2.1.1椭圆及其标准方程 讲义-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

授课主题 2.1.1椭圆及其标准方程 知 识 梳 理 一、椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形. 二、椭圆的标准方程 1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 注意：1.这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2.在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； 4. 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 三、求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：. （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 例题讲解 考点一 椭圆的定义及应用 例1、点在椭圆上，是的两个焦点，若，则(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】椭圆，即，其中 由椭圆定义可知：得，故选：A. 例2、椭圆上的一点到左焦点的距离为是的中点，则等于 . 【答案】3 【解析】设椭圆的右焦点，连接，则由，知. 又点为的中点，点为的中点，所以.故答案为：3 考点二 焦点三角形的面积与周长 例1、已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于( ) A．20 B．16 C．18 D．14 【答案】C 【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C. 例2、△ABC的两个顶点A（－4，0），B（4，0），△ABC周长为18，则C点轨迹为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵△ABC的两顶点A（－4，0），B（4，0），周长为18，∴AB=8，BC+AC=10， ∵10＞8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，点C满足椭圆的定义， ∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∴2a=10，2c=8，∴b=3， ∴椭圆的标准方程是，故选D。 例3、已知椭圆的方程为，弦AB过椭圆的焦点F1，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为(    ) A．8 B．10 C．16 D．20 【答案】D 【解析】由题意可知的周长为20，故选:D. 例4、已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为(    ) A．6 B．12 C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆，得，，.    设，， ∴，在中，由余弦定理可得：， 可得，得，故.故选：C. 例5、设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________． 【答案】4 【解析】由椭圆方程，得a＝3，b＝2，，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由可知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4. 考点三 椭圆上的点到定点距离的最值 例1、(多选)已知点，P为椭圆上的动点，则的(    ) A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 【答案】BD 【解析】 注意到Q为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为，则， 而的取值范围是，即，因此所求最大值为，最小值为． 故选：BD. 例2、设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为(    ) A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11 【答案】C 【解析】的圆心为，的圆心为，两圆半径均为， 由于，，所以椭圆的两个焦点分别为和， 由椭圆定义可知：，所以的最大值为，的最小值为.故选：C 例3、已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为(    ) A． B． C．5 D．6 【答案】B 【解析】设圆的圆心为，则， 设，则， 所以，当且仅当时取得最大值，所以．故选：B． 考点四 椭圆的标准方程 例1、 方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________ 【答案】 【解析】因为焦点在y轴上，所以16＋m>25－m，即，又因为b2＝25－m>0，故m<25，所以m的取值范围为. 例2、椭圆的焦距是 ，焦点坐标是 ；若AB为过椭圆的一个焦点F1的一条弦，F2为另一个焦点，则的周长是 . 【答案】 【解析】由椭圆方程知∴∴∴两焦点为 又因为三角形的周长为为= 例3、“”是方程“表示椭圆”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条 【答案】B 【解析】若方程表示椭圆，则有 因此且，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选：B 例4、若曲线是焦点在x轴的椭圆，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由曲线，得，因为曲线是焦点在x轴的椭圆，所以，解得，即的取值范围为.故答案为：. 例5、写出分别满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为，，且椭圆经过点 ； (2)椭圆经过，两点 ； (3)焦距等于，且椭圆经过点 ． 【答案】(1) (2) (3) 或 【解析】(1)椭圆焦点在轴上，可设其方程为：； 椭圆过点，，又，，椭圆标准方程为：； (2)，椭圆长轴为轴，可设其方程为， 则，，椭圆标准方程为：； (3)椭圆焦距为，，设椭圆方程为：或，椭圆过点，，解得：，椭圆标准方程为：或. 例6、当时，指出方程所表示的曲线. 【解析】∵∴ （1） 若9-k>k-3，即时，则方程表示焦点在x轴上的椭圆； （2） 若9-k=k-3，即k=6时，方程表示圆； （3） 若9-k<k-3, 即时，则方程表示焦点在y轴上的椭圆. 例7、 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； （2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点 【解析】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为。 ∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为； （2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为 由椭圆的定义知，，∴ 又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6∴所求椭圆的标准方程为 例8、求经过点P（－3，0）、Q（0，2）的椭圆的标准方程。 【解析】设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）。 ∵椭圆经过点P（－3，0）和Q（0，2），∴ ∴∴所求椭圆方程为。 考点五 与椭圆的相关轨迹 例1、设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是(    ) A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 【答案】A 【解析】因为，，所以，所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.故选：A. 例2.、若动点M到两个定点F1,F2的距离的和为定值m，则M的轨迹是（ ） A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.以上都不对 【答案】D 【解析】由于m与大小关系不能确定，因此M的轨迹可能是椭圆，也可能是线段，还有可能不存在，故选D 例3、已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点， 所以，整理得，所以点的轨迹方程是.故答案为： 例4、 若一个动点P（x，y）到两个定点A（－1，0）、A＇（1，0）的距离的和为定值m（m>0），试求P点的轨迹方程。 【解析】∵|PA|+|PA＇|=m，|AA＇|=2，|PA|+|PA＇|≥|AA＇|， （1）当0<m<2时，P点的轨迹不存在； （2）当m=2时，P点的轨迹就是线段AA＇ ∴其方程为y=0（－1≤x≤1）； （3）当m＞2时，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A、A＇为焦点的椭圆 ∵2c=2，2a=m，∴，， ∴点P的轨迹方程为。 例5、△ABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，－6），另两边AB、AC的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程。 【解析】设顶点A的坐标为（x，y），由题意得， ∴顶点A的轨迹方程为。 举一反三 1.下列说法中正确的是（ ） A．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆 B．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段 C．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线 D．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段 【答案】D 2.“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】∵由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”， 例如a＜0，b＜0时，“方程ax2+by2=1不表示椭圆”。“方程ax2+by2=1表示椭圆” →“ab＞0”， ∴“ab＞0”是方程“ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件。故选B。 3.设椭圆的左、右焦点分别为F1,，F2，上顶点为B。若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 4．椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为 ． 【答案】8 【解析】设椭圆的左、右焦点分别为，结合椭圆定义，可得. 故答案为：8 5．已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若，则点P到焦点的距离为 ． 【答案】 【解析】据题意，设， 则，得，解得， 所以，即．故答案为： 6.下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 【答案】　② 【解析】　①<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)． 7.已知B（-2,0），C（2,0），A为动点，的周长为10，则动点A的满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 |AB|+|AC|+|BC|=10，B（-2,0），C（2,0），|AB|+|AC|=6>|BC| 点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去B、C），且2a=6,c=2,b2=a2-c2=5, 顶点A的轨迹方程为 8.已知P为椭圆上的一点，是两个焦点，，求的面积. 【答案】 9.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为．过点的直线l交C于A，B两点，且的周长为16，那么C的方程为______ 【答案】。 10．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则(    ) A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解析】方法一：因为，所以， 从而，所以．故选：B. 方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以．故选：B. 11．已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，则，， 即.设，所以由椭圆的定义可得：①. 因为，所以由数量积的公式可得：，所以. 在中，所以由余弦定理可得：②， 由①②可得：，所以.故选：A. 12.已知椭圆的标准方程是(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________． 【答案】 【解析】因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即，所以△ABF2的周长为. 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一点，且满足，则的面积等于 ，的周长等于 ． 【答案】 【解析】由知，，所以，即，所以， 又由椭圆的定义，知，所以， 所以在中，边上的高为， 于是，故答案为：；. 14．已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么(    ) A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【解析】由题意，设椭圆的右焦点为，连接，则， 如图：    当点P在位置M时，取到最大值，当点P在位置N时，取到最小值， 所以的取值范围是，即， 所以的最大值，最小值，所以.故选：C. 15．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为(    ) A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】A 【解析】   设椭圆的半焦距为，则，，如图，连接，则， 而，当且仅当共线且在中间时等号成立，故的最大值为. 故选：A. 16．已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为(    ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】设圆和圆的圆心分别为,半径分别为. 则椭圆的焦点为. 又,，，故， 当且仅当分别在的延长线上时取等号. 此时最大值为.故选：C. 17.已知动点在椭圆上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足且，则的最大值为(    ) A． B． C．8 D．63 【答案】B 【解析】因为，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上， 又因为，所以，PM为圆的切线， ，所以当PF最长时，切线长PM最大． 当点P与椭圆的左顶点重合时，最大，最大值为． 此时的最大值为．故选：B． 18．已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是(    ) A．0 B．1 C．2 D．2 【答案】C 【解析】椭圆的左右焦点. 设，则，，∴， 又，则.∴ ∵点P在椭圆上，∴，∴当时，取最小值2．故选：C． 19．若方程表示椭圆，则下面结论正确的是(    ) A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【答案】C 【解析】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误；焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确；焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C 20．“”是“方程表示椭圆”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】方程表示椭圆， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B. 21.如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 【答案】 22．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，，经过点； (2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为. (3)两个焦点坐标分别是和，并且经过点. (4)已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程． 【答案】(1)(2)(3)(4)(4)或. 【解析】(1)设椭圆的标准方程为，依题可得， 将代入到方程中得，故，所以椭圆的标准方程为. (2)设椭圆的标准方程为，依题可得，即， 所以，所以椭圆的标准方程为 (3)易知，焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为：，将代入标准方程解得，则椭圆的标准方程为：. (4)因为，，解得：， 又因为，所以，椭圆的标准方程为或. 23.椭圆(m<n<0)的焦点坐标是________． 【答案】， 【解析】因为m<n<0，所以－m>－n>0，故焦点在x轴上，所以，故焦点坐标为，． 24.两焦点的坐标分别为，且椭圆经过点。 【答案】。 25.已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。 【答案】。 26.已知椭圆的两个焦点是（－3，0），（3，0），且点（0，3）在椭圆上，则椭圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D ∵椭圆的两个焦点是（－3，0）、（3，0），且过点（0，3），∴设椭圆方程为， 且c=3，b=3，解得，∴椭圆的标准方程为：。故选D。 27.已知椭圆经过点P（2，0）和点，求椭圆的标准方程。 【答案】 28.已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标准方程。 【答案】或。 29.已知A、B两点的坐标分别为（0，－5）和（0，5），直线MA与MB的斜率之积为，则M的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 30.△ABC两顶点的坐标分别是B（6，0）和C（－6，0），另两边AB、AC的斜率的积是，则顶点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 31.设动圆与圆外切，与内切，求动圆圆心的轨迹方程. 【答案】 32.设定点是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】 【解析】设．因为为线段的中点，所以， 因为，所以点的轨迹方程为． 33.如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP'，求线段PP'中点M的轨迹 【答案】设点M的坐标为，点P的坐标为，P y x O 则 因为在圆上，所以 将代入上方程 得即 所以点M的轨迹是一个椭圆 34已知定圆，圆，动圆M和定圆外切和圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 【答案】 【解析】圆，圆 因为圆M与圆外切，所以， 因为圆M与圆内切，所以，， 两式相加得， 所以M的轨迹是以为焦点的椭圆，故其方程为. 35．圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足 求点的轨迹方程； 【答案】 【解析】设点在圆上，故有，设，又，可得，， 即，代入可得，化简得：，故点的轨迹方程为：. 课 后 作 业 1．已知分别是椭圆的左、右焦点，点Р在椭圆上，若，则(    ) A．6 B．3 C． D．2 【答案】B 【解析】依题意，，则.故选：B. 2．设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为(    ) A．12 B．24 C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，对于椭圆有长半轴长，又过的直线交椭圆于A、B两点， 故的周长，故选：D 3．已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则(    ) A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最大值为，即 ，又，所以， 由，所以；故选：A 4．已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则(    ) A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为,所以四边形是平行四边形.所以. 由椭圆的定义得.所以.故选：C    5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点最短距离为，则这个椭圆的方程为（ ） A． B． C．或 D．以上都不对 答案C； 解析：设短轴的一个端点为P，左右焦点分别为F1、F2， ∵△PF1F2为正三角形，∴，可得，即 ① 又∵椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为， ∴， ② 联解①②，可得。 因此a2=12且b2=9，可得椭圆的标准方程为或。 故选C。 6．直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为(    ) A．10 B．16 C．20 D．不能确定 【答案】C 【解析】设椭圆两个焦点为，由题可得，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为. 故选：C 7．已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则(    ) A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【解析】 设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，则为的中点，为的中点，所以，同理，所以.故选:C 8．椭圆的焦距为4，则的值为(    ) A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆化为标准形式得：，且椭圆的焦距， 当椭圆焦点在轴上时，，，则由，所以， 此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意， 当椭圆焦点在轴上时，，，，解得， 此时方程为：，满足题意综上所述，的值为．故选：D． 9．曲线与的关系是(    ) A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点 【答案】D 【解析】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点.故选：D. 10．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，若，则表示一个圆，充分性不成立； 而表示一个椭圆，则成立，必要性成立.所以是的必要不充分条件.故选：B 11．(多选)平面内一动点到两定点距离之和为常数，则点的轨迹为(    ) A．圆 B．椭圆 C．线段 D．无轨迹 【答案】BCD 【解析】根据题意，得， ①当时，满足椭圆的定义，可得点M的轨迹为以为焦点的椭圆； ②当时，，点M在线段上，点M的轨迹为线段； ③当时，，不存在满足条件的点M． 综上所述，点M的轨迹为椭圆或线段或不存在.故选：BCD. 12．直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B．或 C． 且 D．且 答案：Ｄ 解析：由椭圆定义知，所以选Ｄ 13．在椭圆上有一点P，是椭圆的左､右焦点，为直角三角形，这样的点P有(    ) A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】C 【解析】当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点； 当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点； 当为直角时，因为椭圆中，所以这样的点有2个，如下图中的点， 所以符合条件为直角三角形的点有6个， 故选：C. 14．设为椭圆上的一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆，则，， 两边平方得①， 在中，由余弦定理得, 即②，由①②得.故选：B 15．已知，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是(    ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【解析】设，因为，所以； 因为，所以，即， 所以，整理得，其轨迹是椭圆.故选：B. 16．过点且与有相同焦点的椭圆方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由知，焦点为，，即，.设所求椭圆方程为，则，解得，故所求椭圆方程为.故选：A. 17．若椭圆的的一个焦点为（0，-4），则k的值为（ ） Ａ.　　　B．　　　　C．8　　　　D．32 答案A； 解析：方程变形为，∴ 18．已知点P是椭圆1上一点，，是椭圆的两个焦点，若＝0，则△P的面积为 ． 【答案】20 【解析】   因为＝0，所以⊥，所以△是直角三角形． 由椭圆定义知||＋||＝6，①，又，② 由－②得，因为，所以. 故答案为：20. 19．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为　 　． 答案： 解析：由题意，AF2⊥x轴，∴|AF2|＝b2，∵|AF1|＝3|F1B|，∴B(－c，－b2)， 代入椭圆方程可得， ∵1＝b2＋c2，∴b2＝，c2＝，∴．故答案为：． 20．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为 . 【答案】 【解析】如图，由椭圆可得 , 所以, 则, 所以在中，， 因为, 且,所以 , 设的坐标为, 且，即，解得，所以点到轴的距离为.故答案为：. . 21．设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别是 ． 【答案】4，8 【解析】椭圆的两个焦点坐标为，且恰好为两个圆的圆心坐标，两个圆的半径相等都等于1， 则由椭圆的定义可得，故椭圆上动点与焦点连线与圆相交于、时，最小， 所以，. 故答案为：4，8. 22．已知P：，Q：表示椭圆，则P是Q的 条件． 【答案】必要不充分 【解析】若方程表示椭圆，则且， 且，是方程表示椭圆的必要不充分条件， 即P是Q的必要不充分条件.故答案为：必要不充分． 23．设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是 . 【答案】 【解析】椭圆，即，所以，，， 因为，所以点为短轴顶点，所以.故答案为： 24．已知椭圆的两个焦点是、，M是此椭圆上一点，且，则的面积为 ． 【答案】 【解析】由题知，，， 因为点在椭圆上，所以，所以， 又因为，所以，所以， 从而．故答案为： 25．已知点是椭圆上的一点，且位于第一象限内，以点及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，则点的坐标为 . 【答案】 【解析】椭圆的焦点，，设点， 依题意，，又，于是，所以点的坐标为. 故答案为： 26．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点． (4)经过点，两点； (5)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点. (6)焦点坐标为，过点； (7)经过两点． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) (6)(7) 【解析】(1)由题意知，椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为， 易知，∴， 又，∴，故所求椭圆的标准方程为； (2)∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为， ∵椭圆经过点和，∴，解之得，故所求椭圆的标准方程为； (3)根据题意可知，又焦点在y轴上，故焦点坐标为， ∵椭圆经过点，∴由椭圆的定义可得，即， ∴，故椭圆的标准方程为. (4)由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以，所以椭圆的标准方程为. (5)设椭圆的两个焦点为F1，F2，且焦点在x轴上 因为，所以，故设椭圆方程为 由题意得，解得或 (舍去) 所以椭圆的标准方程为. (6)设椭圆的长半轴为，短半轴为， 因为焦点的坐标为，所以另一个焦点为，且， 又椭圆过点，所以， 所以， 所以，故，所以椭圆的标准方程为； (7)设椭圆方程为，因为椭圆经过两点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 2.1.1椭圆及其标准方程 知 识 梳 理 一、椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形. 二、椭圆的标准方程 1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 注意：1.这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2.在椭圆的两种标准方程中，都有和； 3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； 4. 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 三、求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：. （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 例题讲解 考点一 椭圆的定义及应用 例1、点在椭圆上，是的两个焦点，若，则(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 例2、椭圆上的一点到左焦点的距离为是的中点，则等于 . 考点二 焦点三角形的面积与周长 例1、已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于( ) A．20 B．16 C．18 D．14 例2、△ABC的两个顶点A（－4，0），B（4，0），△ABC周长为18，则C点轨迹为（ ） A． B． C． D． 例3、已知椭圆的方程为，弦AB过椭圆的焦点F1，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为(    ) A．8 B．10 C．16 D．20 例4、已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为(    ) A．6 B．12 C． D． 例5、设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________． 考点三 椭圆上的点到定点距离的最值 例1、(多选)已知点，P为椭圆上的动点，则的(    ) A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 例2、设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为(    ) A．8，11 B．8，12 C．6，10 D．6，11 例3、已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为(    ) A． B． C．5 D．6 考点四 椭圆的标准方程 例1、 方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________ 例2、椭圆的焦距是 ，焦点坐标是 ；若AB为过椭圆的一个焦点F1的一条弦，F2为另一个焦点，则的周长是 . 例3、“”是方程“表示椭圆”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条 例4、若曲线是焦点在x轴的椭圆，则的取值范围为 ． 例5、写出分别满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为，，且椭圆经过点 ； (2)椭圆经过，两点 ； (3)焦距等于，且椭圆经过点 ． 例6、当时，指出方程所表示的曲线. 例7、 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； （2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点 例8、求经过点P（－3，0）、Q（0，2）的椭圆的标准方程。 考点五 与椭圆的相关轨迹 例1、设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是(    ) A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 例2、若动点M到两个定点F1,F2的距离的和为定值m，则M的轨迹是（ ） A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.以上都不对 例3、已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ． 例4、 若一个动点P（x，y）到两个定点A（－1，0）、A＇（1，0）的距离的和为定值m（m>0），试求P点的轨迹方程。 例5、△ABC的两个顶点坐标分别是B（0，6）和C（0，－6），另两边AB、AC的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程。 举一反三 1.下列说法中正确的是（ ） A．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆 B．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段 C．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线 D．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段 2.“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.设椭圆的左、右焦点分别为F1,，F2，上顶点为B。若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4．椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为 ． 5． 已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若，则点P到焦点的距离为 ． 6.下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 7.已知B（-2,0），C（2,0），A为动点，的周长为10，则动点A的满足的方程为（ ） A. B. C. D. 8.已知P为椭圆上的一点，是两个焦点，，求的面积. 9.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为．过点的直线l交C于A，B两点，且的周长为16，那么C的方程为______ 10．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则(    ) A．1 B．2 C．4 D．5 11．已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为(    ) A． B． C． D． 12.已知椭圆的标准方程是(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一点，且满足，则的面积等于 ，的周长等于 ． 14．已知椭圆方程是其左焦点，点是椭圆内一点，点是椭圆上任意一点，若的最大值为，最小值为，那么(    ) A． B．4 C．8 D． 15．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为(    ) A．7 B．8 C．9 D．11 16．已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为(    ) A．4 B．5 C．6 D．7 17.已知动点在椭圆上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足且，则的最大值为(    ) A． B． C．8 D．63 18．已知点F1，F2是椭圆的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是(    ) A．0 B．1 C．2 D．2 19．若方程表示椭圆，则下面结论正确的是(    ) A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 20．“”是“方程表示椭圆”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21.如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 22．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，，经过点； (2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为. (3)两个焦点坐标分别是和，并且经过点. (4)已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程． 23.椭圆(m<n<0)的焦点坐标是________． 24.两焦点的坐标分别为，且椭圆经过点。 25.已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。 26.已知椭圆的两个焦点是（－3，0），（3，0），且点（0，3）在椭圆上，则椭圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 27.已知椭圆经过点P（2，0）和点，求椭圆的标准方程。 28.已知椭圆的中心在原点，经过点P（3，0）且a=3b，求椭圆的标准方程。 29.已知A、B两点的坐标分别为（0，－5）和（0，5），直线MA与MB的斜率之积为，则M的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 30.△ABC两顶点的坐标分别是B（6，0）和C（－6，0），另两边AB、AC的斜率的积是，则顶点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 31.设动圆与圆外切，与内切，求动圆圆心的轨迹方程. 32.设定点是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 33.如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP'，求线段PP'中点M的轨迹 34已知定圆，圆，动圆M和定圆外切和圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 35．圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足 求点的轨迹方程； 课 后 作 业 1．已知分别是椭圆的左、右焦点，点Р在椭圆上，若，则(    ) A．6 B．3 C． D．2 2．设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为(    ) A．12 B．24 C． D． 3．已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则(    ) A．1 B． C． D． 4．已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则(    ) A．1 B．2 C．4 D．5 5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点最短距离为，则这个椭圆的方程为（ ） A． B． C．或 D．以上都不对 6．直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为(    ) A．10 B．16 C．20 D．不能确定 7．已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则(    ) A．10 B．15 C．20 D．25 8．椭圆的焦距为4，则的值为(    ) A．或 B．或 C． D． 9．曲线与的关系是(    ) A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点 10．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．(多选)平面内一动点到两定点距离之和为常数，则点的轨迹为(    ) A．圆 B．椭圆 C．线段 D．无轨迹 12．直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B．或 C． 且 D．且 13．在椭圆上有一点P，是椭圆的左､右焦点，为直角三角形，这样的点P有(    ) A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 14．设为椭圆上的一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则等于(    ) A． B． C． D． 15．已知，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是(    ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 16．过点且与有相同焦点的椭圆方程为(    ) A． B． C． D． 17．若椭圆的的一个焦点为（0，-4），则k的值为（ ） Ａ.　　　B．　　　　C．8　　　　D．32 18．已知点P是椭圆1上一点，，是椭圆的两个焦点，若＝0，则△P的面积为 ． 19．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为　 　． 20．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为 . 21．设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别是 ． 22．已知P：，Q：表示椭圆，则P是Q的 条件． 23．设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是 . 24．已知椭圆的两个焦点是、，M是此椭圆上一点，且，则的面积为 ． 25．已知点是椭圆上的一点，且位于第一象限内，以点及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，则点的坐标为 . 26．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点． (4)经过点，两点； (5)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点. (6)焦点坐标为，过点； (7)经过两点． 学科网（北京）股份有限公司 $$