第四章 第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式（知识点梳理+限时挑战）-【精准备考】2026年高考数学一轮复习讲义（新高考通用）

第四章三角函数、解三角形 第2节　同角三角函数的基本关系及诱导公式 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1同角三角函数的基本关系★★☆☆☆ 考点2三角函数的诱导公式★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.同角三角函数的基本关系★★☆☆☆ (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)商数关系:=tanα. 2.三角函数的诱导公式★★★☆☆ 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sinα -sinα -sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα -cosα cosα -cosα sinα -sinα 正切 tanα tanα -tanα -tanα 口诀 奇变偶不变,符号看象限 【名师点拨】 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sinα±cosα)2=1±2sinαcosα; sinα=tanα·cosα. 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.(　　) (2)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.(　　) (3)若α∈R,则tanα=恒成立.(　　) (4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sinα=.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 【解析】(1)对任意的角α,sin2α+cos2α=1. (2)中对于任意α∈R,恒有sin(π+α)=-sinα. (3)中当α的终边落在y轴上时,商数关系不成立. (4)当k为奇数时,sinα=, 当k为偶数时,sinα=-. 2.(湘教必修一P168【典例】5改编)已知α是第三象限角,sinα=-,则tanα=(　　) A.- B. C.- D. 【答案】B 【解析】由题意得cosα=-, 故tanα==. 3.(人教A必修一P195T5改编)已知sin=,那么cosα=(　　) A.- B.- C. D. 【答案】B 【解析】因为sin=-cosα=, 所以cosα=-. 4.(北师大必修二P24【典例】8(3)改编)求值:sincos+sincos=　　　　.  【答案】 【解析】sincos+sincos =sincos+sincos =sincos+ =2××=. 【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　同角三角函数基本关系式 角度1　切弦互化 【典例】1(1)(2025·济南质检)若=,则=(　　) A.- B. C.- D. 【答案】C 【解析】∵==, ∴tanθ=, 则= == == =-. (2)(2023·全国乙卷)若θ∈,tanθ=,则sinθ-cosθ=　　　　.  【答案】- 【解析】由且θ∈, 解得故sinθ-cosθ=-. 【思维建模】同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用sin2α+cos2α=1可实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tanα可实现角α的弦切互化. (2)当分式中分子与分母是关于sinα,cosα的齐次式时,往往转化为关于tanα的式子求解. 角度2　“和”“积”转换 【典例】2(多选)已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=,则下列结论正确的是(　　) A.sinθ= B.cosθ=- C.tanθ=- D.sinθ-cosθ= 【答案】ABD 【解析】由题意知sinθ+cosθ=, ∴(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=, ∴2sinθcosθ=-<0, 又∵θ∈(0,π),∴<θ<π, ∴sinθ-cosθ>0, ∴sinθ-cosθ= ===, ∴sinθ=,cosθ=-. ∴tanθ=-,∴A,B,D正确. 【思维建模】正弦、余弦“sinα±cosα,sinαcosα”的应用: sinα±cosα与sinαcosα通过平方关系联系到一起,即(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα, sinαcosα=,sinαcosα=. 【变式训练】1(1)已知x∈,sin4x+cos4x=,则sinx-cosx=(　　) A. B.- C. D.- 【答案】B 【解析】因为sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x=1-2sin2xcos2x=, 所以sin2xcos2x=, 又x∈, 所以sinx<0,cosx>0,sinx-cosx<0, 所以sinxcosx=-, sinx-cosx=- =- =-=-. (2)(2025·徐州调研)若θ∈,=,则tanθ=　　　　.  【答案】 【解析】因为=, 所以=, 所以=, 即sin2θ-sinθcosθ-cos2θ=0, 因为θ∈,所以cosθ≠0,tanθ>0, 所以tan2θ-tanθ-1=0,得tanθ=. 考点二　诱导公式 【典例】3(1)已知cos=a(|a|≤1),则cos+sin=　　　　.  【答案】0 【解析】由题知cos=cos =-cos=-a, sin=sin =cos=a, ∴cos+sin=0. (2)化简:=　　　　.  【答案】sin40° 【解析】 = == = =sin40°. 【思维建模】 1.诱导公式的应用步骤 任意负角的三角函数任意正角的三角函数0~2π内的角的三角函数锐角三角函数. 2.诱导公式的两个应用 (1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. (2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了. 【变式训练】2(1)已知α∈R,则下列等式恒成立的是(　　) A.sin(3π-α)=-sinα B.sin=-cos C.cos=sin3α D.cos=-sin2α 【答案】D 【解析】sin(3π-α)=sin(π-α)=sinα, sin=sin=cos, cos=cos=-sin3α, cos=-sin2α. (2)求值:tan780°cos(-1140°)-sin1560°·cos(-1050°)=　　　　.  【答案】 【解析】原式=tan(2×360°+60°)cos(-3×360°-60°)-sin(4×360°+120°)cos(-3×360°+30°) =tan60°cos(-60°)-sin120°cos30° =×-×=. 考点三　基本关系式和诱导公式的综合应用 【典例】4已知f(α)=. (1)化简f(α); (2)若f=,求cos2+ cos的值. 【解析】(1)由题意得, f(α)==cosα. (2)f=,即cos=, ∴cos2=cos2 =sin2=1-cos2=1-=, cos=cos =-cos=-, ∴cos2+cos=-=. 【思维建模】 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形. 2.注意角的范围对三角函数符号的影响. 【变式训练】3(1)(2025·丽水模拟)已知sin=,那么tan=(　　) A.- B.±2 C. D.2 【答案】B 【解析】因为sin=, 所以cos=cos =sin=, 则sin=±=±, 所以tan==±2. (2)(2024·衡水模拟)已知sin+cos(π-α)=sinα,则2sin2α-sinαcosα=(　　) A. B. C. D.2 【答案】D 【解析】由诱导公式可得sinα=sin+cos(π-α)=-2cosα,所以tanα=-2. 因此,2sin2α-sinαcosα====2. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.sin600°=(　　) A.- B. C.- D. 【答案】C 【解析】sin600°=sin(240°+360°)=sin240° =sin(180°+60°)=-sin60°=-. 2.(2025·成都联考)若角α的顶点在坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边位于第二象限,且 sinα=,则sin=(　　) A. B.- C. D.- 【答案】D 【解析】因为角α的终边位于第二象限, 则cosα=-=-, 所以sin=cosα=-. 3.(2025·合肥质检)已知=2,则tanα=(　　) A. B. C.- D.- 【答案】B 【解析】法一　因为=2, 所以cosα+2sinα=2,且cosα≠0, 所以cos2α+4sinαcosα+4sin2α = ==4, 所以1+4tanα+4tan2α=4(1+tan2α), 即4tanα=3,所以tanα=. 法二　因为=2, 所以cosα+2sinα=2,且cosα≠0, 所以cos2α+4sinαcosα+4sin2α=4, 即4sinαcosα=3cos2α, 所以tanα=. 4.(2025·张家口模拟)已知cos=,则sin=(　　) A.- B. C. D.- 【答案】A 【解析】sin=sin =-cos=-. 5.(2025·信阳联考)已知cos+cos=,则cos=(　　) A.- B. C.- D. 【答案】C 【解析】因为cos+cos=, 所以cos-sin=, 则 =1-2cossin=, 则sin=, 故cos=cos =-sin=-. 6.(2025·衡阳联考)已知α∈,cos=,则tanα=(　　) A. B. C.2 D.4 【答案】A 【解析】由cos=得sin2α=, 所以2sinαcosα=,则=,即=, 解得tanα=4或tanα=. 又α∈,所以0<tanα<1, 所以tanα=. 7.(2025·海口诊断)若α∈(0,π),且cosα-sinα=,则tanα=(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵cosα-sinα=, ∴(cosα-sinα)2=, 即1-2sinαcosα=, ∴sinαcosα=,∴=, 得=, ∴3tan2α-8tanα+3=0, ∴tanα=或tanα=. ∵α∈(0,π),且cosα-sinα=>0, ∴α∈,∴0<tanα<1, 故tanα=. 8.定义θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称角θ与φ“广义互余”.已知sinα=,下列角β中,可能与角α“广义互余”的是(　　) A.sinβ= B.cos(π+β)= C.tanβ= D.tanβ= 【答案】A 【解析】若α+β=, 则cosβ=cos=sinα=, sinβ=sin=cosα=±, 对于A,sinβ=,符合; 对于B,cos(π+β)=-cosβ=, ∴cosβ=-,不符合; 对于C,tanβ=,即sinβ=cosβ, 又sin2β+cos2β=1,∴cosβ=±,不符合; 对于D,tanβ=,即sinβ=cosβ, 又sin2β+cos2β=1,∴sinβ=±,不符合. 二、多选题 9.在△ABC中,下列结论正确的是(　　) A.sin(A+B)=sinC B.sin=cos C.tan(A+B)=-tanC D.cos(A+B)=cosC 【答案】ABC 【解析】在△ABC中,有A+B+C=π, 则sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,A正确; sin=sin=cos,B正确; tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,C正确; cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,D错误. 10.(2025·福州调研)已知下列等式的左右两边都有意义,则下列等式恒成立的是(　　) A.= B.= C.sin(53°-x)=cos(37°+x) D.sin(60°-x)=cos(480°+x) 【答案】ABC 【解析】对于A,====,故A正确; 对于B,===,故B正确; 对于C,sin(53°-x)=sin[90°-(37°+x)]=cos(37°+x),故C正确; 对于D,cos(480°+x)=cos(120°+x)=cos[180°-(60°-x)]=-cos(60°-x),故D错误. 11.已知=3,-<α<,则(　　) A.tanα=2 　　　　B.sinα-cosα=- C.sin4α-cos4α= 　　　　D.= 【答案】ACD 【解析】因为==3, 所以tanα=2>0,且-<α<, 所以0<α<,所以sinα>0,cosα>0, 由=3>0,可得sinα-cosα>0, 故A正确,B错误; sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)·(sin2α+cos2α)=sin2α-cos2α====,故C正确; = ==,故D正确. 三、填空题 12.已知tanα=cosα,则-=　　　　.  【答案】1 【解析】因为tanα==cosα, 故sinα=cos2α, 则-= == ===1. 13.已知sin(3π+θ)=,则+=　　　　.  【答案】18 【解析】由sin(3π+θ)=,可得sinθ=-, ∴所求式=+ =+= ===18. 14.已知-π<x<0,sin(π+x)-cosx=-,则=　　　　.  【答案】- 【解析】由已知,得sinx+cosx=, 两边平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=, 整理得2sinxcosx=-. ∴(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=, 由-π<x<0知,sinx<0, 又sinxcosx=-<0, ∴cosx>0,∴sinx-cosx<0, 故sinx-cosx=-. ∴= == =-. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章三角函数、解三角形 第2节　同角三角函数的基本关系及诱导公式 学习导航站 核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点 考点1同角三角函数的基本关系★★☆☆☆ 考点2三角函数的诱导公式★★★☆☆ （星级越高，重要程度越高） 限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯 【知识梳理】 1.同角三角函数的基本关系★★☆☆☆ (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)商数关系:=tanα. 2.三角函数的诱导公式★★★☆☆ 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sinα -sinα -sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα -cosα cosα -cosα sinα -sinα 正切 tanα tanα -tanα -tanα 口诀 奇变偶不变,符号看象限 【名师点拨】 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sinα±cosα)2=1±2sinαcosα; sinα=tanα·cosα. 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 【教材回归】概念思考辨析+教材经典改编 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.(　　) (2)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.(　　) (3)若α∈R,则tanα=恒成立.(　　) (4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sinα=.(　　) 2.(湘教必修一P168【典例】5改编)已知α是第三象限角,sinα=-,则tanα=(　　) A.- B. C.- D. 3.(人教A必修一P195T5改编)已知sin=,那么cosα=(　　) A.- B.- C. D. 4.(北师大必修二P24【典例】8(3)改编)求值:sincos+sincos=　　　　.  【考向核心题型】　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　同角三角函数基本关系式 角度1　切弦互化 【典例】1(1)(2025·济南质检)若=,则=(　　) A.- B. C.- D. (2)(2023·全国乙卷)若θ∈,tanθ=,则sinθ-cosθ=　　　　.  角度2　“和”“积”转换 【典例】2(多选)已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=,则下列结论正确的是(　　) A.sinθ= B.cosθ=- C.tanθ=- D.sinθ-cosθ= 【变式训练】1(1)已知x∈,sin4x+cos4x=,则sinx-cosx=(　　) A. B.- C. D.- (2)(2025·徐州调研)若θ∈,=,则tanθ=　　　　.  考点二　诱导公式 【典例】3(1)已知cos=a(|a|≤1),则cos+sin=　　　　.  (2)化简:=　　　　.  【变式训练】2(1)已知α∈R,则下列等式恒成立的是(　　) A.sin(3π-α)=-sinα B.sin=-cos C.cos=sin3α D.cos=-sin2α (2)求值:tan780°cos(-1140°)-sin1560°·cos(-1050°)=　　　　.  考点三　基本关系式和诱导公式的综合应用 【典例】4已知f(α)=. (1)化简f(α); (2)若f=,求cos2+ cos的值. 【变式训练】3(1)(2025·丽水模拟)已知sin=,那么tan=(　　) A.- B.±2 C. D.2 (2)(2024·衡水模拟)已知sin+cos(π-α)=sinα,则2sin2α-sinαcosα=(　　) A. B. C. D.2 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单选题 1.sin600°=(　　) A.- B. C.- D. 2.(2025·成都联考)若角α的顶点在坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边位于第二象限,且 sinα=,则sin=(　　) A. B.- C. D.- 3.(2025·合肥质检)已知=2,则tanα=(　　) A. B. C.- D.- 4.(2025·张家口模拟)已知cos=,则sin=(　　) A.- B. C. D.- 5.(2025·信阳联考)已知cos+cos=,则cos=(　　) A.- B. C.- D. 6.(2025·衡阳联考)已知α∈,cos=,则tanα=(　　) A. B. C.2 D.4 7.(2025·海口诊断)若α∈(0,π),且cosα-sinα=,则tanα=(　　) A. B. C. D. 8.定义θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称角θ与φ“广义互余”.已知sinα=,下列角β中,可能与角α“广义互余”的是(　　) A.sinβ= B.cos(π+β)= C.tanβ= D.tanβ= 二、多选题 9.在△ABC中,下列结论正确的是(　　) A.sin(A+B)=sinC B.sin=cos C.tan(A+B)=-tanC D.cos(A+B)=cosC 10.(2025·福州调研)已知下列等式的左右两边都有意义,则下列等式恒成立的是(　　) A.= B.= C.sin(53°-x)=cos(37°+x) D.sin(60°-x)=cos(480°+x) 11.已知=3,-<α<,则(　　) A.tanα=2 　　　　B.sinα-cosα=- C.sin4α-cos4α= 　　　　D.= 三、填空题 12.已知tanα=cosα,则-=　　　　.  13.已知sin(3π+θ)=,则+=　　　　.  14.已知-π<x<0,sin(π+x)-cosx=-,则=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$