精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市建华区2024-2025学年下学期八年级期末数学试题

2024−2025学年度下学期期末学业考试 初二数学试题 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义，逐一分析即可解答． 【详解】解：选项A：，根指数为2，但被开方数x的符号不确定．当时，无意义，因此不一定是二次根式． 选项B：是立方根，不符合二次根式根指数为2的要求，直接排除． 选项C：，根指数为2，但被开方数的符号取决于m的取值．当m > 1时，，此时式子无意义，因此不一定是二次根式． 选项D：，根指数为2，被开方数6恒为正数，无论何种情况都满足二次根式的条件，因此一定是二次根式． 故选D． 2. 下列各组数据中，能构成一个直角三角形三边的是（ ） A. 2，4， B. 2，3， C. 5，7，9 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴2，4，不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； B、∵， ∴2，3，可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； C、∵， ∴5，7，9不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，，不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； 故选：． 3. 若正比例函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．准确理解一次函数图象的性质，确定随的变化情况是解题的关键．由题目所给信息“当时 ”可以知道，随的增大而增大，则由一次函数性质可得，即可求解． 【详解】解：正比例函数的图象经过点和点，当时，， ， 解得：， 故选：C． 4. 下列属于菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别平行且相等 B. 两组对角分别相等 C. 对角线相互平分 D. 对角线相互垂直 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了菱形和矩形的性质， 菱形和矩形均为平行四边形，具备平行四边形的共同性质．菱形特有的性质是对角线互相垂直，而矩形的对角线相等但不垂直． 【详解】A：两组对边平行且相等是平行四边形的共同性质，菱形和矩形均满足，排除． B：两组对角相等是平行四边形的共同性质，菱形和矩形均满足，排除． C：对角线互相平分是平行四边形的共同性质，菱形和矩形均满足，排除． D：菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线仅相等且平分，不垂直．此性质为菱形独有，符合题意． 故选：D． 5. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示： 月用水量（吨） 3 4 5 6 户数 4 6 8 2 关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（ ） A. 众数是5 B. 平均数是 C. 中位数是5 D. 众数和平均数相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求众数、平均数、中位数等知识点，熟练掌握求众数、平均数、中位数的方法是解题的关键． 根据众数、平均数、中位数的定义逐项判定即可解答． 【详解】解：A．众数是出现次数最多的数据，用水量5吨的户数最多（8户），故众数为5吨，选项A正确，符合题意； B．平均数为吨，选项B错误，不符合题意； C．中位数是数据从小到大排列后，第10和第11个数据分别为4吨和5吨，中位数为吨，选项C错误，不符合题意； D．众数为5吨，平均数为4.4吨，两者不同，选项D错误，不符合题意． 故选A． 6. 吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据吴老师离公园的距离以及所用时间可判断． 【详解】解：吴老师家出发匀速步行8min到公园，表示从(0，400)运动到(8，0)； 在公园，停留4min，然后匀速步行6min到学校，表示从(12，0)运动到(18，600)； 故选：C． 【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解函数图象表示的意义，明白各个过程对应的函数图象． 7. 我们规定：对于任意的正数m、n的运算“”为当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，涉及二次根式的性质和加减运算，明确新定义运算的法则是解题的关键．根据定义的新运算法则，分别计算和的值，再进行相减。 【详解】解：∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴， 则． 故选：A． 8. 如图，在中，，，，，分别是，的中点，连接，，点在的延长线上，连接，若，则四边形的周为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性质，三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．根据三角形中位线的性质可得，，根据平行线的性质可得，利用可证明，可得，，即可证明四边形是平行四边形，进而可得四边形的周长，即可得答案． 【详解】解：∵，，，分别是，的中点， ∴，，，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长为． 故选：C． 9. 小明同学对数据22，22，36，4■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 以上都无关 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、方差，根据平均数、中位数、方差的定义，分析被污染数字对各统计量的影响即可． 【详解】解：平均数：所有数据之和除以数据个数，被污染数字会影响总和，从而影响平均数； 中位数：将数据从小到大排列后，中间位置的数即为中位数．原数据为22，22，36，4■（40-49），52，无论4■的个位数字如何，排序后均为22，22，36，4■，52，第三个数始终为36，因此中位数固定为36，与被污染数字无关； 方差：基于数据与平均数的差的平方计算，若平均数改变，方差也会随之改变，因此与被污染数字有关； 综上可知，统计量与被污染数字无关的是中位数，有关的是平均数、方差， 故选B． 10. 如图，在正方形中，点，为上一点，且，连接，过点作交于点，过点作，交轴于点，交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形与一次函数综合应用，解题的关键是求出的坐标，从而得出直线的解析式．由是正方形，，得，，又，知，，根据，可证明，即知，，设直线为，用待定系数法可得直线为，根据设直线为，可得直线为，令即可得． 【详解】解：是正方形，， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设直线为，把，代入得： ，解得， 直线为， 由设直线为，把代入得：， 解得， 直线为， 在中，令得， 解得， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：且． 故答案为：且． 12. 如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：___，使得平行四边形ABCD为菱形． 【答案】AD=DC（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据菱形的定义或判定定理得出答案即可． 【详解】由四边形ABCD是平行四边形， 添加AD=DC，根据邻边相等的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD为菱形； 添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定，可使得平行四边形ABCD为菱形． 故答案为：AD=DC（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键． 13. 一组数据1、3、4、5、x、9的众数和中位数相同，那么x的值是____． 【答案】4 【解析】 【分析】 【详解】解：数据共有6个，中位数应是从小到大排列后的第3个和第4个数据的平均数， 由题意知，第4个数可能是4或5，当是4时，中位数是4，当是5时，中位数是4.5， 由题意知，x只能是4时，才能满足题意． 故填4． 14. 如图，在中，．分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点和点；作直线，交于点，连接．若与恰好垂直，则的长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可得，是的垂直平分线，所以，根据勾股定理即可求解答案． 【详解】解：由题意可得，是的垂直平分线， ∴ 设，则， ∵与垂直， ∴， 即， 解方程得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质求出是解决本题的关键． 15. 如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点A，B，与正比例函数的图像相交于点，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握根据函数图象求解不等式解集的方法是解题的关键．将不等式变形，结合函数图象，找出一次函数图象在正比例函数图象上方（包括交点）时的取值范围． 【详解】解：不等式可变形为． 从函数图象角度看，就是一次函数的函数值不小于正比例函数的函数值时的取值． ∵两函数图象交点的横坐标为（由图象中点横坐标是 ）， ∴当时，一次函数的图象在图象上方（包括交点），此时成立 ∴ 不等式的解集是． 故答案为： ． 16. 在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形，若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为______________． 【答案】5.5或0.5． 【解析】 【分析】两种情况：①由矩形的性质得出CD=AB=4，BC=AD=5，∠ADB=∠CDF=90°，由菱形的性质得出CF=EF=BE=BC=5，由勾股定理求出DF，得出MF，即可求出AM；②同①得出AE=3，求出ME，即可得出AM的长． 【详解】解：分两种情况：①如图1所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD=AB=4，BC=AD=5，∠ADC=∠CDF=90°， ∵四边形BCFE为菱形， ∴CF=EF=BE=BC=5， ∴DF==3， ∴AF=AD+DF=8， ∵M是EF的中点， ∴MF=EF=2.5， ∴AM=AF﹣DF=8﹣2.5=5.5； ②如图2所示：同①得：AE=3， ∵M是EF的中点， ∴ME=2.5， ∴AM=AE﹣ME=0.5； 综上所述：线段AM的长为：5.5，或0.5； 故答案为5.5或0.5． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的性质，熟练分运用矩形与菱形的性质解题是关键. 17. 如图，矩形的对角线、交于点，直线的解析式，过点作于，过点作于，得到第二个矩形，、交于点，过点作于，过点作于，得到第三个矩形，…，依此类推，这样作的第个矩形对角线交点的坐标为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质和一次函数的性质，先求出，，然后矩形的性质和三角形的中位线定理，求出和，根据规律，即可得到和，从而求出点的坐标． 【详解】解：根据题意， ∵直线的解析式为， 令x=0，则；令y=0，则， ∴，， 由矩形的性质，则点， ∴，； 同理可求：，； …… ，， ∴， ∴点的坐标为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数的性质，三角形的中位线定理，坐标与图形的规律，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点的规律进行解题． 三、解答题（本题共6道大题，共69分） 18. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3）13 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，二次根式的加减法，乘除法，利用二次根式的性质化简，理解相关知识是解答关键． （1）先结合求一个数得绝对值化为最简二次根式，再利用二次根式加减法的运算法则求解； （2）根据二次根式乘除法的运算法则求解； （3）根据平方差公式进行计算求解； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 19. 为切实加强中小学生交通安全教育．某中学开展了“交通安全进校园”培训活动．为了解培训效果，该校组织学生进行了交通安全知识竞赛，将学生的百分制成绩用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 第2小组 3.5 5 第3小组 3.25 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为_____度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）_____，_____，_____； （3）已知该校共有3000名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分． 【答案】（1） ①18 ②补图如下： （2）5，3.5，3 （3）900名 【解析】 【分析】（1）①先算出“得分为1分”所占扇形统计图的百分比，再用乘该百分比得到圆心角度数．②根据第1小组总人数为人，结合已知各分数人数，求出得4分的人数，进而补全条形统计图． （2）是第1小组众数，找出现次数最多的分数；是第2小组平均数，用各分数乘以对应百分比再求和；是第3小组中位数，将数据排序后找中间位置的数． （3）先算出3个小组中成绩不低于90分（即5分）的总人数占抽取总人数的比例，再用该校总人数乘该比例估算． 【小问1详解】 解：①扇形统计图百分比和为，各分数百分比分别为（5分）、（4分）、（3分）、（2分） “得分为1分”的百分比为 圆心角为 故答案为：18； ②第1小组共人，得1分人，2分人，3分人，5分人 得4分的人数为人 【小问2详解】 解：第1小组中5分出现次，次数最多， 第3小组共人，将得分排序后，第10、11个数据的平均数为中位数，由折线图可知数据分布，中位数是， ， 故答案为：5，3.5，3； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校3000名学生中大约有900名学生竞赛成绩不低于90分． 【点睛】本题主要考查了统计的相关知识，包括扇形统计图、条形统计图、折线统计图的应用，以及平均数、中位数、众数的计算和用样本估计总体，熟练掌握统计图表的分析方法和统计量的计算是解题的关键． 20. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长至，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积． 【答案】（1） 证明：四边形ABCD是菱形， ，， ， ，即， ， 又， 四边形AEFD是平行四边形， ， ， 四边形AEFD是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用菱形对边平行且相等的性质，结合推出与平行且相等，证得四边形是平行四边形，再依据得到一个直角，从而证明它是矩形． （2）根据菱形性质和判定是等边三角形，结合求出、、的长度，再利用矩形对边相等得出（即）和的长度，进而计算矩形面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形和矩形的性质，以及等边三角形的判定是解题的关键． 21. 在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从地出发匀速驶向地，途经地时接到紧急任务立即原路原速返回地（调头时间忽略不计），乙车从地出发匀速行驶到达地休息，半小时后继续匀速驶往地，结果比甲车早半小时到达地．如图是甲、乙两车距地的距离与甲车行驶时间之间的函数图像，结合图像回答下列问题： （1）、两地的距离为是_____，甲车的速度是_____，乙车到达地之前的速度是_____； （2）求图像中线段的函数解析式； （3）直接写出乙车到达地休息前，甲、乙两车出发多长时间，两车与地的距离相等． 【答案】（1）120，40，30 （2） （3）小时或小时 【解析】 【分析】（1）由甲车的图像可知A地到C地路程为，B地到C地路程为，则A地到B地路程为，甲车到达B地路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度距离时间即可求得甲车的速度；根据乙车的图像可知，乙车到达B地之前的路程为，所用时间为，根据速度距离时间即可求得乙车到达地之前的速度； （2）由题意和图像结合已知条件可知和点，再利用待定系数法求出与的关系式即可得答案； （3）分两种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出的值即可得答案． 【小问1详解】 解：由甲车的图像可知A地到C地路程为，B地到C地路程为， 则A地到B地路程为， 甲车的速度为， 根据乙车的图像可知，乙车到达B地之前的速度是； 【小问2详解】 解：，， 根据题意和图像可知和点， 设， ， 解得：， ∴线段的函数解析式； 【小问3详解】 解：设甲车出发，甲、乙两车与地的距离相等， ①两车到达地之前：， 解得：， ②甲车到达地时开始返回，乙车未到达地：， 解得：， 答：经过或，甲、乙两车与地的距离相等． 22. 综合与实践 在数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动． 【动手操作】 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部的点处，把纸片展平，连接，． 如图1，若，当点在上时，_____度，延长交于点，若点恰好与点重合，_____； 【迁移探究】 “奋斗小组”受到启发，将矩形纸片更换为正方形纸片，按操作一、二进行操作． （1）如图2，当点在上时，延长交于点，连接，_____度； （2）如图3，延长交于点，连接，猜想与的数量关系为_____，证明你的猜想； （3）若正方形的边长为4，改变点在边上的位置，延长交于点，若，则的长为_____． 【答案】动手操作: ，； 迁移探究: （1）； (2)，理由如下： 沿折叠， ，（折叠性质 ）． 四边形是正方形， ，（正方形性质 ）． ，． 又（公共边 ）， ． （全等三角形对应边相等 ）， 故答案为：． （3）或 【解析】 【分析】动手操作：利用矩形对折后是中垂线，结合折叠性质得到线段相等，再通过等边三角形的判定及性质的关系推导角度．依据折叠性质确定线段相等关系，结合矩形对边相等，利用勾股定理列方程求解． 迁移探究： （1）利用正方形对折和折叠性质，结合等腰三角形及角的和差关系，推导度数． （2）通过折叠得，正方形中，转化为，再用“”证明，得出与数量关系． （3）设为未知数，根据折叠性质表示相关线段，结合勾股定理与长度分情况列方程求解． 【详解】动手操作：连接， 由操作一，对折矩形使与重合，折痕是矩形中垂线， ∴（，则 ）．， ∴ 操作二沿折叠，， ∴是等边三角形， ∴, ． ∵， ∴ ． 延长交于且与重合， ∵, ∴， 由折叠可得， ∴,， ∴ 解得 ． 故答案为：，； 迁移探究： （1）连接， 由操作一，对折正使与重合，折痕是中垂线， ∴．， ∴ 操作二沿折叠，， ∴是等边三角形， ∴, ． ∴, ∵，，， ∴， ∴ ， 故答案为：15． （2）略 （3）设，则，由折叠得，． 操作一得为CF的中垂线，， ， ，即或． 情况一： 由（2）知， ∴ ．， 在中，根据勾股定理： ，即． 解得 ． 情况二： 由（2）知， ∴ ．， 在中，根据勾股定理：，即 解得 ， 综上所述的长为或． 【点睛】本题主要考查图形折叠性质、矩形与正方形性质、全等三角形判定（ ）与性质、勾股定理．解题的关键是抓住“折叠前后对应边相等、对应角相等”，结合矩形或正方形边与角的特性，通过全等三角形建立边的等量关系，或用勾股定理列方程求解，核心是利用不变量（如折叠产生的相等线段、角 ）转化问题． 23. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别落在轴，轴上，且，，点是线段的中点，交于点，在上，且，射线平分，交于点，连接． （1）求点的坐标， （2）求直线的解析式； （3）若直线平行于直线，且与矩形的边有2个公共点，则的取值范围是_____； （4）若点为线段上一动点，过点作于点，连接在边上，且的长度是的最小值，在矩形的边上存在一点，使是等腰三角形，直接写出点坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4），， 【解析】 【分析】（1）由勾股定理直接求解； （2）可证明，则设，那么，在中，由勾股定理得，解得：，则，再由待定系数法求解即可； （3）先求直线解析式，由平行得到直线，再分别求出直线经过点时所对应的的值，即可求解取值范围； （4）过点，作轴，轴，垂足为，则，那么，故当点三点共线且重合时，取得最小值，即为，则，再分三种情况讨论，利用勾股定理以及等腰三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵射线平分， ∴ ∵，， ∴， ∴， 设， ∵矩形， ∴ ∴为矩形， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， 设直线， 则， 则， ∴直线； 【小问3详解】 解：设直线， 则代入，得， 解得：， ∴直线， ∵直线平行于直线， ∴， ∴直线为， ∵矩形，， ∴， 当直线经过点时， 则， 解得：； 当直线经过点时， 则， 解得：， ∴直线与矩形的边有2个公共点，则的取值范围是； 【小问4详解】 解：过点，作轴，轴，垂足为， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴当点三点共线且重合时，取得最小值，即为， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ 当时，此时在边上， ∴， ∴， ∴； 当时，此时点在边上， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，此时点在边上， 则点为的垂直平分线与的交点， ∴，， ∴的中点为， ∴， 综上：当是等腰三角形，则或或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，涉及矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年度下学期期末学业考试 初二数学试题 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中，能构成一个直角三角形三边的是（ ） A. 2，4， B. 2，3， C. 5，7，9 D. ，， 3. 若正比例函数的图象经过点和点，当时，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列属于菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 两组对边分别平行且相等 B. 两组对角分别相等 C. 对角线相互平分 D. 对角线相互垂直 5. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示： 月用水量（吨） 3 4 5 6 户数 4 6 8 2 关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（ ） A. 众数是5 B. 平均数是 C. 中位数是5 D. 众数和平均数相同 6. 吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 我们规定：对于任意的正数m、n的运算“”为当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，，分别是，的中点，连接，，点在的延长线上，连接，若，则四边形的周为（ ） A. B. C. D. 9. 小明同学对数据22，22，36，4■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水污染已无法看清，则下列统计量与被污染数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 以上都无关 10. 如图，在正方形中，点，为上一点，且，连接，过点作交于点，过点作，交轴于点，交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 若式子有意义，则x的取值范围是____． 12. 如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：___，使得平行四边形ABCD为菱形． 13. 一组数据1、3、4、5、x、9的众数和中位数相同，那么x的值是____． 14. 如图，在中，．分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点和点；作直线，交于点，连接．若与恰好垂直，则的长为_______． 15. 如图，一次函数的图像与轴、轴分别交于点A，B，与正比例函数的图像相交于点，则关于的不等式的解集为_____． 16. 在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形，若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为______________． 17. 如图，矩形的对角线、交于点，直线的解析式，过点作于，过点作于，得到第二个矩形，、交于点，过点作于，过点作于，得到第三个矩形，…，依此类推，这样作的第个矩形对角线交点的坐标为____________________． 三、解答题（本题共6道大题，共69分） 18. 计算： （1） （2） （3） 19. 为切实加强中小学生交通安全教育．某中学开展了“交通安全进校园”培训活动．为了解培训效果，该校组织学生进行了交通安全知识竞赛，将学生的百分制成绩用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 第2小组 3.5 5 第3小组 3.25 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为_____度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）_____，_____，_____； （3）已知该校共有3000名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分． 20. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，延长至，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的面积． 21. 在一条公路上依次有A，B，C三地，甲车从地出发匀速驶向地，途经地时接到紧急任务立即原路原速返回地（调头时间忽略不计），乙车从地出发匀速行驶到达地休息，半小时后继续匀速驶往地，结果比甲车早半小时到达地．如图是甲、乙两车距地的距离与甲车行驶时间之间的函数图像，结合图像回答下列问题： （1）、两地的距离为是_____，甲车的速度是_____，乙车到达地之前的速度是_____； （2）求图像中线段的函数解析式； （3）直接写出乙车到达地休息前，甲、乙两车出发多长时间，两车与地的距离相等． 22. 综合与实践 在数学活动课上，老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动． 【动手操作】 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部的点处，把纸片展平，连接，． 如图1，若，当点在上时，_____度，延长交于点，若点恰好与点重合，_____； 【迁移探究】 “奋斗小组”受到启发，将矩形纸片更换为正方形纸片，按操作一、二进行操作． （1）如图2，当点在上时，延长交于点，连接，_____度； （2）如图3，延长交于点，连接，猜想与的数量关系为_____，证明你的猜想； （3）若正方形的边长为4，改变点在边上的位置，延长交于点，若，则的长为_____． 23. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别落在轴，轴上，且，，点是线段的中点，交于点，在上，且，射线平分，交于点，连接． （1）求点的坐标， （2）求直线的解析式； （3）若直线平行于直线，且与矩形的边有2个公共点，则的取值范围是_____； （4）若点为线段上一动点，过点作于点，连接在边上，且的长度是的最小值，在矩形的边上存在一点，使是等腰三角形，直接写出点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $