精品解析：吉林省吉林市第九中学2024-2025学年八年级下学期数学期中测试卷

名校调研系列卷•八年下期中测试 数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子是二次根式．根据二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解:A、中，根指数为3，故不是二次根式，本选项不符合题意； B、当时，才是二次根式，本选项不符合题意； C、是二次根式，本选项符合题意； D、是分数，故不是二次根式，本选项不符合题意； 故选：C． 2. 在平行四边形中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3. 下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是（ ） A. 1、2、3 B. 2、3、4 C. 、、 D. 5、12、13 【答案】D 【解析】 【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：A、因为12+22≠32，所以三条线段不能组成直角三角形； B、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形； C、因为，所以三条线段不能组成直角三角形； D、因为52+122=132，所以三条线段能组成直角三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形． 4. 如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，可得两个阴影部分的图形的长和宽，计算可得答案. 【详解】解：将面积为2和3的正方形向下平移至下方边长和长方形的长边重合，如下图所示： 则阴影面积= = = 故选D 【点睛】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 5. 如图，要使平行四边形成为菱形，可添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）针对每一个选项进行判断，即可选出正确答案． 【详解】A、∵四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形，不是菱形．故本选项错误； B、添加不能证明平行四边形是菱形，故本选项错误； C、∵四边形是平行四边形，，∴平行四边形是矩形，故本选项错误； D、∵四边形是平行四边形，∴当时四边形是菱形，故本选项正确； 故选 D． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定，关键是熟练掌握菱形的判定方法． 6. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查两点间的距离公式，矩形的性质．连接，根据两点间的距离公式求出，进而根据矩形的对角线相等即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若有意义，则实数的取值范围是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式被开方数为非负数是解题关键． 根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】根据题意可知， 解得：． 故答案为：． 8. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理结合正方形的面积，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 那么， 所以正方形的边长为． 故答案为：． 10. 若与最简二次根式可以合并，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义和同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：∵与最简二次根式可以合并， ∴，解得：， 故答案为：． 11. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______. 【答案】20 【解析】 【分析】先由，得到，然后结合矩形的性质得到，再结合点和点分别是和的中点得到和的长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：， ， ，， ， 点和点分别是和的中点， ，，是的中位线， ， ． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理，解题的关键是熟知矩形的性质． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】首先化简二次根式进而合并得出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及二次根式性质、平方差公式等知识，首先利用二次根式性质化简，再由二次根式混合运算求解即可得到答案．熟练掌握二次根式的性质、二次根式混合运算法则及平方差公式是解决问题的关键． 【详解】解： ． 14. 如图，在四边形中，，，，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，根据题意可求出，进一步可得，故是直角三角形，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且． 15. 如图，在中，两锐角的角平分线，相交于点O，于点F，于点G．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：如图，作与H点，     ∵，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】作与H点，首先根据三个角是直角的四边形是矩形证明出四边形是矩形，然后根据角平分线的性质得到，进而证明出四边形是正方形． 【详解】略 【点睛】本题考查了正方形的判定，角平分线的性质定理，解题的关键是掌握以上知识点． 16. 如图，在4×4的网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图①中，以AB为一边画平行四边形ABCD，使其面积为6； （2）在图②中，以AB为一边画菱形ABEF； （3）在图③中，以AB为一边画正方形ABGH，且与图②中所画的图形不全等． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】 【分析】（1）画出底为3，高为的平行四边形ABCD即可； （2）根据菱形的定义，画出图形即可； （3）根据正方形的定义画出图形即可． 【详解】解：（1）如图①中，平行四边形ABCD即为所求； （2）如图②中，菱形ABEF即为所求； （3）如图③中，正方形ABGH即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 17. 如图，中，，相交于点，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， 分别是，的中点， ， 四边形是平行四边形， ． （2） 由（1）已证：四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则， ， ，即， ， 故当时，四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行四边形的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证； （2）先根据矩形的判定可得当时，四边形是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形的性质可得，由此即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 像、、，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： （1）计算：______； （2）计算：； （3）已知有理数、满足，直接写出、的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】此题考查了分母有理化计算，正确掌握各式子的有理化因式是解题的关键． （1）分子、分母都乘以； （2）第一项分子、分母都乘以，第二项分子、分母都乘以，再计算即可； （3）将等式左边分母有理化，得到，根据、都是有理数，即可求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵、都是有理数， ∴，， 解得，． 19. 某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长米，吊臂支柱B点与楼房的距离米，且吊臂B点距离地面1.5米． （1）求吊臂最高点A与地面的距离（的长度）； （2）完成A处张贴任务后，吊车沿射线前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（的长度）． 【答案】（1）10.5米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出的长，再由即可得出结论； （2）先由米得出的长，再由勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【小问1详解】 解：米，米， （米）， 吊臂点距离地面1.5米， 米， （米）， 答：吊臂最高点与地面的距离是10.5米； 【小问2详解】 解：由（1）知，米， 米， （米）， 米， （米）， （米）． 20. 在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展开，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到了线段． （1）如图，若点刚好落在折痕上时， ①过作，求证：； ②求的度数； （2）如图，当为射线上的一个动点时，已知，，若的直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）或． 【解析】 【分析】（1）①连接AN，首先由折叠易知△ABM≌△NBM，且EF⊥AB，E为AB中点，从而证得△BAN为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠NBG=30°即可； ②由①可得∠NBM=30°，从而求得∠BMN=60°，即可求得∠AMN的值； （2）根据四边形ABCD为矩形得到∠A=∠MNB=90°，然后分当∠NBC=90°、当∠BNC=90° N在矩形ABCD内部、当∠BNC=90° N在矩形ABCD外部时三种情况利用勾股定理求得结论即可． 【详解】①证明：连接AN， ∵由折叠易知△ABM≌△NBM，且EF⊥AB，E为AB中点， ∴AB=BN，NA=BN， ∴△BAN为等边三角形， ∴∠ABN=60°， ∵∠ABC=90°， ∴∠NBG=30°； ∵∠NGB=90°， ∴ ②由①得：△BAN为等边三角形， ∴∠ABN=60°， 由折叠得，∠NBM=∠ABM=30°，∠MNB=∠BAM=90°， ∴∠BMN=∠BMA=60°． ∴=120°； （2）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A=∠MNB=90°， ①当∠NBC=90°，∠NCB=90°都不符合题意，舍去， ②当∠BNC=90°，N在矩形ABCD内部， ∵∠BNC=∠MNB=90°， ∴M、N、C三点共线， ∵AB=BN=3，BC=5，∠BNC=90°， ∴NC=4， 设AM=MN=x， ∵MD=5-x，MC=4+x， ∴在Rt△MDC中，CD2+MD2=MC2， 32+（5-x）2=（4+x）2， 解得x=1； ③当∠BNC=90° ，N在矩形ABCD外部时， ∵∠BNC=∠MNB=90°， ∴M、C、N三点共线， ∵AB=BN=3，BC=5，∠BNC=90°， ∴NC=4， 设AM=MN=y， ∵MD=y-5，MC=y-4， ∴在Rt△MDC中 ，CD2+MD2=MC2， 32+（y-5）2=（y-4）2， 解得y=9， 综上所述：当AM=1或9时△NBC是直角三角形． ． 【点睛】本题考查了四边形的综合知识，解答过程中应用了全等三角形的性质、勾股定理等知识，综合性强，特别是在解答第三问时应用到了分类讨论的数学思想，难度较大，是一道好题． 21. 【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质，如图①，菱形的边长为，，则______，______； 【操作发现】（2）如图②，在图①的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，直接写出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）不变，，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练以上知识点是解题的关键． （1）根据菱形的对角线平分对角，计算，利用菱形的对角线互相垂直且平分，勾股定理计算即可． （2）根据菱形的性质，结合，，得到，继而得到，证明即可． （3）根据菱形的性质，得到，根据，得到，计算得． 【详解】解：（1）连接交于点，如图所示： 菱形的边长为，， ，，，， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：四边形，是菱形， ，，，， ，， ，， ， ， ， ； （3）解：的大小不变，且，理由如下： 四边形是菱形，， ， ， ， ， ． 故的大小不变，且． 22. 已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，点、点的运动速度都是，设它们的运动时间为． （1）如图①，求证：在运动过程中，、总是互相平分； （2）如图②，若四边形是菱形，求的值； （3）已知点是平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的的值． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形、菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键； （1）说明四边形是平行四边形即可； （2）设，在中，利用勾股定理建立方程求解； （3）分两种情况讨论，①作为菱形的边时：②作为菱形的对角线时：让点在上移动，结合、、、为顶点的四边形是菱形，画出图形求的值． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， 点，点的运动速度都是，它们的运动时间为． ∴，， ， 四边形是平行四边形， ，总是互相平分； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， ∵，则， 在中，根据勾股定理得，， ， ． 【小问3详解】 解：①作为菱形的边时： 如图，，则，在中，， ， ； ②作为菱形的对角线时： 如图，，则，，根据菱形的对角线互相垂直平分可得， ， ． 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校调研系列卷•八年下期中测试 数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是（ ） A. 1、2、3 B. 2、3、4 C. 、、 D. 5、12、13 4. 如图，矩形内三个相邻的正方形面积分别为4，3和2，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 如图，要使平行四边形成为菱形，可添加的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 5 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若有意义，则实数的取值范围是_________________． 8. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数是______． 9. 以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为______． 10. 若与最简二次根式可以合并，则______． 11. 如图，是矩形的对角线的中点，是的中点．若，，则四边形的周长为_______. 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算： 13. 计算：． 14. 如图，在四边形中，，，，，．求的度数． 15. 如图，在中，两锐角的角平分线，相交于点O，于点F，于点G．求证：四边形是正方形． 16. 如图，在4×4的网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图． （1）在图①中，以AB为一边画平行四边形ABCD，使其面积为6； （2）在图②中，以AB为一边画菱形ABEF； （3）在图③中，以AB为一边画正方形ABGH，且与图②中所画的图形不全等． 17. 如图，中，，相交于点，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）当与满足什么关系时，四边形是矩形？请说明理由． 18. 像、、，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： （1）计算：______； （2）计算：； （3）已知有理数、满足，直接写出、的值． 19. 某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长米，吊臂支柱B点与楼房的距离米，且吊臂B点距离地面1.5米． （1）求吊臂最高点A与地面的距离（的长度）； （2）完成A处张贴任务后，吊车沿射线前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（的长度）． 20. 在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展开，再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到了线段． （1）如图，若点刚好落在折痕上时， ①过作，求证：； ②求的度数； （2）如图，当为射线上的一个动点时，已知，，若的直角三角形时，请直接写出的长． 21. 【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质，如图①，菱形的边长为，，则______，______； 【操作发现】（2）如图②，在图①的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，直接写出的度数；若变化，请说明理由． 22. 已知在矩形中，，．点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，点、点的运动速度都是，设它们的运动时间为． （1）如图①，求证：在运动过程中，、总是互相平分； （2）如图②，若四边形是菱形，求的值； （3）已知点是平面内一点，若以点、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $