精品解析：四川省自贡市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

2024—2025学年高一年级下学期期末考试 数学试题 本试卷共4页19题，全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二倍角的余弦公式整理为特殊角的三角函数值求解. 【详解】 故选： 【点睛】本题考查二倍角余弦公式求解三角函数值，属于基础题. 2. 若复数z满足，其中是虚数单位，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的概念与四则运算求解， 【详解】 ，所以， 故选：D 3. 在中，D是AB边上点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算即可得到. 【详解】 . 故选：A. 4. 已知向量，，若，则（） A. 1， B. ，3 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积的坐标运算，即可求解． 【详解】因为，， 所以 因为， 所以， 解得：或 故选：B 5. 正方体中，则与底面ABCD所成角的正弦值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面角的定义，确定直线与平面的夹角，利用求其大小． 【详解】因为为正方体，所以平面， 所以为直线与平面的夹角， 设，在中，， 所以， 故选：D． 6. 已知l为空间的一条直线，，为空间的两个不同平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据面面平行、面面垂直的判定定理和性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 若，则可能平行，可能相交，所以A错误； 对于选项B： 若，那么经过垂线的平面与另一平面垂直，所以，所以B正确； 对于选项C： 若，两平面平行，那么一平面内的任意一条直线与另一平面平行，所以，所以C正确； 对于选项D： 若，根据面面垂直的性质可知，所以D正确. 故选：A. 7. 若，是夹角为的单位向量，则与夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式可解. 【详解】， ， ， ， 所以， 因为， 则与夹角为. 故选：C. 8. 已知棱长为2的正四面体，E、F分别BD和BC的中点，M是线段AE上的动点，N为平面ADF上的动点，则的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当平面时，取得最小值，在直角三角形中求解即可. 【详解】因为为正四面体， 所以， F为BC的中点， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为是的中点， 所以点关于平面对称， 因为点在平面，故， 所以， 故当平面时，取最小值， 因为是边长为2的正四面体， 所以在中， 当平面时，为等边三角形的重心， 此时 在中，， 故的最小值为， 故答案为： 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递减 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据部分图像可求解析式，然后利用函数的相关性质可逐项判断. 【详解】由图可知，又过， 所以，解得， ， 所以，即， 又，，则， 对于A，，所以不是函数的对称轴，故A错误； 对于B，，所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，时，， 又在单调递减， 所以函数在上单调递减，故C正确； 对于D，时，，， ，故D正确； 故选：BCD. 10. 在平面直角坐标系中，若对于曲线上的任意点P，都存在曲线上的点Q，使得成立，则称函数具备“性质”．则下列函数具备“性质”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据“性质”的定义可逐项验证. 【详解】设，， 对于A，， 当时，方程无解，故A错误； 对于B，， 当时，有解，当时，， 当且时， ，令，则， 易得，所以， 综上，，使成立，故B正确； 对于C，， 当时，，当时，， 当且时， ，令，则， 易知，所以， 综上，，使成立，故C正确； 对于D，，当时，无解，故D错误； 故选：BC. 11. 如图1在中，，，．D，E分别在AB，AC上且．将沿DE翻折得到图2且，记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（ ） A. B. 直线AB与DE所成角的正弦值为 C. 平面BCDE D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题可证平面，，，求得，再利用勾股定理可证，对于B，由，可知就是异面直线AB与DE所成角或其补角，再求得正弦值即可；对于C，D，可得在中点处，在中点处，再利用线面平行的判定和球的表面积公式即可判断； 【详解】在，，，，所以， ，，，， ，又平面， 所以平面，即平面，又平面， 所以，又，， ，又，即，故A正确； ，就是异面直线AB与DE所成角或其补角， 又，所以，故B错误； 对于C，，都是以为斜边的直角三角形， 所以三棱锥外接球球心为在斜边中点处， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，都是以为斜边的直角三角形， 所以三棱锥外接球球心为在斜边中点处， 在中，，分别为中点，所以， 平面， 平面，所以平面，故C正确； 对于D，设球，半径为，则， 所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 长方体的长宽高分别为，，，则该长方体外接球的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体的特征和勾股定理求出外接球半径，然后根据公式求出球的体积即可. 【详解】设长方体外接球的直径为， 则根据勾股定理可得. 所以长方体外接球的半径为. 所以长方体外接球的体积为. 故答案为：. 13. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】应用两角和差的余弦公式计算化简，再结合同角三角函数关系弦化切计算求解． 【详解】因为，所以 因为，所以 两式相加得， 两式相减得， 则 ． 故答案为：． 14. 函数，若在有两个零点，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先将原函数化简成正弦型函数的形式，根据正弦函数的性质可知关于对称，得到之间的关系式，然后将所求式子进行化简，利用二倍角的余弦公式即可求出结果. 【详解】， 因为在上有两个零点， 所以，即. 令，则， 根据正弦函数的性质可知，关于对称， 所以，即. 所以， 所以. 因为，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 复数z满足 （1）若复数z为实数，求m的值； （2）若复数z为纯虚数，求m的值； （3）设复数，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由复数z为实数，则虚部为0可解； （2）由复数z为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0； （3）由复数相等的条件，可得，然后利用二次函数性质求值域即可. 