该选手的 得分.设对于某选手的演讲，7个评委的原始评分分别为：75,80,85,90,85,95,85，则对 比原始评分和有效分两组数据，下列特征数中，发生改变的是 A.平均数 B,中位数 C.方差 D.众数 商一数学试卷第1页共6页 5.若三点A(2,3),B(4,3),C(5,)在同一条直线上，则t= A.5 B.6 C.7 D.8 6.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概串为 乙能彼译的概率为分 则密 码被成功破译的概串为 A B号 C. 3-4 5-6 D 7.如图2，在RIMABC中，CA=3,CB=2,D是AC边上靠近点C的三等分点，E是AB的中 点，CE与BD交于点M,cos∠DME= A.-6 B.-26 65 65 M C._v13 D.-21 13 13 图2 8。某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触 点（切点），地面上B,C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧.若小明同学在 B,C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=a米，如图3，则该球体建筑 物的高度为()米. a a A. 4cos10 B. 2cos10° 20- C. asin10 D asin100 2sin40° sin40° 围3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.设m,n是两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，则下列结论不正确的是 A.若mCa,nCB,则m,n是异面直线 B,若a∥B,mCa,nCB,则m∥n C.若aIB,mCa,则m∥B D.若a⊥B,mCa,则mLB 高一数学试卷第2页共6页 10.图4是函数f(x)=2si(3x+p)的部分图象，下列说法正确的是 A.点A的坐标为 B。?的一个可能值是子 C.将函数)的图象向右平移无个单位长度后， 12 所得图象对应的函数是奇函数 D.-径网 图4 11.群的概念由法国天才数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方 程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用， 群的定义如下：设G是一个非空集合，“，”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以 下条件： ①封闭性：对任意的a,b∈G,有ab∈G: ②结合律成立：对任意的a,b,c∈G,有(ab)c=a(bc: ③单位元存在：存在e∈G,使得对任意的a∈G,有e"a=a"e=a,e称为单位元： ④逆元存在：对任意的a∈G,存在beG,使ab=ba=e,称a与b互为逆元， 则称G关于“，”新构成一个群，则下列结论正确的有 A.自然数集N关于数的加法构成群 B.某一平面上的所有向量组成的集合关于向量的加法构成群 C.G={-1,l,,i}(i为虚数单位)关于复数的乘法构成群 D.G={a+√2ba,b∈2，ab≠0}关于数的乘法构成群 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2. 1+2i 13.在MBC中，a6e分别三个内角4么C的对边，A=于6=4，若该三角形有两个解。 则边a长的取值范围为 14.已知一个正三棱台的上、下底面边长分别为3,6，侧棱长为2，则该三棱台的外接球的表 面积为 高一数学试卷第3页共6页 四、解答愿：本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知1-2i是关于x的方程2+px+g=0的一个根，其中P,g∈R. (1)求p、g的值： (2)在复数范围内，求该方程的另一根， 16.某校为了解高一学生的客家话水平，随机抽取了100名学生进行问卷剥试，将这100名 学生剥试的得分按[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]分成5组，并绘制出领卓分布 直方图，如图5所示，设定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生 为“良好”， (1)求m的值； (2)估计样本的中位数与平均数： (3)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”两类学生中选出5人，再从这5人中 选2人，那么恰有一人是“优秀”的概岸是多少？ 频3 组距 3m 2m 7580859095100得分 图5 高一盘乎状卷第4页共6页 17.在△MBC中，AB=V反，BC=3,B=45°. (1)求si血C的值： (2)取一点D,使得而=2DC,求点C到直线AD的距离. I8.如图7，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB,E为 线段BC的中点，F为线段PB上的动点， (1)当F为线段PB的中点时， (i)求证：AF⊥平面PBC: (i)求二面角F-AE-B的余弦值 ②)在线段PB上是否存在点R,使得PD平面B,若存在，求出此时所的值：若不 存在，请说明理由. 田7 高一数争试卷第5页共6页 19.。如图8，圆C的半径为2. (1)设AB为圆C的一条弦，如图8①，当∠CAB-60°时， ()当：取何值时，AC-1取得最小值，并求出此最小值： (i)设M是圆C上的一动点，求MA店的最大值： (2)设P2、PR为圆C的两条弦，如图8②，已知∠QPR=60°，求PO,P亚的最大值. ℃ B ① ② 图8 高一数学试卷第6页共6页 梅州市高一第二学期期末联考(2025.7) 数学参考答案与评分意见 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 2 3 4 5 6 7 8 D B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 ABD BC BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2-i 13.(25,4) 14.112π 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 解：(1)因为1-2i为方程x2+Pr+g=0的一个根， 所以(0-2i)2+p(1-21)+9=0, ….1分 即有：(1-4+p+g)+(-4-2p)i=0, ……3分 所以1-4+p+q=0 -4-2p=0 ……5分 解得：p=-2,q=5. ………7分 (2)由(1)知，原方程为x2-2x+5=0, 配方得：(-)2=-4， …9分 于是x-1=2i, ,11分 解得：x.z=1±2i, …12分 即原方程的另一根为1+2i. ,13分 16.(本小题满分15分) 解：(1)由频率分布直方图，可得：10×m+10×3m+5×2m=1, …2分 解得：m=0.02. .3分 (2)设样本的中位数为x, 因为小于85的概岸为0.4，大于90的概串为03， 所以85<x<90, …分 则5×0.02+5×0.04+(90-x)×0.06=0.5, .5分 解得：x=260 所以样本中位数的估计值为260： 3 …6分 平均数估计为77.5×0.1+82.5×0.3+87.5×03+92.5×0.2+97.5×0.1=87...8分 (3)依题意，测试成绩良好的人数为100×(0.1+0.3)=40人， 优秀的人数为100×(0.1+0.2+0.3)=60人， 成绩优秀与良好的人数比为3：2， ……10分 所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人，...11分 记“从这5人中选2人恰有1人是优秀”为事件M, 将优秀的三名学生记为A,B,C,考试成绩良好的两名学生记为a,b, 从这5人中任选2人的所有基本事件包括： AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10个基本事件，.13分 事件M包含的情况是：Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,共6个， .14分 所以w0-合-号 .15分 17.(本小题满分15分) 解：(I)过顶点A作AH⊥BC, 在直角△ABH中，因为AB=√互，B=45 所以BH=H=三xN5=l, 2 ,1分 因为BC=3, .2分 所以CH=3-1=2, .3分 由勾股定理得：AC=√AH+CH=√+4=V5, ……4分 6分 (2)因为BD=2DC, 所以点D为BC靠近点C的三等分点， .7分 因此BD=2,CD=1, …………8分 在△ABD中，由余弦定理得： AD+BD-24B.BD.cosB=2+4-2xxx =2,….10分 2 发现BD2=4=AB2+AD, 因此∠BAD=90'=∠CGD, .11分 又∠BDA=∠CDG, 因此ABDA∽△CDG, .13分 D 于是提器子 ……14分 所以C0兮8=号，即点C到直线AD的E高为互 …15分 2 18.(本小题满分17分) (1)()证明：因为PA=AB,F为线段PB的中点， 所以AF⊥PB, …1分 因为PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD, 所以PA⊥BC, ………2分 又因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB,且PAnAB=A, 所以BC⊥平面PAB, …3分 因为AFC平面PAB, 所以BC⊥AF, …4分 于是AF⊥PB,BC⊥AF,且PBn BC=B, 因此，AF⊥平面PBC. .5分 (i)解：如图，过点F作FH⊥AB于点H,再过点H作HG⊥AE于点G,连结FG, 易知FH/IPA, .6分 所以FH为△BPA的中位线，且FH⊥平面ABCD, 于是FH⊥AE,AE⊥GH,且FH n GH=H, 故AE⊥平面FGH, .7分 所以LFGH即为二面角F一AE一B的平面角，.8分 设PA=AB=2, FH AH =1,AB=VABZ+BEZ=V5, 由△AGH-△AB6可得：然=器， 于是GH=岩贴=言×1=号 AE ,9分 在直角△FGH中， FG=Vmc+丽=层+1= .10分 因此，c0sFGH=器=滑=号 11分 (3)解：存在，证明如下： 如图，连结BD,交AE于点M,连结FM, .12分 要使得PD∥平面AEF, 则需且只需PDIIFM, .13分 而在底面ABCD上，易知BM=BE=L, …15分 DM DA 2 由此，在△PBD中， 需且只需咒=D州=2,16分 FBMB 因此在PB上存在点F,使得PDM平面EF,此时P5=2. FB .17分 19.(本小题满分17分) 解：(1)(i)设AT=tAB,即有T为直线AB上某一点， AC-IAB=AC-AT=TC, .1分 要使C-1取得最小值，即记最小， 因此，此时只需TC⊥AB, ………2分 过点C作CT⊥AB于点T, 有T=,即1宁 .3分 而因为∠CAB=60, 图跳c92=5, 故当1=时，元-1取得最小值，其值为5。 .4分