广东省惠州市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

惠州市2024-2025学年第二学期高一期末考试 数 学 全卷满分150分，时间120分钟. 2025.7 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1.已知复数 则z= ( ) A. 2-2i B. 1-3i C. 1+3i D. 2+3i 2.已知=(1,2), =(m,3),若⊥(-), 则实数m= ( ) A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2 3.某班有男生36人，女生20人，现在要用性别比例分配的分层随机抽样方法从该班中抽取 14人参加跳绳比赛，则男生被抽取的人数为 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4.已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形，则该圆锥的侧面积为 ( ) A. 6π B. 12π C. 3π D. 2π 5.位于灯塔A处正西方相距30海里的B处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔A处北偏东45°方向有一与灯塔A相距 海里的C处有一艘乙船，则乙船前往支援B处甲船需要航行的最短距离是 ( ) 数学试题 第 1 页,共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 海里 海里 海里 D. 30海里 6.如图，某几何体可看成是3个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体I、II、III的高之比分别为2：3：5，则几何体I、II、III的体积之比为 ( ) A. 2:6:15 B. 9:15:25 C. 6:21:35 D. 9:21:56 7. 如图,在△ABC中, 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m,n>0, 则 的最小值为( ) A. 1 B .2 C. 3 D. 4 8.十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问 题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.在费马提 到的这个问题中所求的点被称为费马点，其答案如下：当三角形的三个角均小于120°时， 所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120°角；当三角 形有一内角大于或等于120°时，所求的点为三角形最大内角的顶点.已知a,b,c分别是△ABC 的内角A,B,C所对的边, 且 若P为△ABC的费马点， 则 A. - 4 B. - 3 C. - 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分. 9.若复数z满足i·z=1+3i (i是虚数单位)，则下列说法正确的是 ( ) A. z=3-i B. 的模为4 C. z在复平面内对应的点位于第四象限 数学试题 第 2 页,共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 10.下列说法中正确的是（ ） A. 数据2, 2 3, 5, 6, 7, 7, 8, 10, 11的下四分位数为3 B.若A、B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥 C.设样本数据. 的平均数和方差分别为2和8，若 i=1,2,3,…,9,10,则 的平均数和方差分别为5和32 D. 已知P(A)=0.5, P(B)=0.4, 且B⊆A, 则P(AB)=0.2 11.如图，在棱长为4的正方体 中，P为棱BB₁的中点，点Q满足 则下列说法中正确的是 ( ) A. AC₁⊥平面A₁PD B.若D₁Q∥平面A₁PD，则动点Q的轨迹长度为 C. 若 则四面体DPQA₁的体积为定值 Đ.平面A₁PD截正方体的截面面积为18 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中, 异面直线AC与A₁B所成角的大小为 . 13.已知向量与的夹角为则在方向上的投影向量的坐标为 . 14.已知正四面体的棱长为 ，现截去四个全等的小正四面体，得 到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为 的球形容器中， 则截去的小正四面体的棱长最小值为 . 数学试题 第 3 页,共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 13分) 为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了100名住户，将他们上周体育锻炼的时间 (单位: 时) 按照[0,2)、[2,4)、[4,6)、[6,8)、[8,10]分成5组, 制成如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中a的值； (2)根据频率分布直方图估计样本数据的第80百分位数； (3)根据频率分布直方图，用每组数据区间中点值作代表，估计这100名住户上周体育锻炼时间的平均值. 16. (本题满分15分) 在△ABC中,已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边, 记 图且 (1)求角C; (2)若 求2b-a的取值范围. 17. (本题满分15分) DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A、B两部门的员工参加DeepSeek培训. (1)已知该公司A、B部门分别有3名领导，此次DeepSeek培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，求全部来自A部门领导的概率； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率. 数学试题 第 4 页,共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 18. (本题满分17分) 如图，等腰直角三角形ABC所在平面与半圆弧 所在平面垂直，O为AB的中点，且AC=BC, M是 上异于A、B的点，N是AM的中点. (1)证明: AM⊥平面OCN; (2)若圆O的半径为1, 设∠MAB=α, (i)当α=30°时, 求二面角C-AM-B的平面角的正切值; (ii) 当M在弧 上运动时 (不与A、B重合)，证明：点O到平面BCM的距离 19. (本题满分17分) 将所有平面向量组成的集合记作R².如果对于向量. 存在唯一的向量 与之对应，其中坐标y₁，y₂由x₁，x₂确定，则把这种对应关系记为. 或者 简记为f.例如 就是一种对应关系.若在 的条件下 有最大值，则称此最大值为对应关系f的模，并把f的模记作|| f ||；若存在非零向量∈R²及实数λ使得f()=λ，则称λ为f的一个特征值， (1)如果求||f||; (2)如果 计算f的特征值，并求相应的；(若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可) (3)若 要使f有唯一的特征值，实数 应满足什么条件?试找出一个对应关系f，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值λ，②||f||=|λ|,并验证f满足这两个条件. 数学试题 第 5 页,共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$