【小问1详解】 复数z为实数，所以. 【小问2详解】 复数z为纯虚数， 所以，解得. 【小问3详解】 ， ， 即， 又，所以时，，时，， 所以的取值范围为. 16. 如图，在平面直角坐标系中中，向量，，． （1）求点B、C的坐标； （2）求三角形ABC的周长； （3）求向量在向量上的投影的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求得即可得到B、C的坐标； （2）根据向量的加法得到，利用向量模长的坐标运算即可； （3）由向量在向量上的投影为即可计算. 【小问1详解】 ，，又， 所以，， ， 所以，. 【小问2详解】 ，， 所以三角形ABC的周长为. 【小问3详解】 向量在向量上的投影为 所以向量在向量上的投影为. 17. 已知函数 （1）求函数的单调递减区间； （2）函数在上的值域； （3）求在的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数的性质计算可得． （2）由的取值范围求出，再根据余弦函数的性质计算可得． （3）利用整体的思想结合余弦函数的图象列不等式求解即可. 【小问1详解】 ，令 解得， 所以函数的单调递减区间为． 【小问2详解】 ，因为，所以， 可得，则， 即函数在上的值域为． 【小问3详解】 由题设，即 因为，所以， 所以，可得． 所以不等式解集为． 18. 如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点． （1）求证：平面平面； （2）求证：直线平面； （3）求二面角大小的余弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正三棱柱的性质得，则证得线面垂直； （2）设，连接，由中位线定理得，从而可得线面平行． （3）找出二面角的平面角，在三角形中用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，可知三棱柱为正三棱柱， 故平面， 因为平面，所以， 因为为线段的中点，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面 【小问2详解】 连接，且，连接 在中，为中点，为中点，所以 平面平面 所以平面． 【小问3详解】 过点作于点，过点作于点， 由知平面 平面，， 又， ，平面，平面 平面，， 又， ，平面，平面， 平面，， 为二面角的平面角， 在中，由面积相等得， 即，解得，， 同理在中可求得，， 在中，， 在中，由余弦定理可得 ，， 在中，． 所以二面角大小的余弦值为. 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）在中，O为的外心，角A所对边的长为a． （ⅰ）若，，点P在BC上，且（），求的取值范围； （ⅱ）若的外接圆半径为1，且，若面积为,求证：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：已知角所对边的长为a，再设角所对边的长为． 因为的外接圆半径为1，所以， 因为，所以， 所以，化简得， 过点作交于点， 设，则， 则 即， 所以 ， ∴,当,时取“等号”,此时可得, 可求得三角形外接圆半径为， ∴． 【解析】 【分析】（1）由两角和与差的余弦公式及二倍角公式、辅助角公式化简，再用周期可求出； （i）由题意可求出，，设，由平面向量线性运算和平面向量基本定理得到与的关系，将化成关于的表达式即可求解范围； （ii）运用正弦定理得到，进而得到，过点作交于点，设，则，求得关于的表达式，进而得到三角形面积关于的表达式，利用以为主元配方求得三角形面积最大时的关系，化为关于的表达式，在以为主元配方，求得三角形面积的最大值. 【小问1详解】 ， 的周期最小正为，，，. 【小问2详解】 （i）,,, ,， ，的外接圆直径， ，即， ， 在上，设， 则， 又， ， （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高一年级下学期期末考试 数学试题 本试卷共4页19题，全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，其中是虚数单位，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 在中，D是AB边上点满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（） A. 1， B. ，3 C. 1 D. 5. 正方体中，则与底面ABCD所成角的正弦值为（） A. B. C. D. 6. 已知l为空间的一条直线，，为空间的两个不同平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 7. 若，是夹角为的单位向量，则与夹角是（ ） A. B. C. D. 8. 已知棱长为2的正四面体，E、F分别BD和BC的中点，M是线段AE上的动点，N为平面ADF上的动点，则的最小值为（） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递减 D. 当时， 10. 在平面直角坐标系中，若对于曲线上的任意点P，都存在曲线上的点Q，使得成立，则称函数具备“性质”．则下列函数具备“性质”的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图1在中，，，．D，E分别在AB，AC上且．将沿DE翻折得到图2且，记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（ ） A. B. 直线AB与DE所成角的正弦值为 C. 平面BCDE D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 长方体的长宽高分别为，，，则该长方体外接球的体积为______． 13. 已知，，则______． 14. 函数，若在有两个零点，，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 复数z满足 （1）若复数z为实数，求m的值； （2）若复数z为纯虚数，求m的值； （3）设复数，若，求的取值范围． 16. 如图，在平面直角坐标系中中，向量，，． （1）求点B、C的坐标； （2）求三角形ABC的周长； （3）求向量在向量上的投影的坐标． 17. 已知函数 （1）求函数的单调递减区间； （2）函数在上的值域； （3）求在的解集． 18. 如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点． （1）求证：平面平面； （2）求证：直线平面； （3）求二面角大小的余弦值． 19. 已知函数的最小正周期为． （1）求的解析式； （2）在中，O为的外心，角A所对边的长为a． （ⅰ）若，，点P在BC上，且（），求的取值范围； （ⅱ）若的外接圆半径为1，且，若面积为,求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $