四川省德阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测考试数学试题

德阳市高中2024级第一学年教学质量监测考试 数学试卷 说明： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2.本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 设集合，则集合的元素个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 已知复数：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某单位共有老年、中年、青年职工320人，其中有青年职工150人，老年职工与中年职工的人数之比为7∶10.为了了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，抽取的样本中有青年职工30人，则抽取的老年职工的人数为 A. 14 B. 20 C. 21 D. 70 4. 若圆锥的母线长为2，侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积是（ ） A. B. 3π C. D. π 5. 在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为该函数的“不动点”．若函数的“不动点”为m，角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知甲､乙两组数据分别为：和，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（ ） A. 甲组数据的第70百分位数为23 B. 甲､乙两组数据的极差不相同 C. 乙组数据的中位数为24.5 D. 甲､乙两组数据的方差相同 7. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，为了测量障碍物两侧A，B之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的是（ ） A. a，b， B. ，， C. a，， D. ，，b 10. 已知向量不共线，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 向量在上的投影向量相等 11. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卡上） 12. 已知函数，则______． 13. 平面过正方体的顶点A，平面，平面，平面，则l，m所成角正切值为____________. 14. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为，如图，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为______s． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，若． （1）求△的面积； （2）若，求c． 16. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）若α是的一个零点，求的值． 17. 在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大． （1）求证：平面； （2）若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 18. 已知函数． （1）探讨函数图象的对称性，并说明理由； （2）将函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到函数的图象． ①求的值； ②若函数满足，求ab的最大值；并指出当ab取得最大值时，a、b的值分别是多少？ 19. 将所有平面向量组成的集合记作，f是从到的映射，记作或，其中，，，，，，都是实数．定义映射f的模为：在的条件下的最大值，记作．若存在非零向量，及实数λ使得，则称λ为f的一个特征值． （1）若，求； （2）如果，计算f的特征值，并求相应的； （3）若，要使f有唯一的特征值，实数，，，应满足什么条件？ 德阳市高中2024级第一学年教学质量监测考试 数学试卷 说明： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回． 2.本试卷满分150分，120分钟完卷． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】BD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案直接填在答题卡上） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）函数的单调递增区间为. （2）. 【17题答案】 【答案】（1） 因为， 又为的中点， 所以为等边三角形，四边形为菱形， 所以， 因为为的中点，所以， 所以，即 连接，所以， 若使构成的四棱锥体积最大，则平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面； （2） 当为的中点时，平面平面.证明如下： 取中点为，连接，，，因为为边的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以平面平面， 由（1）得平面，又平面，所以平面平面， 所以平面平面. 【18题答案】 【答案】（1）关于原点对称，理由如下： 由可知函数的定义域为， 再由， 所以， 故是奇函数，它的图象关于原点对称. （2）①； ②，或. 【19题答案】 【答案】（1） （2）， （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $